资源简介

2023-2024学年高一数学-空间几何体外接球和内切球问题（人教A版2019必修第二册）
知识点一：外接球的概念
（1）外接球定义：在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．
（2）简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是
①确定球心的位置
②在Rt△用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r可根据正弦定理求得）．
知识点二：补成长方体（墙角模型）
墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．常见构成长方体或正方体方法：
同一顶点三条侧棱两两垂直；四个面都是直角三角形的三棱锥；相对棱相等的三菱锥；正四面体；三个侧面两两垂直的三棱锥等等；
知识点三：正棱柱或直棱柱(圆柱)和垂面模型
正棱柱或直棱柱(圆柱)的球心在上下底面外心连线中点处。
推论：垂面模型（一条直线垂直于一个平面）可补成直三菱柱或长方体。
公式：,（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理
知识点四：正棱锥（圆锥）模型
正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）的球心在其顶点与底面外心连线线段(或延长线）上。
半径公式：（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理
（一边一对角)
知识点五：对棱相等模型
对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．
知识点六：矩形模型
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。
题设：，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接
，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。
知识点七：面面垂直模型
面面垂直模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则Error!解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)
知识点八：普通棱锥模型
普通三棱锥模型，用找球心法可以解决．如果已知其中两个面的二面角，则可用秒杀公式：R2＝＋(其中l＝|AB|)解决．
知识点九：内切球的问题
（1）截面相似
①三棱锥；如图14，三棱锥上正三棱锥，求其外接球的半径。
第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心；
第二步：求，，是侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
②四棱锥；如图15，四棱锥上正四棱锥，求其外接球的半径
第一步：先现出内切球的截面图，三点共线；
第二步：求，，是侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
（2）等体积法
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为，建立等式：
第三步：解出
题型一：根据外接球定义求体积和表面积
解题思路：（1）外接球定义：在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．
（2）简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是
①确定球心的位置
②在Rt△用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r可根据正弦定理求得）．
例1．若平面截球O所得截面圆的半径为3，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由条件可得球的半径，再由球的表面积公式代入计算，即可得到结果.
【详解】设球O的半径为R，则，所以球O的表面积为.
故选：B
例2．若球与球外切，两球的球心距，球的表面积为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设球与球的半径分别为，则，由球的表面积为可求出球的半径，从而得到球的半径，进而计算出结果.
【详解】设球与球的半径分别为，则，
且，解得，
所以，所以球的表面积为．
故选：D
例3．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为 .
【答案】
【分析】
根据体积公式和面积公式列式计算.
【详解】
设此球的半径为，则，
解得.
故答案为：.
变式训练
4．已知长方体的8个顶点都在球的表面上，若，则球的表面积为 .
【答案】
【分析】由题意，确定外接球的直径，根据勾股定理计算即可求解.
【详解】如图，该长方体的外接球的直径为，设其半径为，
则，
得，所以该外接球的表面积为.
故答案为：

5．已知一平面截球所得截面圆的半径为2，且球心到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为 ．
【答案】
【分析】
利用球的截面圆性质求得球的半径，再利用球的体积公式即可得解.
【详解】由球的截面圆性质可知球的半径，
则该球的体积为.
故答案为：.
6．如图所示，圆和圆是球的两个截面圆，且两个截面互相平行，球心在两个截面之间，记圆，圆的半径分别为，若，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据给定条件，利用球的截面小圆性质列式计算出球半径即可.
【详解】设球的半径为，依题意，，
则，解得，因此，
所以球的表面积.
故选：A
7．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积.
故选：A

【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
题型二：补成长方体（墙角模型）求外接球的体积和表面积
解题思路：用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．常见构成长方体或正方体方法：同一顶点三条侧棱两两垂直；四个面都是直角三角形的三棱锥；相对棱相等的三菱锥；正四面体；三个侧面两两垂直的三棱锥等等；
例1．如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将四面体补形成长方体，长方体的长 宽 高分别为、、，长方体的外接球即为四面体的外接球，而长方体外接球的直径即为其体对角线，求出外接球的直径，即可求出外接球的表面积.
【详解】将四面体补形成长方体，长方体的长 宽 高分别为、、，
四面体的外接球即为长方体的外接球，
而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为，
故，所以外接球表面积为.
故选：B.
例2．已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，平面，，，，若球O的表面积为，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
根据四面体的性质可构造长方体模型求得外接球半径即可得.
【详解】如下图所示：
由平面可知，又，
所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别为三边长的长方体的外接球半径，
设外接球半径为，
由球的表面积为，可得，即；
又，，，
所以.
故选：B
例3．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.
【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，
，又，分别为、中点，
，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．
解法二:
设，分别为中点，
，且，为边长为2的等边三角形，
又
中余弦定理，作于，，
为中点，，，
，，又，两两垂直，，，，故选D.
【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
变式训练
4．在三棱锥中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且，若三棱锥的所有顶点都在同一个球的表面上，则该球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据三条侧棱三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，可得三棱锥的外接球即为以PA，PB，PC为相邻的三条棱的正方体的外接球，由此可得答案.
【详解】由三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，补全三棱锥，
则三棱锥的外接球的半径，
所以该球的体积是，
故选：A

