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概率论与数理统计
x2: 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
概率论与数理统计
x2: 估计量的评选标准
x2: 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
1 无偏性
2 有效性 3 相合性
概率论与数理统计
在前一节我们看到J 同一总体中的同一参数J 用不同的估计方法
求出的估计量可能不一样J 如第一节中的两个例中J 总体X是服从 均匀分布U(0, θ) 中的参数θ J 用矩估计法和极大似然估计法得到 不同的结果. 很自然地一个问题是: 在具体的实际应用中J 我们该 选择哪种估计量呢 这就是估计量的评价问题. 本节我们将介绍 几个常用的评价标准.
x2 . 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
概率论与数理统计
设X1 ; X2 ; · · · ; Xn为取自总体X的一个样本, θ 2 Θ是总体X的分布
中的未知参数, 这里Θ 是θ的取值范围. 若估计量
= (X1 ; X2 ; · · · ; Xn)
的数学期望E( )存在, 且对于任意θ 2 Θ 有
E( ) = θ;
则称 是θ的无偏估计量.
θ
^
θ
^
θ
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θ
^
θ
^
无偏性
x2: 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
定义
概率论与数理统计
估计量的无偏性指的是对于某些样本观测值J 由这一估计量得到 的估计值相对于真实值来说偏大J 而有些则偏小. 反复将这一估
计量使用多次J 就“平均"来说J 其偏差为零. 在科学技术中E( ) - θ
称为以 作为θ的估计的系统误差. 无偏差的实际意义就是无系统
误差.
θ
^
θ
^
无偏性
x2 . 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
概率论与数理统计
由于
E(X) = E(Xi) = E(X) = μ (总体均值)
E(S2) = E X - (X)2 )
= (D(Xi) + (E(Xi))2 ) - (D(X) + (E(X))2 )
= (D(X) + (E(X))2 ) - D(X) + (E(X))2 )
= D(X) = σ2 (总体方差):
i
2
无偏性
x2: 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
概率论与数理统计
因此, 样本均值X 和样本方差S2分别是总体均值μ和总体方差σ2 的 无偏估计, 显然, 样本的二阶中心矩B2不是总体方差的无偏估计, 请读者仔细体会样本方差与样本二阶中心矩定义的区别和联系.
无偏性
x2: 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
概率论与数理统计
设X1 ; X2 ; · · · ; Xn为取自总体X的一个样本, 下述统计量都可以作 为总体均值μ的估计量
T1 = X; T2 = X1 ; T3 = aiXi ;
其中a i ; i = 1; 2; · · · ; n均已知, 且 a i = 1, 则T1 ; T2 ; T3都是μ的无
偏估计量.
无偏性
x2: 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
例
概率论与数理统计
例
在总体X U(0; θ) 中的参数θ的估计中, 用矩估计法和极大似然 估计发得到θ 的估计量分别为
1 = 2X 和 2 = X(n) = max fX1 ; X2 ; · · · ; Xng,
试验证 1 和 2 是否是θ的无偏估计量.
θ
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θ
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θ
^
θ
^
无偏性
x2: 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
概率论与数理统计
由E(X) = 知
此, 1 = 2X是θ的无偏估计量.
为计算E( 2 ), 我们先求 2 的分布函数
F 2 (x) = P( 2 x) = P(max fX1 ; X2 ; · · · ; Xng x)
= P(X1 x; X2 x; · · · ; Xn x)
= P(X1 x)P(X2 x) · · · P(Xn x)
= (FX(x))n ;
θ
^
θ
^
θ
^
θ
^
θ
^
2
θ
无偏性
E( 1 ) = E ( Xi ) = E(Xi) = θ;
n
2
n
2
θ
^
x2: 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
解
概率论与数理统计
由E(X) = 知
此, 1 = 2X是θ的无偏估计量.
为计算E( 2 ), 我们先求 2 的分布函数
F 2 (x) = P( 2 x) = P(max fX1 ; X2 ; · · · ; Xng x)
= P(X1 x; X2 x; · · · ; Xn x)
= P(X1 x)P(X2 x) · · · P(Xn x)
= (FX(x))n ;
θ
^
θ
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θ
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θ
^
θ
^
2
θ
无偏性
E( 1 ) = E ( Xi ) = E(Xi) = θ;
n
2
n
2
θ
^
x2: 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
解
概率论与数理统计
从而
E( 2 ) = l x · dx = θ:
可见, 2 不是θ的无偏估计量.
θ

