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概率论与数理统计
x3: 区间估计
背景和概念 求置信区间的ò般步骤
概率论与数理统计
1 背景和概念
2 求置信区间的ò般步骤
x3: 区间估计
x3: 区间估计
背景和概念 求置信区间的ò般步骤
概率论与数理统计
点估计是用一个具体的数值去估计未知参数, 而对于一个未知量, 人们在测量或者计算的时候, 有时常不以得到近似值为满足, 还 需要反映这种近似值的精确度. 比如, 在测量一个物体的长度, 不 仅要关注长度的值, 有时我们更关注于控制测量的误差. 在数理 统计中, 我们希望给出一个范围, 并希望知道这个范围包含参数θ 真实值的可信程度. 这种形式的估计称为区间估计. 这一类带有 一定概率的区间, 以后称作置信区间. 首先我们给出置信区间的 定义如下.
背景和概念
x3 . 区间估计
背景和概念 求置信区间的一般步骤
概率论与数理统计
设总体X的分布中含有一个未知参数θ , θ 2 Θ (Θ是θ可能取值的 范围), X1 , X2 , · · · , Xn为取自总体X的一个样本. 若对于给定
的α (0 < α < 1), 存在两个统计量θ = θ (X1 , X2 , · · · , Xn)
和θ = θ(X1 , X2 , · · · , Xn), 使得
P(θ (X1 , X2 , · · · , Xn) < θ < θ(X1 , X2 , · · · , Xn)) ≥ 1 — α, (1)
则称随机区间(θ , θ )是参数θ的置信水平为1 — α的置信区间, θ和θ 分别称为置信水平为1 — α的双侧置信区间的置信下限和置信上 限, 1 — α称为置信水平或置信度.
背景和概念
x3 . 区间估计
背景和概念 求置信区间的一般步骤
定义
概率论与数理统计
上述定义中(1)式中的概率“ ≥ 1 — α"通常取“= 1 — α"J 写“ ≥" 的原
因是在某些离散型总体中J 有时取不到等号J 我们只能取大
于1 — α 且最接近于1 — α 的概率. (1)式的意义是指在重复抽样 下J 将得到许多不同的区间
(θ (x1 , x2 , · · · , xn), θ (x1 , x2 , · · · , xn)),
根据大数定律J 这些区间中大约有100(1 — α)% 的区间包含未知 参数. 但对于一次抽样所得到的一个区间J 决不能说
“θ (x1 , x2 , · · · , xn) < θ < θ (x1 , x2 , · · · , xn)成立的概率为1 — α". 因为这时θ (x1 , x2 , · · · , xn)和θ(x1 , x2 , · · · , xn)是两个确定的数J 从而 只有两种可能J 要么这个区间包含θ的真实值J 要么这个区间不包 含θ的真实值J 不存在概率一说.
背景和概念
x3 . 区间估计
背景和概念 求置信区间的一般步骤
注
概率论与数理统计
在对参数θ做区间估计时, 常常提出以下两个要求:
(1) 可信度高, 即随机区间(θ ; θ )要以很大的概率包含真实值θ , 即α取得很小.
(2) 估计精度高, 即要求区间的长度θ - θ尽可能小, 或某种能体现 这一要求的其他准则.
背景和概念
x3: 区间估计
背景和概念 求置信区间的一般步骤
说明
概率论与数理统计
在对参数θ做区间估计时, 常常提出以下两个要求:
(1) 可信度高, 即随机区间(θ ; θ )要以很大的概率包含真实值θ , 即α取得很小.
(2) 估计精度高, 即要求区间的长度θ - θ尽可能小, 或某种能体现 这一要求的其他准则.
背景和概念
x3: 区间估计
背景和概念 求置信区间的一般步骤
说明
概率论与数理统计
在对参数θ做区间估计时, 常常提出以下两个要求:
(1) 可信度高, 即随机区间(θ ; θ )要以很大的概率包含真实值θ , 即α取得很小.
(2) 估计精度高, 即要求区间的长度θ - θ尽可能小, 或某种能体现 这一要求的其他准则.
背景和概念
x3: 区间估计
背景和概念 求置信区间的一般步骤
说明
概率论与数理统计
设轴承内环的锻压零件的平均高度X服从正态分布N(μ; 0.42). 现 从中抽取20只内环, 测得其平均高度x = 32.3mm. 求内环平均高 度μ 的置信水平为95%的置信区间.
那么, 在实际问题中, 如何寻求置信区间呢 我们通过如下的例子
来说明求置信区间的一般步骤.
例
x3 . 区间估计
背景和概念 求置信区间的一般步骤
概率论与数理统计
设轴承内环的锻压零件的平均高度X服从正态分布N(μ; 0.42). 现 从中抽取20只内环, 测得其平均高度x = 32.3mm. 求内环平均高 度μ 的置信水平为95%的置信区间.
