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概率论与数理统计
x4: 随机事件的独立性 背景 两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
1 背景
2 两个事件的独立性
3 三个及三个以上事件的独立性
x4: 随机事件的独立性
x4: 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
在上节中, 我们介绍了条件概率P(AjB), 那么一个很自然的问题
是: 在什么情况下, P(AjB) = P(A) 即事件B 的发生对事件A没有 影响, 这就是本节所介绍的事件的独立性. 我们先看如下一个简 单的例子.
分别抛两枚硬币, 以A表示事件“硬币甲出现正面", B表示事件“硬 币乙出现正面", 试计算P(A); P(B); P(AB); P(AjB).
背景
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
例
在上节中, 我们介绍了条件概率P(AjB), 那么一个很自然的问题
是: 在什么情况下, P(AjB) = P(A) 即事件B 的发生对事件A没有 影响, 这就是本节所介绍的事件的独立性. 我们先看如下一个简 单的例子.
例
分别抛两枚硬币, 以A表示事件“硬币甲出现正面", B表示事件“硬 币乙出现正面", 试计算P(A); P(B); P(AB); P(AjB).
背景
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
由题意知, 该试验的样本空间为
S = {(正, 正); (正, 反); (反, 正); (反, 反)}.
这是一个古典概型, 每个基本事件发生是概率都是 , 且
A = {(正, 正); (正, 反)};
B = {(正, 正); (反, 正)}; AB = {(正, 正)}
因此P(A) = P(B) = ; P(AB) = ; P(AjB) = .
背景
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
解
在这里我们可以看到P(AjB) = P(A), 也即P(AB) = P(A)P(B). 事 实上, 分别抛两枚硬币, 硬币乙出现正面与否与硬币甲出现哪一 面之间本来就没有影响, 这种没有影响, 称之为独立性.
背景
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
解
设A; B是事件, 若A; B满足等式
P(AB) = P(A)P(B);
则称事件A与B相互独立, 简称为A与B独立.
两个事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
定义
(1)
(1) 若P(B) > 0, 则事件A, B相互独立的充要条件
是P(AjB) = P(A), 即B的发生对A没有影响;
(2) 若A, B相互独立, 则A与B, A与B, A与B也分别相互独立. 即这 四组事件中只要有一组是独立的, 其它三组也都是独立的;
两个事件的独立性
(4) 若P(A) = 1, 则任何事件B都与A独立.
(3) 若P(A) = 0, 则任何事件B都与A独立;
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
定理
(1) 若P(B) > 0, 则事件A, B相互独立的充要条件
是P(AjB) = P(A), 即B的发生对A没有影响;
(2) 若A, B相互独立, 则A与B, A与B, A与B也分别相互独立. 即这 四组事件中只要有一组是独立的, 其它三组也都是独立的;
两个事件的独立性
(4) 若P(A) = 1, 则任何事件B都与A独立.
(3) 若P(A) = 0, 则任何事件B都与A独立;
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
定理
(1) 若P(B) > 0, 则事件A, B相互独立的充要条件
是P(AjB) = P(A), 即B的发生对A没有影响;
(2) 若A, B相互独立, 则A与B, A与B, A与B也分别相互独立. 即这 四组事件中只要有一组是独立的, 其它三组也都是独立的;
两个事件的独立性
(4) 若P(A) = 1, 则任何事件B都与A独立.
(3) 若P(A) = 0, 则任何事件B都与A独立;
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
定理
(1) 若P(B) > 0, 则事件A, B相互独立的充要条件
是P(AjB) = P(A), 即B的发生对A没有影响;
(2) 若A, B相互独立, 则A与B, A与B, A与B也分别相互独立. 即这 四组事件中只要有一组是独立的, 其它三组也都是独立的;
两个事件的独立性
(4) 若P(A) = 1, 则任何事件B都与A独立.
