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概率论与数理统计
x1: 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
x1: 参数假设检验问题概述
x1:参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
统计推断的另一类重要的问题是假设检验问题. 当总体的分布完 全未知J 或知道其类型J 但不知其某些参数时J 为推断总体的某些 性质J 提出某种关于总体分布或其参数的假设J 通过抽取的样本J 运用适当的统计学方法J 对所提出的假设作出判断J 是接受或拒 绝. 统计学中将对分布的假设检验称为非参数检验J 对参数的假 设检验称为参数假设检验. 本章主要介绍参数假设检验的基本知 识.
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
某车间用一台包装机包装白砂糖J 袋装白砂糖的重量(单位: kg)是 一个随机变量J 根据经验知它服从正态分布N(μ; σ2 ). 当机器正常 时J 其均值μ = 0.5J 标准差σ = 0.015. 某日开工后为检验包装机 工作是否正常J 随机地抽取它所包装的糖9袋J 称得净重为
0.494; 0.523; 0.515; 0.514; 0.508;
0.516; 0.511; 0.516; 0.492
长期实践表明J 标准差不变J 问机器这一天工作是否正常
我们结合一个具体的例子来说明假设检验的基本思想和方法.
例
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
某车间用一台包装机包装白砂糖J 袋装白砂糖的重量(单位: kg)是 一个随机变量J 根据经验知它服从正态分布N(μ; σ2 ). 当机器正常 时J 其均值μ = 0.5J 标准差σ = 0.015. 某日开工后为检验包装机 工作是否正常J 随机地抽取它所包装的糖9袋J 称得净重为
0.494; 0.523; 0.515; 0.514; 0.508;
0.516; 0.511; 0.516; 0.492
长期实践表明J 标准差不变J 问机器这一天工作是否正常
我们结合一个具体的例子来说明假设检验的基本思想和方法.
例
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
在假设检验问题中, 我们把任何一个有关总体未知信息的假设称 为统计假设, 简称假设. 通常把待检验的假设称为原假设或零假 设, 记作H0; 与之对立的假设则称为备择假设或对立假设, 记
作H1 .
思路和方法
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
由题意知, 当日袋装糖重量X的分布服从N(μ; 0.0152), 所关注的问 题即为考虑当日袋装糖重量的均值是否是0.5 若是, 则机器正常, 否则就不正常. 据此, 我们提出假设
H0 : μ = 0.5; H1 : μ 0.5. (1)
第一步
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
U := X - 0.5 N(0; 1). (2)
我们用U的取值来衡量 本均值X与总体均值0.5之间的差异,
称U为检验统计量.
样
.
选取合适的统计量. 由于样本均值X是总体均值μ的无偏估计量, 若H0 成立, 即机器工作正常, 则当日袋装糖重量的分布服
从N(0.5; 0.0152), 从而样本均值X 与总体均值0.5之间的差异应该
- 0.5|是一个不大的数, 从而 也
不大, 即当H0成立时, |X
是一个不大的数. 由于
X
即有
第二步
N（0.5; ;
x1 . 参数假设检验问题概述
0 015/pn
概率论与数理统计
在介绍第三步之前, 我们先回顾一下第一章中所介绍的实际推断 原理, 又称为小概率原理. 即: 概率很小的事件在一次试验中实 际上几乎是不发生的.
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
根据第二步的统计量, 结合小概率原理, 构造一个拒绝域. 对于给 定的正数α (0 < α < 1), α通常取得很小, 比如0.025; 0.05; 0.01; 0. 1等, 称为检验的显著性水平. 这里取α = 0.05. 由第二步知,
当H0成立时, |U|的取值应该不大, 这意味着若|U| 的取值超过一 定的值的话就不正常了. 根据(2)式即标准正态分布上α分位点的 定义知
P（|U| ≥ uα/2) = P ( ≥ u0.025 ) = α = 0.05; (3)
其中u0.025 = 1.96是标准正态分布的上0.025分位点.
第三步
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
显然, 事件{ |U| = ≥ u0.025 } 是一个小概率事件. 若
根据样本的观测值得到
≥ u0.025
成立, 即该小概率事件在一次试验中居然发生了, 这违背了小概 率原理, 出现这种状况的原因是我们前面假设了H0成立. 因此, 我 们拒绝H0; 否则, 没有理由拒绝H0 , 就只能接受H0 .
