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概率论与数理统计
x2: 随机事件的概率 频率 概率的定义 概率的性质 古典概型
1 频率
2 概率的定义
3 概率的性质
4 古典概型
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
x2: 随机事件的概率
定义
在相同的条件下, 重复进行了n次试验, 在这n次试验中, 事件A发
. 称比
(A)
频频频
记作f n
发生的
中事件A 发生的频频频率率率
在这n次试验中事件
验
为
试
称
次
nA,
n(
n
nA
的
即f
值
生
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
频率的定义与性质
n .
(3) 有限可加性 设事件A1 ; A2 ; · · · ; Ak为k个两两互不相容的事件, 即对于任意 i j; 1 i;j k, Ai U Aj = , 有
fn(A1 [ A2 [ · · · [ Ak) = fn(A1) +fn(A2) + · · · +fn(Ak).
频率的性质
(1) 非负性 即对任何事件A, 有fn(A) ≥ 0;
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
频率的定义与性质
(2) 规范性 fn(S) = 1;
(3) 有限可加性 设事件A1 ; A2 ; · · · ; Ak为k个两两互不相容的事件, 即对于任意 i j; 1 i;j k, Ai U Aj = , 有
fn(A1 [ A2 [ · · · [ Ak) = fn(A1) +fn(A2) + · · · +fn(Ak).
频率的性质
(1) 非负性 即对任何事件A, 有fn(A) ≥ 0;
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
频率的定义与性质
(2) 规范性 fn(S) = 1;
(3) 有限可加性 设事件A1 ; A2 ; · · · ; Ak为k个两两互不相容的事件, 即对于任意 i j; 1 i;j k, Ai U Aj = , 有
fn(A1 [ A2 [ · · · [ Ak) = fn(A1) +fn(A2) + · · · +fn(Ak).
频率的性质
(1) 非负性 即对任何事件A, 有fn(A) ≥ 0;
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
频率的定义与性质
(2) 规范性 fn(S) = 1;
试验者 抛硬币次数 出现正面次数
出现正面频率
Buffon 4040 2048
0.5069
De Morgan 4092 2048
0.5005
Feller 10000 4979
0.4979
Pearson 12000 6019
0.5016
Pearson 24000 12012
0.5005
Lomanovskii 80640 39699
0.4923
频率反应了事件发生的频繁程度, 即事件发生的越频繁, 其频率 就越大, 反之亦然. 在历史上, 曾有很多统计学家做过抛硬币的试 验, 部分结果见如下表1-1.
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
频率的定义与性质
表1-1
由上表可以看出, 当试验的次数越来越大时, 出现正面的频率总 在常数0.5附件摆动, 且越来越接近于常数0.5, 这一常数正是反映 了“ 出现正面"这一事件发生的可能性大小, 也就是所谓的概率, 据 此, 我们给出如下关于概率的公理化定义, 它是在20世纪30年代 由前苏联数学家Kolmogorov创立的.
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
频率的定义与性质
设E是随机试验J S是它的样本空间J 对于E的每个事件A J 给它赋予 一个实数J 记为P(A)J 如果集合函数P( · )满足下列条件:
(1) 非负性 即对任何事件A J 有P(A) ≥ 0;
(2) 规范性 P(S) = 1;
(3) 可列可加性 设A1 ; A2 ; · · · 是E中一列两两互不相容的随机事 件J 即对于任意i j; i;j ≥ 1J Ai UAj = J 有
1 1
P( nAn) =ΣP(An).
n= 1 n= 1
则称P(A)为事件A发生的概率.
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
概率的定义
概率的公理化定义
令A1 = S; A i = ; i ≥ 2, 则事件序列fAn ; n ≥ 1g两两互不相容, 根 据规范性和可列可加性有
1 = P(S) = P(S [ [ [ · · · ) = P(S) + P() + · · · + P() + · · · ;
又由非负性P() ≥ 0, 故由上式知P() = 0.
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
概率的性质
P() = 0.
性质1的证明
性质1
性质1的证明
令A1 = S; A i = ; i ≥ 2, 则事件序列fAn ; n ≥ 1g两两互不相容, 根 据规范性和可列可加性有
1 = P(S) = P(S [ [ [ · · · ) = P(S) + P() + · · · + P() + · · · ;
又由非负性P() ≥ 0, 故由上式知P() = 0.
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
概率的性质
P() = 0.