(3) 若P(A) = 0, 则任何事件B都与A独立;
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
定理
(1) 根据独立及条件概率的定义即可得到, 略.
(2) 我们只证A与B独立, 其它的根据独立性的对称性类似可得. 事 实上, 由A与B独立知
P(AB) = P(A) - P(AB) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)P(B);
此即A与B独立.
(3) 由P(A) = 0及0 P(AB) P(A)立得等
式P(AB) = 0 = P(A)P(B) 成立, 此即A与B独立.
(4) 类似于(3)的证明或结合(2)和(3)的结论即可
两个事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
定理的证明
设A; B; C为事件, 若它们满足:
P(ABC) = P(A)P(B)P(C)
及
P(AB) = P(A)P(B) 9
P(BC) = P(B)P(C) =
P(AC) = P(A)P(C) ;
则称事件A; B; C相互独立. 若只有(3)中三式成立, 称事 件A; B; C 两两独立.
三个及三个以上事件的独立性
x4: 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
定义
(2)
(3)
(1) 从定义很容易看出, 事件A; B; C 相互独立必两两独立, 但反之 未必成立, 反例如下: 袋子中有编号为1; 2; 3; 4的四个同样的球, 随 机地从袋子中取一个球, 设A表示事件“取到1号或2号球", B表示事 件“取到1号或3号球", C表示事件“取到1号或4号球",
则A = {1; 2}; B = {1; 3}; C = {1; 4}; 因
此AB = AC = BC = ABC = {1}, 故P(A) = P(B) = P(C) =
; P(AB) = P(AC) = P(BC) = P(ABC) = ; 显然P(AB) = P(A)P(B) = ; P(BC) = P(B)P(C) = ; P(AC) = P(A)P(C) = ;
但
P(ABC) = = P(A)P(B)P(C).
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
关于定义的说明
(2) 上面阐述了(3)式成立不一定有(2)式成立, 事实上, (2)式成立 也不一定有(3)式成立, 即(2)与(3)不能相互推出. 反例: 试验
同(1), 设A = {1; 2}; B = {3; 4}; C = , 显然
P(ABC) = P(A)P(B)P(C) = 0;
根据事件独立的意义, 三个事件独立, 则其中任何两个事件也是 独立的. 根据(1)和(2), 因此, 上述三个事件独立的定义是合理的.
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
关于定义的说明
= P(A)P(B); 即(3)式不满足.
但P(AB) = P() = 0
1
4
(2) 上面阐述了(3)式成立不一定有(2)式成立, 事实上, (2)式成立 也不一定有(3)式成立, 即(2)与(3)不能相互推出. 反例: 试验
同(1), 设A = {1; 2}; B = {3; 4}; C = , 显然
P(ABC) = P(A)P(B)P(C) = 0;
根据事件独立的意义, 三个事件独立, 则其中任何两个事件也是 独立的. 根据(1)和(2), 因此, 上述三个事件独立的定义是合理的.
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
关于定义的说明
= P(A)P(B); 即(3)式不满足.
但P(AB) = P() = 0
1
4
(1)的证明类似于前面的定理.
(2) 我们只证A与BC独立, 其他情况类似可得. 事实上, 根据事件 运算的结合律, 我们有
P(A(BC)) = P(ABC) = P(A)P(B)P(C) = P(A)P(BC);
此即A与BC独立.
(1) 若事件A; B; C 相互独立, 则将其中任意多个事件换成逆事件 后所得的事件仍然相互独立.
(2) 若事件A; B; C 相互独立, 则A 与BC, A 与B n C, A 与B - C 也 分别相互独立.
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
定理
定理证明
严继高
(1)的证明类似于前面的定理.
(2) 我们只证A与BC独立, 其他情况类似可得. 事实上, 根据事件 运算的结合律, 我们有
P(A(BC)) = P(ABC) = P(A)P(B)P(C) = P(A)P(BC);
此即A与BC独立.
