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2.3 用公式法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
第1课时 用公式法求解一元二次方程
九年级上册数学（北师版）
1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.如何用配方法解方程 2x2 + 4x + 1 = 0
一、移常数项；
二、配方[配上 ]；
三、写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )；
四、直接开平方法解方程.
解：x2 + 2x = ，即 (x + 1)2 = .
复习导入
你能用配方法解 ax2 + bx + c = 0.(a ≠ 0) 吗？
探究新知
求根公式的推导
1
合作探究
我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的. 因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0. (a ≠ 0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多.
方程两边都除以 a，得
解：
移项，得
配方，得
问题：接下来能用直接开平方解吗？
你能用配方法解 ax2 + bx + c = 0.(a ≠ 0) 吗？
∵ a ≠ 0，4a2 ＞ 0，
∴ 当 b2 - 4ac≥0 时，
当 b2 - 4ac＜0 时，
而 x 取任何实数都不能使上式成立，
∴ 此时方程无实数根.
求根公式：
归纳总结
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
用公式法解一元二次方程的前提是：
注意
1. 必须是一般形式的一元二次方程：
ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)；
2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算.
例1 解方程.
（1）x2 - 7x - 18 = 0
解：这里 a = 1，b = -7，c = -18，
∵ b2 - 4ac = (-7)2 - 4×1×(-18) = 121 ＞ 0.
公式法解方程
2
典例精析
∴ x1 = 9，x2 = -2.
解：将原方程化为一般式：
4x2 - 4x + 1 = 0.
即
这里 a、b、c 的值分别是什么？
（2）4x2 + 1 = 4x.
这里 a = 4，b = -4，c = 1，
∵ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×4×1 = 0.
公式法解方程的一般步骤
1. 变形：化已知方程为一般形式；
2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数；
3. 计算：b2 - 4ac 的值；
4. 判断：若 b2 - 4ac≥0，则利用求根公式得解；
若 b2 - 4ac＜ 0，则方程没有实数根.
要点归纳
议一议
(1) 你能解一元二次方程 x2 - 2x + 3 = 0 吗？你是怎么想的？
(2) 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，当 b2 4ac＜0 时？它的根的情况是怎样的？与同伴交流.
原方程无实数根.
(x - 1)2 = -2
当 b2 - 4ac＜0 时，
∴ 此时方程无实数根.
一元二次方程根的判别式
3
两个不等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
两个实数根
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的情况可由 b2 4ac 来判定，我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的判别式. 通常用希腊字母“Δ”表示.
b2 4ac ＞ 0
b2 4ac = 0
b2 4ac ＜ 0
Δ ≥ 0
归纳总结
判别式的情况
Δ ＞ 0
Δ = 0
Δ ＞ 0
Δ ＜ 0
Δ = 0
Δ ＞ 0
根的情况
根的情况
0
5
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不等的实数根
Δ
填一填
根的判别式使用方法
3.判别根的情况，得出结论.
1.化为一般式，确定 a，b，c 的值.
2.计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号.
例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )
A. k＞-1 B. k＞-1且 k ≠ 0
C. k＜1 D. k＜1且 k ≠ 0
解析：由题知，方程有两个不相等的实数根，
则 b2 - 4ac＞0，同时要求二次项系数不为 0，即 ，k ≠ 0.解得 k＞-1且 k ≠ 0，故选 B.
B
典例精析
例3 不解方程，判断下列方程根的情况．
(1)3x2 + 4x－3 = 0； (2)4x2 = 12x－9； (3) 7y = 5(y2 + 1).
解：(1) 3x2 + 4x - 3 = 0，a = 3，b = 4，c = -3，
(2) 方程化为：
4x2 - 12x+9 = 0，
(3) 方程化为：
5y2 - 7y + 5 = 0，
∴b2 - 4ac = 32 - 4×3×(-3) = 52＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
∴b2 - 4ac = (-12)2 - 4×4×9
= 0.
∴方程有两个相等的实数根．
∴b2 - 4ac = (-7)2 - 4×5×5
= -51＜0.
∴方程无实数根．
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（求 b2 - 4ac 的值）；
四判（方程根的情况）；
五代（代求根公式计算）
务必将方程化为一般形式
根的判别式 b2 - 4ac
当堂小结
1. 解方程：x2 + 7x – 18 = 0.
解：这里 a = 1，b = 7， c = -18.
∵ b2 - 4ac = 72 – 4 × 1× (-18 ) = 121 ＞ 0，
∴
即 x1 = -9，x2 = 2 .
课堂练习
2. 解方程 (x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括号，得 x - 2 - 3x2 + 6x = 6.
化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0.
这里 a = 3，b = - 7，c = 8，
∴ b2 - 4ac = ( - 7 )2 - 4×3×8 = 49 - 96
= - 47 ＜ 0.
∴ 原方程没有实数根.
3.关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 .
注意：一元二次方程有两个实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
解：
∴m≤1.
∵ b2 - 4ac = ( - 2)2 - 4×1×m = 4 - 4m≥0.
4. 不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）2x2 + 3x 4 = 0； （2）x2 x + = 0.
解：（1）2x2 + 3x 4 = 0，a = 2，b = 3，c = 4，
∴ Δ = b2 4ac = 32 4×2×( 4) = 41＞0.
∴方程有两个不等的实数根．
（2）x2 x + = 0，a = 1，b = 1，c = ，
∴ Δ = b2 4ac = ( 1)2 4×1× = 0.
∴方程有两个相等的实数根．

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