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数学课前必读物
1.平方差公式：a2- b2= (a+ b) (a- b)
2.完全平方公式：(a+ b)2= a2+ 2ab+ b2 (a- b)2= a2- 2ab+ b2
3.立方和公式：a3+ b3= (a+ b) (a2- ab+ b2)
立方差公式：a3- b3= (a- b) (a2+ ab+ b2)
4. 1常用三角函数值：sin30° = 2 = cos60° sin60° =
3
2 = cos30°
sin45° = 22 = cos45° tan30° =
3
3 tan45° = 1 tan60° = 3
a,a>0
5.二次根式： a2= a = 0,a=0 .-a,a<0
注意：开二次方根时，被开方数≥0；遇到分数时，分母≠0.
6.一元二次方程：ax2+ bx+ c= 0(a≠ 0)
①判断方程根的个数 = b2- 4ac与 0的关系
≥0
②方程有两根同号 x1x c2= a >0
>0
③方程有两根异号 x c1x2= a <0
b c
④韦达定理：x1+ x2=- a x1x2= a
常用变形：x21+ x22= (x1+ x 22) - 2x1x2
x1-x2 = (x 21-x2) = (x1+x 22) -4x1x2
x31+ x32= (x 21+ x2) (x1- x1x2+ x22) = (x1+ x2) [(x 21+ x2) - 3x1x2]
1
x +
1
x =
x1+x2
1 2 x1x2
7.解一元二次不等式 ax2+ bx+ c> 0(a≠ 0)的步骤
第一步：先将二次项系数化正；
第二步：找方程 ax2+ bx+ c= 0(a≠ 0)的根；
第三步：①若方程有两根，大于则大于大根或小于小根，小于则在两根之间；
②若方程只有一根或无根，利用简图得解；
第四步：把结果写成集合形式或区间形式.
8.含 绝对值 不等式：大于，则大于正根或小于负根；
小于，则在负根与正根之间.
9.解分式不等式的步骤：先移项通分把不等式右侧化为 0；再等价转化为整式不等式，
f(x) f(x) f(x)g(x)≥0即
g(x) > 0 f(x)g(x)> 0；g( ) ≥ 0 x g( .x)≠0
·1·
10.高次不等式：先将 x的系数化正，从最大根的右上方穿下去，特别注意重根.(奇穿
偶不穿)
x1 x2 x3 x1(x2) x x3 4
11.含参二次不等式的解法有两类：
①两根含参：比根大小；
②二次项系数含参数：既要比较根大小，还要注意开口方向.
12.二次函数解析式的三种形式：
①一般式：y= ax2+ bx+ c (a≠ 0)
②顶点式：y= a(x- h)2+ k (a≠ 0)
③交点式：y= a(x- x1) (x- x2) (a≠ 0)
二次函数图象是一条抛物线，其开口方向由 二次项系数 确定；图象的对称轴是
x=- b2a ，图象与 x轴的交点的个数由 =b
2-4ac确定.
13.二次不等式恒成立问题：
① ax2+ bx+ c> 0(a≠ 0)恒成立
a>0 <0
ax2+ bx+ c≤ 0(a≠ 0)无解
② ax2+ bx+ c≥ 0(a≠ 0)恒成立
a>0 ≤0
ax2+ bx+ c< 0(a≠ 0)无解
③ ax2+ bx+ c< 0(a≠ 0)恒成立
a<0 <0
ax2+ bx+ c≥ 0(a≠ 0)无解
④ ax2+ bx+ c≤ 0(a≠ 0)恒成立
a<0 ≤0
ax2+ bx+ c> 0(a≠ 0)无解
14.含双参数不等式恒成立的步骤：
第一步：把所求参数放在不等式左边；
第二步：求不等式右边那整部分函数的最值.
即①若 t≥ f(x)恒成立，则 t≥ f(x)的最大值 (简称“大大”)；
·2·
②若 t≤ f(x)恒成立，则 t≤ f(x)的最小值 (简称“小小”).
15.六大集合：实数集R，有理数集Q，整数集 Z，自然数集N (又称非负整数集)，正整
数集N *+或N ，空集 .
16.元素与集合的关系：属于或不属于；符号：∈或 .
17.集合与集合的关系：包含与不包含；符号： 或 ；包含又分为“ ”与“=”.
18.集合中元素三大特性：互异性、无序性、确定性.
19.空集是任何集合的子集，即 A.空集是任何非空集合的真子集，即 A(A≠
).
20. n元素集合有 2n个子集，有 2n- 1个真子集.
21.交 集 是 由 两 个 集 合 A ，B 中 的 公 共 元 素 组 成 的 集 合 ，即 A ∩ B =
{x x∈A且x∈B}.
并集是由两个集合A，B中的所 有 元 素 组成的集合，即A∪B={x x∈A或x∈B}.
补集是由集合A在全集U中剩下的元素组成的集合，即 UA={x x∈U且x A}.
22.关键量词的否定：
是——不是 一定是——不一定是 都是——不都是
