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巴塞尔问题
18 世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒 (Brook Taylor), 于 1685 年 8 月 18 日在英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市出生。1701 年, 泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。 1709 年后移居伦敦, 获得法学学士学位。1712 年当选为英国皇家学会会员, 同年进入仲裁牛顿和莱 布尼兹发明微积分优先权争论的委员会, 并于两年后获法学博士学位。从 1714 年起担任皇家学会第 一秘书, 1718 年以健康为由辞去这一职务。1717 年, 他以泰勒定理求解了数值方程, 最后在 1731 年 12 月 29 日于伦敦逝世。下面给出 阶可导函数 在 处的泰勒展开式 Taylor’s formula.
巴塞尔问题于 1644 年由意大利数学家彼得罗. 门戈利首次提出, 1734 年由欧拉解决, 这使他立即得到认可。这个问题是 求全体自然数平方的倒数和。数学界的三大高峰: 欧拉、高斯、黎曼。其中欧拉的数学技 巧无与伦比, 高斯的数学才能绝无仅有, 黎曼的数学灵感足以让 后世科学家忙碌几百年。这三位的顶级数学家相当的恐怖, 今 天, 我们就讲一下其中的一位: 欧拉数学家。欧拉是科学史上最 多产的一位杰出的数学家, 据统计他那不倦的一生, 共写下了 886 本书籍和论文,其中分析、代数、数论占 ,几何占 , 物理和力学占 ,天文学占 ,弹道学、航海学、建筑学等 占 ,彼得堡科学院为了整理他的著作,足足忙碌了四十七年.
一、欧拉的惊人记忆和心算能力超乎想象
当时, 欧拉底下的两个学生跟着欧拉学习, 两个人因为一个无穷极数答案不一样而发生了争执, 已经失明的欧拉完全用心算就找出了小数点后第 50 位的错误, 结果证明是自己的两个学生计算错误在没有计算机的年代, 梅森素数的寻找是相当困难的, 在 1588 年意大利数学家卡塔尔迪找到了 第六个和第七个梅森素数 和 之后,两百多年没有任何进展。直到 1772 年,欧拉在双目失明 的情况下,仅仅依靠心算得到了第八个梅森素数 ,是当时世界上已知的最大素数
二、欧拉恐怖的数学能力
在 1727 年 5 月 17 日欧拉来到了彼得堡. 1733 年, 年仅 26 岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教 授. 1735 年, 欧拉解决了一个天文学的难题 (计算彗星轨道), 这个问题经几个著名数学家几个月的 努力才得到解决, 而欧拉却用自己发明的方法, 三天便完成了. 然而过度的工作使他得了眼病, 并且 不幸右眼失明了, 这时他才 28 岁. 1741 年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请, 到柏林担任科学院物理 数学所所长, 直到 1766 年, 后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡, 不料没有多久, 左眼视 力衰退, 最后完全失明.
三、真正让欧拉一举成名的事情
上面举的几个例子只是欧拉厉害的几个小方面, 但是让欧拉真正名扬世界的话, 那就是解决了巴 塞尔级数问题.在 1644 年瑞士的科学家皮耶特罗. 门戈利提出了一个问题, 所有自然数倒数的平方和是多少 看起来不是一个特别难的问题, 但是很久以来, 没有一个数学家可以给出答案. 如两位微积分的 创始人,牛顿和莱布尼茨也不行. 最开始的时候,莱布尼茨发现了第一个计算 的无穷级数形式,他说给出任何无穷级数, 他都可以求出和来, 但是, 在巴塞尔级数问题上, 他翻船了, 直到死, 他都没有想明白.在 100 多年后, 欧拉出马了, 欧拉通过构造了一个特殊的函数, 并最终由这个函数的泰勒展开式 得到了正确的结论, 下面是计算的过程:
由泰勒展开式得到: ①
构造函数 ②
的全部零点是
得到 ③
即 ④
比较④两边 项的系数,可得到
所以
后来, 欧拉把这个结论发表出来, 轰动了整个数学界, 年仅 28 岁的欧拉解决了牛顿和莱布尼茨都 不能解决的数学难题, 从此就开始名扬天下.欧拉的成就远不止于此, 我们学习数学的时候, 经常看到的欧拉常数、欧拉方程、欧拉恒等式等 等, 都是欧拉的杰作.法国的数学家拉普拉斯还说: 读读欧拉吧, 他是所有人的老师!
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