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概率论与数理统计
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
x5: 边缘分布及随机变量的独立性
1 边缘分布
2 随机变量的独立性
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
对于二维随机变量(X; Y), 若我们知道了(X; Y)的分布(泛指分布函 数, 分布律或密度函数), 则随机变量X和Y各自的分布是什么 他 们与(X; Y) 的分布是什么关系, 以及随机变量X 和Y 之间的关系 怎么来描述 这就是本节所介绍的随机变量的边缘分布及独立 性.
设随机变量(X; Y)的分布函数为F(x; y), 随机变量X和Y各自的分
布函数称为(X; Y) 关于X和Y的边缘分布函数, 分别记 作FX(x); FY(y).
边缘分布的定义
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
定义
对于二维随机变量(X; Y), 若我们知道了(X; Y)的分布(泛指分布函 数, 分布律或密度函数), 则随机变量X和Y各自的分布是什么 他 们与(X; Y) 的分布是什么关系, 以及随机变量X 和Y 之间的关系 怎么来描述 这就是本节所介绍的随机变量的边缘分布及独立 性.
设随机变量(X; Y)的分布函数为F(x; y), 随机变量X和Y各自的分
布函数称为(X; Y) 关于X和Y的边缘分布函数, 分别记 作FX(x); FY(y).
边缘分布的定义
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
定义
由于fX < +1g = fY < +1g = S, 此X和Y的边缘分布函数分 别为
FX(x) = P(X x) = P(fX xg \ S)
= P(X x; Y < +1) = F(x; +1);
FY(y) = P(Y y) = P(fY yg \ S)
= P(X < +1; Y y) = F(+1; y);
其中F(x; +1) = y F(x; y), F(+1; y) = x F(x; y).
边缘分布函数
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
对于离散型随机变量(X; Y), 设(X; Y)的分布律为
P(X = xi ; Y = yi) = pij ; i;j 1:
则随机变量X的所有可能取值为xi ; i 1, 随机变量Y的所有可能 取值为yj ;j 1, 此X与Y均是离散型随机变量.
边缘分布律
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
对于离散型随机变量(X; Y), 设(X; Y)的分布律为
P(X = xi ; Y = yi) = pij ; i;j 1:
则随机变量X的所有可能取值为xi ; i 1, 随机变量Y的所有可能 取值为yj ;j 1, 此X与Y均是离散型随机变量.
边缘分布律
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
注意到此时n fY = yjg = S, 故对A i ≥ 1,
j≥1
P(X = xi) = P(fX = xig \ S)
= P fX = xig \
= P
= P(X = xi ; Y = yj) 兰 pi · : (1)
显然, pi · ≥ 0; i ≥ 1且 pi · = 1, 故(1)式是随机变量X的分布律.
边缘分布律
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
类似地, 对Aj ≥ 1,
P(Y = yj) = P(fY = yjg \ S)
= P fY = yjg \
= P
= P(X = xi ; Y = yj) 兰 p ·j : (2)
且(2)式是随机变量Y的分布律.
边缘分布律
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
HH Y H X HH y1 y2 · · · yj · · ·
P(X = xi)
x1 p11 p12 · · · p1j · · ·
p1 ·
x2 p21 p22 · · · p2j · · ·
p2 ·
. . . . . . . .
.
.
. . . .
.
xi pi1 pi1 · · · pij · · ·
pi ·
. . . . . . . .
.
.
. . . .
.
P(Y = yj) p ·1 p ·2 · · · p ·j · · ·
上述表格中J X和Y的分布律在联合分布律表格的边缘上J 因此J
将(1)式和(2) 式分别称为X和Y的边缘分布律.
边缘分布律
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
我们以如下表格的形式列出上述分布律.