(1) 若事件A; B; C 相互独立, 则将其中任意多个事件换成逆事件 后所得的事件仍然相互独立.
(2) 若事件A; B; C 相互独立, 则A 与BC, A 与B n C, A 与B - C 也 分别相互独立.
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
定理
定理证明
严继高
设A1 , A2 , · · · , An 是任意n (n ≥ 2) 个事件, 若对任意2 k n 及
任意1 i1 < i2 < · · · < ik n, 都有
P(A i1A i2 · · · Aik) = P(A i1 )P(A i2 ) · · · P(Aik), (4)
即事件A1 , A2 , · · · , An中任意k个事件的积事件的概率都等于对应 事件的概率的乘积, 则称A1 , A2 , · · · , An相互独立.
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
定义
根据上述说明, 可以将独立的定义推广到一般的多个事情的情形.
设A1 , A2 , · · · , An 是任意n (n ≥ 2) 个事件, 若对任意2 k n 及
任意1 i1 < i2 < · · · < ik n, 都有
P(A i1A i2 · · · Aik) = P(A i1 )P(A i2 ) · · · P(Aik), (4)
即事件A1 , A2 , · · · , An中任意k个事件的积事件的概率都等于对应 事件的概率的乘积, 则称A1 , A2 , · · · , An相互独立.
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
定义
根据上述说明, 可以将独立的定义推广到一般的多个事情的情形.
显然, n个事件的相互独立需要有
C = C - C - C = 2n - 1 - n
个等式来保证.
n
1
n
0
n
k
n
k
三个及三个以上事件的独立性
x4: 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
(3) 若事件A1 ; A2 ; A3 ; A4 相互独立J 则A1A2 与A3A4 J A1 [ A2
与A3A4 J A1 [ A2 与A3 [ A4 J A1A2 与A3 — A4 等事件也分别相互独 立.
(2) 若事件A1 ; A2 ; · · · ; An 相互独立J 则其中任意k (2 k n) 个
事件也相互独立;
类似于三个事件独立的结论J 一般地J 可以得到关于多个事件相 互独立的相关性质J 我们列举如下一部分:
(1) 若事件A1 ; A2 ; · · · ; An 相互独立J 则将其中任意k (1 k n)
个事件换成逆事件后所得的事件仍然相互独立;
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
(3) 若事件A1 ; A2 ; A3 ; A4 相互独立J 则A1A2 与A3A4 J A1 [ A2
与A3A4 J A1 [ A2 与A3 [ A4 J A1A2 与A3 — A4 等事件也分别相互独 立.
(2) 若事件A1 ; A2 ; · · · ; An 相互独立J 则其中任意k (2 k n) 个
事件也相互独立;
类似于三个事件独立的结论J 一般地J 可以得到关于多个事件相 互独立的相关性质J 我们列举如下一部分:
(1) 若事件A1 ; A2 ; · · · ; An 相互独立J 则将其中任意k (1 k n)
个事件换成逆事件后所得的事件仍然相互独立;
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
(3) 若事件A1 ; A2 ; A3 ; A4 相互独立J 则A1A2 与A3A4 J A1 [ A2
与A3A4 J A1 [ A2 与A3 [ A4 J A1A2 与A3 — A4 等事件也分别相互独 立.
(2) 若事件A1 ; A2 ; · · · ; An 相互独立J 则其中任意k (2 k n) 个
事件也相互独立;
类似于三个事件独立的结论J 一般地J 可以得到关于多个事件相 互独立的相关性质J 我们列举如下一部分:
(1) 若事件A1 ; A2 ; · · · ; An 相互独立J 则将其中任意k (1 k n)
个事件换成逆事件后所得的事件仍然相互独立;
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
(3) 若事件A1 ; A2 ; A3 ; A4 相互独立J 则A1A2 与A3A4 J A1 [ A2
与A3A4 J A1 [ A2 与A3 [ A4 J A1A2 与A3 — A4 等事件也分别相互独 立.
