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概率论与数理统计
x4: 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义 二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量 二维连续型随机变量 常用的二维连续型随机变量
1 二维随机变量的定义
2 二维随机变量的分布函数
3 二维离散型随机变量
4 二维连续型随机变量
5 常用的二维连续型随机变量
x4: 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
x4: 二维随机变量及其分布函数
前两节我们讨论了单个随机变量, 但在实际生活中, 很多随机试 验的结果往往需要同时用多个随机变量来描述. 例如, 研究某地 区特定年龄段的儿童身体发育状况, 要同时考虑儿童的身高和体 重; 研究打靶时的弹着点, 需要用横坐标和纵坐标来描述等等, 这 就需要用到二维随机变量. 本节主要讨论二维随机变量及其相关 性质, 更高维随机变量及性质可类似给出.
我们先给出二维随机变量的定义.
定义
设X; Y为定义在样本空间S上的两个随机变量, 则称向量(X; Y) 为
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维随机变量的定义
样本空间S 上的二维随机向量或二维随机变量.
前两节我们讨论了单个随机变量, 但在实际生活中, 很多随机试 验的结果往往需要同时用多个随机变量来描述. 例如, 研究某地 区特定年龄段的儿童身体发育状况, 要同时考虑儿童的身高和体 重; 研究打靶时的弹着点, 需要用横坐标和纵坐标来描述等等, 这 就需要用到二维随机变量. 本节主要讨论二维随机变量及其相关 性质, 更高维随机变量及性质可类似给出.
我们先给出二维随机变量的定义.
定义
设X; Y为定义在样本空间S上的两个随机变量, 则称向量(X; Y) 为
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维随机变量的定义
样本空间S 上的二维随机向量或二维随机变量.
根据上述定义, 设(X; Y)为S上的二维随机变量, 则对样本空间S中 任意样本点e, 都存在唯一的一个数对(X(e); Y(e)) 与之对应, 而数
对(X(e); Y(e)) 对应到平面上的一个点, 因此, 二维随机变 量(X; Y)有时形象地称为二维随机点.
二维随机变量(X; Y)的性质不仅与X及Y有关, 而且还依赖于这两 个随机变量之间的相互关系. 因此, 逐个地研究X或Y的性质是不 够的, 还需将(X; Y) 作为一个整体来研究.
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维随机变量的定义
根据上述定义, 设(X; Y)为S上的二维随机变量, 则对样本空间S中 任意样本点e, 都存在唯一的一个数对(X(e); Y(e)) 与之对应, 而数
对(X(e); Y(e)) 对应到平面上的一个点, 因此, 二维随机变 量(X; Y)有时形象地称为二维随机点.
二维随机变量(X; Y)的性质不仅与X及Y有关, 而且还依赖于这两 个随机变量之间的相互关系. 因此, 逐个地研究X或Y的性质是不 够的, 还需将(X; Y) 作为一个整体来研究.
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维随机变量的定义
定义
设(X; Y)为二维随机变量, 对任意实数x; y, 称概率
P((X x) u (Y y)) 兰 P(X x; Y y)
为二维随机变量(X; Y) 的分布函数或随机变量X 与Y 的联合分布 函数, 记作F(x; y), 即
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
类似于一维随机变量, 我们也借助于分布函数来研究二维随机变 量.
二维随机变量的分布函数
F(x; y) = P(X x; Y
y).
定义
设(X; Y)为二维随机变量, 对任意实数x; y, 称概率
P((X x) u (Y y)) 兰 P(X x; Y y)
为二维随机变量(X; Y) 的分布函数或随机变量X 与Y 的联合分布 函数, 记作F(x; y), 即
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
类似于一维随机变量, 我们也借助于分布函数来研究二维随机变 量.
二维随机变量的分布函数
F(x; y) = P(X x; Y
y).
由于可将(X; Y)看成平面上随机点的坐标, 因此, 分布函数F(x; y) 就是随机点(X; Y) 落入平面区域(-1; x] 根 (-1; y](即图2-4中阴 影部分)的概率. 易知, 此时点(X; Y)落入矩形区域(x1 ; x2] 根 (y1 ; y2] 的概率为(如图2-5)
P(x1 < X x2 ; y1 < Y y2)
= F(x2 ; y2) - F(x2 ; y1) - F(x1 ; y2) + F(x1 ; y1).