θ
0
θ

此, 2 的密度函数为
f (x) =〈 ; 0 < x < θ;
8
2
θ
^
θ

无偏性
x2: 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
解
: 0; 其他.
概率论与数理统计
注
上例中, 虽然 2 不是θ的无偏估计量, 但若令 3 = 2 , 则根据
期望的性质有
E( 3 ) = E( 2 ) = θ:
此, 3 是θ的无偏估计量, 称为是估计量 2 的无偏化.
θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

无偏性
x2: 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
概率论与数理统计
只根据无偏性来评估估计量是不够的 因为虽然E( ) = θ , 但是
若D( ) 很大, 即 对θ的偏离程度很大, 那么这个估计量也不是好
的. 因此, 对于θ的所有无偏估计量而言, 方差越小越好, 这就是有 效性的要求.
θ
^
θ
^
θ
^
有效性
x2: 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
概率论与数理统计
设X1 ; X2 ; · · · ; Xn为取自总体X的一个样本, θ 2 Θ是总体X的分布
中的未知参数, 这里Θ 是θ的取值范围. 假设估计量 1 = 1 (X1 ; X2 ;
· · · ; Xn) 和 2 = 2 (X1 ; X2 ; · · · ; Xn) 都是θ的无偏估计量, 若对于任
意θ 2 Θ有
D( 1 ) D( 2 );
则称 1比 2 有效.
θ
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θ
^
θ
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θ
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θ
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θ
^
θ
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θ
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有效性
x2: 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
定义
概率论与数理统计
例
根据前例在总体X U(0, θ) 中的参数θ的估计中知, 1 = 2X
和 3 = X(n) 都是θ的无偏估计量, 试比较 1 和 3 哪一个更有
效.
θ

θ

θ

θ

有效性
x2 . 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
概率论与数理统计
E( 3 )2 = l x2 · dx = θ2 :
因此
D( 3 ) = θ2 — θ2 = θ2 :
显然 D( 3 ) D( 1 ), 即 3比 1 有效.
θ

θ

θ

θ

θ

θ
0
2
θ

由D(X) = 知D( 1 ) = D(2X) = D(Xi) = :
另一方面
θ

有效性
x2: 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
解
概率论与数理统计
无偏性和有效性都是在样本容量n给定的条件下考虑的, 如果样本 容量越来越大, 样本包含的总体的信息越来越多, 估计量的值应
该越来越接近于未知参数的真实值, 这就是如下的相合性.
x2: 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
概率论与数理统计
设X1 ; X2 ; · · · ; Xn为取自总体X的一个样本, θ 2 Θ是总体X的分布 中的未知参数, 这里Θ 是θ的取值范围. 若对任意θ 2 Θ有,
当n! 1时, 估计量 = (X1 ; X2 ; · · · ; Xn)依概率收敛于θ , 即对任
意" > 0, 有
n P(j — θj < ") = 1;
则称 是θ的相合估计量.
θ
^
θ
^
θ
^
θ
^
相合性
x2: 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
定义
概率论与数理统计
由大数定律可知, 样本矩依概率收敛于总体矩, 因此矩估计量 具有相合性. 极大似然估计量在一定条件下也有相合性.
无偏性、有效性和相合性是常用的三个准则. 相合性准则的 使用, 需要样本容量充分大, 这在实际中是有困难的. 估计量的评 选标准还有很多, 这里就不叙述了.
相合性
x2 . 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
概率论与数理统计
由大数定律可知, 样本矩依概率收敛于总体矩, 因此矩估计量 具有相合性. 极大似然估计量在一定条件下也有相合性.
无偏性、有效性和相合性是常用的三个准则. 相合性准则的 使用, 需要样本容量充分大, 这在实际中是有困难的. 估计量的评 选标准还有很多, 这里就不叙述了.
相合性
x2 . 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性
概率论与数理统计

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