资源简介 (共63张PPT)概率论与数理统计x3: 一维连续型随机变量 一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量1 一维连续型随机变量的概念和性质2 密度函数的性质及其应用3 常用的连续型随机变量x3: 一维连续型随机变量x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量上一节我们主要介绍了离散型随机变量, 而实际生活中还有很多 这样类型的随机变量, 它们的取值可能是某区间内的全体实数, 我们先看如下一个例子.在区间[1; 5] 上任意掷一个质点, 以X 表示这个质点与原点的距离, 则X 是一个随机变量. 如果这个质点落在[1; 5] 上任一子区间内的 概率与该子区间的长度成正比, 求X 的分布函数F(x).一维连续型随机变量的概念和性质x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量例上一节我们主要介绍了离散型随机变量, 而实际生活中还有很多 这样类型的随机变量, 它们的取值可能是某区间内的全体实数, 我们先看如下一个例子.在区间[1; 5] 上任意掷一个质点, 以X 表示这个质点与原点的距离, 则X 是一个随机变量. 如果这个质点落在[1; 5] 上任一子区间内的 概率与该子区间的长度成正比, 求X 的分布函数F(x).一维连续型随机变量的概念和性质x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量例一维连续型随机变量的概念和性质X 5}是一个必然事件, 即P(1 X x}是不可能事件, 此时F(x) = 0.x}是必然事件, 此时F(x) = 1.x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量F(x) = P(X x) = P(X < 1) + P(1 X x) = (x - 1).X x) = k(x - 1), 其中k是待定常 X 5) = 1可得k = , 从而此时解对1 x 5, 由题意知, P(1 数. 特别地, 取x = 5, 由P(1由题意知, {1 若x < 1, 则{X 若x ≥ 5, 则{X5) = 1.综上得X的分布函数为8F(x) = (一维连续型随机变量的概念和性质x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量x < 1; 1 ≤ x < 5;x ≥ 5:0;(x - 1);1;显然, 上例中求出的分布函数F(x)是一个定义在R上的连续函数, 因此, 所对应的随机变量绝不是我们前面讨论的离散型随机变量. 事实上, 该分布函数F(x)可以表述成下面的形式F(x) = lx f (t)dt; x = R;其中f (x) = ; 1 5;我们把分布函数具有上述表示形式的随机变量称为为连续型随机;其< x1一维连续型随机变量的概念和性质x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量说明变量设F(x)是随机变量X的分布函数, 若存在非负函数f (x), 使得对任 意x = R有F(x) = lx f (t)dt; (1)则称随机变量X为连续型随机变量, f (x)称为X的概率密度函数, 简称为密度函数或密度.1(1)式中的积分是一个变上限的积分, 根据变上限积分的性质知, (1)式中的函数F(x)是一连续函数.一维连续型随机变量的概念和性质x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量定义设F(x)是随机变量X的分布函数, 若存在非负函数f (x), 使得对任 意x = R有F(x) = lx f (t)dt; (1)则称随机变量X为连续型随机变量, f (x)称为X的概率密度函数, 简称为密度函数或密度.1(1)式中的积分是一个变上限的积分, 根据变上限积分的性质知, (1)式中的函数F(x)是一连续函数.一维连续型随机变量的概念和性质x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量定义定理设随机变量X为连续型随机变量, 具有密度函数f (x), 则 (1) f (x) ≥ 0, x 2 R;(2) l+ 1f (x)dx = 1;(3) 设x1 < x2 , 则P(x1 < X x2 ) = l f (t)dt:(4) 在f (x)的连续点x上, F\(x) = f (x);(5) 对任何常数c, 有P(X = c) = 0.2x1密度函数的性质及其应用下面我们介绍密度函数的几个重要的性质.x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量定理设随机变量X为连续型随机变量, 具有密度函数f (x), 则 (1) f (x) ≥ 0, x 2 R;(2) l+ 1f (x)dx = 1;(3) 设x1 < x2 , 则P(x1 < X x2 ) = l f (t)dt:(4) 在f (x)的连续点x上, F\(x) = f (x);(5) 对任何常数c, 有P(X = c) = 0.2x1密度函数的性质及其应用下面我们介绍密度函数的几个重要的性质.x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量上 定理中的(1)和(2)是任何一个函数f (x)可作为某连续型随机 变量的密度函数的充要条件.