对于连续型随机变量(X; Y), 设(X; Y)的密度函数为f (x; y), 则有
FX(x) = F(x; +1) = lx l+ 1f (u; v)dudv = lx （l+ 1f (u; v)dv）du:
显然, l f (u; v)dv ≥ 0, 故X为连续型随机变量, 其密度函数 为l f (x; y)dy, 称之为随机变量X的边缘概率密度函数, 记作
fX (x) = l+ 1f (x; y)dy: (3)
1
1
1
+
1
1
+
1
1
1
1
边缘概率密度
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
同理可得, Y是连续型随机变量, 其边缘概率密度函数为
fY (y) = l+ 1f (x; y)dx: (4)
1
边缘概率密度
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
设(X; Y)的分布律如下表, 试分别求随机变量X及Y的边缘分布律.
(1)
(2)
HH Y H X HH - 1 0
1
- 1 1/9 1/9
1/9
0 1/9 1/9
1/9
1 1/9 1/9
1/9
HH Y H X HH - 1 0
1
- 1 1/3 0
0
0 0 1/3
0
1 0 0
1/3
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
例
HH Y H X HH - 1 0 1
- 1 1/9 1/9 1/9
1/3
0 1/9 1/9 1/9
1/3
1 1/9 1/9 1/9
1/3
1/3 1/3 1/3
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
解
根据边缘分布律的定义, 易得X边缘分布律为
(1)
HH Y H X HH - 1 0 1
- 1 1/3 0 0
1/3
0 0 1/3 0
1/3
1 0 0 1/3
1/3
1/3 1/3 1/3
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
解
根据边缘分布律的定义, 易得Y的边缘分布律为
(2)
根据边缘分布的定义, 显然, 由(X; Y)的分布能唯一确定出X及Y的 边缘分布. 但由该例知, 边缘分布相同, 联合分布却不同, 即由边 缘分布不能唯一确定出相应的联合分布.
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
注
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
例
, x, y = R;
(1 + sinxsiny), x, y = R.
设(X, Y)为连续型随机变量, 密度函数如下, 试分别求X及Y的边缘
概率密度. (1) f (x, y) =
(2) f (x, y) =
e-
2πe
2
解
fX (x) = l+ 1f (x; y)dy = = e- ; x 2 R; fY (y) = l+ 1f (x; y)dx = = e- ; y 2 R:
1
1
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
(1) 根据(3)式及(4)式, 即得X和Y的边缘概率密度分别为
e-
p2πe 2 dy
e-
p2πe 2
l+ 1
1
l+ 1
1
1 - y2
1 - y2
fX (x) = l+ 1f (x; y)dy
= e- e- = e- ; x 2 R;
fY (y) = l+ 1f (x; y)dx e 2 l e 2 概d率x论+与数0理统计 e 2 y 2 R
1
1
1
+
1
(2) 由于e- , 此
l e- = l e- = 0:
故X和Y的边缘概率密度分别为
1
1
+
1
1
+
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
解
该例中的两个边缘分布都是标准正态分布, (1)的联合分布是二维 正态分布, 而(2)中的联合分布却根本不是二维正态分布! 进一步 说明了由边缘分布不能确定联合分布.
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
注
易知(X; Y)的密度函数为
f (x; y) = {
6; 0 三 x 三 1; x2 三 y 三 x; 0; 其他.
设二维随机变量(X; Y)在区域G = {(x; y)j0 三 x 三 1; x2 三 y 三 xg上 服从均匀分布, 试分别求随机变量X和Y的边缘概率密度.
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
解
例
易知(X; Y)的密度函数为
f (x; y) = {
6; 0 三 x 三 1; x2 三 y 三 x; 0; 其他.
设二维随机变量(X; Y)在区域G = {(x; y)j0 三 x 三 1; x2 三 y 三 xg上 服从均匀分布, 试分别求随机变量X和Y的边缘概率密度.
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
解
例
= l+ 1f (x; y)dy
l 6dy = 6(x -x2 ); 0 x 1;
0; 其他.
= l+ 1f (x; y)dx
l 6dx = 6(py - y); 0 y 1;
0; 其他.
py
y
1
x
1
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
解
fX (x)
8 〈 :
fY (y)
8 〈 :
=
=
故X和Y的边缘概率密度分别为
由注知J 由边缘分布一般不能唯一确定出联合分布J 一个很自然 的问题是: 在什么情况下J 由边缘分布能唯一确定出联合分布 结 合我们在第一章中所介绍的随机事件的独立性J 接下来我们介绍 随机变量的独立性J 若随机变量之间是独立性的J 则由边缘分布 能唯一确定出联合分布.