5．已知三棱锥中，，且PA，PB，PC两两垂直，点是三棱锥外接球的球面上一点，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意可求得三棱锥外接球的球心到平面的距离，再利用球面上的点到平面距离的最值问题即可求得三棱锥体积的最大值.
【详解】由题可得将三棱锥补形成正方体，
可得三棱锥的外接球即正方体的外接球，且外接球半径．
设为外接球球心，根据正方体的结构特征可知点到平面ABC的距离为，如下图所示：
又，故可得点到平面ABC的距离，
则点到平面ABC的距离，
故点到平面ABC的距离．
易得是边长为的等边三角形，故三棱锥的体积，
因此三棱锥体积的最大值为．
故选：B．
6．在四面体中，，，且满足，，．若该三棱锥的体积为，则该锥体的外接球的体积为 ．
【答案】
【分析】将四面体放在长方体中，通过求长方体的外接球半径得出结果.
【详解】如图，依题意将四面体放在长方体中，设长方体的高为.
根据锥体的体积，解得，
所以长方体的长宽高分别为，和4，
所以长方体的外接球直径即为对角线，解得.
所以四面体外接球的体积为．
故答案为：.
7．三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积.
【详解】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，
它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，
设，，，
则，，，
解得，，，.
则长方体的对角线的长为.
所以球的直径是，半径长，
则球的表面积，
故选：C.
8．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将三棱锥补形为长方体，由勾股定理求出长方体的半径即可，得到表面积.
【详解】将三棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
如图，的中点即为外接球的球心，为直径，
由勾股定理得，
故半径为，球的表面积为.
故选：B
题型三：直棱柱(圆柱)和垂面模型求外接球的体积和表面积
解题思路：正棱柱或直棱柱(圆柱)的球心在上下底面外心连线中点处。
推论：垂面模型（一条直线垂直于一个平面）可补成直三菱柱或长方体。
公式：,（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理
例1．在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设上下两个底面的中心分别为，连接，则直三棱柱外接球的球心为的中点，连接，在中可求得球的半径，从而可求出球的表面积.
【详解】
设上下两个底面的中心分别为，连接，
因为所有棱长为2的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，
所以直三棱柱外接球的球心为的中点，
连接，在等边中，，
在直角中，，
所以直三棱柱外接球的半径，
所以球的表面积为.
故选：A
例2．已知三棱锥中，平面，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，利用正弦定理求得的外接圆的半径，再由球的截面的性质，求得外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.
【详解】因为三棱锥中，平面，，
设底面的外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为，
由正弦定理得，可得
所以，
则外接球的表面为.
故选：B.

例3．已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为 .
【答案】
【分析】由题意，先求出球的半径，再由球和圆柱的位置关系得到圆柱的底面半径、母线和球的半径的关系，然后利用基本不等式求出圆柱的侧面积的最大值.
【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，母线为，
由题意可知，解得，
又圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，
所以圆柱的两个底面的的圆心关于球心对称，且，
圆柱的侧面积，，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，.
故答案为：.
变式训练
4．已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据正六棱柱的性质可求解半径，由表面积公式即可求解.
【详解】如图，设正六棱柱下底面的中心为，其外接球的圆心为点，
则，为等边三角形，
故，即为其外接球的半径，
所以，
所以该正六棱柱的外接球的表面积为.
故选：B.
5．已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据给定条件，证得平面，再确定三棱锥外接球球心，并求出球半径及表面积.
【详解】在三棱锥中，，，正的边长为1，
则，即有，同理，而平面，
于是平面，令正的外心为，三棱锥外接球球心为，
则平面，显然球心在线段的中垂面上，取的中点，则，
而，则四边形是矩形，，
所以球半径，表面积.
故选：B
6．在三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在中由余弦定理求得，由题意证得平面ABC，进而确定外接球球心O，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可.
【详解】在中，，
即，又，
因为，所以，同理，
又由平面ABC，平面.
设的外接圆半径为，所以，
所以，所以外接球的半径R满足，
∴三棱锥外接球的表面积为.
故选：A.
7．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为 .
【答案】
【分析】根据，得到，的外接圆的圆心分别为边的中点，则外接球的球心为两中点连线的中点求解.
【详解】如图所示：

因为，，，则，
所以的中点分别为，的外接圆的圆心，
所以直三棱柱的外接球的球心是的中点，
所以其半径，
所以球的表面积.
故答案为：.
8．在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出底面三角形的外接球半径，再根据直三棱柱求出外接球半径，最后计算圆的面积.
【详解】在中，由余弦定理可得，
设外接圆半径为r，再由正弦定理，
因为三棱柱是直三棱柱，设外接球半径为R，
所以，
所以外接球表面积为，
故选：C
9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则圆柱、圆锥、球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，得出圆柱和圆锥的底面半径均为，高均为，再利用圆柱、圆锥、球的体积公式即可求出结果.
【详解】设球的半径为，因为圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，
所以圆柱和圆锥的底面半径均为，高均为，
记圆柱、圆锥和球的体积分别为,
则，，，
，
故选：C.
10．若一个圆柱的底面半径为1，侧面积为，球是该圆柱的外接球，则球的表面积为 ．
【答案】
【分析】
先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积.
【详解】设圆柱的高为，其外接球的半径为，
因为圆柱的底面半径为1，侧面积为，所以，解得；
由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，
所以，所以球的表面积为.
故答案为：
题型四：正棱锥或正棱台（圆锥或圆台）模型球外接球体积和表面积
解题思路：正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）的球心在其顶点与底面外心连线线段(或延长线）上。
半径公式：（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正定
理（一边一对角)
例1．已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用圆台表面积得母线长和圆台的高，由勾股定理求出球的半径，可计算体积.
【详解】设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为和，