或——且 存在——任意 必有一个——一个都没有
至少有n个——至多有n- 1个
p q
23. p是 q的既不充分也不必要条件 q p
p q
p是 q的必要不充分条件 q p
p qp是 q的充要条件 q p
p q
p是 q的充分不必要条件 q p
24.四种条件的说法有两种：
第一种：p是 q的 XXXX 条件；
第二种：q的 XXXX 条件是 p.
25.判断 p是 q的 条件时，先分清已知条件是 p，再由已知条件 p自己推结论，
推完后再与结论 q作比较.
若推出的结论与 q一样或比 q的范围小，则推得出；
若推出的结论与 q相反或比 q范围大，则推不出.
大范围 小范围
牢记：
小范围 大范围
特称命题(存在 )的否定是全程命题(任意 ).命题 p与命题 p真假相反.
26.用 特殊值法 判断选项时，一般用：0，负数，分数.
·3·
27.用作 差 法 比较大小的步骤：
①作差 ( ) - ( )；
②判断差与 0的关系；
③得大小.
28.利用同向可加性求代数式的范围：
第一步：设 所求代数式 = p(已知代数式) + q(另一个已知代数式)；
第二步：解出 p，q；
第三步：已知代数式去乘以相应的 p与 q；
第四步：同向相加得范围.
29.重要不等式：
x，y∈R，都有 x2+y2≥2xy成立，当且仅当 x= y时，等号成立.
30.基本不等式：
a，b∈R+，都有 a+b≥2 ab，当且仅当 a= b时，等号成立.
基本不等式口诀：一正二定 (积为定值，和取最小值；和定，积取最大值)三相等
31.“1”的妙用：有显性的“1”，还有隐藏的“1”.
32.函数三要素：
①定义域 (自变量 x的取值范围)；
②值域 (函数值 f(x)的取值范围)；
③对应法则.
33.
34.零点：使 f(x)=0的 x的值.
集合表示 区间表示 说法
{x a≤x≤b} [a,b] 闭区间
{x a{x a≤x{x x≥a} [a, +∞) 正无穷
{x x零点 方程的根 函数图象与 x轴交点的横坐标
35.函数的概念
对于数集A中的 任意( )的 x都有唯一的 y值与之对应，y∈数集B.称 f是由数集
A到数集B的一个函数.函数有 f(x)，g(x)，h(x)……
x满足 任意性，y满足 唯一性.
定义域={x x∈A}→即 x的取值范围.
值域={y y= f(x)}→即 y的取值范围.注意 值域 B .
36.定义域的考法
①算术平方根，被开方数≥ 0；②分母≠ 0；③零次方的底数≠ 0.
·4·
37.值域考法
先求函数的定义域，再利用简图得解.特别小的值域是由有 限 个 元素组成的集合，还
是一个范围.
38.抽象函数的定义域求法
已知函数 f(2x- 1)的定义域为 [0,1]，求 f(1- 3x)的定义域.
x x
x与前面“2x-1”中的x一样 要求的x与“1-3x”中的x一样f (2x - 1 ) 与 f(1- 3x)
2x-1 1-3x
范围一样
39.函数 的表示法：解析法、列表法、图象法.
40.函数解析式的求法：①待定系数法 (适用于已知函数种类，如一次函数、反比例函
数、二次函数等)；②换元法 (适用于 f( ) =一个代数式)；③配凑法；④令 x= 赋值
法 (适用于抽象函数).
41.函数图象法：①一次函数 y= kx+ b(k≠ 0)的图象是一条直线，常常找点 (0,b)与 (
- b ,0).
k
k
②反比例函数 y= x (x≠ 0)的图象是两条曲线，无限靠近坐标轴.
③二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)的图象是有一条对称轴的抛物线.
④图象的平移：
x 左 加 x± h(h> 0) y 上 加 y± k(k> 0)
右减 下减
⑤图象平移后与原图形形状不变，只是位置发生移动，因此可建立新坐标系后再画图
象.
⑥分段函数的图象
i)分别画出每段函数图象，再根据 x的取值进行擦除；
ii)含“ ” 采用零点分段法，先分段后画图.
42.函数的单调性
①定义：对于任意的 x1,x2∈区间D 定义域A，且 x1< x2，都有 f(x1)< f(x2)，就说函
数 f(x)在区间D上是单调递增函数，简称单增函数.
从图象上看，从左边看过来，图象呈上升趋势，此时，区间D就叫做 y
单调递增区间，简称单增区间.
多个单调区间可用“，”隔开，也可以用“和”连接，不能用“∪”连接.
对于任意的 x1,x2∈区间 D 定义域 A，且 x1<
x
x 02，都有 f (x1) >
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f(x2)，就说函数 f(x)在区间D上是单调递减函数，简称单减函数.
从图象上看，从左边看过来，图象呈下降趋势，此时，区间D就叫做 y
单调递减区间，简称单减区间.