性质1
令A i = ; i ≥ n + 1, 则事件序列{A i ; i ≥ 1}两两互不相容, 根据可 列可加性及性质1, 有
n 1 1 n 1 n
P(nAi) = P(nAi) =ΣP(A i) =ΣP(A i)+Σ P() =ΣP(A i).
i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 i=n+1 i= 1
性质2 (有限可加性)
设A1 ; A2 ; · · · ; An 是E中n个两两互不相容的随机事件, 即对 于A i j; 1 i;j n, Ai U Aj = , 有P( n Ai) =Σ P(A i). i= 1 i= 1
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
概率的性质
性质2的证明
n n
令A i = ; i ≥ n + 1, 则事件序列{A i ; i ≥ 1}两两互不相容, 根据可 列可加性及性质1, 有
n 1 1 n 1 n
P(nAi) = P(nAi) =ΣP(A i) =ΣP(A i)+Σ P() =ΣP(A i).
i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 i=n+1 i= 1
性质2 (有限可加性)
设A1 ; A2 ; · · · ; An 是E中n个两两互不相容的随机事件, 即对 于A i j; 1 i;j n, Ai U Aj = , 有P( n Ai) =Σ P(A i). i= 1 i= 1
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
概率的性质
性质2的证明
n n
性质3
由于A B,
故B = B U S = B U (A n A) = (B U A) n (B U A) = A n (B — A), 且A U (B — A) = , 故由有限可加性得
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
概率的性质
性质3的证明
B, 则有
P(B — A) = P(B) — P(A);
特别地,
P(A)
) +
严继高
P(B). (称作概率的单调性)
设事件A; B满足A
性质3
由于A B,
故B = B U S = B U (A n A) = (B U A) n (B U A) = A n (B — A), 且A U (B — A) = , 故由有限可加性得
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
概率的性质
性质3的证明
B, 则有
P(B — A) = P(B) — P(A);
特别地,
P(A)
) +
严继高
P(B). (称作概率的单调性)
设事件A; B满足A
性质4的证明
由于A G S, 根据P(S) = 1及概率的单调性, 即得P(A) P(S) = 1.
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
概率的性质
对任何事件A, 有P(A) 1.
性质4
性质4的证明
由于A G S, 根据P(S) = 1及概率的单调性, 即得P(A) P(S) = 1.
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
概率的性质
对任何事件A, 有P(A) 1.
性质4
由于A S且A = S - A J 根据P(S) = 1及性质3J 即得
P(A) = P(S) - P(A) = 1 - P(A).
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
概率的性质
P(A) = 1 - P(A).
性质5的证明
性质5
由于A S且A = S - A J 根据P(S) = 1及性质3J 即得
P(A) = P(S) - P(A) = 1 - P(A).
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
概率的性质
P(A) = 1 - P(A).
性质5的证明
性质5
由于A n B = A n (B - A), 根据注知, A n B = A n (B - AB), 且A \ (B - AB) = , 故由有限可加性及性质3得
P(A n B) = P(A) + P(B - AB) = P(A) + P(B) - P(AB);
结论成立.
对任何事件A; B, 有
P(A n B) = P(A) + P(B) - P(AB).
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
概率的性质
性质6( 加法公式)
性质6的证明
类似于性质6, 我们可以得到关于任意有限多个事件的和事件的概 率的公式. 例如, 设A1 ; A2 ; A3为三个随机事件, 则
P(A1 [ A2 [ A3) = P(A1 [ (A2 [ A3))
= P(A1) + P(A2 [ A3) - P(A1 \ (A2 [ A3))
= P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A2A3) - P(A1A2 [ A1A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A2A3) - P(A1A2)
-P(A1A3) + P(A1A2A3):
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
概率的性质
注
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
n
+ Σ P(AiAjAk) + · · · + ( — 1)n- 1P(UA i):
1 i概率的性质
注
一般地, 对任意n个事件A1 ; A2 ; · · · ; An , 有
P(A i) — Σ
Σ
n
n
P(nAi) =
i= 1
i= 1 1 iP(AiAj)
由一般加法公式P(A n B) = P(A) + P(B) - P(AB)可得,
P(B) - P(AB) = P(A n B) - P(A) = 0.5 , 根据前面的注即 得P(B - A) = P(B) - P(AB) = 0.5.
例
已知A; B为两个事件, 且P(A) = 0.3; P(A n B) = 0.8, 求P(B - A).
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
概率的性质
解
由一般加法公式P(A n B) = P(A) + P(B) - P(AB)可得,
P(B) - P(AB) = P(A n B) - P(A) = 0.5 , 根据前面的注即 得P(B - A) = P(B) - P(AB) = 0.5.