则圆台侧面积为，
上、下底面面积分别为和.
由圆台表面积为，得，
所以圆台高，
设球半径为， 圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1.
作于点，
设，由，则球心在圆台外部.
则有，解得，
所以球的体积为.
故选：C.
例2．已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据体积可求正四棱锥的高，再结合外接球球心的性质可求其半径，故可求外接球的表面积.
【详解】
如图，设在底面的射影为，则平面，
且为的交点.
因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为，且，
故，故.
由正四棱锥的对称性可知在直线上，设外接球的半径为，
则，故，故，
故正四棱锥的外接球的表面积为，
故选：B.
例3．已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设圆锥的底面半径，母线为，外接球的半径为，依题意求出、，即可得，最后由球的表面积公式计算可得.
【详解】依题意圆锥高，设圆锥的底面半径，母线为，圆锥的外接球的半径为，
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，解得，
可知，
所以圆锥的外接球球的表面积.
故选：C.
变式训练
4．已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由条件可得球的半径，再由球的表面积公式，即可得到结果.
【详解】设球的半径为，则，解得，
所以球的表面积为，
故选：A.
5．已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体，结合正方体的性质和求得表面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体 ，
显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径，
则该球的表面积为．
故选：A．
6．已知一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，其顶点为，底面圆心为，点是线段上的一点，是底面内接正三角形，且平面，则 ；三棱锥的外接球的表面积是 .
【答案】
【分析】
（1）根据正弦定理求出的长；
（2）确定三棱锥的外接球，即为以为棱的正方体的外接球，再求其半径，最后应用球的表面积公式即可求出.
【详解】解：由题意，圆锥的底面半径为1，母线长为2，
是底面内接正三角形，结合题设有，所以，
由平面，平面，则，，
为正三角形，则，显然为中心，
结合对称性，易知，即，且，
三棱锥的外接球，即为以为相邻棱的正方体的外接球，
故外接球半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积是.
故答案为：；
7．已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为，则球表面积与圆台侧面积之比为（ ）
A．2：3 B．3：4 C．7：8 D．6：13
【答案】B
【分析】
作出圆台的轴截面，利用切线长定理可得母线与半径的关系；结合60°可得圆台的上下半径以及球的半径的关系，即可利用面积公式求解.
【详解】
设圆台上下底面圆的半径为，母线为球的半径为
取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形，
圆台的外接球球心为，则球心在截面内，
在截面内，设圆切梯形的边、、、分别于点、、、，
由切线长定理可得，，故，即；
由于,所以，解得
；
故选：B．

8．若三棱台的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为的球的表面上，，则三棱台的高为（ ）
A． B．8 C．6或8 D．或6
【答案】C
【分析】由题可知，三棱台为正三棱台，上下底面的中心，连线构成的线段为高，根据球的性质可得，，进而可得.
【详解】设球的半径为，则，得，
如图所示，为的中心，为的中心，
由题意可知，三棱台为正三棱台，为其高，球心在上，
在中，在中，
故，，
当在线段上时，，
当在线段的延长线上时，，
故选：C
题型五：对棱相等模型求外接球体积和表面积
解题思路：对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．
例1．在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将三棱锥转化为长方体，结合长方体的外接球以及长度关系运算求解.
【详解】如图，将三棱锥转化为长方体，

可知三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
则，可得，
则外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
例2．已知四面体满足，，，且该四面体的外接球的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
将将四面体放入长方体中，求出长方体的体对角线，进而得到外接球半径，得到表面积.
【详解】将四面体放入长方体中，如图，
则四面体的外接球，即为长方体的外接球，
设长方体中，则，
三式相加得，故，
所以四面体的外接球半径为，
故四面体的外接球表面积为.
故选：B
例3．在三棱锥中，已知，则该三棱锥的体积为 .
【答案】20
【分析】把三棱锥补形到长方体中，设长方体的三条棱长为，根据条件列出方程组，解方程组求出即得解．
【详解】如图，设长方体的三条棱长为，

由题得；
；
，
解之得
所以
所以该三棱锥的体积为:
故答案为：20
变式训练
4．已知四面体中，，，则该四面体外接球的表面积为 ．
【答案】
【分析】
把四面体补成为一个长方体，利用长方体求出外接球的半径，即可求出外接球表面积.
【详解】对于四面体中，因为，，
所以可以把四面体放入一个长方体，如图：

设从同一个顶点出发的三条边长分别为、、，则有：
，解得，
点、、、均为长、宽、高分别为，，的长方体的顶点，
且四面体的外接球即为该长方体的外接球，
于是长方体的体对角线即为外接球的直径，
不妨设外接球的半径为，∴，
∴外接球的表面积为.
故答案为：.
5．在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
【答案】/
【分析】由对棱相等将三棱锥补形成一个长方体,求其外接球半径即可求解.
【详解】依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，