②用定义法证明函数单调性的步骤：
第一步：取值 (即 x1,x2 定义域A，且 x1< x ) 0 x2
第二步：作差 (即 f(x1) - f(x2))
第三步：变形 (常用通分、因式分解 (提公因式、平方差公式、分子有理化、分母有理化、
配方法)等))
第四步：定号 (讨论每 个 因 式 与 0的关系，即定“差与 0”的关系)
第五步：下结论 (同增异减)
43. k一次函数的单调性看 y=kx+b的 k的正负；反比例函数看 y= x 的 k的正负；二
次函数的单调性既 要 看开口方向又 要 看对称轴.
复合函数的单调性：令u= ，则 y= f(u)，同增异减.
如求 y= -x2+2x+3的单调区间时：
第一步：求其定义域；
第二步：求u=-x2+ 2x+ 3的单调区间，而不是 x2- 2x- 3的单调区间；
第三步：结合 y= x在 x≥ 0单调递增与所求的 u=-x2+ 2x+ 3的单调区间写出 y
= -x2+2x+3的单调区间.
44.利用单调性解不等式时，一 定 要注意定义域.如 f( )> f( ) > .
函数的单调性：
①画图后看图得到；
②代数形式，如： x 1< x 2，则 f (x 1) < f (x 2)；[ f (x 1) - f (x 2)] (x 1 - x 2) > 0；
f(x1)- f(x2)
x -x < 0.1 2
45.当不能用基本不等式 a+b≥2 ab(a,b∈R+) 解决 y
最 值 时 ，可 用 勾 勾 函 数 的 单 调 性 解 决 . 勾 勾 函 数
y=x+ kx (k>0) .y在 (0, k )上单调递减，在 ( k , +∞)
2 k
上
. y=x- k单调递增 请区别函数 x (k>0) 型，该函数在 (-∞,
- k k x
0)和 (0, +∞)上单调递增. -2 k
46.函数奇偶性的判定
定义法：
①判断函数定义域是否关于原点对称；
②表示 f(-x)，与原函数 f(x)作比较，若
f(-x) = f(x) 函数为偶函数
·6·
f(-x) =-f(x) 函数为奇函数
图象法：
( ) 关于原点对称 函数为奇函数f x 的图象 关于y轴对称 函数为偶函数
47.函数奇偶性的性质
(1)若 f(x)为奇函数，则①定义域关于原点对称；② f(-x) =-f(x)；③若 x取得到 0，
则 f(0) = 0；④图象关于原点对称；⑤若一个多项式，则只含有奇次方项.
(2)若 f(x)为偶函数，则①定义域关于原点对称；② f(-x) = f(x)；
③ f(x) = f( x )；④图象关于 y轴对称；⑤若一个多项式，则只含有偶次方项.
48.可以利用函数的奇偶性，即图象的对称性补全函数图象.
49.函数图象对称变换
= ( ) 关 于 x轴对称y f x y=-f(x)
= 关于y轴对称y f(x) y= f(-x)
y= f(x) 关 于 原 点 对 称 y=-f(-x)
50.函数图象翻折变换
= ( ) 保 留 x 轴 上 方 图象y f x y= f(x)
把x轴下方图象翻折到x轴上方
y= f(x) 保 留 y 轴 右 侧 图 象 ，去 掉 y 轴 左 侧 图 象 y= f( x )
再把y轴右侧图象翻折到y轴左侧
51.幂函数
y y
1
一般地，函数 y= xα叫做幂函数，α=-1, 2 ,1,2,3 y= x y=x3
图象都经过点 (1,1)，第四象限无图象.
x
52.式子 n a 叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开 x
方数.
( n a，n为奇数a )n= a n a= a ，n为偶数
m m
a n = n am
-
a n = 1 a0m = 1(a≠ 0) a
ras= ar+s
a n
r
(ar)s= ars (ab)r= arbr a r-s
as
= a
53.指数函数：y= ax(a> 0且 a≠ 1)
54.指数函数 y= ax与 y= ( 1 )xa 图象关于 y轴对称.
55.画指数函数图象一般取点 (0,1)和 (1,a)，再加单调性可得指数函数的大致图象.
56.求函数 y= f(ax)的值域，先利用函数 u= ax的单调性确定 u的取值范围，再确定
y= f(u)的值域即为原函数的值域.
·7·
当 a> 1，y= ax在R上是增函数 当 0< a< 1，在R上是减函数
y
y
O x
O x
图象恒过定点 (0,1)，指数函数图象在 x轴上方，即指数幂恒大于 0
指数函数知识点
1.如果 xn= a，则底数 x叫做 a的n次方根.
n
正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，即 an= a(n为奇数).
n a，a>0
正数的偶次方根有两个，一正一负，且它们俩互为相反数.即 an = a = -a，a≤0