密度函数的性质及其应用x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量注密度函数的性质及其应用x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量例(1) 求X的密度函数f (x); (2) 计算P(jXj 0:5).8 0; F(x) =〈 x2 ;: 1;x < 0; 0 x < 1;x ≥ 1:设连续型随机变量X的分布函数为(1)根据定理的(4)可知, X的密度函数为f (x) = { ; 0 1;(2) 根据定理的(5)可知,P(jXj 0:5) = F(0:5) - F(-0:5) = 0:25:其< x0;2x密度函数的性质及其应用x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量解设连续型随机变量X具有密度f (x) = { kx 1; 0 他: 2;(1) 确定常数k; (2) 求X的分布函数F(x); (3) 计算P(- 1 < X 1).其x密度函数的性质及其应用x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量例(1) 根据定理的(2)可知,1 = l+ 1f (x)dx = l2 (kx + 1)dx = 2k + 2;故k = - .01密度函数的性质及其应用x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量解8 > > > > > > 〈 > > > > > > ( 8 > > 〈 > > ( lx f (t)dt;(l0 + lx )f (t)dt; 0 (l0 + l2 + lx )f (t)dt;0;0 +l (- t + 1) dt = - x20 + 1 + 0 = 1;0x201011==x < 0;x < 2;x ≥ 2:x < 0; + x; 0 x < 2;x ≥ 2:密度函数的性质及其应用x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量(2) X的分布函数为F(x) = P(X x) =lx 1f (t)dt(3) 根据(2)中求出的分布函数有P(- 1 < X 1) = F(1) - F(- 1) = - + 1 - 0 = :密度函数的性质及其应用x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量例中的(3)还可以用下述方法求解P(- 1 < X 1) = l f (x)dx = l ( - x + 1)dx = ,这样不依赖于已经求出的分布函数F(x).1011密度函数的性质及其应用x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量注若随机变量X的密度函数f (x)在区间(a; b)之外全为0, 其中a; b为两 任意确定的常数, 则P(X = (a; b)) = lbf (x)dx = 0 + lbf (x)dx + 0 = la f (x)dx + lbf (x)dx + l+1f (x)dx= l+ 1f (x)dx = 1.即随机变量以概率1取值于密度函数不为0的区间内, 例如, 例中 的随机变量以概率1取值于区间(0; 2)之内等等.1ba1aa密度函数的性质及其应用x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量注其中a, b (a < b)为两确定的常数, 则称随机变量X在区间(a, b)上 服从均匀分布, 记作X U(a, b).常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量定义!f (x) =〈 (a < x < b, 其他,设随机变量X的密度函数为b - a , 0,(2)1由于a < b, 则显然有f (x) ≥ 0, 又l f (x)dx = l dx = 1;因此, f (x)是一个密度函数.ba11+若X U(a; b), 则X的分布函数为x < a;a x < b;x ≥ b.常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量F(x) =〈>(b - a ; 1;0; x - a8 >由于a < b, 则显然有f (x) ≥ 0, 又l f (x)dx = l dx = 1;因此, f (x)是一个密度函数.ba11+若X U(a; b), 则X的分布函数为x < a;a x < b;x ≥ b.常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量F(x) =〈>(b - a ; 1;0; x - a8 >常用的连续型随机变量x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量f (x)和F(x)的图像如图2-1.在区间(a; b)上服从均匀分布的随机变量具有下述意义的等可能 性, 即它落在区间(a; b) 内任何一个子区间内的概率只与该子区间 的长度有关, 而与该子区间在(a; b)内的位置无关. 事实上, 设区间(c; c + l) G (a; b), 则P(c < X < c + l) = l f (x)dx = l dx = .c+lcc+lc均匀分布在实际中较为常见. 例如, 随机到达车站的乘客候车的 候车时间, 一个随机数取整后产生的误差等等. 均匀分布在随机 模拟中有广泛的应用.常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量在区间(a; b)上服从均匀分布的随机变量具有下述意义的等可能 性, 即它落在区间(a; b) 内任何一个子区间内的概率只与该子区间 的长度有关, 而与该子区间在(a; b)内的位置无关. 