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概率论与数理统计
x2: 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
概率论与数理统计
1 林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理
2 中心极限定理的应用
2: 中心极限定理
x2: 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
概率论与数理统计
客观实际中有许多随机变量, 它们由大量的相互独立的随机因素 综合影响而形成, 而其中每一个个别因素在总的影响中所起的作 用都是微小的.
背景
2 . 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
概率论与数理统计
比如, 考虑一门炮的射程. 一门炮生产出来后其制造技术和工艺 等内在因素决定了其射程的基准值, 但在每次射击中, 由于震动 会造成误差ξ1 , 每发炮弹外形上的细小差别会造成误差ξ2 , 每发炮 弹内炸药数量或质量上的微小差异会造成误差ξ3 , 炮弹在前进过 程中遇到空气流速的微小扰动而造成误差ξ4 等等. 这些误差有的 为正, 有的为负, 都是随机的, 而炮弹射程的总误差ξ 是许多这种 随机小误差的总和, 即
ξ = ξi.
这许多小误差ξi ; i 1 可以看成是相互独立的, 因此, 需要讨论相 互独立的随机变量和的分布问题, 这就是本节所讨论的中心极限 定理.
i
Σ
背景
2 . 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
概率论与数理统计
E(Xi) = μ , D(Xi) = σ2 > 0, i ≥ 1,
则对任意x 2 R,
（ — nμ )
n P x)'' = e- . (1)
-1
x
Xi
Σ
n
我们主要介绍如下的一种比较经典的情形, 即随机变量序列是相 互独立且服从同一分布(简称: 独立同分布).
林德贝格–勒维(Lindeberg — Levy)中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg — Levy)中心极限定理
2 . 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
设X1 ; X2 ; · · · ; Xn ; · · · 是一列独立同分布的随机变量, 且
概率论与数理统计
E(Xi) = μ , D(Xi) = σ2 > 0, i ≥ 1,
则对任意x 2 R,
（ — nμ )
n P x)'' = e- . (1)
-1
x
Xi
Σ
n
我们主要介绍如下的一种比较经典的情形, 即随机变量序列是相 互独立且服从同一分布(简称: 独立同分布).
林德贝格–勒维(Lindeberg — Levy)中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg — Levy)中心极限定理
2 . 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
设X1 ; X2 ; · · · ; Xn ; · · · 是一列独立同分布的随机变量, 且
概率论与数理统计
n
(1) 定理表明, 独立同分布的随机变量X1 ; X2 ; · · · ; Xn的和： Xi 的
i= 1
标准化变量: , 当n充分大时, 近似服从标准正态分布,
即
nμ
pn
i —
σ
X
林德贝格–勒维(Lindeberg — Levy)中心极限定理
x2: 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
注
n
： Xi — nμ i= 1
N(0; 1):
概率论与数理统计
σ pn
近似
也即, 当n充分大时,
Xi 近似 N(nμ; nσ2 );
或
Xi 近似 N(μ; ).
这些将在近似计算中起很重要的作用.
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理
2 . 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
注
(2)
(3)
概率论与数理统计
(2) 关于大数定律与中心极限定理的关系: 辛钦大数律表明,
当n ! 1时, 算术平均值 Xi依概率收敛于真实的均值μ , 即
对任意" > 0, 都有
P Xi - μ ' > ") ! 0.
但对给定的"0 > 0, 概率P Xi - μ ' > "0 ) 趋于0的速度大
数定律是无法体现的.
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理
2 . 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
注
概率论与数理统计
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理
1 n '
n Xi - μ '
σ/pn '
'
'
- 1) ! 0:
' = 1 - P '
' 1 - (2 = 2 ( 1 -
x2: 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
注
- μ ' > "0 ! = 1 - P
ε0 σ/pn
但根据(3)式可知
n
XXi i= 1
n
XXi i= 1
'
- μ'
'
!
"0
'1 P '
概率论与数理统计
' n
'
'
'
因此, 上式不仅可以导出当n ! 1时,
P Xi - μ ' > ε0 ) ! 0,
而且得到随机事件 Xi - μ ' > ε0 } 发生概率的近似值. 由
此可见, 中心极限定理比大数定律的结论更“ 精细".
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理
2 . 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
注
概率论与数理统计
作为上述定理的推论, 下面给出历史上著名的 莫弟–拉普拉斯 中心极限定理.
n P x) = l
1
x
莫弟–拉普拉斯(De Moivre - Laplace)中心极限定理
莫弟–拉普拉斯(De Moivre - Laplace)中心极限定理
2 . 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
设随机变量ξn b(n;p); 0 < p < 1, 则对任意x e R,
e- =
(x). (4)
概率论与数理统计
作为上述定理的推论, 下面给出历史上著名的 莫弟–拉普拉斯 中心极限定理.
n P x) = l
1
x
莫弟–拉普拉斯(De Moivre - Laplace)中心极限定理
莫弟–拉普拉斯(De Moivre - Laplace)中心极限定理
2 . 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
设随机变量ξn b(n;p); 0 < p < 1, 则对任意x e R,
e- =
(x). (4)
概率论与数理统计
计算机进行加法计算时J 把每个加数取为最接近于它的整数来计 算. 设所有的取整误差是相互独立的随机变量J 并且都服
从[-0.5; 0.5] 上的均匀分布. 若将1500个数相加J 试求误差总和的 绝对值超过15的概率.