(n为偶数).
0的任何次方根都是 0.即 n 0= 0.
2. 1的任何次方都是 1，即 1x= 1.
任何不等于零的数的零次方都得 1，即 a0= 1(a≠ 0).
(-1)2n= 1 (-1)2n-1=-1 0x= 0
负指数转化为正指数：
x-p= 1
r
am an= am+n (am)n= amn (ab)np = anbn
a = ( a )r
x br b
3. n a，n叫做根指数，a叫做被开方数.
1 m
n
根式形式：n a= an(指数形式) 根式形式： am= a n (指数形式)
-m
a n = 1m =
1
n m
a n a
4.指数幂运算的三大技巧：
①把数字写成以“2，3，5，10”为底的指数形式；
②小写形式写成分数形式；
③运算过程中，根式转化为指数形式.
5.形如 y= ax(a> 0且 a≠ 1)的函数叫做指数函数.
当 0< a< 1时 当 a> 1时
y
y
图象 1
1
O x O x
恒过定点 (0,1)
值域 (0, +∞)
·8·
总结：
①所有指数幂都为正数；
②当 0< a< 1时，y= ax在R上为减函数；当 a> 1时，y= ax在R上为增函数；
③图象恒过定点，令指数所在整体为 0，从而确定定点的横纵坐标.
6.在同一坐标系下：画指数函数图象一般取两点 (0,1)和 (1,a).
(1)当底数大于 1时，底数越大，指数函数图象越靠近 y轴；
(2)底数在 0与 1之间，底数越小，指数函数图象越靠近 y轴.
7.用图象比大小时，第一步：画 y= ax的图象；第二步：画 x=？ (虚线).从而找到交
点，这个交点就是这个数的位置.用代数法比大小，把数变为同底数或同指数，有时把“1”
当中介.
8.函数 y= ax与 y= ( 1a )
x(a> 0且 a≠ 1)的图象关于 y轴对称，两函数的底数互为倒
数.如：函数 f(x) = ax(a> 0且 a≠ 1)的图象与函数 f(x) = bx(b> 0且 b≠ 1)关于 y轴对
称，则有 ab= 1.
9.判断复合函数的单调性的步骤：
(1)分离出 t= f(x)，y= at；
(2)分别讨论函数 t，函数 y的单调性；
(3)再利用“同增异减”得出复合函数的单调性.
10.求函数 y= a f(x)的值域.
第一步：分离出 t= f(x)，则 y= at；
第二步：利用单调性或图象求出 t的取值范围；
第三步：把 t作为自变量，利用图象或单调性求出 y的取值范围.
第四步：下结论 (结果写成区间或者集合形式)
11.指数函数图象题：x+ h，x- h(x的系数为正“1”，h> 0) 左加右减
ax+ k，ax- k(k> 0) 上加下减
对数函数知识点
1.一般地，如果 ax=N (a> 0且 a≠ 1)，那么指数 x叫做以 a为底的N的对数，记作 x
= logaN .其中 a叫做对数的底数，N叫做真数.
特别的对数：以 10为底的对数叫做常用对数，记作 lgN .
以 e(e≈ 2.71)为底的对数叫做自然对数，记作 lnN .
2.真数> 0，定义域考查：分母≠ 0；真数> 0；被开方数≥ 0.
3.对数运算公式：
logaa= 1 loga1= 0 logabn=nlogab
lg10= 1 lne= 1 lg1= 0
·9·
ln1= 0 log bn= nam m log
logaN
ab a =N
logaM+ logaN= loga(M N ) log Ma N = logaM- logaN
= logcb = lgb换底公式：log lnb log2bab = lna = (适用于几个对数式相乘)logca lga log2a
倒数公式：logab logba= 1即 logab=
1
logba
4.对数函数：一般地，形如 y= logax(a> 0且 a≠ 1)的函数就叫做对数函数，其中 x是
自变量.
当 0< a< 1 当 a> 1
y y
图象 O 1 x O 1 x
定义域 (0, +∞)
值域 R
恒过定点 (1,0)
单调性 (0, +∞)上单减 (0, +∞)上单增
恒过定点类考点：令“真数”所在整体为 1，从而解出 x，得定点的横坐标，再代入求出
纵坐标即可.
5.在同一坐标系下：
(1)底数在 0到 1之间，底数越小，对数函数图象越靠近 x轴；
(2)底数大于 1，底数越大，对数函数图象越靠近 x轴.
6.用图象比较对数值大小时：
第一步：画出 y= logax的图象；
第二步：画出 x=？ (虚线从而找到此数对应的点.画对数函数图象时，一般取点 (1,0)
和 (a,1).
7.函数 y= logax的图象与 y= log 1x的图象关于 x轴对称.
a
8.对数函数 y= logax与指数函数 y= ax互为反函数.互为反函数的两个函数图象关
于直线 y= x对称.
9.判断对数型复合函数单调性的步骤：