设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，
则，得，
即,易知，
∴该三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：.
6．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是 ．
【答案】
【分析】
将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，确定，进而得到球的半径，进而根据球体的表面积公式计算即可.
【详解】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，如图所示：
则，则，
因为球的直径即为长方体的体对角线，
则球的半径为，
所以球的表面积是.
故答案为：.
7．在四面体ABCD中，，则四面体的外接球的体积为 ．
【答案】/
【分析】根据四面体棱长关系可知其由长方体切割所得，将其放在长方体中，可知四面体外接球即为长方体外接球，根据长方体外接球半径为体对角线长度一半，求得体对角线长度即可得到外接球半径，代入球的体积积公式即可求得结果.
【详解】因为，
所以由勾股定理可知，，，，
如图，将四面体ABCD补全为长、宽、高分别为、、的长方体，

则四面体外接球即为长方体外接球，长方体外接球直径即为体对角线长度，
所以，即，
所以该四面体外接球的体积为.
故答案为：.
【点睛】本题考查多面体外接球体积的求解问题，关键是能够根据四面体棱长长度关系，将其变为长方体的一个部分，从而将问题转化为长方体外接球体积的求解问题.
题型六：面面垂直模型求外接球体积和表面积
解题思路：面面垂直模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则Error!解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)
例1．已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，平面平面，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别利用正弦定理求得的外接圆的半径，再利用两个面垂直的三棱锥的外接球半径满足，从而得解.
【详解】因为三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，
所以，则，

设的外接圆的半径分别为，
则在等边中，，
在中，，
所以，
则，，
设三棱锥的外接球的半径为，因为平面平面，
则，
所以其外接球的表面积为.
故选：D.
例2．已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题中条件作出外接球球心，利用勾股定理计算得到半径，进一步计算即可.
【详解】过三角形的中心作平面的垂线，
过三角形的中心作平面的垂线，
两垂线交于点，连接，
依据题中条件可知，为四面体的外接球球心，
因为，
所以,
则,
即外接球半径为，
则该球的表面积为，
故选：C.
例3．已知四棱锥中，底面为边长为3的正方形，侧面底面，且为等边三角形，
则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过作两个平面的垂线交于点，点即为该球的球心，求出长度，由勾股定理可求出四棱锥外接球的半径，再由球的表面积公式可得出答案.
【详解】如图，在四棱锥中，
取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，
分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知，
点即为该球的球心，连接并延长，交教AB于E,则E线段的中点，
连接，则四边形为矩形.
在等边中，可得，则，即，
在正方形中，因为，可得，
在中，，即，
所以四棱锥外接球的表面积为.
故选：B.
变式训练
4．已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作于E，则PE为四棱锥的高，据此求出正方形棱长.再根据几何关系找出外接球球心，根据勾股定理求出外接球半径即可.
【详解】
设正方形的边长为，在等边三角形中，过点作于E，
由于平面平面，∴平面．
由于是等边三角形，则，
∴，解得．
设四棱锥外接球的半径为，为正方形ABCD中心，为等边三角形PAB中心，
O为四棱锥P－ABCD外接球球心，则易知为矩形，
则，，
，
∴外接球表面积．
故选：C．
5．在三棱锥中，平面平面，底面是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为 .
【答案】
【分析】根据已知条件做出图形，利用球的表面积公式及正弦定理，结合棱锥的体积公式及线面垂直的性质定理，再利用勾股定理及矩形的特征即可求解.
【详解】依题意，点是三棱锥外接球的球心，设球的半径为是外接圆的圆心，
设圆的半径为，点到底面的距离为，
由题意，可得，则.
因为是边长为3的正三角形，
所以由正弦定理，可得，则.
所以三棱锥的体积为，
三棱锥的体积取最大值则需要最大.
由题意可知，点在过且与底面（此处底面为水平）垂直的截面圆的圆周上运动，当点运动到该圆
的最高点时，最大.
取的中点，连接，过点作.如图所示，
由圆的对称性可知，此时，则.
又平面平面，且平面平面平面，
所以平面.
因为在中，，
又，
所以.
易得四边形为矩形，
所以.
因为在中，，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：根据已知条件做出图形，要使三棱锥的体积取最大值则需要最大即可.
6．已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面为正三角形，且侧面垂直底面，若则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目做出图形，连接球心为和正方形中心，先利用，得出，进而求出四棱锥外接球半径，求出结果.
【详解】根据题意得出图形：
球心为，分别为和正方形中心，
因为侧面垂直底面，，
所以四棱锥的高为，
底面正方形外接圆半径为，
则，即，
即，
解得，
所以四棱锥外接球半径平方，即，
故其表面积为.
故选：B
题型七：几何体的内切球求体积和表面积
解题思路：方法一：对于正棱柱（圆柱）和正棱锥可以用截面相似来求；方法二：等体积法，即内切球球心与所有面构成的棱锥的体积之和相等
例1．将一个母线长为，底面半径为的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，由圆锥的结构特征可得其内切球的半径与该圆锥过顶点与底面直径的轴截面的内切圆半径相等，借助等面积法求出该半径，结合球的表面积公式即可得.
【详解】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，
该内切球的半径与该圆锥过顶点与直径的轴截面的内切圆半径相等，
画出该轴截面如图，
由母线长为，底面半径为可得该圆锥的高，
设内切球的半径为，则有，
解得，即内切球表面积为.
故选：A.
例2．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出棱锥的高，进而得到棱锥体积，设出内切球半径，根据体积得到方程，求出半径，进而得到表面积.
【详解】设内切球的半径为的中点为，则⊥平面，
因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，所以，
因为，由勾股定理得，
故棱锥的体积为，棱锥的表面积为，
设内切球的半径为，