事实上, 设区间(c; c + l) G (a; b), 则P(c < X < c + l) = l f (x)dx = l dx = .c+lcc+lc均匀分布在实际中较为常见. 例如, 随机到达车站的乘客候车的 候车时间, 一个随机数取整后产生的误差等等. 均匀分布在随机 模拟中有广泛的应用.常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量设随机变量X的密度函数为f (x) = { λe ; ; ; (3)其中λ > 0为常数, 则称随机变量X服从参数为λ的指数分布, 记 作X E(λ).λx0-常用的连续型随机变量x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量定义显然有f (x) ≥ 0, 又l+ 1f (x)dx = l+1 λe-λtdx = 1,因此, f (x)是密度.01若X E(λ), 则X的分布函数为F(x) = { 1 - -λx ,,0e常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量x > 0, 其他.若X E(λ), 则X的分布函数为F(x) = { 1 - -λx ,,0e显然有f (x) ≥ 0, 又l+ 1f (x)dx = l+1 λe-λtdx = 1,因此, f (x)是密度.01常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量x > 0, 其他.显然, 服从指数分布的随机变量X只能取非负实数值. 非负值随机 变量在与金融风险有关的概率问题中经常出现. 服从指数分布的 随机变量就是其中的一种经常使用的随机变量类型. 在应用概率 的许多领域内, 服从指数分布的随机变量往往被用来表示电子元 件的寿命, 以及排队模型中的服务时间等. 在研究记录值问题时, 更是一种不可缺少的工具.常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量若X为取非负实数值的随机变量, 则X服从指数分布的充要条件是 对任何s > 0与t > 0, 有P(X > s + t j X > s) = P(X > t). (4)与几何分布类似, 指数分布也具有无记忆性, 并且是唯一的具有 无记忆性的非负连续型分布, 结论如下常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量定理若X为取非负实数值的随机变量, 则X服从指数分布的充要条件是 对任何s > 0与t > 0, 有P(X > s + t j X > s) = P(X > t). (4)与几何分布类似, 指数分布也具有无记忆性, 并且是唯一的具有 无记忆性的非负连续型分布, 结论如下常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量定理正态分布是最重要的概率分布之一, 在概率论中具有极其重要的 地位.其中μ, σ > 0为常数, 则称随机变量X服从参数为μ, σ的正态分布 或高斯(Gauss)分布, 记作X N(μ, σ2 ).常用的连续型随机变量 3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量f (x) = p2πσe 2σ2 , x E R, (5)定义设随机变量X的密度函数为1 - (x- μ)2正态分布是最重要的概率分布之一, 在概率论中具有极其重要的 地位.其中μ, σ > 0为常数, 则称随机变量X服从参数为μ, σ的正态分布 或高斯(Gauss)分布, 记作X N(μ, σ2 ).常用的连续型随机变量 3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量f (x) = p2πσe 2σ2 , x E R, (5)定义设随机变量X的密度函数为1 - (x- μ)2易见J ∫ (x)非负J 记I = l+ 1∫ (x)dx .由于∫ (x)的原函数不是初等函数J 我们转而考虑I2 .1常用的连续型随机变量先来证明(5)式中的∫ (x)是一个密度函数.x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量易见J ∫ (x)非负J 记I = l+ 1∫ (x)dx .由于∫ (x)的原函数不是初等函数J 我们转而考虑I2 .1常用的连续型随机变量先来证明(5)式中的∫ (x)是一个密度函数.x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量易知I2 = exp { — dx · l exp { —= l exp { — dudv= dθ l exp { — rdr = 1;1+02π11+11+11+11+常用的连续型随机变量x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量}dy常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量在上式中, 我们先作了变换u = 换u = r cos θ, v = rsin θ . 结合I 一个密度函数., v = , 再作极坐标变> 0, 即得I = 1. 所以, f (x)确实是正态分布的记号N(μ, σ2 )意为Normal Distribution, 我们有时将服 从正态分布的随机变量称为正态随机变量. 在正态分布中,μ = 0, σ = 1的情形具有特别重要的意义, 称为标准正态分布. 