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数列结论篇
一等差数列
1.常用结论
(1)通项公式的推广：am=am+(n-m)d(n,m∈N).
(2)在等差数列{an}中，当m+n=p+q时，am+an=ap十a,(m,n,p,g∈N).
特别地，若m+n=2t,则am+an=2a(m,n,t∈N)
(③)a,a+m,a+2m,…仍是等差数列，公差为md(k,m∈N.
(4)Sn,S2m-Sn,S3m-S2m,…也成等差数列，公差为n2d
(⑤)若{a},{bn}是等差数列，则{pan十qbn}也是等差数列.
(⑥若a,}是等差数列，则（告}也成等差数列，其首项与a,}首项相同，公差是{a}公差的号
S指=a
()）若项数为偶数2，则Sa=n(a+a)=n(a+a+h,S-S分=ndS闻=a,
S指=”
(8)若项数为奇数2m-1,则52-1=(2n-1)aS海-S%=a,iS=n-T
(9)在等差数列{a,}中，若a>0,d<0,则满足a≥0
am+1≤0
的项数m使得Sn取得最大值Sm:若a1<0,d>0,则
满足a≤0
am+1≥0
的项数m使得S,取得最小值S:
(10)等差数列的前n项和公式与函数的关系
S=号+(a-号)m数列{a,}是等差数列台S=Ar+BmAB为常数).
(11)等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0,d<0,则Sn存在最大值；若a<0,d>0,则S存在最小值.
2.an与S之间一步转换
am,十am,十am,十…十Qm,=namm+
例：a2十ag十a7=3as3ag-a12=2a6
公式一：S.=a+a2十ag++a.→S.=n:a(其中n为奇数)例：S,=5ag,
S2m-1
公式二an=2n-1
例a-各a-若
当m1、m2、mg、…、mn也成等差数列时，均有am,十am,十am十…十am.=nam+m.3.只有S的模型与最值问
题
性质1等差数列中中”=m,则有0公m二可以求出S基至8
m+n m-n
注意：(1)若Sm=S,则一定有：Sm+n=0:am±41=0，
(2)S,S2m-S,Sm-S2n成等差数列，公差为n2d
性质2等差数列a,}中：（气}为首项是，公差是号的等差数列，若m+m=p+则云+于-令+
m
包
S
特别的，若m+n=2印，则有六+丹=空
性质3.S.有最大值台{
an>0
Sn有最小值台{
a<0
an+1<0
2>0者a=0,则有S=S-同时取得最值S之0，n的
最大值一
S,>0
S+1<0
S<0,n的最大值台S<0
Sm+1>01
二等比数列
1.常用等比数列结论
1.若m+n=p十q=2k(m,n,p,p,g,k∈N"),则am'an=ap'ag=a.
2若a项数相同)是等比数列则aa≠0，{日}a.,ab,小{会}
仍是等比数列，
3.在等比数列{a}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a,a+,an+2,a+3…为
等比数列，公比为g
4.公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则S,S2-S,Sm-S2n仍成等比数列，其公比为q.
5a)为等比数列若a心a=工则工会是…成等比数列
6.当q≠0，g≠1时，S,=k-g(k≠0)是{a,}成等比数列的充要条件，此时k=二9
7有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方，
2.等比积秒杀公式：am·am·am…am=(am+m+m++m
注：角标为分数时，小题依然适用.
例aasa=(a月；aaag…a,=(a岁）；
a1'a2'ag…ag=(a5)月
拓展：若m、m2、mg…m成等差数列时，有am·aa…am.=(amn)月
3.等间隔的等比数列比值
公式1t+at…a进=女。
am1十am,十am
例如0ta十…2=g(（②)%tat…2=q（6)8tat8=g(48tat8=g
a2十a5+…ag6
a1+a4十…ag7
as+as+as
a1+a2+a3
强调：一定要项数相等，才能用此定理。
推论：在等比数列{an}中，当项数n=2k时，S=qSn
公式2：Snm+n=Sm+q"S=Sn+q"Sm
例如：(1)S1o=Ss+qiS;(2)Ss=S3+qSo=S(1+q+q):(3)S2m=Sm+q"Sm；
(4)S3m=Sm+q"S2m=Sm(1+q+q).
强调：两个公式表达的其实是同一个意思，整体成等比数列。
三数列通项求法
1.整体等比构造

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