则由等体积法可得，解得，
所以．
故选：A
例3．已知正四棱台的上底面面积为，其内切球体积为，则该正四棱台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
画出截面图，由题求出正四棱台下底面边长和侧棱长即可得出答案.
【详解】
如图，做该正棱台的截面，因为该正四棱台的上底面积为12，故上底边长为，
因为内切球体积为，故.
在中，，
所以，根据对称性，
故 所以 ，
正四棱台下底面是一个边长为 的正方形，
故侧面梯形的高为.
即.
故选：A.
变式训练
4．实验课上，小明将一个小球放置在圆柱形烧杯口处固定（烧杯口支撑着小球），观察到小球恰好接触到烧杯底部，已知烧杯的底面半径为2，小球的表面积为，若烧杯的厚度不计，则烧杯的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
借助球的表面积公式可得其半径，结合题意可列出与高、底面半径与球的半径有关勾股定理，在借助圆柱侧面积公式即可得解.
【详解】设小球的半径为，则，解得，
设圆柱的高为，由勾股定理可得，解得或（舍去），
所以烧杯的侧面积为.
故选：D.
5．已知正三棱柱的侧面积为36，则与三棱柱各棱均相切的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意作出图形，利用几何关系，从而可求解.
【详解】如图，设上下底面的中心分别为，由对称性可知，

球的球心为的中点，取的中点，连接，
连接并延长，交于，连接，则，
设，则，
，
而，联立两式，解得，则球的半径为，
则其表面积为，故B正确.
故选：B.
6．在直三棱柱中，，，，，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
通过内切圆、内切球等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，所以，所以三角形是直角三角形，
设的内切圆半径为，则，
，所以三棱柱内能放置的最大球的半径为，
则最大球的表面积是.
故选：A
7．已知圆锥的侧面展开图是半径等于4的半圆，圆锥内有一球体，则此球体最大的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
当球体和圆锥内切时，其半径最大，表面积最大，作出圆锥的轴截面图象，根据几何关系即可求解.
【详解】
由题可知，圆锥母线长为4，设其底面半径为．
则有，解得．
当球体与圆锥内切时，其表面积最大，设球体半径为，作出圆锥的轴截面，如图：

点为球心，为圆锥底面圆心，表示切点，
则．
因为．
则，即，解得．
则球体表面积为，
故选：．
8．若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 .
【答案】
【分析】由题意可得内切球的半径，进而可得正六棱柱的高，结合球的体积公式计算即可求解.
【详解】如图，在过球心与棱柱棱垂直的截面中，内切球的半径为，为边长是2的正三角形，
则，即内切球的半径为，所以正六棱柱的高为.
其外接球半径为，
则其体积为.
故答案为：
9．已知一个圆台的上 下底面半径分别为1和3，高为.若圆台内有一个球，则该球体积的最大值为 .（球的厚度可忽略不计）
【答案】
【分析】首先假设球与下底面和侧面相切，根据几何关系和计算，能证明求与上底面也相切，由此可以求得球的半径，即可求得球的体积的最大值.
【详解】当球与下底面和侧面相切，如图，
圆台及其内切球的轴截面如图所示，
由题意可知，设分别梯形的上下底的中点，连结，
如图，作，交于点，点为侧面的切点，
则，则，，
则，
因为，所以，且,
所以球与上底面也相切，故内切球的半径为，此时为圆台内的最大的球，
内切球的体积.
故答案为：
10．已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ．
【答案】
【分析】由几何关系求出外接球和棱切球半径，再由球的表面积公式求出表面积，最后求出比值.
【详解】
设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心，
则外接球的半径，，
所以，
因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径，
所以.
故答案为：
题型八：矩形模型和普通棱锥模型
解题思路：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。
普通三棱锥模型，用找球心法可以解决．如果已知其中两个面的二面角，则可用秒杀公式：R2＝＋(其中l＝|AB|)解决．
例1．在三棱锥中，平面，，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将该三棱锥置于一个长方体中，利用体对角线即为外接球的直径，求出球的半径，由表面积公式求解即可
【详解】由题意，在三棱锥中，平面，，故将该三棱锥置于一个长方体中，如图所示：
则体对角线即为外接球的直径，由于，，
所以，即外接球的半径，则该三棱锥外接球的表面积为.
故选：A
例2．已知三棱锥所有顶点都在球O的球面上，为边长为的正三角形，是以BD为斜边的直角三角形，且，二面角为120°，则球O的表面积为（ ）

