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概率论与数理统计
x1: 一维随机变量与分布函数 一维随机变量 分布函数
x1:一维随机变量
x1: 一维随机变量与分布函数 一维随机变量 分布函数
1 一维随机变量
2 分布函数
现实生活中, 很多随机试验的结果可以直接以实变量来表示. 例 如, 抛一颗散子, 观察其出现的点数, 以X 表示该散子出现的点数, 则X 的所有可能取值为1; 2; 3; 4; 5; 6; 而有些随机试验的结果却 不能直接用实变量来表示, 比如, 抛一枚硬币, 则试验的结果为出 现正面或反面
一维随机变量
x1 . 一维随机变量与分布函数 一维随机变量 分布函数
我们可以通过建立如下的样本空间到实数域之间的对应关系ξ 来 描述该试验的结果: 以e1 表示“正面", e2 表示“反面", 令
ξ(e1 ) = 1;
ξ(e2 ) = 0.
则试验的结果可用变量ξ的取值来描述. 比如
{ξ = 1} = {ejξ(e) = 1} = {e1 } = {出现正面}; {ξ = 0} = {ejξ(e) = 0} = {e2 } = {出现反面}.
再比如
{ξ 0.5} = {ξ = 0} = {出现反面}.
一维随机变量
x1 . 一维随机变量与分布函数 一维随机变量 分布函数
设E是随机试验, S是E的样本空间, 若对S中的每一个样本点e, 都 存在唯一的实数X(e) 与之对应, 则称X为定义在S上的一维实值随 机变量, 简称为随机变量.
随机变量通常用大写的字母X, Y, Z或希腊字母ξ, η, ζ等表示, 随机 变量的取值用小写的字母x, y, z, · · · 等表示.
一维随机变量
x1 . 一维随机变量与分布函数 一维随机变量 分布函数
定义
设E是随机试验, S是E的样本空间, 若对S中的每一个样本点e, 都 存在唯一的实数X(e) 与之对应, 则称X为定义在S上的一维实值随 机变量, 简称为随机变量.
随机变量通常用大写的字母X, Y, Z或希腊字母ξ, η, ζ等表示, 随机 变量的取值用小写的字母x, y, z, · · · 等表示.
一维随机变量
x1 . 一维随机变量与分布函数 一维随机变量 分布函数
定义
由随机变量的定义, 可以看出随机变量具有这样两个特点：其一, 随机变量不像确定性现象中的普通变量那样取值具有确定性, 它 的取值是随机性的, 这是由试验结果的随机性所决定的; 其二, 随 机变量也不像普通变量是自变量, 而是一个定义在试验结果集合 上的“ 函数".
在随机试验“从袋中取球" 中, 以ξ表示取出的球的个数, 随机事件: “从袋中取出了n 个球" 可用{ξ = n}来表示. 这比起用大写字母表 示事件并不烦琐, 但意义却较为明确, 突出了问题的实质. 但要注 意的是, 这里变量的取值是随着试验结果的随机性而具有随机性, 因而称其为“ 随机变量". 本书中, 我们将主要介绍两类随机变量, 即离散型随机变量和连续型随机变量.
一维随机变量
x1 . 一维随机变量与分布函数 一维随机变量 分布函数
由随机变量的定义, 可以看出随机变量具有这样两个特点：其一, 随机变量不像确定性现象中的普通变量那样取值具有确定性, 它 的取值是随机性的, 这是由试验结果的随机性所决定的; 其二, 随 机变量也不像普通变量是自变量, 而是一个定义在试验结果集合 上的“ 函数".
在随机试验“从袋中取球" 中, 以ξ表示取出的球的个数, 随机事件: “从袋中取出了n 个球" 可用{ξ = n}来表示. 这比起用大写字母表 示事件并不烦琐, 但意义却较为明确, 突出了问题的实质. 但要注 意的是, 这里变量的取值是随着试验结果的随机性而具有随机性, 因而称其为“ 随机变量". 本书中, 我们将主要介绍两类随机变量, 即离散型随机变量和连续型随机变量.