(2) 若事件A1 ; A2 ; · · · ; An 相互独立J 则其中任意k (2 k n) 个
事件也相互独立;
类似于三个事件独立的结论J 一般地J 可以得到关于多个事件相 互独立的相关性质J 我们列举如下一部分:
(1) 若事件A1 ; A2 ; · · · ; An 相互独立J 则将其中任意k (1 k n)
个事件换成逆事件后所得的事件仍然相互独立;
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
设事件A1 ; A2 ; · · · ; An 相互独立, 则
P Ai ) = 1 — (1 — P(A i)).
(5)
在计算和事件的概率的时候, 用加法公式比较麻烦, 特别是多个 事件的情形. 但如果事件是相互独立的, 则有如下简便的计算方 法.
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
定理
设事件A1 ; A2 ; · · · ; An 相互独立, 则
P Ai ) = 1 — (1 — P(A i)).
(5)
在计算和事件的概率的时候, 用加法公式比较麻烦, 特别是多个 事件的情形. 但如果事件是相互独立的, 则有如下简便的计算方 法.
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
定理
事实上, 由A1 ; A2 ; · · · ; An 相互独立知, A1 ; A2 ; · · · ; An 也相互独立, 因此
n n
= 1 — Ⅱ P(A i) = 1 — Ⅱ (1 — P(A i)).
i= 1 i= 1
P
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
定理证明
例
一个系统能正常工作的概率称为该系统的可靠性. 现用2n个相同 的元件组成一个系统J 有三种不同的连接方式J 第一种是单一 串
联(如图1 - 2); 第二种是先串联后并联(如图1 - 3); 第三种是先并 联后串联(如图1 - 4). 假设各个元件能正常工作是相互独立的J
且每个元件正常工作的概率都是r (0 < r < 1)J 试比较这三种连 接系统的可靠性R1 , R2和R3 .
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
三个及三个以上事件的独立性
x4: 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
解
以A i表示事件“第i个元件正常工作", i = 1; 2; · · · ; 2n, 则由题意 知A1 , A2 , · · · , A2n 相互独立, 且
P(A i) = r; i = 1; 2; · · · ; 2n:
2n
R1 = P(A1A2 · · · A2n) =uP(A i) = r2n :
i= 1
三个及三个以上事件的独立性
x4: 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
第一种连接方式的可靠性为
解
以A i表示事件“第i个元件正常工作", i = 1; 2; · · · ; 2n, 则由题意 知A1 , A2 , · · · , A2n 相互独立, 且
P(A i) = r; i = 1; 2; · · · ; 2n:
2n
R1 = P(A1A2 · · · A2n) =uP(A i) = r2n :
i= 1
三个及三个以上事件的独立性
x4: 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
第一种连接方式的可靠性为
由于
A1A2 · · · An 与 An+1An+2 · · · A2n相互独立: 故第二种连接方式的可靠性为
R2 = P((A1A2 · · · An) [ (An+1An+2 · · · A2n))
= 1 — (1 — P(A1A2 · · · An))(1 — P(An+1An+2 · · · A2n)) = 1 — (1 — rn )2 = rn (2 — rn ):
三个及三个以上事件的独立性
x4: 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
第二种连接方式
由于
A1 [ An+1 ; A2 [ An+2 ; · · · ; An [ A2n ; 相互独立:
故第三种连接方式的可靠性为
R3 = P((A1 [ An+1) \ (A2 [ An+2) \ · · · \ (An [ A2n)) = P(A1 [ An+1)P(A2 [ An+2) · · · P(An [ A2n)
= (1 — (1 — r)2 )n = rn (2 — r)n:
三个及三个以上事件的独立性
x4: 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
第三种连接方式
这是一个很有启发性的例子. 用相同的元件组成一个系统, 由于 设计的连接方式不同, 得到的可靠度不一样. 从而告诫我们, 事先 应精心设计以提高产品或工程的可靠度.