A． B．28π C． D．36π
【答案】B
【分析】
利用球内的勾股定理求出半径，再求表面积即可.
【详解】
由题知，，，
，所以，
.
故选：B
例3．已知四边形是边长为2的菱形，，沿对角线将折起使A位于新位置，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
结合四边形是边长为2的菱形，求出相关线段长，取的中点E，连接，设三棱锥的外接球球心为O，确定O点位置，解三角形求得外接球半径，根据球的表面积公式，即可求得答案.
另解：根据两个全等的等腰三角形共底边构成的外接球模型的相关结论，即可求得答案.
【详解】
如图，由题意可知，四边形是边长为2的菱形，，
沿对角线将折起使A位于新位置，
则，为正三角形，
则，，
取的中点E，连接，设三棱锥的外接球球心为O，
连接，则，平面，
故平面，而平面，故平面平面，
则O点位于平面内，
连接，设为底面的中心，连接，
则底面，底面，可得，且，
即为正三角形，由O为三棱锥的外接球球心，
故，即O在的中垂线即的角平分线上，即有，
在直角三角形中，，，，
，即有外接球半径，
则三棱锥的外接球的表面积为，
故选：A．
另解：此为两个全等的等腰三角形共底边构成的外接球模型，
由上面解法可知为二面角的平面角，且二面角，
底面外接圆半径，高为，
故，
则三棱锥的外接球的表面积为，
故选：A．
变式训练
4．已知矩形中，，E，F分别为的中点，将四边形沿折起，使二面角的大小为，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
找到球心的位置，通过解直角三角形求得球的半径，进而求得球的表面积.
【详解】
如图所示：

其中分别为正方形和的中心，分别垂直于这两个平面．
由于，
，而，
∴球的半径，∴球的表面积为.
故选：B．
5．已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
【答案】
【分析】依题意可得，球心在过的中点与平面垂直的直线上，
同时也在过的中心与平面垂直的直线上，即可得到，求出，从而求出三棱锥的外接球的半径为，即可得到外接球的体积.
【详解】解：如图，∵，即，∴.
∴球心在过的中点与平面垂直的直线上，
同时也在过的中心与平面垂直的直线上，.
∴这两条直线必相交于球心.
∵二面角的大小为，
易知，，
，，
，
∴三棱锥的外接球的半径为.
∴三棱锥的外接球的体积为.
故答案为：
6．如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 .
【答案】/
【分析】
先确定球心位置，再建立半径R的方程求解即可.
【详解】
取和的中点分别为，，过点作面于点，
连结，，,平面,故，
又，则又平面,
故平面，平面，故
则为二面角的补角， ，
因为，，则，且，
易知，
因为为等腰直角三角形，所以是的外心.
设三棱锥的外接球的球心为，则面，易知，
作，易知为矩形，，
设，，则在中，，
且中，，解得，
所以外接球表面积为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查外接球问题，关键是利用球的性质确定球心位置.
一、单选题
1．已知圆锥的高为8，底面圆的半径为，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设球的半径为，利用勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得.
【详解】设球的半径为，则，解得，
所以球的表面积为.
故选：B.
2．已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥的高之比为，它们的体积之和为，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据同底圆锥高的比得到，两个圆锥的高分别是，而由它们的体积之和为即可求出，进而得解.
【详解】
记该截面和球的半径分别为，由于两个圆锥的高之比为，
故球心到该截面的距离为，从而，.
而两个圆锥的高分别是，故体积之和.
从而，故，.
该球的表面积.
故选：B.
3．已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，平面，，，，若球O的表面积为，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
根据四面体的性质可构造长方体模型求得外接球半径即可得.
【详解】如下图所示：
由平面可知，又，
所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别为三边长的长方体的外接球半径，
设外接球半径为，
由球的表面积为，可得，即；
又，，，
所以.
故选：B
4．侧棱长与底面边长均为的正三棱柱的外接球的表面积为，则（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【分析】
根据正三棱柱性质及球的表面积公式求得，即可得.
【详解】由球的表面积公式，解得外接球半径.
因为底面三角形是边长为的等边三角形，
所以此三角形的外接圆半径为，
由正三棱柱的外接球的特点可得，
解得.
故选：C.
5．已知是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先通过球的表面积公式求出球的半径，然后在中，由余弦定理得，然后利用正弦定理求得的外接圆半径，利用勾股定理求得高，从而利用三棱锥的体积公式求解即可.
【详解】设球的半径为，因为球的表面积为，解得.
在中，由余弦定理可得，
所以的外接圆半径为，所以，
设的外接圆的圆心为，则平面，
则球心到平面的距离为，则，
所以三棱锥的体积为.
故选：D
6．四面体的四个顶点都在球的表面上，平面，是边长为3的等边三角形，若，则球的表面积为（　　）
A．4π B．12π C．16π D．32π
【答案】C
【分析】
根据四面体的结构特征，由线面垂直可判断球心位置，进而根据勾股定理求解半径，即可由表面积公式求解.
【详解】
取的中点， 中点为，连接,
设的中心为，作,且,
由于,平面，
所以四边形为矩形，故
则O为外接球的球心，
∵，∴外接球的半径，
∴四面体ABCD外接球的表面积为．
故选：C．
7．已知直三棱柱的个顶点都在球的表面上，若，，，则球的
体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理及余弦定理求得底面的外接圆的半径，结合的长度求得球O的半径，从而得到球的体积.
【详解】
设的外接圆圆心为，半径为，连接，则平面，
在中，由余弦定理得：，
，，，
，球的体积为.
故选：A.
8．夹弹珠游戏是儿童特别喜欢的游戏，夹弹珠能有效提高参与者的注意力与协调性，调整逻辑思维判断和空间控制平衡能力，锻炼小肌肉，增强手眼协调，培养敏捷的反应能力，从而提高参与者的适应能力.如图，三个半径都是的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器（不计厚度）中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的表面积（包括容器的内部和外部两部分）是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，由条件可得大球的半径，再由球的表面积公式代入计算，即可得到结果.
【详解】在面上的投影为为大球球心，为小球球心.

