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(共35张PPT)
概率论与数理统计
x2: 随机事件的概率 频率 概率的定义 概率的性质 古典概型
1 背景
2 随机试验
3 样本空间与随机事件
x1:随机事件
x1: 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
自然界和人类社会生活中发生的现象多种多样, 主要有两类: 一 类是必然现象, 它在一定条件下必然发生. 例如, 树上的苹果熟透 后必然落下, 同性电荷必相互排斥, 等等. 另一类是随机现象, 这 类现象在一定条件下, 可能出现这样的结果, 也可能出现那样的 结果, 而在试验或观察前不能预知确切的结果. 例如, 抛一枚硬币, 可能出现正面, 也可能出现反面; 抛一枚散子, 可能出现1; 2; · · · ; 6 点; 110报警台一天中说不定会接到多少次报警电话; 等等.
背景
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
在随机现象中, 有这样的一类, 其试验的结果在个别试验中呈现 不确定性, 但在大量重复试验中其结果又具有某种规律性. 例如, 多次重复抛一枚硬币, 得到正面向上的次数与反面向上的次数大 致相同, 等等. 这种在大量重复试验或观察中所呈现的固有规律 性, 就是我们以后所说的统计规律性. 那出现这种结果的原因是 什么呢 等等.
背景
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
通常将满足上述条件的试验称为随机试验. 简称试验. 常用字 母E表示. 若无特殊声明, 以后所说的试验均指随机试验.
2. 试验的所有可能结果不止一个, 且在试验前能明确其所有可能 的结果;
3.每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个, 但在试验之前 不能确定会出现哪一个结果.
随机试验的概念
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
1.试验可以在相同的条件下重复进行;
通常将满足上述条件的试验称为随机试验. 简称试验. 常用字 母E表示. 若无特殊声明, 以后所说的试验均指随机试验.
2. 试验的所有可能结果不止一个, 且在试验前能明确其所有可能 的结果;
3.每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个, 但在试验之前 不能确定会出现哪一个结果.
随机试验的概念
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
1.试验可以在相同的条件下重复进行;
通常将满足上述条件的试验称为随机试验. 简称试验. 常用字 母E表示. 若无特殊声明, 以后所说的试验均指随机试验.
2. 试验的所有可能结果不止一个, 且在试验前能明确其所有可能 的结果;
3.每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个, 但在试验之前 不能确定会出现哪一个结果.
随机试验的概念
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
1.试验可以在相同的条件下重复进行;
通常将满足上述条件的试验称为随机试验. 简称试验. 常用字 母E表示. 若无特殊声明, 以后所说的试验均指随机试验.
2. 试验的所有可能结果不止一个, 且在试验前能明确其所有可能 的结果;
3.每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个, 但在试验之前 不能确定会出现哪一个结果.
随机试验的概念
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
1.试验可以在相同的条件下重复进行;
E1: 抛一枚散子, 观察出现的点数;
E2: 抛一枚硬币, 观察正反面出现的情况;
E3: 某公交站台的候车人数;
E4: 在一批灯泡中任取一只, 测试其使用寿命.
随机试验
x1: 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
一些随机试验的例子
定义
将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间, 记作S. 试验E的每一个结果, 即S 中的元素称为样本点, 常用e表 示.
易知, 上 试验的样本空间分别为:
S1: f1; 2; 3; 4; 5; 6g;
S2: {正面, 反面}:
S3: f0; 1; 2; 3; · · · g;
S4: ft jt ≥ 0g.
样本空间
x1: 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
定义
将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间, 记作S. 试验E的每一个结果, 即S 中的元素称为样本点, 常用e表 示.
易知, 上 试验的样本空间分别为:
S1: f1; 2; 3; 4; 5; 6g;
S2: {正面, 反面}:
S3: f0; 1; 2; 3; · · · g;
S4: ft jt ≥ 0g.
样本空间
x1: 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
可以看到, 样本空间的元素各种各样, 有些能用数字表示, 有些只 能文字叙述; 有些元素的个数只有有限个, 有些元素的个数无限, 无限又有可数无限和不可数无限等等.
样本空间
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
公交公司在设计发车间隔时间的时候, 会考虑站台候车的人数, 比如, 候车人数不超过10人时, 间隔10分钟发车; 候车人数
在11 — 20之间的时候间隔5 分钟等等. 这里候车人数不超过10人 其实是考虑了候车人数属于集合{0; 1; · · · ; 10}, 候车人数
在11 — 20之间是候车人数属于集合{11; 12; · · · ; 20}. 上述两个集 合, 是实际生活中所关注的一些结果, 其本质上是样本空间S的子 集.
