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(共19张PPT)
概率论与数理统计
x2: 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
概率论与数理统计
单正态总体均值的检验
σ2 已知.
σ2 未知.
双正态总体均值之差的检验
σ21; σ22 均已知.
σ21; σ22 均未知, 但相等.
x2: 正态总体均值的检验
x2: 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
概率论与数理统计
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设总体X N(μ; σ2 ), X1 ; X2 ; · · · ; Xn为取自X的一组样本, 给定显
著性水平为α (0 < α < 1), 检验假设:
H0 : μ = μ0 ; H1 : μ μ0 : (1)
x2: 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
σ2 已知.
σ2 未知.
概率论与数理统计
在§7. 1中J 为检验假设(1)J 我们选取检验统计量U = X - μ0
在H0成立的条件下J U N(0; 1)J 因此J .
这种检验方法称为U检验法.
x2 . 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
σ2 已知.
σ2 未知.
σ/√n J
概率论与数理统计
由于σ2 未知J 现在不能使用U = 来确定拒绝域了. 注意
到S2是σ2 的无偏估计量J 因此J 采用
X - μ0
t =
作为检验统计量.
x2 . 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
σ2 已知.
σ2 未知.
S/^n
概率论与数理统计
对于给定的显著性水平α , 由
P(|t - 1)) = P ( - 1)) = α;
即得拒绝域为
| t | = - 1).
在H0成立时, 有
t = t (n - 1).
x2 . 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
σ2 已知.
σ2 未知.
概率论与数理统计
(2)
x2: 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
σ2 已知.
σ2 未知.
类似地, 可以给出假设H0 : μ = μ0 , H1 : μ > μ0 的拒绝域为
t = -t (n - 1).
这种利用服从t分布的检验统计量得出的检验法称为t检验法.
t = ≥ t (n - 1).
假设H0 : μ = μ0 , H1 : μ < μ0 的拒绝域为
(3)
(4)
概率论与数理统计
用某种仪器间接测量某物体的硬度J 重复测量了5次J 所得数据 为：
175; 173; 178; 174; 176.
而用别的精确方法测量得该物体的硬度为179(可看作硬度的真 值)J 设仪器测量值服从正态分布J 问此种仪器测量的硬度是否显 著低于真值(显著性水平α = 0.05)
x2 . 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
σ2 已知.
σ2 未知.
例
概率论与数理统计
问题归结为检验假设:
H0 : μ = 179; H1 : μ < 179.
由于总体方差σ2 未知J 故检验的拒绝域为(4)式J 这里n = 5. 经计 算得样本均值及样本标准差分别为x = 175.2; s = 1.923J 查t 分布 表得t0 .05 (4) = 2.1318. 故检验统计量的观测值
t = 175.2 - 179 = -4.4106 < t0 .05 (4) = -2.1318.
1.923/^5
所以拒绝H0 ，即认为此种仪器测量的硬度显著低于真值.
x2 . 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
σ2 已知.
σ2 未知.
解
概率论与数理统计
设总体X N(μ1 ; σ ); Y N(μ2 ; σ ), X1 ; X2 ; · · · ; Xn1 和Y1 ; Y2 ;
· · · ; Yn2 分别是取自X和Y的样本, 且这两组样本相互独立, X; Y 分
别是样本均值, S ; S 分别是样本方差. 给定显著性水平为α (0 < α < 1), 检验假设:
H0 : μ1 = μ2 ; H1 : μ1 μ2 : (5)
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x2: 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
σ ; σ 均已知.
σ ; σ 均未知, 但相等.
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概率论与数理统计
类似于单正态总体的对应情况, 我们选取检验统计
+ , 在H0 成立的条件下, U N(0; 1), 因此, 给出
' J
.
'
Y
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n
σ
域
=
绝
U
拒
量
x2 . 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
σ ; σ 均已知.
σ ; σ 均未知, 但相等.