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
显然, 当n 2时, R1 < R2 < R3 .
说明
这是一个很有启发性的例子. 用相同的元件组成一个系统, 由于 设计的连接方式不同, 得到的可靠度不一样. 从而告诫我们, 事先 应精心设计以提高产品或工程的可靠度.
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
显然, 当n 2时, R1 < R2 < R3 .
说明
某银行发生一起抢劫案, 现有两个相互独立的证据, 每个证据均 以0.7 的证明力可以证明为某一犯罪团伙所为, 求这一起抢劫案 为这一犯罪团伙所为的概率. 若要以99%以上的概率确定这起抢 劫案为这一犯罪团伙所为, 问至少需要多少相互独立的证据
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
例
以A i 表示事件“第i 个证据表明这起抢劫案为该犯罪团伙所为",
i ≥ 1, 则P(A i) = 0:7; i ≥ 1: 故在两个相互独立的证据的情况下, 这一起抢劫案为这一犯罪团伙所为的概率为
p1 = P(A1[A2) = 1 - (1 -P(A1))(1 -P(A2)) = 1 -0:3 0:3 = 0:91:
一般地, 设有n个相互独立的证据, 则该起抢劫案为这一犯罪团伙
所为的概率为p2 = P ( A i) = 1 - 0:3n : 若要以99%以上的概率
确定这起抢劫案为这一犯罪团伙所为, 只需1 - 0:3n ≥ 0:99, 由 于1 - 0:33 < 0:99, 而1 - 0:34 ≥ 0:99, 因此至少需要4个相互独立 的证据, 才能以99%以上的概率确定这起抢劫案为这一犯罪团伙
i
三个及三个以上事件的独立性
x4: 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
解
所为.
甲最终获胜, 比赛的局数可能是2 局(结果是“ 甲甲"这一种, 此时不 进行第3 局比赛了), 或3 局(结果是“ 乙甲甲"或“ 甲乙甲"这两种). 这
三种结局两两互不相容, 于是由独立性可得甲最终获胜的概率为
p1 = p2 + 2p2(1 - p).
甲、 乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为p; p ≥ . 问对甲
而言, 采用三局二胜制有利, 还是采用五局三胜制有利. 设各局胜 负相互独立.
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
三局二胜制的情况:
例
甲最终获胜, 比赛的局数可能是2 局(结果是“ 甲甲"这一种, 此时不 进行第3 局比赛了), 或3 局(结果是“ 乙甲甲"或“ 甲乙甲"这两种). 这
三种结局两两互不相容, 于是由独立性可得甲最终获胜的概率为
p1 = p2 + 2p2(1 - p).
甲、 乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为p; p ≥ . 问对甲
而言, 采用三局二胜制有利, 还是采用五局三胜制有利. 设各局胜 负相互独立.
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
三局二胜制的情况:
例
甲最终获胜, 比赛的局数可能是3局(结果是“ 甲甲甲"这一种),
4局(结果共有C = 3种)或5局(结果共有C = 6种). 根据独立性,
在五局三胜制的情况下甲最终获胜的概率为
p2 = p3 + C p3 (1 - p) + C p3 (1 - p)2 = p3 (6p2 - 15p + 10).
而
p2 - p1 = 3p2(1 - p)2 (2p - 1).
4
2
3
2
4
2
3
2
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性
五局三胜制的情况:
因此, 当p > 时, p2 > p1 , 对甲而言采用五局三胜制更有利, 即比 赛的局数越多对甲越有利. 当p = 时, p2 = p1 = , 两种赛制下 甲和乙最终获胜的概率相同, 都是50%, 比多少局都一样.
三个及三个以上事件的独立性
x4 . 随机事件的独立性
背景
两个事件的独立性 三个及三个以上事件的独立性

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