第三步
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
· · · ; xn) : ≥ u0:025 }
· · ; xn) : jx — 0:5j ≥ u0:025 }
称
{(x ; x ;
或
{(x ; x ; ·
为H0的拒绝域.
2
1
2
1
第三步
x1: 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
根据样本观测值来计算第二步中统计量的值, 对第一步中提出的 假设(1) 作出最终的判断. 由该日抽取的9包袋装糖测得x = 0.51, 这里n = 9, 代入计算得
juj = ' 0.51 - 0.5 ' = 2.
根据第三步中的拒绝域, 由于juj = 2 > 1.96, 即样本观测值落入 了拒绝域, 故拒绝H0 , 即该日包装机的工作不正常.
第四步
x1 . 参数假设检验问题概述
' 0.015/p9 '
概率论与数理统计
综上所述J 可得处理参数假设检验问题的一般步骤:
(1) 根据具体的问题J 提出原假设H0和备择假设H1;
(2) 选取检验统计量;
(3) 利用小概率原理确定拒绝域;
(4) 根据样本观测值J 判断其是否属于拒绝域J 作出判断J 是接 受H0 J 还是拒绝H0 .
注
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
综上所述J 可得处理参数假设检验问题的一般步骤:
(1) 根据具体的问题J 提出原假设H0和备择假设H1;
(2) 选取检验统计量;
(3) 利用小概率原理确定拒绝域;
(4) 根据样本观测值J 判断其是否属于拒绝域J 作出判断J 是接 受H0 J 还是拒绝H0 .
注
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
综上所述J 可得处理参数假设检验问题的一般步骤:
(1) 根据具体的问题J 提出原假设H0和备择假设H1;
(2) 选取检验统计量;
(3) 利用小概率原理确定拒绝域;
(4) 根据样本观测值J 判断其是否属于拒绝域J 作出判断J 是接 受H0 J 还是拒绝H0 .
注
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
综上所述J 可得处理参数假设检验问题的一般步骤:
(1) 根据具体的问题J 提出原假设H0和备择假设H1;
(2) 选取检验统计量;
(3) 利用小概率原理确定拒绝域;
(4) 根据样本观测值J 判断其是否属于拒绝域J 作出判断J 是接 受H0 J 还是拒绝H0 .
注
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
综上所述J 可得处理参数假设检验问题的一般步骤:
(1) 根据具体的问题J 提出原假设H0和备择假设H1;
(2) 选取检验统计量;
(3) 利用小概率原理确定拒绝域;
(4) 根据样本观测值J 判断其是否属于拒绝域J 作出判断J 是接 受H0 J 还是拒绝H0 .
注
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
数据同前例, 问总体的均值μ是否明显变大, 即是否大于0.5 取显 著性水平α = 0.01.
例
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
此问题的合理假设为
H0 : μ = μ0 = 0.5; H1 : μ > 0.5.
称该类检验为单侧检验问题. 相应地J 前例中(1) 式称为双侧检验 问题. 在前例中J 拒绝H0时接受的是H1 : μ 0.5. 在统计学中J 只 有当x与0.5的偏差达到一定程度时才可认为μ 0.5. 两个数的偏 差用其差的绝对值来衡量J 因而J 其拒绝域为
|x - 0.5| ≥
比较合理. 在本例中J 拒绝H0时接受的是H1 : μ > 0.5J 因而J H0的 拒绝域取为x - 0.5 ≥ d比较合理J 其中d 为待定常数.
分析
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
P (U ≥ u0.01 ) = P ≥ u0.01 ) = 0.01
x - 0.5 ≥ u0.01 .
由于u0.01 = 2.33, 又u = = 2, 因此, u < u0.01 , 所以样本观
测值没有落入拒绝域, 故只能接受H0 .
解
x1 . 参数假设检验问题概述
在H0成立的条件下, U =
即得拒绝域为
N(0; 1), 根据
σ/pn
概率论与数理统计
X - 0.5
由于检验法则给出拒绝域是根据样本作出的, 总有可能作出错误 的决策. 比如, 在H0实际上为真时, 但样本观测值却落入拒绝域, 此时作出的判断是拒绝H0 , 称这类“弃真"的错误为犯第I 类错误, 显然犯第I类错误的概率即为显著性水平α; 在H0实际上不真时, 但样本观测值却没有落入拒绝域, 此时不能拒绝H0 , 称这类“取
伪"的错误为犯第II 类错误, 记犯第II类错误的概率为β .
