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概率论与数理统计
背景 基本概念
概率论与数理统计
x1:总体和样本
1 背景
2 基本概念
背景 基本概念
概率论与数理统计
在前四章中, 我们介绍了概率论的基本内容, 从本章开始将介绍 数理统计的一些基本知识. 在概率论部分, 我们所研究的随机变 量, 都是在分布已知的情况下, 讨论它的一些性质, 如数字特征, 函数的分布等等. 而在数理统计中, 我们所研究的随机变量, 有可 能它的分布的类型是未知的, 或者知道分布的类型, 但其中的某 些参数是未知的. 数理统计的主要任务就是通过对所研究的随机 变量进行重复独立的观察, 得到一系列的观测值, 再对这些观测 值进行分析, 从而对所研究的随机变量作出合理的推断, 推断其 服从何种分布, 或推断它的一些参数值. 数理统计具有广泛的应 用, 已经渗透到其他学科并形成了许多专门的理论, 比如生物统 计、金融统计、教育统计等等.
本章主要介绍数理统计的基本概念, 包括总体、样本及统计量等, 并着重介绍几个常用的统计量及三大抽样分布.
背景
背景 基本概念
概率论与数理统计
比如, 我们要研究某厂所生产的一批灯管的寿命. 由于测试灯管
的寿命具有破坏性, 所以我们只能从这批灯管中抽取一部分进行 寿命测试, 然后根据这一部分测试的数据对整个这批灯管的平均 寿命作出推断.
数理统计中, 将研究对象的全体称为总体, 总体中的每一个对象 称为个体.
定义
背景 基本概念
概率论与数理统计
比如, 我们要研究某厂所生产的一批灯管的寿命. 由于测试灯管 的寿命具有破坏性, 所以我们只能从这批灯管中抽取一部分进行 寿命测试, 然后根据这一部分测试的数据对整个这批灯管的平均 寿命作出推断.
数理统计中, 将研究对象的全体称为总体, 总体中的每一个对象 称为个体.
定义
背景 基本概念
概率论与数理统计
说明
因此, 上述这一批灯管的全体就组成一个总体, 其中的每一个灯 管就是一个个体. 因现在考虑的是灯管的寿命, 因此, 通常将这一 批灯管的寿命的全体作为总体, 其中每一个灯管的寿命作为个体. 以X表示灯管的寿命, 则X是一个随机变量, 所以总体就是指某个 随机变量X可能取值的全体. 今后将总体与描述它的数量指标的 随机变量X等同. 数理统计的目标就是来揭示总体X的统计规律.
背景 基本概念
概率论与数理统计
从总体中抽取一个个体, 就是对代表总体的随机变量X进行一次 观测, 比如从这批灯管中抽取一个灯管, 在没有测量这个灯管的 寿命之前, 该灯管的寿命也是一个随机变量, 记作X1 , 显然, X1
与X具有相同的分布.
从总体X中随机抽取n个个体X1 ; X2 ; · · · ; Xn , 称这n 个个体为总体X 的一个样本(或子样), n称为样本容量, 称该过程为抽样.
定义
说明
背景 基本概念
概率论与数理统计
从总体中抽取一个个体, 就是对代表总体的随机变量X进行一次 观测, 比如从这批灯管中抽取一个灯管, 在没有测量这个灯管的 寿命之前, 该灯管的寿命也是一个随机变量, 记作X1 , 显然, X1
与X具有相同的分布.
定义
从总体X中随机抽取n个个体X1 ; X2 ; · · · ; Xn , 称这n 个个体为总体X 的一个样本(或子样), n称为样本容量, 称该过程为抽样.
说明
背景 基本概念
概率论与数理统计
注
为保证抽取出的样本能够最大可能地反应总体的性质J 我们规定:
(1) 抽样是随机的J 即总体中每一个个体都有同等的机会被抽取; (2) 每次抽样的结果之间是相互独立的.
称满足上述两个条件的抽样为简单随机抽样J 由此得到的样本称 为简单随机样本. 除非特殊声明J 以后的样本都是指简单随机样 本.