第一步：求出函数定义域；
第二步：令 t= f(x)，则 y= logat；
第三步：分别讨论函数 t，函数 y的单调性；
第四步：利用“同增异减”得结论.
10.求函数 y= loga f(x)的值域
第一步：求出函数的定义域；
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第二步：分离出 t= f(x)，则 y= logat；
第三步：利用图象或单调性求出 t的取值范围；
第四步：把 t作为自变量，再利用单调性或图象求出 y的取值范围；
第五步：下结论，结果写成集合或者区间形式.
11.图象选择题：
①找出选项中不同的几个关键点；
②奇 (图象关于原点对称)偶 (图象关于 y轴对称)性；
③在各个区间上的单调性.
三角函数知识清单
1.角的概念：以 x轴的 非负 半轴为始边，按照 逆 时针旋转所成的角为正角；
以 x轴的正半轴为始边，按照顺时针旋转所成的角为 负角 .
2.象限角：角的终边落在哪个象限，这个角是第几象限角.
π
第一象限角的集合表示： α 2kπ<α<2kπ+ 2 ,k∈Z
第二象限角的集合表示： α 2kπ+ π2 <α<2kπ+π,k∈Z
第三象限角的集合表示： α 2kπ+π<α<2kπ+ 3π2 ,k∈Z
第四象限角的集合表示： α 2kπ- π2 <α<2kπ,k∈Z
180 π
3. 1弧度= π ° ≈ 57.3 ° 1° = 180 rad
4. π= 180° 360° = 2π 90° = π 3π2 2 = 270°
sin π6 =
1 π 2 π 3
2 sin 4 = 2 sin 3 = 2
cos π6 =
3
2 cos
π
4 =
2 π
2 cos 3 =
1
2
tan π = 36 3 tan
π
4 = 1 tan
π
3 = 3
1
5. 1扇形的弧长公式：l= α R ，扇形的面积公式：S= 2 lR = 22 αR .(圆
心角必须用弧度制)
6.设角 α是一个任意角，它的终边上一点P(x,y)，点P到原点的距离为 x2+y2 = r.
x y
sinα = yr ，cosα = r ，tanα = x (x≠ 0)，因此正弦在一、二象限为正，余弦在
一、 四 为正，正切在一、三象限为正 (总结：一全正、二正弦、三 正切 、四 余弦 )
7.同角的三角函数的基本关系式：(1)平方关系：sin2α + cos2α= 1 ；(常常把已
sinα
知等式两边平方) (2)商数关系：tanα = ；(常用分子、分母同时除以 cosα 或
cosα
cos2α,也有时把分母 1变成 sin2α+ cos2α)
·11·
(3)变形式：sin2α= 1- cos2α cos2α= 1- sin2α
(sinα± cosα)2= 1 ± 2sinαcosα
8.三角函数的诱导公式：
sin(α-2π) = sinα cos(α+k 360°) = cosα tan(α+2kπ) = tanα
直接甩 360°或 2π的整数倍，剩下负角就写负角
sin(-α) =-sinα cos(-α) = cosα tan (-α) = -tanα
负角化正角
sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα tan(π-α) = tanα
二象限角化锐角
sin(π+α) =-sinα cos(π+α) =-cosα tan(π+α) = tanα
三象限角化锐角
sin( π2 -α) = cosα cos(
π
2 -α) = sinα tan(
π
2 -α) = cotα
= sinα cosαtanα cotα= tanα cotα= 1
cosα sinα
sin( 3π2 -α) = -cosα cos(
3π
2 +α) = sinα sin(
π
2 +α) = cosα
sin( 3π2 +α) =-cosα cos(
3π
2 -α) =-sinα cos(
π
2 +α) =-sinα
总结：
π
2 的奇数倍，函数名 改 变
π 符号 看 象限
2 的偶数倍，函数名不变
9.函数 y= sinx图象上关键五点为 (0,0)，( π2 ,1)，(π,0)
3π
，( 2 , -1 )，(2π,0).俗称五
点作图法，值域为 [-1,1] ，y= sinx是奇函数，最小正周期 T为 2π .单调增区间
π
为 [ - 2 +2kπ , π + 2kπ],k∈ Z [ π，单调减区间为 y2 2 1
+ 2kπ, 3π2 + 2kπ],k∈ Z.
2π 1.5π π 0.5π O 0.5π π 1.5π 2π x
1
y = A sin(ωx) 型都是奇函数 ，遇 ω 为负时
π
先化正.对称轴 x= 2 +kπ ,k∈ Z.对称中心 (kπ, 0 ),k∈ Z.
3π
