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斐波那契数列
斐波那契数列 (Fibonacci sequence), 又称黄金分割数列, 其指的是这样一个数列: 1, 1, 2, 3, 5, 这个数列从第 3 项开始, 每一项都等于前两项之和。有趣的是: 这样一个完全是自然数的数列, 通项 公式却是用无理数来表达的。通项公式为 ,而且当 趋向于无穷 大时,前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 . 越到后面, 这些比值越接近黄金比.叶子的生长方式也是如此, 对于许多植物来说, 每片叶子从中轴附近生长出来, 为了在生长的过 程中一直都能最佳地利用空间 (要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来, 而不是一下子同时出现 的), 每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是 222.5 度, 这个角度称为“黄金角度”, 因为它和整个圆 周 360 度之比是黄金分割数 的倒数,而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产 生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到 89, 甚至 144 条。1992 年, 两位法国科学家通 过对花瓣形成过程的计算机仿真实验, 证实了在系统保持最低能量的状态下, 花朵会以斐波那契数列 长出花瓣。
以下是它的部分性质:
1、奇数项求和
证明:
2、偶数项求和
证明:
3、前 项求和
证明:
4、平方求和
证明:
5、
6、中项关系
证明:
7、
数学归纳法: 证明
当 时, 显然成立。
假设 时成立,也即 成立,那么当 时,
,显然仍符合递推形式,
综上所述: 成立
8、
证明:
9、
(数学归纳法) 证明: 当 时, ,显然 成立
假设当 时成立,即: 成立,那么当 时,
显然成立
综上所述:
10、
证明: 由性质 7 知:
11、
证明: 由性质 7 知:
12、连续两项的商的极限
,
.
13、连续十项的和一定是 11 的倍数, 且等于这十项中的第七项的 11 倍。
证明: 设连续十项依次为 ,显然和为 .
14、
证明: 由性质 3 知, ,
则
证明: 取正切,化简 ,由性质 9 知: ,需证 (性质 9)
16、
证明: 需证 ,需证
数学归纳法: 当 时, ,显然成立
假设当 时成立,即 ,那么当 时,
17、
证明:
18.
证明:
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