，大球半径为，
，
，
故选：D.
9．已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（ ）
A．18 B． C． D．27
【答案】C
【分析】
设正四棱锥的底面边长为，高为，求出的关系式，即可表示出四棱锥的体积，利用导数求得其最大值，即得答案.
【详解】球的表面积为，所以球的半径，
设正四棱锥的底面边长为，高为，则，，
所以，
故正四棱锥的体积为，
，
当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为.
故选：C.
二、填空题
10．已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 .
【答案】
【分析】利用三棱柱的体积公式、球的特征及其体积公式即可.
【详解】
如图所示，取上下底面的中心，分别为上底面棱上的切点，
则为的中点，设，
由题意易知，
则，
因为，
所以.
故答案为：.
11．已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【分析】分别得，的外接圆的半径，再利用两个面垂直的三棱锥的外接球半径满足，从而得解.
【详解】因为三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，
所以，则，
设的外接圆的半径分别为，
则在等边中，，
在中，，
所以，
则，，
设三棱锥的外接球的半径为，因为平面平面，
则，
所以该三棱锥外接球的表面积为.
12．设球在圆柱内，且圆柱的底面直径和高都等于该球的直径，则球与圆柱的体积之比是 .
【答案】
【分析】设球的半径为，则由题意可表示出圆柱的底面半径和高，从而利用球与圆柱的的体积公式即可得解.
【详解】设球的半径为，则由题意可得圆柱的底面半径为和高为，
所以球与圆柱的体积之比为.
故答案为：.2023-2024学年高一数学-空间几何体外接球和内切球问题（人教A版2019必修第二册）
知识点一：外接球的概念
（1）外接球定义：在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．
（2）简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是
①确定球心的位置
②在Rt△用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r可根据正弦定理求得）．
知识点二：补成长方体（墙角模型）
墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．常见构成长方体或正方体方法：同一顶点三条侧棱两两垂直；四个面都是直角三角形的三棱锥；相对棱相等的三菱锥；正四面体；三个侧面两两垂直的三棱锥等等；
知识点三：正棱柱或直棱柱(圆柱)和垂面模型
正棱柱或直棱柱(圆柱)的球心在上下底面外心连线中点处。
推论：垂面模型（一条直线垂直于一个平面）可补成直三菱柱或长方体。
公式：,（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理
知识点四：正棱锥（圆锥）模型
正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）的球心在其顶点与底面外心连线线段(或延长线）上。
半径公式：（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理
（一边一对角)
知识点五：对棱相等模型
对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．
知识点六：矩形模型
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。
题设：，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接
，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。
知识点七：面面垂直模型
面面垂直模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则Error!解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)
知识点八：普通棱锥模型
普通三棱锥模型，用找球心法可以解决．如果已知其中两个面的二面角，则可用秒杀公式：R2＝＋(其中l＝|AB|)解决．
知识点九：内切球的问题
（1）截面相似
①三棱锥；如图14，三棱锥上正三棱锥，求其外接球的半径。
第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心；
第二步：求，，是侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
②四棱锥；如图15，四棱锥上正四棱锥，求其外接球的半径
第一步：先现出内切球的截面图，三点共线；
第二步：求，，是侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
（2）等体积法
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为，建立等式：
第三步：解出
题型一：根据外接球定义求体积和表面积
解题思路：（1）外接球定义：在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．
（2）简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是
①确定球心的位置
②在Rt△用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r可根据正弦定理求得）．
例1．若平面截球O所得截面圆的半径为3，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例2．若球与球外切，两球的球心距，球的表面积为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例3．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为 .
变式训练
4．已知长方体的8个顶点都在球的表面上，若，则球的表面积为 .
5．已知一平面截球所得截面圆的半径为2，且球心到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为 ．
6．如图所示，圆和圆是球的两个截面圆，且两个截面互相平行，球心在两个截面之间，记圆，圆的半径分别为，若，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型二：补成长方体（墙角模型）求外接球的体积和表面积
解题思路：用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱
长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．常见构成长方体或正方体方法：同一顶点三条侧棱两两垂直；四个面都是直角三角形的三棱锥；相对棱相等的三菱锥；正四面体；三个侧面两两垂直的三棱锥等等；
例1．如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
例2．已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，平面，，，，若球O的表面积为，则（ ）
A． B．1 C． D．
例3．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A． B． C． D．
变式训练
4．在三棱锥中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且，若三棱锥的所有顶点都在同一个球的表面上，则该球的体积是（ ）
A． B． C． D．
5．已知三棱锥中，，且PA，PB，PC两两垂直，点是三棱锥外接球的球面上一点，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．在四面体中，，，且满足，，．若该三棱锥的体积为，则该锥体的外接球的体积为 ．
7．三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型三：直棱柱(圆柱)和垂面模型求外接球的体积和表面积
解题思路：正棱柱或直棱柱(圆柱)的球心在上下底面外心连线中点处。
推论：垂面模型（一条直线垂直于一个平面）可补成直三菱柱或长方体。
公式：,（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理
例1．在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例2．已知三棱锥中，平面，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例3．已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为 .
变式训练
4．已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．在三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为 .
8．在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则圆柱、圆锥、球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
10．若一个圆柱的底面半径为1，侧面积为，球是该圆柱的外接球，则球的表面积为 ．
题型四：正棱锥或正棱台（圆锥或圆台）模型球外接球体积和表面积
解题思路：正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）的球心在其顶点与底面外心连线线段(或延长线）上。
半径公式：（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正定理（一边一对角)
例1．已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例2．已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ）
A． B． C． D．
例3．已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式训练
4．已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，其顶点为，底面圆心为，点是线段上的一点，是底面内接正三角形，且平面，则 ；三棱锥的外接球的表面积是 .
7．已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为，则球表面积与圆台侧面积之比为（ ）
A．2：3 B．3：4 C．7：8 D．6：13
8．若三棱台的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为的球的表面上，，则三棱台的高为（ ）
A． B．8 C．6或8 D．或6
题型五：对棱相等模型求外接球体积和表面积
解题思路：对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公
式：R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．
例1．在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例2．已知四面体满足，，，且该四面体的外接球的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
例3．在三棱锥中，已知，则该三棱锥的体积为 .
变式训练
4．已知四面体中，，，则该四面体外接球的表面积为 ．
5．在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
6．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是 ．
7．在四面体ABCD中，，则四面体的外接球的体积为 ．
题型六：面面垂直模型求外接球体积和表面积
解题思路：面面垂直模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则Error!解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)
例1．已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，平面平面，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例2．已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则
该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
例3．已知四棱锥中，底面为边长为3的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
4．已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱锥中，平面平面，底面是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为 .
6．已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面为正三角形，且侧面垂直底面，若则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型七：几何体的内切球求体积和表面积
解题思路：方法一：对于正棱柱（圆柱）和正棱锥可以用截面相似来求；方法二：等体积法，即内切球球心与所有面构成的棱锥的体积之和相等
例1．将一个母线长为，底面半径为的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例2．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例3．已知正四棱台的上底面面积为，其内切球体积为，则该正四棱台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式训练
4．实验课上，小明将一个小球放置在圆柱形烧杯口处固定（烧杯口支撑着小球），观察到小球恰好接触到烧杯底部，已知烧杯的底面半径为2，小球的表面积为，若烧杯的厚度不计，则烧杯的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知正三棱柱的侧面积为36，则与三棱柱各棱均相切的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．在直三棱柱中，，，，，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（）
A． B． C． D．
7．已知圆锥的侧面展开图是半径等于4的半圆，圆锥内有一球体，则此球体最大的表面积是（ ）
A． B． C． D．
8．若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 .
9．已知一个圆台的上 下底面半径分别为1和3，高为.若圆台内有一个球，则该球体积的最大值为 .（球的厚度可忽略不计）
10．已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ．
题型八：矩形模型和普通棱锥模型
解题思路：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。
普通三棱锥模型，用找球心法可以解决．如果已知其中两个面的二面角，则可用秒杀公式：R2＝＋(其中l＝|AB|)解决．
例1．在三棱锥中，平面，，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例2．已知三棱锥所有顶点都在球O的球面上，为边长为的正三角形，是以BD为斜边的直角三角形，且，二面角为120°，则球O的表面积为（ ）