那么, 在实际问题中, 如何寻求置信区间呢 我们通过如下的例子 来说明求置信区间的一般步骤.
x3 . 区间估计
背景和概念 求置信区间的一般步骤
例
概率论与数理统计
根据标准正态分布分位点的定义知
P { = 1 - α;
我们知道样本均值X是总体均值μ的无偏估计量, X 的取值比较集 中于μ 附近. 由于
x3 . 区间估计
背景和概念 求置信区间的一般步骤
解
N(0; 1); 其中σ = 0.4;
σ/pn
X - μ
概率论与数理统计
(2)
此即
P {X - < μ < X + = 1 - α;
水平为1 - α的一个置信区间
（X - ; X + ） : (3)
x3: 区间估计
背景和概念 求置信区间的一般步骤
解
概率论与数理统计
这里1 - α = 0:95; α = 0:05; = 0:025. 查标准正态分布表得
到u0:025 = 1:96. 将x = 32:3; σ = 0:4; n = 20代入(3)式得
x - u0:025 = 32:12;
x + u0:025 = 32:48;
所以μ的一个置信区间为(32:12; 32:48).
x3: 区间估计
背景和概念 求置信区间的一般步骤
解
概率论与数理统计
由此我们给出求未知参数θ的置信区间的一般步骤:
(1) 寻求一个样本X1 , X2 , · · · , Xn和θ的函数W = W(X1 , · · · , Xn; θ), 使得W 的分布不依赖于θ及其他未知参数, 称具有这种性质的函 数W为枢轴量;
(2) 对于给定的置信水平1 — α , 选取两个常数a, b, 使得 P(a < W(X1 , X2 , · · · , Xn; θ) < b) = 1 — α;
(3) 若能从a < W(X1 , X2 , · · · , Xn; θ) < b得到与之等价的不等
式θ < θ < θ , 其中θ = θ (X1 , X2 , · · · , Xn), θ = θ(X1 , X2 , · · · , Xn)都 是统计量, 则区间(θ , θ)就是θ的一个置信水平为1 — α的置信区间.
x3 . 区间估计
背景和概念 求置信区间的一般步骤
注
概率论与数理统计
由此我们给出求未知参数θ的置信区间的一般步骤:
(1) 寻求一个样本X1 , X2 , · · · , Xn和θ的函数W = W(X1 , · · · , Xn; θ), 使得W 的分布不依赖于θ及其他未知参数, 称具有这种性质的函 数W为枢轴量;
(2) 对于给定的置信水平1 — α , 选取两个常数a, b, 使得 P(a < W(X1 , X2 , · · · , Xn; θ) < b) = 1 — α;
(3) 若能从a < W(X1 , X2 , · · · , Xn; θ) < b得到与之等价的不等
式θ < θ < θ , 其中θ = θ (X1 , X2 , · · · , Xn), θ = θ(X1 , X2 , · · · , Xn)都 是统计量, 则区间(θ , θ)就是θ的一个置信水平为1 — α的置信区间.
x3 . 区间估计
背景和概念 求置信区间的一般步骤
注
概率论与数理统计
由此我们给出求未知参数θ的置信区间的一般步骤:
(1) 寻求一个样本X1 , X2 , · · · , Xn和θ的函数W = W(X1 , · · · , Xn; θ), 使得W 的分布不依赖于θ及其他未知参数, 称具有这种性质的函 数W为枢轴量;
(2) 对于给定的置信水平1 — α , 选取两个常数a, b, 使得 P(a < W(X1 , X2 , · · · , Xn; θ) < b) = 1 — α;
(3) 若能从a < W(X1 , X2 , · · · , Xn; θ) < b得到与之等价的不等
式θ < θ < θ , 其中θ = θ (X1 , X2 , · · · , Xn), θ = θ(X1 , X2 , · · · , Xn)都 是统计量, 则区间(θ , θ)就是θ的一个置信水平为1 — α的置信区间.
x3 . 区间估计
背景和概念 求置信区间的一般步骤
注
概率论与数理统计
由此我们给出求未知参数θ的置信区间的一般步骤:
(1) 寻求一个样本X1 , X2 , · · · , Xn和θ的函数W = W(X1 , · · · , Xn; θ), 使得W 的分布不依赖于θ及其他未知参数, 称具有这种性质的函 数W为枢轴量;
(2) 对于给定的置信水平1 — α , 选取两个常数a, b, 使得 P(a < W(X1 , X2 , · · · , Xn; θ) < b) = 1 — α;
(3) 若能从a < W(X1 , X2 , · · · , Xn; θ) < b得到与之等价的不等
式θ < θ < θ , 其中θ = θ (X1 , X2 , · · · , Xn), θ = θ(X1 , X2 , · · · , Xn)都 是统计量, 则区间(θ , θ)就是θ的一个置信水平为1 — α的置信区间.
x3 . 区间估计
背景和概念 求置信区间的一般步骤
注
概率论与数理统计
需要注意的是, 满足同一置信水平的置信区间可能有很多个, 比 如在该例中, 我们求出了未知参数μ的置信水平为0.95的一个置信 区间为
（X - 1.96 ; X + 1.96 . (4)
事实上, 对任意0 < α1 ; α2 < 1, 满足α1 + α2 = 0.05, u 1 和u 2 分 别是标准正态分布的上α1 分位点和上α2 分位点, 则区间
（X - u 1 ; X + u 2 )
都是μ的置信水平为0.95的置信区间.
x3 . 区间估计
背景和概念 求置信区间的一般步骤
说明
概率论与数理统计
例如, 取α1 = 0:02; α2 = 0:03, 得置信区间为
（X - 2:06 ; X + 1:88 : (5)
x3: 区间估计
背景和概念 求置信区间的ò般步骤
说明
概率论与数理统计
一般来说, 若枢轴量的分布是对称的、单峰的, 那么关于峰点对 称的置信区间的长度最短, 所以在该例中, 区间(4)的长度最短, 精 确度最好.
而区间(5)的长度为
(1.88 + 2.06) = 3.94 > 3.92 .
那么, 在这众多的区间中, 我们应该选择哪个呢 根据给置信区间 的准则, 希望得到的区间的长度越短越好, 长度越短, 精确度越高.
x3 . 区间估计
背景和概念 求置信区间的一般步骤
说明
上述区间(4)的长度为 2
1.96 σ
pn = 3.92
σ pn ;
概率论与数理统计

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