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
对给定的一对假设H0和H1 , 从上面的例子可以看成, 其实可以找 出许多拒绝域. 当然, 我们希望找到这种拒绝域, 使得犯两类错误 的概率α和β 都很小. 但是, 在样本容量n固定时, 要使α和β都很小 是不可能的, 除非让样本容量n增大, 但这又是不实际的. 基于这 种情况, Neyman-Pearson 提出一个原则: 即在控制犯第I类错误 的概率α的条件下, 尽量使犯第II类错误的概率β小, 因为人们常 常把拒绝H0 比错误地接受H0看得更重要一些. 但有时上述的检 验原则很难找到, 甚至可能不存在. 这时, 不得不降低要求. 我们 只对犯第I类错误的概率α加以限制, 而不考虑犯第II类错误的概 率. 这种统计假设检验问题称为显著性检验.
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
参数假设检验的关键是, 在假设H0成立的条件下找拒绝域, 拒绝 域是通过一个小概率事件得到的, 一旦抽样的结果落入拒绝域, 就否定原假设H0 . 而参数的区间估计是找一个随机区间, 使得随 机区间包含待估参数是一个大概率的事件.
本节最后, 我们简单介绍一下参数假设检验与前一章的区间估计 之间的关系.
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
参数假设检验的关键是, 在假设H0成立的条件下找拒绝域, 拒绝 域是通过一个小概率事件得到的, 一旦抽样的结果落入拒绝域, 就否定原假设H0 . 而参数的区间估计是找一个随机区间, 使得随 机区间包含待估参数是一个大概率的事件.
本节最后, 我们简单介绍一下参数假设检验与前一章的区间估计 之间的关系.
x1 . 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
比如, 设总体X N(μ; σ2 ), 其中σ > 0已知, X1 ; X2 ; · · · ; Xn是取 值X的一个样本, x1 ; x2 ; · · · ; xn是该样本的一组观测值, 样本均值 为x, 则参数μ的置信水平为1 — α的置信区间为
(x — u /2 ; x + u /2) .
假设检验问题 H0 : μ = μ0 ; H1 : μ μ0 的拒绝域为
|x — μ0 | ≥ σ u
接受域为|x — μ0 | < u /2 , 即当μ0 2（x — /2 ; x + u /2)
时, 接受H0 ; 而此区间正是μ的置信水平为1 — α的置信区间.
x1 . 参数假设检验问题概述
pn /2 ;
概率论与数理统计
在置信区间中, 我们介绍过单侧置信区间, 结合上面两个例的拒 绝域及上述双侧置信区间与双侧检验的拒绝域之间的关系, 类似 地可以得到假设
H0 : μ = μ0 = 0.5; H1 : μ < 0.5
x - μ0 - σ u
x1 . 参数假设检验问题概述
的拒绝域为
pn .
概率论与数理统计
这里需要说明的是:
(1) 假设
H0 : μ = μ0 ; H1 : μ > μ0
的拒绝域与假设
H0 : μ 三 μ0 ; H1 : μ > μ0
的拒绝域相同. (称该问题为右侧检验问题)
注
x1: 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
这里需要说明的是:
(1) 假设
H0 : μ = μ0 ; H1 : μ > μ0
的拒绝域与假设
H0 : μ 三 μ0 ; H1 : μ > μ0
的拒绝域相同. (称该问题为右侧检验问题)
注
x1: 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
(2) 假设
H0 : μ = μ0 ; H1 : μ < μ0
的拒绝域与假设
H0 : μ μ0 ; H1 : μ < μ0
的拒绝域相同. (称该问题为左侧检验问题)
读者可参考上述例子推导出这些结论或参考相关文献.
注
x1: 参数假设检验问题概述
概率论与数理统计
(2) 假设
H0 : μ = μ0 ; H1 : μ < μ0
的拒绝域与假设
H0 : μ μ0 ; H1 : μ < μ0
的拒绝域相同. (称该问题为左侧检验问题)
读者可参考上述例子推导出这些结论或参考相关文献.
注
x1: 参数假设检验问题概述
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