例
已知A; B为两个事件, 且P(A) = 0.3; P(A n B) = 0.8, 求P(B - A).
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
概率的性质
解
1 - P(A) - P(B) + P(A B)
= 1 - (1 - P(A)) - (1 - P(B)) + P(A n B)
= P(A) + P(B) - (1 - P(A n B))
= P(A) + P(B) - P(A n B) = P(AB):
例
设A; B为两个事件, 则P(AB) = 1 - P(A) - P(B) + P(A B).
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
概率的性质
证明
事实上, 根据概率的性质有
1 - P(A) - P(B) + P(A B)
= 1 - (1 - P(A)) - (1 - P(B)) + P(A n B)
= P(A) + P(B) - (1 - P(A n B))
= P(A) + P(B) - P(A n B) = P(AB):
例
设A; B为两个事件, 则P(AB) = 1 - P(A) - P(B) + P(A B).
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
概率的性质
证明
事实上, 根据概率的性质有
定义
设E是随机试验, S是它的样本空间, 若S中只有有限个样本点, 且 每个基本事件发生的概率相等, 则称该试验模型为古典概型或等 可能概型.
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
古典概型的概念
设试验E是古典概型, 根据上述定义, 不妨设E的样本空 间S = {e1 ; e2 ; · · · ; en}, 且
P({e1 }) = P({e2 }) = · · · = P({en}).
由于基本事件两两互不相容, 根据概率的有限可加性得
n n
1 = P(S) = P(n {ei}) =ΣP({ei}) = nP({e1 }). i= 1 i= 1
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
古典概型的性质
因此,
P({e1 }) = P({e2 }) = · · · = P({en}) =
1
n.
设A是试验E的一个随机事件, 若A = , 则根据概率的性质
知P(A) = 0; 若A非空, 则根据事件的定义, 因A是S的非空子集, 即A由S中部分样本点所构成, 不妨设A中包含k个样本点:
A = {ei1 ; ei2 ; · · · ; e ik}, 其中i1 ; i2 ; · · · ; ik是1; 2; · · · ; n 的任意k个值, 则有
P(A) = P({eij}) = = A 数
S中基本事件的总数
中所包含的基本事件
n
k
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
古典概型的性质
设袋子中装有4只红球, 2只白球. 从袋子中取球两次, 每次随机取 一只. 考虑两种取球方式: (a) 放回抽样, 即第一次取一球观察其 颜色后, 放回袋子中, 搅匀后再取一球; (b) 不放回抽样, 即第一 次取一球观察其颜色后, 不放回袋子中, 第二次从剩余的5只球中 再取一球, 试求:
(1) 取到的两只球都是红球的概率;
(2) 取到的两只球颜色相同的概率;
(3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
抽球问题
例
以事件A表示“取到的两只球都是红球"J 事件B表示“取到的两只球 都是白球"J 则AB = . 易知J “取到的两只球颜色相同" 即为An B. 以事件C表示“取到的两只球至少有一只是白球"J 则C = A. 因此J 我们主要是求出事件A与B的概率.
在袋中依次取两只球J 每一种取法为一个基本事件. 显然J 此时样 本空间中仅包含有限个样本点J 且由对称性知每个基本事件发生 的可能性相同J 故该模型是古典概型.
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
抽球问题
解
易知
P(A) = P(B) =
从而
P(A [ B) = P(A) +
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
抽球问题
(a) 放回抽样的情况
= ; = :
P(C) = P(A) =
P(B) =
5 9 ;
5 9 :
易知
P(A) = P(B) =
从而
P(A [ B) = P(A) +
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
抽球问题
(b) 不放回抽样的情况
= ; = :
P(C) = P(A) =
P(B) =
7
15 ;
3 5 :
注
该例中, 不放回抽样的时候, 事实上还有
P(A) = ; P(B) = ;
即不放回抽样取两次球, 相当于将两只球一次性全部取出.
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
抽球问题
例
已知盒子中有a只红球, b只白球, 现有a + b个人依次在盒子中各 取一只球, (1) 作放回抽样; (2) 作不放回抽样, 求
第i (i = 1; 2; · · · ; a + b) 个人取到红球(记作事件A i) 的概率.