独立性定义
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
设F(x; y)及FX(x); FY(y)分别是二维随机变量(X; Y)的分布函数及
相应的边缘分布函数. 若对于任意x; y E R有
F(x; y) = FX(x)FY(y); (5)
成立, 即
P(X x; Y y) = P(X x)P(Y y); x; y E R; (6)
成立, 则称随机变量X与Y相互独立.
独立性定义
根据上述定义, 随机变量X与Y相互独立的本质上是: 对任 意x; y E R, 随机事件{X x}与{Y y}相互独立.
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
定义
设F(x; y)及FX(x); FY(y)分别是二维随机变量(X; Y)的分布函数及
相应的边缘分布函数. 若对于任意x; y E R有
F(x; y) = FX(x)FY(y); (5)
成立, 即
P(X x; Y y) = P(X x)P(Y y); x; y E R; (6)
成立, 则称随机变量X与Y相互独立.
独立性定义
根据上述定义, 随机变量X与Y相互独立的本质上是: 对任 意x; y E R, 随机事件{X x}与{Y y}相互独立.
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
定义
(1) 设(X; Y)为二维连续型随机变量J 其密度函数为f (x; y)J 相应的 边缘概率密度分别为fX (x)与fY (y)J 则随机变量X与Y相互独立等价 于
f (x; y) = fX (x)fY (y); x; y = R.
对于离散型随机变量及连续型随机变量的相互独立有如下等价命 题.
独立性命题
命题
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
(1) 设(X; Y)为二维连续型随机变量J 其密度函数为f (x; y)J 相应的 边缘概率密度分别为fX (x)与fY (y)J 则随机变量X与Y相互独立等价 于
f (x; y) = fX (x)fY (y); x; y = R.
对于离散型随机变量及连续型随机变量的相互独立有如下等价命 题.
独立性命题
命题
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
(2) 设(X; Y)为二维离散型随机变量, 其分布律为
P(X = xi ; Y = yi) = pij ; i;j ≥ 1;
相应的边缘分布律分别为:
P(X = xi) = pi · ; i ≥ 1. P(Y = yj) = p ·j ; j ≥ 1.
则随机变量X与Y相互独立等价于
pij = pi · · p ·j ; i;j ≥ 1;
成立, 即
P(X = xi ; Y = yj) = P(X = xi)P(Y = yj) ; i;j ≥ 1;
独立性命题
命题
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
HH Y H X HH - 1 0 1
1 1/6 1/9 1/18
1/3
2 1/3 α β
1/3 + α + β
1/2 α + 1/9 β + 1/18
独立性应用
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
例
试问, 当α; β取何值时, X与Y相互独立
设二维随机变量(X; Y)的分布律为
若X与Y相互独立, 则必有
此即
= α + ;
〈
= α + :
解此方程组得α = ; β = .
独立性应用
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
解
若X与Y相互独立, 则必有
此即
= α + ;
〈
= α + :
解此方程组得α = ; β = .
独立性应用
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
解
经验证, 当α = ; β = 时, X 与Y 相互独立, 因此α = ; β = .
独立性应用
x5: 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
由(X; Y) N(μ1 ; μ2 ; σ ; σ ; ρ)知, X N(μ1 ; σ ); Y N(μ2 ; σ ) (见习题3). 设(X; Y)的密度函数为f (x; y), 相应的边缘概率密度分 别为fX (x)和fY (y).
因此, 若X与Y相互独立, 则根据命题, 对任意x; y E R有,
f (x; y) = fX (x)fY (y).
令x = μ 1 ; y = μ2 可得“ 11- ρ2 = 1, 此即ρ = 0.
