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概率论与数理统计
x3: 抽样分布 基本概念 三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
概率论与数理统计
1 基本概念
2 三大抽样分布
2 分布
t分布
F分布
3 正态总体中的几个抽样分布
x3: 抽样分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
概率论与数理统计
实际问题中, 在使用统计量进行统计推断时, 常常需要知道它的 分布. 当总体的分布函数已知时, 统计量的分布是确定的, 然而要 求出统计量的精确分布, 一般来说是比较困难的. 本节主要介绍 来自正态总体(指该总体服从正态分布)的几个常用统计量的分布.
背景
x3 . 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
概率论与数理统计
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
统计量的分布称为抽样分布.
定义
概率论与数理统计
下面我们首先介绍三个重要的抽样分布, 再考虑正态总体情况下
的一些重要的结论, 这些结论将是后面统计推断的重要理论基础.
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
概率论与数理统计
定义
设X1 ; X2 ; · · · ; Xn是来自总体N(0; 1)的样本, 则称统计量
χ2 = X + X + · · · + X
为服从自由度为n 的χ2 (卡方)分布, 记作χ2 χ2 (n).
n
2
2
2
1
2
(1)
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
概率论与数理统计
注
定义中的自由度指的是(1)式中右端所包含的独立变量的个数.
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
概率论与数理统计
χ2 (n)分布的密度函数f (y)为
y - 1 e-y/2 ; y > 0;
0; 其他.
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
8
f (y) =〈 :
概率论与数理统计
(2)
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
概率论与数理统计
χ2 (n2 ), 并且χ 与χ 相互独立, 则
χ + χ χ2 (n1 + n2 ): (3)
2
2
1
2
2
2
1
2
定理(χ2 分布的可加性)
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
下面介绍两个关于χ2 分布的重要结论.
χ2 (n1 ), χ
2
2
概率论与数理统计
2 1
设χ
χ2 (n2 ), 并且χ 与χ 相互独立, 则
χ + χ χ2 (n1 + n2 ): (3)
2
2
1
2
2
2
1
2
χ2 (n1 ), χ
2
2
2 1
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
下面介绍两个关于χ2 分布的重要结论.
定理(χ2 分布的可加性)
概率论与数理统计
设χ
若χ2 χ2 (n), 则
E(χ2 ) = n; D(χ2 ) = 2n: (4)
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
定理(χ2 分布的期望和方差)
概率论与数理统计
设总体X N(0; 4), X1 ; X2 ; X3 ; X4是来自该总体的一个样本, 若
a(2X1 - X2)2 + b(3X3 + 4X4)2 χ2 (2);
求常数a; b的值.
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
例
概率论与数理统计
N(0; 20); 3X3 + 4X4 N(0; 100), 因此
N(0; 1) ) (2X1 - X2)2 χ2 (1);
N(0; 1) ) (3X3 + 4X4)2 χ2 (1);
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
解
由题意知, 2X1 - X2
2X1 - X2
p20
3X3 + 4X4
p100
概率论与数理统计
故由χ2 分布的可加性及样本的相互独立性有
(2X1 - X2)2 + (3X3 + 4X4)2 χ2 (2);
χ2 分布
t分布
F分布
x3 . 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
解
因此
a = ;
1
.
100
概率论与数理统计
b =
P(χ2 > χ2 (n)) = f (y)dy = α (5)
的数χ2 (n)为χ2 分布的上α分位点.
设χ2 χ2 (n), 其密度函数为f (y), 对于给定的正数α (0 < α < 1), 称满足
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
定义
概率论与数理统计
图5-2中阴影部分的面积即为α , 对不同的α和n, χ2 (n)的值见附录 四.
χ2 分布
t分布
F分布
x3 . 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
概率论与数理统计
为服从自由度为n 的t分布, 又称为学生氏(Student)分布, 记 作t t (n).
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
定义
设随机变量X N(0; 1); Y χ2 (n), 且X与Y独立, 则称随机变量
“Y/n
概率论与数理统计
(6)
t =
X
根据定义可得, t (n)分布的密度函数h(t)为
n+1
h(t) = 1 + ; t 2 R: (7)
- 2
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
概率论与数理统计
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
h(t)的图形如图5-3所示.
概率论与数理统计
可以发现, h(t)的图形关于t = 0对称, 当n充分大时, 其图形类似于 标准正态分布的密度函数的图形. 事实上, 利用Γ 函数的性质可得
n h(t) = e- ; t 2 R. (8)
故当n充分大时, t (n)分布近似于N(0; 1)分布. 但对于较小的n, t (n)分布与N(0; 1)分布的差异还是比较大的.