10. π函数 y= cosx图象上关键五点 (0,1)，( 2 ,0)，( π , -1)，( 2 ,0)，( 2π ,1).
值域为 [-1,1].y= cosx，y= cosωx，y=Acosωx y
都是偶函数，周期 T = 2π. [-π + 1单调递增区间
2kπ,2kπ],k∈ Z.单调递减区间 [2kπ,π+ 2kπ],k∈ 2π 1.5π π 0.5π O 0.5π π 1.5π 2π x
Z .对称轴 x= kπ ,k∈ Z . π对称中心 ( 2 + kπ,
1
0),k∈ Z.
·12·
11.函数 y= tanx图象上关键三点 (- π4 , -1)，(0,0)，(
π
4 , 1 ).值域 R，定义域是
x x≠ π2 +kπ,k∈Z .y= tanx，y= tanωx和 y=Atanωx都是奇函数，周期T= π.增区
(- π间是 2 + kπ,
π
2 + kπ),k∈ Z,
kπ
注意“开区间”.对称中心 ( 2 ,0),k∈ Z.
y
0.5π O 0.5π x
12.注意做解 答 题 时：①求最值.若定义域为R，则由 u的值去确定 x的值；若有给定
定义域，则由 x的范围去确定u的范围，再画 图 得最值；
②求单调区间.若定义域为R，则由 u的范围去计算 x的范围；若有给定 定义域，则先
由u的范围去计算 x的范围，再与定义域求交 集 .
13.做选择题时，多用代入排除法，即由 x的值 (范围)去算u的值 (范围).
14.函数周期性常用结论：
(1)若 f(x+ a) =-f(x)，则周期T= 2a ;
(2)若 f(x+ a) = 1( )，则周期T= 2a ;f x
(3)若 f(x- a) = f(x+ a),，则周期T= 2a ;
(4) 1若 f(x+ a) =- ( )，则周期T= 2a ;f x
(5)若 f(a+ x) = f(a- x)，则函数图象关于 x= a对称；
(6)若 f(b+ x) =-f(b- x)，则函数图象关于点 (b,0)中心对称；
(7) 1相邻的对称轴 (或相邻的对称中心)之间间隔 2 T，一个对称中心与它相邻的对称
1
轴之间间隔 4 T.
(8)对称轴的应用：
对称中心的应用：
对称中心(-1,0)
y
f(-1) 转 化 f(3)
y
对称轴x=1 f(0) 转 化 -2 -1 O x - f(-2)
-1 3
O x
·13·
15.函数 y=Asin(ωx+φ)+b中 (A> 0)
1
最大值- 最小值 ①从图象上找 T或
1
A= ω: 2 4 T,计算出T2 ②利用T= 2πω ,求ω
: 最大值+ 最小值φ 代图象上的点 b= 2
y=Asin(ωx+φ)+b的最大值是 A + b；最小值是-A+ b.
16.相位变换 (φ> 0)
= 图 象 向 左 ( 或向右y sinωx ) y= sinω(x±φ)(x的系数化 1 后再加减)
平移φ个单位
周期变换：(ω)
= ( + ) 横 坐 标伸y sin x φ 长 或 1 y= sin(ωx+φ)(分别求出 周期 作比较)
缩短为原来的 ω倍
振幅变换：(A)
y= sin(ωx+φ) 纵 坐 标 伸 长 或 y=Asin(ωx+φ)(求出最大值作比较)
缩短为原来的 A 倍
17.两角和差角公式：
sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
cos(α±β) = cosαcosβ sinαsinβ
tanα+ tanβ tanα- tanβ
tan(α±β)= tan(α-β)=
1 - tanαtanβ 1+ tanαtanβ
常用它的变形形式：tanα+ tanβ = tan(α+β) (1- tanαtanβ)
18.二倍角公式：
sin2α= 2sinαcosα
cos2α= 2cos2α-1= cos2α- sin2α =1-2sin2α
2tanα
tan2α=
1- tan2α
辅助角公式：asinx+bcosx= a2+b2 sin(x+φ)
asinx-bcosx= a2+b2 sin(x-φ)
其中 tanφ= ba， a >0
2 = 1-cos2α 1+ cos2α
1
小角化大角：sin α 2 cos
2α= 2 sinαcosα= 2 sin2α
19.三角恒等变化中常用技巧：
①化 1为同角的平方和.如：
1= sin2x+cos2x
= 2sinαcosα = 2sinαcosαsin2α 1 sin2α+cos2α
·14·
(sinx±cosx)2= 1± sin2x.
π π
②所求角等于已知角相加减.如：α= (α- 6 ) + 6 ，a- β= (α+ β) - 2β.
平面向量及其应用知识点
20. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的长度叫做向量的模.用 a