中心极限定理的应用
下面给出中心极限定理的一些应用.
2 . 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
例
概率论与数理统计
计算机进行加法计算时J 把每个加数取为最接近于它的整数来计 算. 设所有的取整误差是相互独立的随机变量J 并且都服
从[-0.5; 0.5] 上的均匀分布. 若将1500个数相加J 试求误差总和的 绝对值超过15的概率.
中心极限定理的应用
下面给出中心极限定理的一些应用.
2 . 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
例
概率论与数理统计
以Xi表示第i个数的取整误差, 由题意知, Xi … U[ —0.5; 0.5], 从而
E(Xi) = 0; D(Xi) = 1 ; i = 1; 2; · · · ; 1500.
以X表示1500 个数相加后的误差总和, 则X = Xi , 由(2)式知
2
1
Xi
因此
中心极限定理的应用
解
2 . 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
P(|X| > 15) = 1 — P(|X| 三 15) 今 1 — (2Φ (1.34) — 1) = 0.18.
N (0; 1 0 ) .
12
50
概率论与数理统计
设某保险公司为某企业的一万名员工设计了一款公共交通意外保 险, 每人每年支付120元保费. 已知在一年内这些人死亡的概率都 为0.006, 投保人死亡后, 保险公司需向家属支付10000元, 试求:
(1) 保险公司一年的利润不少于60万元的概率;
(2) 保险公司亏本的概率.
中心极限定理的应用
2 . 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
例
概率论与数理统计
解
以X表示参加保险的一万人中一年内死亡的人数,
则X b(10000; 0.006), 其分布律为
P(X = k) = C (0.006)k(0.994)10000-k ; k = 0; 1; · · · ; 10000.
由题意知, 保险公司一年的利润为
120 X 10000 — 10000 X X = 10000(120 — X).
因此, 由 莫弟–拉普拉斯中心极限定理知,
10000
k
中心极限定理的应用
2 . 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
概率论与数理统计
(1) 保险公司一年的利润不少于6万元的概率为
P(10000(120 — X) ≥ 600000) = P(0 三 X 三 60)
必 （ p 1 ) — （ p1 00 60 )
= (0) — ( —7.77) 必 0.5 — 0 = 0.5.
0
0
x
.0
0
x
0
0
x
00
000
— 1
0
0
994
6
0
00
x
0.
06
x
0
0
0
00
x
0
00
—
100
60
(2) 保险公司亏本的概率为
P(10000(120 — X) < 0) = P(X > 120) = 1 — P(X 三 120)
必 1 — （ p . 4 ) 必 1 — 1 = 0.
0
0
x
0
006
00 x
0
0
x
10
00
—
0
0
0
2
1
1
中心极限定理的应用
解
2 . 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
概率论与数理统计
(1) 保险公司一年的利润不少于6万元的概率为
P(10000(120 — X) ≥ 600000) = P(0 三 X 三 60)
必 （ p 1 ) — （ p1 00 60 )
= (0) — ( —7.77) 必 0.5 — 0 = 0.5.
0
0
x
.0
0
x
0
0
x
00
000
— 1
0
0
994
6
0
00
x
0.
06
x
0
0
0
00
x
0
00
—
100
60
(2) 保险公司亏本的概率为
P(10000(120 — X) < 0) = P(X > 120) = 1 — P(X 三 120)
必 1 — （ p . 4 ) 必 1 — 1 = 0.
0
0
x
0
006
00 x
0
0
x
10
00
—
0
0
0
2
1
1
中心极限定理的应用
解
2 . 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
概率论与数理统计
某单位内部有260架电话分机, 每个分机有4%的时间要用外线通 话, 可以认为各个电话分机用不用外线是相互独立的, 问总机至 少要备有多少条外线才能以95% 以上的把握保证各个分机在用 外线时不必等候.
中心极限定理的应用
2 . 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
例
概率论与数理统计
以X表示260架电话分机中同时需要使用外线的分机数, 则X b(260; 0.04). 由题意知, 要确定最小的整数x, 使得
P(X ≤ x) ≥ 0.95.
由 莫弟–拉普拉斯中心极限定理知,
P(X ≤ x) ≈ Φ（ p 96
由标准正态分布表知Φ(1.65) = 0.9505 > 0.95, 故取b = 1.65,
得x = 15.61, 因此, 总机至少要备16条外线才能以95% 以上的把 握保证各个分机在用外线时不必等候.
0
04
04
×
0
60
26
x
中心极限定理的应用
解
2 . 中心极限定理
林德贝格–勒维(Lindeberg - Levy)中心极限定理 中心极限定理的应用
概率论与数理统计

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