一维随机变量
x1 . 一维随机变量与分布函数 一维随机变量 分布函数
定义
设X为随机变量, 对任意的实数x, 称P(X x) 为随机变量X的分布 函数, 记作FX(x), 若不会引起混淆, 可简记为F(x), 即
F(x) = P(X x).
如果将随机变量X看成是数轴上的随机点的坐标, 那么分布函
数F(x)在x处的函数值就表示随机变量X落在区间(-1; x]上的概 率.
分布函数
x1 . 一维随机变量与分布函数 一维随机变量 分布函数
定义
设X为随机变量, 对任意的实数x, 称P(X x) 为随机变量X的分布 函数, 记作FX(x), 若不会引起混淆, 可简记为F(x), 即
F(x) = P(X x).
如果将随机变量X看成是数轴上的随机点的坐标, 那么分布函
数F(x)在x处的函数值就表示随机变量X落在区间(-1; x]上的概 率.
分布函数
x1 . 一维随机变量与分布函数 一维随机变量 分布函数
P(a < X b) = P(X b) - P(X a) = F(b) - F(a);
P(X > a) = 1 - P(X a) = 1 - F(a);
P(X < b) = F(b - 0),
等等. 所以, 分布函数是一个可以用来刻画随机变量分布规律的 函数. 分布函数是一个普通的函数, 正是通过它, 我们将能用微积 分这一有力的工具来研究随机现象.
分布函数
x1 . 一维随机变量与分布函数 一维随机变量 分布函数
通过分布函数F(x), 不仅能知道概率P(X 在其它各种区间中的概率值. 例如:
x)的值, 还可求出X落
设F(x)是随机变量X的分布函数, 则
(1) 0 F(x) 1;
(2) F(x)在实数域上单调不降, 即对任意x1 < x2 , 都 有F(x1 ) F(x2 );
(3) F(-1) = x m1 F(x) = 0; F(+1) = x F(x) = 1;
(4) F(x)在每一点至少是右连续的, 即对任意x 2 R, 有F(x + 0) = F(x).
分布函数
x1: 一维随机变量与分布函数 一维随机变量 分布函数
定理
注
上 定理的逆定理也成立. 即任何满足定理中(1) (4)的函
数F(x)必是某随机变量的分布函数.
分布函数
x1: 一维随机变量与分布函数 一维随机变量 分布函数
设函数F1(x), F2(x) 分别是随机变量X1 ; X2 的分布函数, a 是常数, 且F(x) = F1(x) + aF2(x) 也是分布函数, 试求常数a 的值.
分布函数
x1: 一维随机变量与分布函数 一维随机变量 分布函数
例
根据定理, 由F(x); F1(x), F2(x)都是分布函数知
F(+1) = F1(+1) = F2(+1) = 1:
故由F(x) = F1(x) + aF2(x)得
+ a = 1;
解得a = , 且当a = 时, F(x)满足定理中(1) (4), 再根据注知, F(x) 是分布函数, 故a = .
分布函数
x1: 一维随机变量与分布函数 一维随机变量 分布函数
解
由定理知,
0 = x m1 F(x) = A - B;
1 = x F(x) = A + B.
上述两式联立解得A = ; B = , 且此时F(x)确是一分布函数,
1 1
故A = B = .
2 ; π
π
1
2
1
2
π
2
π
设随机变量X的分布函数为F(x) = A + Barctanx; x E R, 试求常 数A; B的值.
分布函数
x1 . 一维随机变量与分布函数 一维随机变量 分布函数
解
例
由定理知,
0 = x m1 F(x) = A - B;
1 = x F(x) = A + B.
上述两式联立解得A = ; B = , 且此时F(x)确是一分布函数,
1 1
故A = B = .
2 ; π
π
1
2
1
2
π
2
π
设随机变量X的分布函数为F(x) = A + Barctanx; x E R, 试求常 数A; B的值.
分布函数
x1 . 一维随机变量与分布函数 一维随机变量 分布函数
解
例

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