随机事件
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
定义
一般地, 我们将试验E的样本空间S的子集称为E的随机事件, 简称 为事件, 通常用大写字母A; B; C; · · · 等表示. 特别地, 单点集称为 基本事件.
设A为一个事件, 在一次试验中, 若试验的结果属于A, 则称事 件A在这次试验中发生了.
随机事件
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
例
在E3中, 设事件A1: 候车人数不超过10人, 即A1 = {0; 1; · · · ; 10}. 若在某时刻观察候车的人数为5 人, 则事件A1在这次试验中发生 了. 又若某时刻观察候车的人数为11人, 则事件A1在这次试验中 没有发生. 可以看到, 导致事件A1发生的可能结果不止一个.
随机事件
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
注
根据随机事件的定义, 有这样两个特殊的子集: 空集和样本空间S. 由于空集不包含任何样本点, 故在每次试验中必然不发生, 所
以又称为不可能事件; 另一方面, 由于样本空间S包含了所有可能 的结果, 故在每次试验中S必然发生, 所以S又称为必然事件. 事实 上, 必然事件和不可能事件的发生与否, 已经失去了不确定性, 但 为了方便起见, 我们还是把它们看作随机事件, 只不过是随机事 件的两个极端情形而已.
随机事件
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
从随机事件的定义可以看出, 一个样本空间中, 可以有很多的随 机事件. 概率论的任务之一, 是研究随机事件发生的可能性的大 小, 通过对较简单的事件的规律的研究去掌握更复杂事件的规律. 为此, 需要研究事件间的关系和运算, 以及运算所满足的一些规 律. 由于事件是样本空间的子集, 因此, 事件间的关系和运算可以 按照集合论中集合之间的关系与运算来考虑, 但需注意每个关系 和运算的概率意义.
事件间的关系和运算
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
1. 事件的包含
若“事件A发生必然导致事件B发生"J 则称事件A包含于事件BJ 或 称作事件B包含事件A J 记作A B或B A.
3. 和事件
若“事件A与事件B中至少有一个发生"J 这样的事件称为事件A与 事件B的和事件J 记作A n B.
事件间的关系和运算
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
2. 事件的相等
若“A B且B A"J 则称事件A与事件B相等J 记作A = B.
1. 事件的包含
若“事件A发生必然导致事件B发生"J 则称事件A包含于事件BJ 或 称作事件B包含事件A J 记作A B或B A.
3. 和事件
若“事件A与事件B中至少有一个发生"J 这样的事件称为事件A与 事件B的和事件J 记作A n B.
2. 事件的相等
若“A B且B A"J 则称事件A与事件B相等J 记作A = B.
事件间的关系和运算
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
1. 事件的包含
若“事件A发生必然导致事件B发生"J 则称事件A包含于事件BJ 或 称作事件B包含事件A J 记作A B或B A.
3. 和事件
若“事件A与事件B中至少有一个发生"J 这样的事件称为事件A与 事件B的和事件J 记作A n B.
2. 事件的相等
若“A B且B A"J 则称事件A与事件B相等J 记作A = B.
事件间的关系和运算
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
上述和事件与积事件均可推广到任意有限个事件或可数个事件的
情况:
n 1
称n Ai为A1 ; A2 ; · · · ; An中至少有一个发生; n Ai 为A1 ; A2 ; · · · 中 i= 1 i= 1
n 1
至少有一个发生; 称u A i为A1 ; A2 ; · · · ; An同时发生; u A i
i= 1 i= 1 为A1 ; A2 ; · · · 同时发生.
4. 积事件
若“事件A与事件B同时发生", 这样的事件称为事件A与事件B的积 事件, 记作A UB 或AB.
事件间的关系和运算
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
上述和事件与积事件均可推广到任意有限个事件或可数个事件的
情况:
n 1
称n Ai为A1 ; A2 ; · · · ; An中至少有一个发生; n Ai 为A1 ; A2 ; · · · 中 i= 1 i= 1
n 1
至少有一个发生; 称u A i为A1 ; A2 ; · · · ; An同时发生; u A i
i= 1 i= 1 为A1 ; A2 ; · · · 同时发生.
4. 积事件
若“事件A与事件B同时发生", 这样的事件称为事件A与事件B的积 事件, 记作A UB 或AB.
事件间的关系和运算
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
5. 互不相容事件
若“事件A与事件B不能同时发生"J 即A UB = J 则称事件A与事 件B互不相容或互斥.
显然J 基本事件之间必两两互不相容.
6. 差事件
若“事件A发生而事件B不发生"J 这样的事件称为事件A与事件B的 差事件J 记作A - B.
