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概率论与数理统计
x2: 统计量 基本概念 常用统计量 经验分布函数
概率论与数理统计
x2: 统计量
1 基本概念
2 常用统计量
3 经验分布函数
x2: 统计量 基本概念
常用统计量 经验分布函数
概率论与数理统计
样本是进行统计推断的依据. 在应用时, 往往不是直接使用样本 本身, 而是针对不同的问题构造样本的适当的函数, 利用这些样 本的函数进行统计推断.
背景
x2: 统计量 基本概念
常用统计量 经验分布函数
概率论与数理统计
设X1 ; X2 ; · · · ; Xn是来自总体X的一个样本, g(X1 ; X2 ; · · · ; Xn)是样
本X1 ; X2 ; · · · ; Xn的函数, 若g 中不含任何未知参数, 则 称g(X1 ; X2 ; · · · ; Xn) 是一个统计量.
x2: 统计量 基本概念
常用统计量 经验分布函数
定义
概率论与数理统计
设总体X N(μ; σ2 ), 其中μ已知, σ未知, X1 ; X2 ; · · · ; Xn是来自该
总体X的一个样本, 则X1 — μ , Xi , X 等都是统计量,
i
2
x2: 统计量 基本概念
常用统计量 经验分布函数
例
不是统计量.
,
但 jX1 j σ
概率论与数理统计
下面介绍几个常用的统计量. 设X1 ; X2 ; · · · ; Xn是来自总体X的一
个样本, x1 , x2 , · · · , xn是该样本的一组观测值.
x2: 统计量 基本概念
常用统计量 经验分布函数
X = Xi;
x = xi.
1. 样本均值
它的观测值记为
概率论与数理统计
下面介绍几个常用的统计量. 设X1 ; X2 ; · · · ; Xn是来自总体X的一 个样本, x1 , x2 , · · · , xn是该样本的一组观测值.
1. 样本均值 X = Xi;
它的观测值记为 x = xi.
x2: 统计量 基本概念
常用统计量 经验分布函数
概率论与数理统计
2. 样本方差
S2 = (Xi - X)2 = X - n(X)2 ) ;
它的观测值记为
s2 = (xi -x)2 = x - n(x)2 ).
i
2
i
2
x2: 统计量 基本概念
常用统计量 经验分布函数
概率论与数理统计
x2: 统计量 基本概念
常用统计量 经验分布函数
「| 1
s = ps2 = |
(Xi - X)2 ;
「| 1
S = pS2 = |
(xi -x)2 .
它的观测值记为
3. 样本标准差
/ n - 1
/ n - 1
概率论与数理统计
X ; k = 1; 2; · · · ;
x ; k = 1; 2; · · · .
i
k
i
k
x2: 统计量 基本概念
常用统计量 经验分布函数
4. 样本k 阶原点矩
它的观测值记为
显然, 样本1阶原点矩就是样本均值.
1
n
1
n
概率论与数理统计
ak =
Ak =
X ; k = 1; 2; · · · ;
x ; k = 1; 2; · · · .
i
k
i
k
x2: 统计量 基本概念
常用统计量 经验分布函数
显然, 样本1阶原点矩就是样本均值.
4. 样本k 阶原点矩
它的观测值记为
1
n
1
n
概率论与数理统计
ak =
Ak =
(Xi — X)k ; k = 1; 2; · · · ; (xi — x)k ; k = 1; 2; · · · .
x2: 统计量 基本概念
常用统计量 经验分布函数
5. 样本k 阶中心矩
它的观测值记为
显然, 样本1阶中心矩恒等于零.
1
n
1
n
概率论与数理统计
bk =
Bk =
(Xi — X)k ; k = 1; 2; · · · ; (xi — x)k ; k = 1; 2; · · · .
x2: 统计量 基本概念
常用统计量 经验分布函数
5. 样本k 阶中心矩
它的观测值记为
显然, 样本1阶中心矩恒等于零.
1
n
1
n
概率论与数理统计
bk =
Bk =
我们必须指出的是: 若总体X的k阶矩E(Xk ) = μk存在, 则
Ak
其中k是某正整数.
μk ; n ! 1;
-!
P
x2: 统计量 基本概念
常用统计量 经验分布函数
注
概率论与数理统计
事实上, 因为X1 ; X2 ; · · · ; Xn相互独立且与X同分布, 所以X , X , · · · , X 相互独立且与Xk 同分布. 故
E(X ) = E(X ) = · · · = E(X ) = μk:
由辛钦大数定律知
Ak = X μk ; n ! 1:
—!
P
i
k
n
k
2
k
1
k
n
k
2
k
1
k
x2: 统计量 基本概念
常用统计量 经验分布函数
注
概率论与数理统计
而且, 进一步地, 设g(x1 ; x2 ; · · · ; x k)是连续函数, 则对任意正整 数k有
g(A1 ; A2 ; · · · ; Ak) g(μ1 ; μ2 ; · · · ; μk); n ! 1:
这是下一章所要介绍的矩估计法的理论基础.
—!
P
x2: 统计量 基本概念
常用统计量 经验分布函数
注
概率论与数理统计
设X1 ; X2 ; · · · ; Xn是来自总体X的样本, 该样本的一组观测值为x1 ,
x2 , · · · , xn. 将该组观测值由小到大进行排列, 记作
x(1) x(2) · · · x(n) ;
即x(1)是观测值x1 ; x2 ; · · · ; xn 中的最小值, x(i)是其中第i个小的数 等. 记
x < x(1) ;
x(k) x < x(k+1) ; k = 1; 2; · · · ; n — 1; x ≥ x(n) .
x2 . 统计量 基本概念
常用统计量 经验分布函数
8 0; Fn(x) = ;
( 1;
概率论与数理统计
(1)
显然, Fn(x)是一非降右连续函数, 且
Fn(-1) = 0; Fn(+1) = 1:
因此, Fn(x)是一分布函数, 称为经验分布函数.
x2: 统计量 基本概念
常用统计量 经验分布函数
概率论与数理统计
从经验分布函数的表达式可知, 对于每一固定的x e R, Fn(x)是事 件“X x " 发生的频率, 当n 固定时, 它是一个随机变量. 根据贝 努利大数定律有
Fn(x) F(x); n ! 1.
事实上, 还有更深刻的结果, 比如, 格里纹科(Glivenko)所给出的关 系式:
P（ |Fn(x) - F(x)| = 0) = 1.
由此可见, 当n很大时, 经验分布函数Fn(x)是总体分布函数F(x)的 一个良好的近似.
n
R
p
x
s
-!
P
x2 . 统计量 基本概念
常用统计量 经验分布函数
注
概率论与数理统计

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