或 AB 表示.

21.零向量模为零，即 0 = 0，零向量的方向是任意的，因此 0与任一向量平行 (共线).

= a

MN
单位向量的模为 1，记作 e 1，如 或 是单位向量. a MN
22.方向相同或相反的非 零 向量是平行向量，又称 共线向量.
23.长度相等且 方向相反的两个向量互为相反向量；则AB+BA= 0或AB=-BA.
长度相等且方向相同的两个向量互为相等向量，在向量的加减法 (几何法)常用相反
向量和相等向量来转化运算.

24.向量加法的三角形法则：牢记“尾首相连”，如：MN +NP=MP.
向量加法的平行四边形法则：牢记“共起点”.
A B
AB+AD=AC
D C
由平行四边形法则推出 重要 的中线向量：

B AD= 1
D 2
(AB+AC)

A C 或AB+AC = 2AD

25.向量减法三角形法则①共起点；②差的方向由终点指向起点.即AB-AC =CB.
26. 向量的数乘：实数 λ与向量 a的积是一个 向量 .

当 λ> 0，λa与 a方向相同；当 λ< 0，λa 与 a方向相反；当 λ= 0，λa= 0.
= 两向量由四个不同点构成，两线平行①若 a λb 两向量由三个不同点构成，三点共线

②平面内三点A，B，C共线，对于异于A，B，C的一点O，有OB= λOA+ μOC，则 λ
+ μ= 1.

27.三角形的四心：①重心：若PA+PB+PC = 0，则P为△ABC的重心.AP= 2PE
A
D
P
B C
E
①
·15·
②外心：O为△ABC的外接圆圆心，OA=OB=OC=R
A
O C
B
②

③垂心：BP AC，CQ AB，AI BC = 0.
A
P
Q I
B C
③

④内心：三角形内切圆的圆心M，则MP AB= 0，MP=MN= r，∠PBM=∠MBN .
A
P
M
B C
N
④
28.平面向量夹角 θ的范围是 [0°,180°].

当 a与 b的夹角 θ= 0°时，则 a与 b方向相同；

当 a 与 b的夹角 θ= 180°时，则 a与 b方向相反；

当 a与 b的夹角 θ= 90°时，则 a与 b垂直.

当 a与 b平行或共线时，a与 b可能同向，也可能反向，特别小心 .

a b<0说两向量夹角为钝角时 除去θ=180°

a b>0
说两向量夹角为锐角时 除去θ=0°

29.已知A(m,n)，B(a,b)，则 AB = 点B的坐标 - 点A的的坐标 .
AB (m+a , n+b ). C(x,y) △ABC G(m+a+x的中点为 2 2 若 ，则 的重心 3 ,
n+b+y
3 ).
30.向量的数量积 几何表示 ：a b = a b cosθ (其中 θ为两向量的夹角，一定要
共起点 )
a b在 a方向上的投影为 b cosθ.b在 a方向上的投影向量为 b cosθ .
a
a 因 2

= 2a ，则 a = a2且 2a-b = (2a-b)2 .
·16·
31.在平面内已知两定点的位置，去确定在同一条直线上第三点的位置，分动点在线
段之间和动点在线段的延长线或反向延长线上.
32.建系法常用于直角三角形，等边三角形，正方形，矩形的前提下.
33.
a =(x1,y向量的坐标表示 1
)
向量的几何表示
b=(x2,y2)
三角形法则 AB+BC = AC
向量的加法 a + = + b= ( x +x , y +y )平行四边形法 则 AB AC A
1 2 1 2
D
向量的减法 三角形法则 AB-AC = CB a - b= ( x1-x2 , y1-y2 )