A． B．28π C． D．36π
例3．已知四边形是边长为2的菱形，，沿对角线将折起使A位于新位置，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式训练
4．已知矩形中，，E，F分别为的中点，将四边形沿折起，使二面角的大小为，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
6．如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 .
一、单选题
1．已知圆锥的高为8，底面圆的半径为，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥的高之比为，它们的体积之和为，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，平面，，，，若球O的表面积为，则（ ）
A． B．1 C． D．
4．侧棱长与底面边长均为的正三棱柱的外接球的表面积为，则（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
5．已知是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．四面体的四个顶点都在球的表面上，平面，是边长为3的等边三角形，若，则球的表面积为（　　）
A．4π B．12π C．16π D．32π
7．已知直三棱柱的个顶点都在球的表面上，若，，，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．夹弹珠游戏是儿童特别喜欢的游戏，夹弹珠能有效提高参与者的注意力与协调性，调整逻辑思维判断和空间控制平衡能力，锻炼小肌肉，增强手眼协调，培养敏捷的反应能力，从而提高参与者的适应能力.如图，三个半径都是的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器（不计厚度）中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的表面积（包括容器的内部和外部两部分）是（ ）

A． B． C． D．
9．已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（ ）
A．18 B． C． D．27
二、填空题
10．已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 .
11．已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
12．设球在圆柱内，且圆柱的底面直径和高都等于该球的直径，则球与圆柱的体积之比是 .

展开更多......

收起↑