另一方面, 若ρ = 0, 则显然有f (x; y) = fX (x)fY (y)对任意x; y E R都
成 与 相 独
2
2
1
2
2
2
1
2
例
设二维随机变量(X; Y) N(μ1 ; μ2 ; σ ; σ ; ρ). 则X与Y相互独立的
充要条件是ρ = 0.
2
2
1
2
独立性应用
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
解
由(X; Y) N(μ1 ; μ2 ; σ ; σ ; ρ)知, X N(μ1 ; σ ); Y N(μ2 ; σ ) (见习题3). 设(X; Y)的密度函数为f (x; y), 相应的边缘概率密度分 别为fX (x)和fY (y).
因此, 若X与Y相互独立, 则根据命题, 对任意x; y E R有,
f (x; y) = fX (x)fY (y).
令x = μ 1 ; y = μ2 可得“ 11- ρ2 = 1, 此即ρ = 0.
另一方面, 若ρ = 0, 则显然有f (x; y) = fX (x)fY (y)对任意x; y E R都
成 与 相 独
2
2
1
2
2
2
1
2
例
设二维随机变量(X; Y) N(μ1 ; μ2 ; σ ; σ ; ρ). 则X与Y相互独立的
充要条件是ρ = 0.
2
2
1
2
独立性应用
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
解
定理
设X与Y是相互独立的随机变量J h(x) 和g(y) 是R 上的连续函数J 则h(X) 与g(Y)也是相互独立的随机变量.
独立性的封闭性
比如J 若X与Y相互独立J 则X2与Y + 1也相互独立J 等等.
下面给出一个在随机变量的独立性的运用中很重要的一个定理.
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
定理
设X与Y是相互独立的随机变量J h(x) 和g(y) 是R 上的连续函数J 则h(X) 与g(Y)也是相互独立的随机变量.
独立性的封闭性
比如J 若X与Y相互独立J 则X2与Y + 1也相互独立J 等等.
下面给出一个在随机变量的独立性的运用中很重要的一个定理.
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
定理
设X与Y是相互独立的随机变量J h(x) 和g(y) 是R 上的连续函数J 则h(X) 与g(Y)也是相互独立的随机变量.
独立性的封闭性
比如J 若X与Y相互独立J 则X2与Y + 1也相互独立J 等等.
下面给出一个在随机变量的独立性的运用中很重要的一个定理.
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
设n维随机变量(X1 ; X2 ; · · · ; Xn)的分布函数和一维边缘分布函数 分别为F(x1 ; x2 ; · · · ; xn)与FXi (xi); i = 1; 2; · · · ; n, 若对于任
意x1 ; x2 ; · · · ; xn 2 R有
F(x1 ; x2 ; · · · ; xn) = FX1 (x1 )FX2 (x2 ) · · · FXn (xn);
成立, 则称X1 ; X2 ; · · · ; Xn是相互独立的.
类似于随机事件的独立性, 随机变量的独立性也可以推广到n个随 机变量的情况, 它在数理统计中相当重要.
独立性定义的推广
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
定义
设n维随机变量(X1 ; X2 ; · · · ; Xn)的分布函数和一维边缘分布函数 分别为F(x1 ; x2 ; · · · ; xn)与FXi (xi); i = 1; 2; · · · ; n, 若对于任
意x1 ; x2 ; · · · ; xn 2 R有
F(x1 ; x2 ; · · · ; xn) = FX1 (x1 )FX2 (x2 ) · · · FXn (xn);
成立, 则称X1 ; X2 ; · · · ; Xn是相互独立的.
类似于随机事件的独立性, 随机变量的独立性也可以推广到n个随 机变量的情况, 它在数理统计中相当重要.
独立性定义的推广
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
定义
在第一章定义n个随机事件相互独立的时候, 需要有2n - 1 - n个 等式, 而现在n个随机变量相互独立看起来好像只需要一个等式, 请读者仔细体会这两种独立性, 其实本质上是一致的. 另外,
对n个随机变量的独立性也有类似于前述命题和定理的结论, 在此 不再赘述.
独立性定义的推广
x5 . 边缘分布及随机变量的独立性 边缘分布
随机变量的独立性
注

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