标 准正态分布N(0, 1)的分布函数和密度函数分别用 (x)和Ψ(x)表 示.常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量常用的连续型随机变量x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量1。 f (x)关于x = μ对称, 即有f (μ -x) = f (μ + x); x E R.从而, 对任意h > 0, 有l μ f (x)dx = l μ+hf (x)dx;即 P(μ - h < X μ) = P(μ < X μ + h), 正态随机变量X落在关于μ对称的区间内的概率相等. 一般将μ称为位置参数.μhμ通过观察密度函数f (x) 的图形(图2-2), 可以帮助我们初步了解其 中两个参数μ和σ2 的意义:常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量1。 f (x)关于x = μ对称, 即有f (μ -x) = f (μ + x); x E R.从而, 对任意h > 0, 有l μ f (x)dx = l μ+hf (x)dx;即 P(μ - h < X μ) = P(μ < X μ + h), 正态随机变量X落在 关于μ对称的区间内的概率相等. 一般将μ称为位置参数.μhμ通过观察密度函数f (x) 的图形(图2-2), 可以帮助我们初步了解其 中两个参数μ和σ2 的意义:常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量特别地, 标准正态分布N(0; 1)的密度函数Ψ(x) = e- ; x 2 R;关于x = 0对称, 即Ψ(x)为偶函数.常用的连续型随机变量x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量2。 ∫ (x) 在x = μ处达到最大值 , 并且σ 的值越小, ∫ (x)的峰越陡峭; 反之, σ的值越大, ∫ (x)的峰越平缓. 通常将σ 称为正态分 布N(μ, σ2 )的形状参数.由于x ∫ (x) = 0, 因此有常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量3。 ∫ (x) 的图像以Ox轴为渐近线, 且在x = μ 干 σ处为拐点.2。 ∫ (x) 在x = μ处达到最大值 , 并且σ 的值越小, ∫ (x)的峰越陡峭; 反之, σ的值越大, ∫ (x)的峰越平缓. 通常将σ 称为正态分 布N(μ, σ2 )的形状参数.由于x ∫ (x) = 0, 因此有常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量3。 ∫ (x) 的图像以Ox轴为渐近线, 且在x = μ 干 σ处为拐点.2。 ∫ (x) 在x = μ处达到最大值 , 并且σ 的值越小, ∫ (x)的峰越陡峭; 反之, σ的值越大, ∫ (x)的峰越平缓. 通常将σ 称为正态分 布N(μ, σ2 )的形状参数.由于x ∫ (x) = 0, 因此有常用的连续型随机变量3。 ∫ (x) 的图像以Ox轴为渐近线, 且在x = μ 干 σ处为拐点.x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量正态分布N(μ, σ2 )的分布函数为F(x) = exp {- dt, x E R,其值不易积出. 对于标准正态分布N(0, 1)的分布函数(x) = exp {- dt, x E R,有专门的表格可以查阅其值(见书后的附录二).1x1x常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量(6)利用Ψ(x)的偶函数性质, 可知Φ(-x) = 1 - Φ(x); x > 0;所以附录二的表中仅对x ≥ 0列出了Φ(x)的值.常用的连续型随机变量x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量(7)对于一般的正态随机变量X N(μ; σ2 )的分布函数F(x), 通过 在(6)式中作变量替换, 可得F(x) = Φ( ); x 2 R; (8)常用的连续型随机变量x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量此即Z :=因此利用标准正态分布表可以换算出F(x)的值.X - μσN(0; 1);一般地, 设随机变量X N(μ; σ2 ), 则对任意实数a; b, (a < b), 有P(a < X < b) = - : (9)常用的连续型随机变量x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量定理在附录二中关于Φ(x)的值, 表格中只列到Φ(3.49)为止, 这因为标 准正态随机变量Z取更大值的概率微乎其微. 我们注意到Φ(3) = 0.9987; 因此P(jZj < 3) = Φ(3) - Φ(-3) = 2Φ(3) - 1 = 0.9974 ;这个概率值已经足够大了. 并且一般正态随机变量也有相应的性 质, 事实上, 利用关系式(8), 不难得知P(jX - μj < 3σ) = P(μ - 3σ < X < μ + 3σ)= F(μ + 3σ) - F(μ - 3σ) = Φ(3) - Φ(-3) = 0.9974.这种现象反映了正态随机变量在分布上的高度集中性.