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
抽球问题
显然有
P(A i) =
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
抽球问题
(1) 放回抽样.
i = 1; 2; · · · ; a + b:
a + b ;
a
将a + b个球视为有编号后两两不同J 则a + b个人取球的情况相当 于将a + b个球全排列J 共有(a + b)!个基本事件. 当事件A i发生时J 第i个人取到的是红球J 共有a种取法J 其余a + b — 1只球让剩余
的a + b — 1 个人依次抽取J 共有(a + b — 1)!种取法J 故事件A i包含 的基本事件数为a(a + b — 1)!. 从而J 所求概率为
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
抽球问题
P(A i) = = ; i = 1; 2; · · · ; a + b.
(2) 不放回抽样.
注
值得注意的是, 上述不放回抽样的结果也是与i无关, 表明抽到红 球的概率与抽球的次序无关, 大家机会相等, 例如, 在购买福彩的 时候, 各人得奖的机会相等. 另外还需注意的是两种取球方式下 的结果也是一样的.
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
抽球问题
例
设有n个人, 被等可能地分配到N (n 三 N)个房间中的任意一间中 去, 房间容量不限, 试求下列事件的概率:
(1) 某指定的n间房各有1人;
(2) 恰有n间房各有1人;
(3) 某指定房中恰有m (m 三 n)人.
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
分房问题(生日问题)
(1) 某指定的n间房其中各有一人, 区别在于房间里进的是哪一个 人, 故n个人的任意一种排列法就相当于一种进房间法, 即该事件 所包含的基本事件数为n!. 从而, 该事件的概率为P1 = .
n个人, 被等可能地分配到N (n 三 N)个房间中, 每一个人有N种可 能被分配, 故n个人就有Nn 种分法, 即样本点总数为Nn.
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
分房问题(生日问题)
解
(1) 某指定的n间房其中各有一人, 区别在于房间里进的是哪一个 人, 故n个人的任意一种排列法就相当于一种进房间法, 即该事件 所包含的基本事件数为n!. 从而, 该事件的概率为P1 = .
n个人, 被等可能地分配到N (n 三 N)个房间中, 每一个人有N种可 能被分配, 故n个人就有Nn 种分法, 即样本点总数为Nn.
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
分房问题(生日问题)
解
(3) 某指定房中恰有m (m n)人, 我们先从n个人中选出m个人进
入该指定的房中, 该选法共有C 种, 则剩下的问题变为n — m个人
被等可能地分配到N — 1 个房间中去, 类似地, 该分配法共
有(N — 1)n-m 种, 所以某指定房中恰有m (m n) 人包含的基本事
件数为C (N — 1)n-m , 故所求概率为P3 = .
n
m
n
m
(2) 恰有n间房各有1人, 该事件与问题(1)的区别在于没有事先指 定n间房, 换句话说, 比问题(1)中的事件多了事先从N间房中选 取n间房的步骤, 只要将这n间房取出来, 接下来的问题就跟(1)中
一样了, 而这种取法共有C 种, 所以恰有n间房各有1人包含的基
本事件数为C · n! = A , 故所求概率为P2 = .
N
n
N
n
N
n
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
分房问题(生日问题)
(3) 某指定房中恰有m (m n)人, 我们先从n个人中选出m个人进
入该指定的房中, 该选法共有C 种, 则剩下的问题变为n — m个人
被等可能地分配到N — 1 个房间中去, 类似地, 该分配法共
有(N — 1)n-m 种, 所以某指定房中恰有m (m n) 人包含的基本事
件数为C (N — 1)n-m , 故所求概率为P3 = .
n
m
n
m
(2) 恰有n间房各有1人, 该事件与问题(1)的区别在于没有事先指 定n间房, 换句话说, 比问题(1)中的事件多了事先从N间房中选 取n间房的步骤, 只要将这n间房取出来, 接下来的问题就跟(1)中
一样了, 而这种取法共有C 种, 所以恰有n间房各有1人包含的基
本事件数为C · n! = A , 故所求概率为P2 = .
N
n
N
n
N
n
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
分房问题(生日问题)
例
某班级有n个人, n 三 365, 一年的天数设为365, 问至少有两个人的 生日在同一天的概率是多少
日常生活中有很多的实例与该例中模型类似, 比如下述著名的生 日问题.
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
分房问题(生日问题)
例
某班级有n个人, n 三 365, 一年的天数设为365, 问至少有两个人的 生日在同一天的概率是多少
日常生活中有很多的实例与该例中模型类似, 比如下述著名的生 日问题.