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+
〈
( '
x - y
概率论与数理统计
（ '
(6)
由于此时σ = σ = σ2 未知, 用S ; S 分别代替σ ; σ . 采用
X - Y
t =
S! +
作为检验统计量, 其中S! = .
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x2: 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
σ ; σ 均已知.
σ ; σ 均未知, 但相等.
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概率论与数理统计
在H0成立时,
t =
S! +
x2: 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
σ ; σ 均已知.
σ ; σ 均未知, 但相等.
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t (n1 + n2 - 2):
概率论与数理统计
X - Y
对于给定的显著性水平α , 由
P(j tj ≥ t 1 +n2 -2)) = P 1 + n2 - 2) = α;
即得拒绝域为
j tj = 1 + n2 - 2) . (7)
x2 . 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
σ ; σ 均已知.
σ ; σ 均未知, 但相等.
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概率论与数理统计
类似地, 可以给出假设H0 : μ1 μ2 ; H1 : μ1 > μ2 的拒绝域为
〈(t = s! + 1 + n2 - 2)){ .
假设H0 : μ1 ≥ μ2 ; H1 : μ1 < μ2 的拒绝域为
! 〈 t = ( x - y s! +
J
-tα(n1 + n2 - 2) { .
)
x2 . 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
σ ; σ 均已知.
σ ; σ 均未知, 但相等.
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! x - y J
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概率论与数理统计
已知全国高校男生百米跑成绩服从正态分布N(14.5; 0.722)J 从X; Y 两所高校分别选取了13 和11名男生测试百米跑成绩(单位: s)J 得样本均值分别为x = 14. 1 和y = 14.7J 样本标准差分别
为s1 = 0.548和s2 = 0.511. 取显著性水平为α = 0.05J 试在下列两 种情况下判断这两所高校男生百米跑成绩有无显著差异:
(1) 方差均不变J 即与全国此项成绩的方差0.722相同; (2) 方差均未知J 但相等.
x2 . 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
σ ; σ 均已知.
σ ; σ 均未知J 但相等.
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例
概率论与数理统计
得
juj = = 2.03 > u0.025 = 1.96.
由题意知, 要检验假设:
H0 : μ1 = μ2 ; H1 : μ1 μ2 .
(1) 此时两总体方差均已知, 且σ = σ = 0.722 , 因此拒绝域为(6).
将x = 14.1, y = 14.7, n1 = 13, n2 = 11, σ 1 = σ2 = 0.72 代入计算
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x2 . 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
σ ; σ 均已知.
σ ; σ 均未知, 但相等.
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解
因此, 拒绝H0 , 即认为两高校男生百米跑成绩有显著差异.
概率论与数理统计
得
juj = = 2.03 > u0.025 = 1.96.
(1) 此时两总体方差均已知, 且σ = σ = 0.722 , 因此拒绝域为(6).
将x = 14.1, y = 14.7, n1 = 13, n2 = 11, σ 1 = σ2 = 0.72 代入计算
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由题意知, 要检验假设:
H0 : μ1 = μ2 ; H1 : μ1 μ2 .
x2 . 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
σ ; σ 均已知.
σ ; σ 均未知, 但相等.
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解
因此, 拒绝H0 , 即认为两高校男生百米跑成绩有显著差异.
概率论与数理统计
(2) 此时两总体方差均未知, 但σ = σ , 因此拒绝域为(7).
将x = 14.1, y = 14.7, n1 = 13, n2 = 11, s1 = 0.548, s2 = 0.511 代 入计算得
j tj = ' x - y ' = 2.75 > t0 .025 (22) = 2.0739. ' s! +
因此, 拒绝H0 , 即同样认为两高校男生百米跑成绩有显著差异.
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x2 . 正态总体均值的检验
单正态总体均值的检验 双正态总体均值之差的检验
σ ; σ 均已知.
σ ; σ 均未知, 但相等.
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解
概率论与数理统计

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