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2.3 用公式法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
第2课时 利用一元二次方程解决面积问题
九年级上册数学（北师版）
情境导入
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
问题：在一块长 16 m、宽 12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半. 你能给出设计方案吗？
16 m
12 m
看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？
探究新知
利用一元二次方程解决面积问题
1
解：设小路的宽为 x m，根据题意得：
即 x2 - 14x + 24 = 0.
解方程得 x1 = 2， x2 = 12.
将 x = 12 代入方程中不符合题意舍去.
答：小路的宽为 2 m.
小明设计：如右图所示，其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程，得到小路的宽为 2 m 或 12 m.
16 m
12 m
（1）你认为小明的结果对吗？为什么？
x
x
解：由图片信息得，四个扇形组成一
个圆设扇形半径为 x m，根据题意得：
即 πx2 = 96.
解方程得 x1 = (舍去)，x2 = .
答：扇形半径约为 5.5 m.
小亮设计：
如右图所示，其中花园每个角上的扇形都相同.
（2）你能帮小亮求出图中的 x 吗？
16 m
12 m
x m
解：设花园的宽为 x m，根据题意得：
小颖设计：如右图所示，其中花园是两条互相垂直的矩形，且它的宽都相等.
（3）你还有其他设计方案吗？与同伴交流.
16 m
12 m
x m
x m
即 x2 - 28x + 96 = 0.
解方程得 x1 = 4，x2 = 24.
将 x = 24 代入方程中不符合题意舍去.
答：花园的宽为 4 m.
在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键. 如果图形不规则，就割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.
方法点拨
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x 米，则
例1 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？
还有其他方法吗？
方法一：
典例精析
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x 米，可列方程
20 x
32 x
(32 x)(20 x) = 540.
整理，得 x2 52x + 100 = 0.
解得 x1 = 2，x2 = 50.
当 x = 50 时，32 x = 18，不合题意，舍去.
∴取 x = 2.
答：道路的宽为 2 米.
方法二：
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米，且 x＜20.
(32 x)(20 x) = 540
可列方程为
x
20 - x
32 - x
答：道路的宽为 2 米.
解得 x1 = 50(舍)，x2 = 2.
回顾导入
我们利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路平移，使列方程容易些（目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
归纳总结
例2 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？
27 cm
21 cm
典例精析
分析：这本书的长宽之比为 : ，正中央的长方形的长宽之比为 : ，上下边衬与左右
边衬的宽度之比 : .
9
9
解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为
9
7
7
7
27 cm
21 cm
解：设上下边衬的宽均为 9x cm，则左右边衬宽为 7x cm，中央的矩形的长为 (27 18x) cm，宽为
(21 14x) cm. 由题意，得
27cm
21cm
解得
故上下边衬的宽为
故左右边衬的宽为
方程的哪个根符合实际意义 为什么
整理，得 16x2 48x + 9 = 0.
解法2：设正中央的长方形的两边别为 9x cm，7x cm. 依题意得
解得
故上下边衬的宽度为
左右边衬的宽度为
27cm
21cm
几何图形与一元二次方程问题
几何图形
常见几何图形面积是等量关系
类 型
课本封面问题
彩条/小路宽度问题
常采用图形平移，聚零为整，方便列方程
动点面积问题
当堂小结
1. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ）
A．x2 + 130x - 1400 = 0
B．x2 + 65x - 350 = 0
C．x2 - 130x - 1400 = 0
D．x2 - 65x - 350 = 0
80 cm
x
x
x
x
50 cm
B
课堂练习
2.如图，要设计一个宽 20 cm，长为 30 cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为 2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设横向彩条的宽度 2x cm，则竖向彩条的宽度 3x cm.
则
答：横竖条的宽度分别是
解得
∵20 - 6x＞0，30 - 4x＞0，
∴ x＜

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