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
分房问题(生日问题)
我们从逆事件来考虑, 至少有两个人的生日在同一天的逆事件
为n个人的生日都不相同. 对每一个人来说, 在不知道他(她)的具 体生日前, 他(她)的生日在365天中的每一天都是等可能的. 所
以n个人的生日都不相同, 相当于在365天中恰好有n天, 一天一个
人生日, 即为例5中的问题(2), 故n个人的生日都不相同的概率
为 , 从而至少有两个人的生日在同一天的概率为
An
P = 1 - N
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
分房问题(生日问题)
解
Nn .
对一些具体的班级人数n, 计算相应的概率如下表1-2
表1-2
n 20 23 30 40 50 64 100
P 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
从上表可以看出, 在64个人的班级中, 至少有两个人的生日在同 一天的概率与1相差无几, 但要注意理解这里的概率0.997的意义 是有99.7%的班级会发生这样的事.
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
分房问题(生日问题)
说明
对一些具体的班级人数n, 计算相应的概率如下表1-2
表1-2
n 20 23 30 40 50 64 100
P 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
从上表可以看出, 在64个人的班级中, 至少有两个人的生日在同 一天的概率与1相差无几, 但要注意理解这里的概率0.997的意义 是有99.7%的班级会发生这样的事.
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
分房问题(生日问题)
说明
一位常饮奶茶的女士称: 她能从一杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶 是先放牛奶还是先放茶冲制而成. 现做了10次试验, 结果她都能 准确地辨别出来, 问该女士的说法是否可信
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
分房问题(生日问题)
例
假设该女士的说法不可信, 即她纯粹是靠运气猜的. 在此假设下, 每次试验的两个可能结果为: 先加奶后加茶或先加茶后加奶, 且 它们出现的概率相等, 做了10次试验, 故试验的所有可能结果数 为: 210 , 因此这是一个古典概型问题. 现在该女士都能准确地辨别 出来, 该事件只是一个基本事件, 故该事件发生的概率为
P = 1 = 0.0009765625.
210
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
分房问题(生日问题)
解
这是一个非常小的概率. 而人们在长期的实践中总结得出“概率很 小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的" (称之为实际推 断原理). 但现在概率很小的事件在一次试验中居然发生了, 因此 有理由怀疑“ 该女士是靠运气猜的"这一假设的正确性, 从而推断 该女士不是靠猜的, 即她确有这种分辨能力.
x2 . 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
分房问题(生日问题)
说明
例
在1 100中任取一个整数, 求下列事件的概率: (1) 该数平方的末位数字是1;
(2) 该数四次方的末位数字是1.
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
随机取数问题
(1) 该数平方的末位数字是1, 说明取出的正整数的个位上必须
是1或9, 因此问题转化为“任取一个正整数, 个位上是1或9的概率", 而任取一个正整数, 其个位上数字可能为0; 1; · · · ; 9, 且出现每一 个数字的概率相等, 故这是一个古典概型, 所求概率
为P1 = = .
(2) 该数四次方的末位数字是1, 结合问题(1), 说明取出的正整数 平方后的个位上必须是1 或9, 因此问题转化为“任取一个正整数,
个位上是1, 3, 7 或9 的概率", 故求概率为P2 = = .
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
随机取数问题
解
(1) 该数平方的末位数字是1, 说明取出的正整数的个位上必须
是1或9, 因此问题转化为“任取一个正整数, 个位上是1或9的概率", 而任取一个正整数, 其个位上数字可能为0; 1; · · · ; 9, 且出现每一 个数字的概率相等, 故这是一个古典概型, 所求概率
为P1 = = .
(2) 该数四次方的末位数字是1, 结合问题(1), 说明取出的正整数 平方后的个位上必须是1 或9, 因此问题转化为“任取一个正整数,
个位上是1, 3, 7 或9 的概率", 故求概率为P2 = = .
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
随机取数问题
解
例
在1 2000的整数中随机地取一个数, 问取到的数既不能被6整 除, 又不能被8整除的概率是多少
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
随机取数问题
P(A B) = P(A n B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(AB)]:
由于333 < < 334, 故P(A) = ; 又 = 250, 因 此P(B) = 2000 .
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
设事件A为“取到的数能被6整除", 事件B为“取到的数能被8整除", 则所求概率为
随机取数问题
解
解
因一个数同时能被6和8整除, 相当于能被它们的最小公倍数24整
除, 故由83 < 2 0 < 84, 知P(AB) = 2 0 , 于是所求概率为
P(A B) = 1 -（ + - ) = :
0
2
4
3
0
3
0
8
2000
250
2000
333
00
83
4
0
2
0
x2: 随机事件的概率 频率
概率的定义 概率的性质 古典概型
随机取数问题

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