7. 对立事件(逆事件)
若“事件A与事件B在每一次试验中有且只有一个必然发生"J 则称 事件A与事件B互为对立事件或逆事件J 记作B = A或A = B.
事件间的关系和运算
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
5. 互不相容事件
若“事件A与事件B不能同时发生"J 即A UB = J 则称事件A与事 件B互不相容或互斥.
显然J 基本事件之间必两两互不相容.
6. 差事件
若“事件A发生而事件B不发生"J 这样的事件称为事件A与事件B的 差事件J 记作A - B.
7. 对立事件(逆事件)
若“事件A与事件B在每一次试验中有且只有一个必然发生"J 则称 事件A与事件B互为对立事件或逆事件J 记作B = A或A = B.
事件间的关系和运算
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
5. 互不相容事件
若“事件A与事件B不能同时发生"J 即A UB = J 则称事件A与事 件B互不相容或互斥.
显然J 基本事件之间必两两互不相容.
6. 差事件
若“事件A发生而事件B不发生"J 这样的事件称为事件A与事件B的 差事件J 记作A - B.
7. 对立事件(逆事件)
若“事件A与事件B在每一次试验中有且只有一个必然发生"J 则称 事件A与事件B互为对立事件或逆事件J 记作B = A或A = B.
事件间的关系和运算
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
注
由逆事件的意义, 事件A - B, 即 “事件A发生而事件B不发生", 可理 解为 “事件A发生且事件B发生", 根据积事件的意义, 后者即
为A \ B, 故
A - B = A \ B:
事件间的关系和运算
x1: 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
维恩图
x1: 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
分配律 A U (B n C) = (A UB) n (A U C),
A n (B U C) = (A n B) U (A n C);
假设A; B; C都是随机事件, 则有
交换律 A UB = B U A, A n B = B n A;
运算满足的规律
结合律 A U (B U C) = (A UB) U C, A n (B n C) = (A n B) n C;
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
德摩根(De Morgan)定理(对偶律) A UB = An B, A n B = AUB.
分配律 A U (B n C) = (A UB) n (A U C),
A n (B U C) = (A n B) U (A n C);
假设A; B; C都是随机事件, 则有
交换律 A UB = B U A, A n B = B n A;
运算满足的规律
结合律 A U (B U C) = (A UB) U C, A n (B n C) = (A n B) n C;
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
德摩根(De Morgan)定理(对偶律) A UB = An B, A n B = AUB.
分配律 A U (B n C) = (A UB) n (A U C),
A n (B U C) = (A n B) U (A n C);
假设A; B; C都是随机事件, 则有
交换律 A UB = B U A, A n B = B n A;
运算满足的规律
结合律 A U (B U C) = (A UB) U C, A n (B n C) = (A n B) n C;
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
德摩根(De Morgan)定理(对偶律) A UB = An B, A n B = AUB.
分配律 A U (B n C) = (A UB) n (A U C),
A n (B U C) = (A n B) U (A n C);
假设A; B; C都是随机事件, 则有
交换律 A UB = B U A, A n B = B n A;
运算满足的规律
德摩根(De Morgan)定理(对偶律) A UB = An B, A n B = AUB.
结合律 A U (B U C) = (A UB) U C, A n (B n C) = (A n B) n C;
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
注
根据上述规律,
A - AB = A \ (A \ B) = A \ (A [ B)
= (A \ A) [ (A \ B) = A \ B = A - B: 结合注2, 则有A - B = A - AB = AB.
事件的运算
x1: 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
(1) A; B; C至少有一个发生; (2) A; B; C都不发生;
(3) A; B发生而C不发生;
(4) A; B; C中恰有一个发生;
(5) A; B; C中至多只有一个发生; (6) A; B; C中至多有两个发生;
(7) A; B; C中恰有两个发生;
(8) A; B; C中至少有两个发生.
事件的关系和运算
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
设A; B; C为三个事件J 试用A; B; C的运算关系表示下列事件:
(1)An B nC; (2)A \ B \ C; (3)ABC ; (4)AB C nABCn A BC; (5)B C nA C nA B; (6)ABC = A n B n C;
(7)ABC nABC n ABC;
(8)AB nBC nAC.
事件的关系和运算
x1: 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件
解:
注
该例中的问题(5), A; B; C中至多只有一个发生, 即为A; B; C中恰有 一个发生或三个都不发生, 故根据(2); (4) 知, (5)也可写为
A B C n AB C nABC n A BC.
读者可根据事件运算的规律来推导上式等于B C nA C nA B, 并 理解其意义; 类似可以考虑问题(7)和(8).
事件的关系和运算
x1 . 随机事件
背景
随机试验 样本空间与随机事件

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