χ2 分布
t分布
F分布
x3 . 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
概率论与数理统计
设X1 ; X2 ; X3 ; X4 ; X5为来自标准正态总体X N(0; 1)的一组样本,
下列随 量的分布 (2) X2 .
‘X + X + X + X jX1j
5
2
4
2
3
2
2
2
X1
变
2
机
)
求
(1
试
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
例
概率论与数理统计
因此, 再由t分布的定义可得
(1) 2X1 =
‘X + X + X + X
(2) X2 = X2 t (1).
jX1 j ‘X /1
1
2
5
2
4
2
3
2
2
2
由题意知, Xi N(0; 1); i = 1; 2; 3; 4; 5, 且相互独立, 故由χ2 分布
的定义知
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
解
X + X + X + X χ2 (4); X χ2 (1):
1
2
5
2
4
2
3
2
2
2
‘ (X + X + X + X )/4
5
2
4
2
3
2
2
2
概率论与数理统计
t (4);
X1
因此, 再由t分布的定义可得
(1) 2X1 =
‘X + X + X + X
(2) X2 = X2 t (1).
jX1 j ‘X /1
1
2
5
2
4
2
3
2
2
2
由题意知, Xi N(0; 1); i = 1; 2; 3; 4; 5, 且相互独立, 故由χ2 分布
的定义知
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
解
X + X + X + X χ2 (4); X χ2 (1):
1
2
5
2
4
2
3
2
2
2
‘ (X + X + X + X )/4
5
2
4
2
3
2
2
2
概率论与数理统计
t (4);
X1
因此, 再由t分布的定义可得
(1) 2X1 =
‘X + X + X + X
(2) X2 = X2 t (1).
jX1 j ‘X /1
1
2
5
2
4
2
3
2
2
2
由题意知, Xi N(0; 1); i = 1; 2; 3; 4; 5, 且相互独立, 故由χ2 分布
的定义知
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
解
X + X + X + X χ2 (4); X χ2 (1):
1
2
5
2
4
2
3
2
2
2
‘ (X + X + X + X )/4
5
2
4
2
3
2
2
2
概率论与数理统计
t (4);
X1
P(t > t (n)) = l h(t)dt = α (9)
的数t (n)为t (n)分布的上α分位点.
t
设t t (n), 其密度函数为h(t), 对于给定的正数α (0 < α < 1), 称 满足
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
定义
概率论与数理统计
如图5-4中阴影部分的面积即为α , 对不同的α和n, t (n)的值见附 录三. 在n > 45时, 对于常用的α 值, t (n) u , 其中u 为N(0, 1) 分布的上α分位点.
χ2 分布
t分布
F分布
x3 . 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
概率论与数理统计
由t分布上α分位点的定义及h(t)图形的对称性可得
t1 - (n) = -t (n):
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
注
概率论与数理统计
(10)
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
定义
为服从自由度为(n1 ; n2 )的F分布, 记作F F(n1 ; n2 ).
χ2 (n1 ); V χ2 (n2 ), 且U与V相互独立, 则称随机
设随机变量U 变量
U/n1 V/n2
概率论与数理统计
(11)
F =
由F分布的定义可知, 若F F(n1 ; n2 ), 则
F(n2 ; n1 ).
F
1
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
注
概率论与数理统计
(1) 设X1 ; X2 ; X3 ; X4为取自标准正态总体X N(0; 1)的一组样本,
试求 的分布;
(2) 设t t (n), 试求t2 的分布.
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
例
概率论与数理统计
(1) 由题意知
X + X χ2 (2); X + X χ2 (2):
4
2
3
2
2
2
1
2
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
解
(X + X )/2
(X + X )/2
4
2
3
2
2
2
1
2
因此, 根据F分布的定义知
X + X
X + X
4
2
3
2
2
2
1
2
F(2; 2):
概率论与数理统计
=
(2)设t = , 其中Y N(0; 1); Z χ2 (n), 且Y; Z相互独立,
则Y2 χ2 (1), 因此
t2 = F(1; n):
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
解
概率论与数理统计
根据定义, F(n1 ; n2 )分布的密度函数 (y)为
>8 Γ((n1 + n2 )/2)(n1 /n2 y - 1
(y) =〈 Γ(n1 /2)Γ(n2 /2)(1 + n1y/n2 ; y > 0; (> 0; 其他.
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
概率论与数理统计
(12)
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
(y)的图形如图5-5所示.