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维随机变量的分布函数
x4: 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维随机变量的分布函数
设F(x, y)是随机变量(X, Y)的分布函数, 则
(1) 0 三 F(x, y) 三 1;
(2) F(x, y)关于x及y单调不降, 即
对任意y给定, 若x1 < x2 , 则F(x1 , y) 三 F(x2 , y);
对任意x给定, 若y1 < y2 , 则F(x, y1) 三 F(x, y2);
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
类似于一维随机变量的分布函数, 二维随机变量的分布函数也具 有如下几条重要的性质:
二维随机变量的分布函数
定理
设F(x, y)是随机变量(X, Y)的分布函数, 则
(1) 0 三 F(x, y) 三 1;
(2) F(x, y)关于x及y单调不降, 即
对任意y给定, 若x1 < x2 , 则F(x1 , y) 三 F(x2 , y);
对任意x给定, 若y1 < y2 , 则F(x, y1) 三 F(x, y2);
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
类似于一维随机变量的分布函数, 二维随机变量的分布函数也具 有如下几条重要的性质:
二维随机变量的分布函数
定理
(3) 对任意y给定, F(-1; y) = x m1 F(x; y) = 0;
对任意x给定, F(x; -1) = lim F(x; y) = 0;
y!-1
F(-1; -1) = x,yl!im-1 F(x; y) = 0;
F(+1; +1) = x,y 1 F(x; y) = 1;
(4) F(x; y)关于每个变量是右连续的, 即对任意y给定,
有F(x + 0; y) = F(x; y); 对任意x给定, 有F(x; y + 0) = F(x; y); (5) 对任意(x1 ; y1); (x2 ; y2), x1 < x2 ; y1 < y2 , 都有
F(x2 ; y2) - F(x2 ; y1) - F(x1 ; y2) + F(x1 ; y1) ≥ 0.
!
li
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维随机变量的分布函数
上述定理的逆定理也成立. 即任何满足定理中(1) (5)的函
数F(x; y)必是某二维随机变量的分布函数. 另外J 请读者注意与一 维随机变量分布函数的性质的比较.
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维随机变量的分布函数
注
设二维离散型随机变量(X; Y)的所有可能取值
为(xi ; yj); i 1;j 1, 记
P(X = xi ; Y = yi) = pij ; i;j 1. (1)
我们称(1)式为二维离散型随机变量(X; Y)的分布律, 或随机变 量X与Y的联合分布律.
若二维随机变量(X; Y)的所有可能取值只有有限对或可数对, 则 称(X; Y)为二维离散型随机变量.
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维离散型随机变量
定义
设二维离散型随机变量(X; Y)的所有可能取值
为(xi ; yj); i 1;j 1, 记
P(X = xi ; Y = yi) = pij ; i;j 1. (1)
我们称(1)式为二维离散型随机变量(X; Y)的分布律, 或随机变 量X与Y的联合分布律.
若二维随机变量(X; Y)的所有可能取值只有有限对或可数对, 则 称(X; Y)为二维离散型随机变量.
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维离散型随机变量
定义
HH Y H X HH y1 y2 · · · yj
· · ·
x1 p11 p12 · · · p1j
· · ·
x2 p21 p22 · · · p2j
· · ·
. . . . . . . .
. . . .
xi pi1 pi1 · · · pij
· · ·
. . . . . . . .
. . . .
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维离散型随机变量
X与Y的联合分布律可以用如下表格表示
易知{X = i; Y = j}的所有取值情况为: i = 1; 2; 3; 4, j = 1; · · · ; i,
由乘法公式可得, 对任意i = 1; 2; 3; 4, j = 1; · · · ; i有
P(X = i; Y = j) = P(X = i)P(Y = j|X = i) = · .
在1; 2; 3; 4四个整数中等可能地取一个值, 以随机变量X表示取到 的整数值. 以随机变量Y表示在1 X中等可能地取到的一个整数 值. 试求随机变量(X; Y) 的分布律.
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维离散型随机变量
解
例
易知{X = i; Y = j}的所有取值情况为: i = 1; 2; 3; 4, j = 1; · · · ; i,
由乘法公式可得, 对任意i = 1; 2; 3; 4, j = 1; · · · ; i有
P(X = i; Y = j) = P(X = i)P(Y = j|X = i) = · .
在1; 2; 3; 4四个整数中等可能地取一个值, 以随机变量X表示取到 的整数值. 以随机变量Y表示在1 X中等可能地取到的一个整数 值. 试求随机变量(X; Y) 的分布律.
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维离散型随机变量
解
例
HH Y H X HH 1 2 3
4
1 1/4 0 0
0
2 1/8 1/8 0
0
3 1/12 1/12 1/12
0
4 1/16 1/16 1/16
1/16
x4: 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维离散型随机变量
于是(X; Y)的分布律为
定理
设离散型随机变量(X; Y)的分布律为
P(X = xi ; Y = yi) = pij ; i;j 1;
则(1) pij 0; i;j 1; (2) pij = 1.
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
显然, X和Y的联合分布函数为
F(x; y) =Σ Σ pij.
二维离散型随机变量
i: xi x j: yj y
定理
设离散型随机变量(X; Y)的分布律为
P(X = xi ; Y = yi) = pij ; i;j 1;
则(1) pij 0; i;j 1; (2) pij = 1.
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
显然, X和Y的联合分布函数为
F(x; y) =Σ Σ pij.
二维离散型随机变量
i: xi x j: yj y
设(X; Y) 是二维随机变量, 其分布函数为F(x; y), 若存在非负函
数f (x; y), 使得对任意x; y = R 有
F(x; y) = lx ly f (u; v)dudv; (2)
则称随机变量(X; Y)为二维连续型随机变量, f (x; y)称为(X; Y)的 概率密度函数, 简称为密度函数或密度, 或称为随机变量X和Y的 联合概率密度函数.