常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量此外,经过类似的计算, 还可知:如果随机变量X服从正态分布N(μ; σ2 ),则有P(jX - μj < σ) = Φ(1) - Φ(- 1) = 0.6826; P(jX - μj < 2σ) = Φ(2) - Φ(-2) = 0.9546.这些关系式对于我们处理实际问题具有重要参考价值.这一结果反映了正态随机变量的一个十分引人注目的性质. 我们 已经知道, 正态分布N(μ; σ2 )的密度函数f (x)处处为正, 所以正态 随机变量X在任何区间中取值的概率都为正数, 但是上述结果告 诉我们, X以大于0.9974的概率取区间(μ - 3σ; μ + 3σ)中的值, 从 而若以该区间来估计X 的取值范围, 其误差小于0.003, 这就是著 名的“3σ准则".常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量此外,经过类似的计算, 还可知:如果随机变量X服从正态分布N(μ; σ2 ),则有P(jX - μj < σ) = Φ(1) - Φ(- 1) = 0.6826; P(jX - μj < 2σ) = Φ(2) - Φ(-2) = 0.9546.这些关系式对于我们处理实际问题具有重要参考价值.概率论与数理统计这一结果反映了正态随机变量的一个十分引人注目的性质. 我们 已经知道, 正态分布N(μ; σ2 )的密度函数f (x)处处为正, 所以正态 随机变量X在任何区间中取值的概率都为正数, 但是上述结果告 诉我们, X以大于0.9974的概率取区间(μ - 3σ; μ + 3σ)中的值, 从 而若以该区间来估计X 的取值范围, 其误差小于0.003, 这就是著 名的“3σ准则".常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量工业产品的生产过程受到众多随机因素的影响, 所以产品的各项 指标都与设计数值存在一定的误差, 这些误差只会随机地在一定 的范围内波动, 不可能是无界的随机变量. 人们之所以可用正态 分布来描述误差的分布, 除了实际中所绘制出的分布曲线很接近 于正态曲线之外, 还由于正态随机变量在分布上的高度集中性,使得可以用这个本是无界的随机变量的分布来刻画有界的误差分 布.常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量易知,P(X 3:5) = F(3:5) = = (1) = 0:8414;P(X > 2:5) = 1 - F(2:5) = 1 -= 1 - (0:5) = 0:3085;设随机变量X N(1:5; 4), 试求P(X 3:5); P(X > 2:5); P(jXj < 3)的值.常用的连续型随机变量x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量解例易知,P(X 3:5) = F(3:5) = = (1) = 0:8414;P(X > 2:5) = 1 - F(2:5) = 1 -= 1 - (0:5) = 0:3085;设随机变量X N(1:5; 4), 试求P(X 3:5); P(X > 2:5); P(jXj < 3)的值.常用的连续型随机变量x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量解例P(jXj < 3) = F(3) - F(-3)= (0:75) - (-2:25)= (0:75) - (1 - (2:25)) = 0:7612:-=常用的连续型随机变量x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内, 调节器将稳定 设定在d。C, 液体的温度X是一个随机变量, 且X N(d; 0:52). 若 要求保持液体的温度至少为80。C的概率不低于0:99, 问d至少为多 少 常用的连续型随机变量x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量例易知,P(X ≥ 80) = 1 - = :由题意知, 所求d应满足 ≥ 0:99, 查表得 ≥ 2:33, 即d ≥ 81:165.常用的连续型随机变量x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量解定义设Z N(0; 1), 其密度函数为Ψ(x), 对于给定的正 数α (0 < α < 1), 称满足P(Z > u ) = l Ψ(x)dx = α的数u 为N(0; 1)分布的上α分位点.1u常用的连续型随机变量最后介绍一个在数理统计中很重要的概念.x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量(10)定义设Z N(0; 1), 其密度函数为Ψ(x), 对于给定的正 数α (0 < α < 1), 称满足P(Z > u ) = l Ψ(x)dx = α的数u 为N(0; 1)分布的上α分位点.1u常用的连续型随机变量最后介绍一个在数理统计中很重要的概念.x3: 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量(10)如图2-3中阴影部分的面积即为α , 对不同的α和n, u 的值可由附 表二的标准正态分布表查得.常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量如图2-3中阴影部分的面积即为α , 对不同的α和n, u 的值可由附 表二的标准正态分布表查得.常用的连续型随机变量x3 . 一维连续型随机变量一维连续型随机变量的概念和性质 密度函数的性质及其应用 常用的连续型随机变量 展开更多...... 收起↑ 资源预览