背景 基本概念
概率论与数理统计
注
为保证抽取出的样本能够最大可能地反应总体的性质J 我们规定: (1) 抽样是随机的J 即总体中每一个个体都有同等的机会被抽取;
(2) 每次抽样的结果之间是相互独立的.
称满足上述两个条件的抽样为简单随机抽样J 由此得到的样本称 为简单随机样本. 除非特殊声明J 以后的样本都是指简单随机样 本.
背景 基本概念
概率论与数理统计
注
为保证抽取出的样本能够最大可能地反应总体的性质J 我们规定: (1) 抽样是随机的J 即总体中每一个个体都有同等的机会被抽取; (2) 每次抽样的结果之间是相互独立的.
称满足上述两个条件的抽样为简单随机抽样J 由此得到的样本称 为简单随机样本. 除非特殊声明J 以后的样本都是指简单随机样 本.
背景 基本概念
概率论与数理统计
注
为保证抽取出的样本能够最大可能地反应总体的性质J 我们规定: (1) 抽样是随机的J 即总体中每一个个体都有同等的机会被抽取; (2) 每次抽样的结果之间是相互独立的.
称满足上述两个条件的抽样为简单随机抽样J 由此得到的样本称 为简单随机样本. 除非特殊声明J 以后的样本都是指简单随机样 本.
背景 基本概念
概率论与数理统计
设X1 ; X2 ; · · · ; Xn为从总体X中抽取的简单随机样本, 则X1 ; X2 ;
· · · ; Xn 是相互独立的n个随机变量, 且每个Xi ; 1 i n 与总体X 是同分布的. 我们以x1 , x2 , · · · , xn表示样本的一次观测值.
注
背景 基本概念
概率论与数理统计
若将样本X1 ; X2 ; · · · ; Xn看作是一个n维随机变量(X1 ; X2 ; · · · ; Xn), 则
(1) 当总体X是离散型随机变量, 记其分布律为P(X = x) = p(x), 则n维随机变量(X1 ; X2 ; · · · ; Xn)的分布律为:
P(X1 = x1 ; X2 = x2 ; · · · ; Xn = xn) = p(x1 )p(x2 ) · · · p(xn);
(2) 当总体X是连续型随机变量, 记其密度函数为f (x), 则n维随机 变量(X1 , X2 , · · · , Xn)的密度函数为:
f * (x1 ; x2 ; · · · ; xn) = f (x1 )f (x2 ) · · ·f (xn):
说明
背景 基本概念
概率论与数理统计
若将样本X1 ; X2 ; · · · ; Xn看作是一个n维随机变量(X1 ; X2 ; · · · ; Xn), 则
(1) 当总体X是离散型随机变量, 记其分布律为P(X = x) = p(x), 则n维随机变量(X1 ; X2 ; · · · ; Xn)的分布律为:
P(X1 = x1 ; X2 = x2 ; · · · ; Xn = xn) = p(x1 )p(x2 ) · · · p(xn);
(2) 当总体X是连续型随机变量, 记其密度函数为f (x), 则n维随机 变量(X1 , X2 , · · · , Xn)的密度函数为:
f * (x1 ; x2 ; · · · ; xn) = f (x1 )f (x2 ) · · ·f (xn):
说明
背景 基本概念
概率论与数理统计
若将样本X1 ; X2 ; · · · ; Xn看作是一个n维随机变量(X1 ; X2 ; · · · ; Xn), 则
(1) 当总体X是离散型随机变量, 记其分布律为P(X = x) = p(x), 则n维随机变量(X1 ; X2 ; · · · ; Xn)的分布律为:
P(X1 = x1 ; X2 = x2 ; · · · ; Xn = xn) = p(x1 )p(x2 ) · · · p(xn);
(2) 当总体X是连续型随机变量, 记其密度函数为f (x), 则n维随机 变量(X1 , X2 , · · · , Xn)的密度函数为:
f * (x1 ; x2 ; · · · ; xn) = f (x1 )f (x2 ) · · ·f (xn):
说明
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