1
1
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维连续型随机变量
定义
设随机变量(X; Y)的密度函数为f (x; y), 则
(1) f (x; y) ≥ 0, x; y E R;
(2) l+ 1 l+ 1f (x; y)dxdy = 1;
1
1
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维连续型随机变量
根据定义, 联合密度函数具有下列重要的性质.
定理
设随机变量(X; Y)的密度函数为f (x; y), 则
(1) f (x; y) ≥ 0, x; y E R;
(2) l+ 1 l+ 1f (x; y)dxdy = 1;
1
1
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维连续型随机变量
根据定义, 联合密度函数具有下列重要的性质.
定理
(3) 设G是xOy平面上任一区域, 则点(X; Y)落在G内的概率为
P((X; Y) 2 G) = ll f (x; y)dxdy;
G
(4) 在f (x; y)的连续点(x; y)上, = f (x; y).
x4: 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维连续型随机变量
设(X, Y)的密度函数为
f (x, y) = { - (2x+y) , , y > 0,
试求:
(1) 常数A;
(2) (X, Y)的分布函数F(x, y);
(3) P(X 三 Y).
他
> 0
其
x
0
A
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维连续型随机变量
例
(1) 由上 定理的(2)知,
1 = l+ 1 l+ 1f (x; y)dxdy = l+1 l+1 Ae- (2x+y)dxdy = Al e-2xdxl e-ydy = ;
因此A = 2.
1
+
0
1
+
0
0
0
1
1
x4: 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维连续型随机变量
解
(2) 根据二维连续型随机变量的定义有
F(x; y) = lx ly f (u; v)dudv
〈8 lxly 2e- (2u+v)dudv; x > 0; y > 0;
: 0; 其他.
= { - e-2x )(1 - e-y ); ; y > 0;
他
> 0
其
x
0
(
0
0
=
1
1
x4: 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维连续型随机变量
解
(3) 令G = f(x; y)jx yg, 则
fX Yg = f(X; Y) 2 Gg:
因此根据定理的(3)知,
P(X Y) = P((X; Y) 2 G) = ll f (x; y)dxdy
G
= l l 2e- (2x+y)dydx = :
1
+
x
1
+
0
x4: 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维连续型随机变量
解
x4: 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
密度函数为
8 1 f (x; y) =〈 SG ;
: 0;
常用的二维连续型随机变量
定义
设G是平面内的有界区域, 其面积为SG , 若二维随机变量(X; Y) 的
则称(X; Y)服从区域G上的均匀分布.
(x; y) 2 G; 其他.
比如, 设(X, Y)服从单位圆域{(x, y)jx2 + y2 三 1}上的均匀分布, 由 于单位圆域的面积为π , 因此(X, Y)的密度函数为
f (x, y) = { , y 三 1,
2
他
+
其
x2
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
设二维随机变量(X, Y)的密度函数为
(x, y) = exp {-
其中μ1 , μ2 , σ 1 > 0, σ2 > 0, jρj < 1都是常数, 则称(X, Y)服从参数 为μ1 , μ2 , σ 1 , σ2 , ρ的二维正态分布, 记
作(X, Y) N(μ1 , μ2 , σ , σ , ρ), 称(X, Y)为二维正态随机变量.
2
2
1
2
x4: 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
定义
+ , x, y 2 R.
2ρ(x - μ 1 )(y - μ2 )
σ 1 σ2
x4: 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
二维正态分布的密度函数的图形是一个钟形曲面, 图2-6中给出 了它的部分示意图.
常用的二维连续型随机变量
设X1 ; X2 ; · · · ; Xn是定义在样本空间S上的n个随机变量, 则称(X1 , X2 , · · · , Xn)为n维随机向量或n维随机变量.
对于任意n个实数x1 ; x2 ; · · · ; xn , 称函数
F(x1 ; x2 ; · · · ; xn) = P(X1 x1 ; X2 x2 ; · · · ; Xn xn)
为n维随机变量(X1 ; X2 ; · · · ; Xn)的分布函数或随机变 量X1 ; X2 ; · · · ; Xn的联合分布函数.
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
以上关于二维随机变量的讨论, 不难推广到n维随机变量的情况.
定义
设X1 ; X2 ; · · · ; Xn是定义在样本空间S上的n个随机变量, 则称(X1 , X2 , · · · , Xn)为n维随机向量或n维随机变量.
对于任意n个实数x1 ; x2 ; · · · ; xn , 称函数
F(x1 ; x2 ; · · · ; xn) = P(X1 x1 ; X2 x2 ; · · · ; Xn xn)
为n维随机变量(X1 ; X2 ; · · · ; Xn)的分布函数或随机变 量X1 ; X2 ; · · · ; Xn的联合分布函数.
x4 . 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的定义
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
常用的二维连续型随机变量
以上关于二维随机变量的讨论, 不难推广到n维随机变量的情况.
定义

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