概率论与数理统计
设F F(n1 ; n2 ), 其密度函数为 (y), 对于给定的正 数α (0 < α < 1), 称满足
P(F > Fα(n1 ; n2 )) = l (y)dy = α
的数Fα(n1 ; n2 )为F(n1 ; n2 )分布的上α分位点.
F
;n2 )
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
定义
概率论与数理统计
(13)
图5-6中阴影部分的面积即为α , 对不同的α和n1 , n2 , F (n1 , n2 )的 值见附录五.
χ2 分布
t分布
F分布
x3 . 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
概率论与数理统计
χ2 分布
t分布
F分布
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
注
F1 - (n1 ; n2 ) = :
由F分布的上α分位点的定义易知
概率论与数理统计
(14)
设X1 ; X2 ; · · · ; Xn为来自正态总体X N(μ; σ2 )的样本, 样本均值与
样本方差分别为
(Xi — X)2 :
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
Xi ;
X =
n — 1
概率论与数理统计
S2 =
1
n
1
设X1 ; X2 ; · · · ; Xn为来自正态总体X 样本方差分别为X; S2 , 则
(1) X N (μ; , 从而
独 n — 1).
(
;
χ2
立
2
互
)S
相
2
1
2
σ
n —
与S
(
X
)
)
3
2
(
(
N(μ; σ2 )的样本, 样本均值与
N(0; 1);
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
定理
概率论与数理统计
设X1 ; X2 ; · · · ; X25为从正态总体N(μ; 100)中抽取的一个样本, S2为 样本方差, 试求S2超过50的概率.
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
例
概率论与数理统计
由定理知 χ2 (n - 1), 即 χ2 (24), 故
P(S2 > 50) = P > 241 050 ) = P(χ2 (24) > 12);
查χ2 分布表得χ :975(24) = 12:401, 因此
P(S2 > 50) > 0:975:
0
2
0
根
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
解
概率论与数理统计
设X1 ; X2 ; · · · ; Xn为来自正态总体X N(μ; σ2 )的样本, 样本均值与
样本方差分别为X; S2 , 则
t (n — 1): (15)
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
定理
概率论与数理统计
证明
由定理及t分布的定义知
t (n - 1).
化简即得(15)式成立.
x3 . 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
概率论与数理统计
Y = Yi分别是这两个样本的样本均值;
S = (Xi — X)2 , S = (Yi — Y)2 分别是这两个
样本的样本方差, 则
2
2
1
2
x3 . 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
定理
设X1 , X2 , · · · , Xn1 与Y1 , Y2 , · · · , Yn2 分别是来自正态总体N(μ1 , σ )
1
2
和N(μ2 , σ )的样本, 且这两个样本相互独立a . 设X =
2
2
a是指随机向量(X1 , X2 , · · · , Xn1 )与(Y1 , Y2 , · · · , Yn2 )相互独立
Xi ,
概率论与数理统计
(1) F(n1 - 1; n2 - 1);
(2) 当σ = σ = σ2 时,
(X - Y) - (μ1 - μ2 )
2
2
1
2
其中 S = ; S! = ‘S .
!
2
!
2
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
定理
S! +
t (n1 + n2 - 2);
概率论与数理统计
(16)
又S ; S 相互独立, 故根据F分布的定义知
F(n1 - 1; n2 - 1);
2
2
1
2
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
证明
(1) 由定理知
(n1 - 1)S2
(n2 - 1)S2
2 2
F(n1 - 1; n2 - 1).
S /S
σ /σ
2
2
1
2
2
2
1
2
χ2 (n1 - 1);
χ2 (n2 - 1):
概率论与数理统计
此即
2 1
σ
σ
2
1
(2) 由定理知
X N (μ 1 ; ; Y N (μ2 ; :
又X; Y相互独立, 故
X - Y N (μ 1 - μ2 ; + ;
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
证明
概率论与数理统计
且它们相互独立, 故由χ2 分布的可加性知
V = + χ2 (n1 + n2 - 2):
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
证明
再由定理知
(n1 - 1)S2
从而有
U =
(n2 - 1)S2
σ2
(X - Y) - (μ1 - μ2 )
σ +
χ2 (n1 - 1);
χ2 (n2 - 1);
N(0; 1):
概率论与数理统计
σ2
2
1
x3: 抽样分布
基本概念
三大抽样分布 正态总体中的几个抽样分布
证明
‘V/(n1 + n2 - 2)
结论得证.
从而根据t分布的定义知
S! +
(X - Y) - (μ1 - μ2 )
t (n1 + n2 - 2):
概率论与数理统计
U
=

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