向量的数乘 a= 三点共线λb λa = ( λx , λy )
两线平行 1 1

向量的数量积 a b= a b cosθ a b= x1x2+y1y2

向量垂直 a b= 0 x1x2+ y1y2 = 0

向量平行 a = λb x1y2= x2y1
a 2 2向量 的模 a = a2 a = x1+y1
a

= b
x x +y y
cosθ cosθ= 1 2 1 2向量的夹角
a b x2 2 21+y1 x2+y22
a

在 b方向上的投 a
a b = x1x2+y1y2 cosθ 影 b x2 22+y2

b在 a 方向上的投 a = a b xb cosθ 1x2+y1y2
影向量 a a 2
a ( 2 2 ) (x ,yx +y 1 1
)
1 1
34.在解一些复杂题型时，可 几何表示 和 坐标表示 混合使用.
35.余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其它两边平方和减去这两边与它们夹
角的余弦的积的两倍.即
A 求边 求角
c b
2 2 2
cosB = a +c -b
a2= b2+ c2- 2bccosA 2ac
B C 2 2 2
a c
2= a2+ b2- 2abcosC cosC = a +b -c
2= 2+ 2abb a c2- 2accosB b2+c2-a2cosA=
2bc
36.常用的配方思想：如 a2+ c2= (a+ c)2- 2ac；基本不等式：a2+ b2≥ 2ab.
37.正弦定理：在一个三角形中，各边和它们所对角的正弦的比相等.
A
b a = b = c = 2R
c
O sinA sinB sinCC
a 变形式：① a:b:c= sinA:sinB:sinC
B
② a= 2RsinA b= 2RsinB c= 2RsinC
·17·
③ sinA= a b c2R sinB = 2R sinC = 2R
38. S△ABC=
1
2 absinC =
1
2 acsinB =
1
2 bcsinA.
△ 已知两边及夹角39.在 ABC中，若已知条件中 边长 条件多一般选余 弦 ，即 时；已已知三边求角
已知两角求剩余的角、边知条件中角多，即 选正弦.已知两角及其中一角的对边时
40.在△ABC中，每个内角的范围为 (0,π)，因此
sinA> 0且 sinA= 12，则A= 30°或 150°；
sinA= 32 ，则A= 60°或 120°；
sinA= 22 ，则A= 45°或 135°；
cosA> 0，则A只能取锐角；cosA= 0，则A为直角；cosA< 0，则A为钝角.
立体几何必读物
1.形如 a+ b i (a,b∈R)的数叫做复数，通常设为 z.其中 a叫做复数 z的实部，b叫做复
数的虚部.
2.当 a+ b i为实数时，虚部 b= 0；当 a+ b i为虚数时，虚部 b≠ 0；当 a+ b i为纯虚数时
a=0 .b≠0
3. i2=-1. i，i2，i3，i4，i5，i 6 周期为 4.
4.复数 a+ b i的共轭复数为 z= a- b i.模 z = a2+b2 .
5.复数 a+ b i在复平面内所对应的点为 Z(a,b). Z-(x+y i) = 2表示动点 (a,b)到定点
(x,y)的距离为 2.即 z1= a+ b i，z 2= c+ d i所表示的两点P1 (a,b),P2(c,d)的距离为
P1P2= (a-c)2+(b-d)2 .
6.运算法则：设 z1= a+ b i，z 2= c+ d i (a,b,c,d∈R).
则 z1± z2= (a± b) + (c± d) i
z 1 z2= (a+ b i) (c+ d i)
z1 = a+b i = (a+b i)(c-d i)z2 c+d i (c+d i)(c-d i)
7.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相
平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
·18·
①把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.
②侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
③底面是正多边形的直 棱 柱 叫做正棱柱.
底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.
特例：正三棱柱：上下底面为等边三角形，侧面为三个全等的矩形.
8.棱锥：有一个面是多边形，其余各面都 是 有一个公共顶点的三角形.由这些面所围成的
多面体叫做棱锥，这个多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形面叫做棱
锥的侧面；各侧面的公 共 顶 点 叫做棱锥的顶点. S
特例：①正三棱锥：底面为正三角形的三棱锥，各侧棱相等且顶点与底
面中心的连线垂直于底面. C
SO为棱锥的高 SD为棱锥的斜高
A DO
常用OD= 1 B3 AD
②正四棱锥：底面为正方形的四棱锥；各侧棱相等，四个面是全等的 P
且顶点与底面中心的连线垂直于底面.
PO为棱锥的高 A D
PE为棱锥的斜高 O E
B C
OE= 1 OD= 12 底面边长， 2 底面对角线
9.棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫
做棱台.
特例：①正三棱台：侧面是全等的等腰梯形
S MN为棱台的高
B
M 四边形MC CN为直角梯形A C

B 常用△SMC △SNC
N S侧= 3S梯形B C CB
A C
V 1棱台= 3 h(S上+S下+ S上S下 )
②正四棱台：侧面全是全等的等腰梯形.
S EF为棱台的斜高，MN为棱台的高
D C
M E
四边形MEFN为直角梯形
A B
D C 常用△SME △SNF
N F S侧= 4S等腰梯形B C CB
A B
D C V = 1棱台 3 h(S上+S下+ S上SM 下 )
A B
D C
Q
N MC 为对角线的一半
A B
·19·
四边形MC CN为直角梯形
常把直角梯形分为矩形MC QN和Rt△C QC
10.圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体
叫做圆柱.
OO A B 叫做圆柱的轴O
OO =圆柱的母线长
矩形ABCD是圆柱的轴截面
D r O C
S侧= 2πrl V = πr
2
圆柱 h
11.圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所
围成的旋转体叫做圆锥.
S △SAB叫圆锥的轴截面，其中 h 2+ r2= l2
α
牢记：底面圆的周长=展开图的弧长
h l 2πr
即 2πr=αl
A O Br S侧= πrl V =
1
圆锥 3 πr
2h
12.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.
S
r 四边形O1ABO为直角梯形r
O A O A1 1
l 常用△SO1A △SO2B
h h
R R S =S
O O B 侧 大圆锥侧
-S小圆锥侧= π R (l+SA) - π r SA
2 2
V = 1圆台 3 h(S上+S下+ S上S下 )
13.斜二测画法：利用 斜二测画法 画水平放置的平 面 图 形 的直观图.应遵循①横竖不变
②纵折半③平面图形中的平行线段在直观图中依然平行.
特殊：
y
F E y

F E
A O D x x

A D
B C
B C
平面图形 直观图
14.球： 圆O 既是球O的截面圆，
满足d 2=R 2-r 2
O d
R 也是△ABC的外接圆，A
r O 满足 ABB C =2rsinC
·20·
S球=4πR
2
R
V球=
4 πR33
O 常用计算技巧：
若R3=2 2，则R= 2.
D1 C1
正方体、长方体的外接球 A1 B1 球O与正方体各个面都相切，
O 2R= a2+b2+c2 D O 则2R=棱长C
A B
D1 C1
A1 B1 球O与正方体各侧棱相切= 球O与圆锥侧面、底面都相切O 则2R 面对角线长D O R A 则Rt△SOA Rt△SBO

C 且OO =R
B
A B O r A
B
15.公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面
内，那么这条直线在此平面内.
公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. A
C
公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它有且只有一条 B
过该点的公共直线.
β
A∈α
A∈β α∩β=l且A∈l b
α l A
公理 4：平行于同一条直线的两直线平行. θ a
α b
共面直线 平行直线
16.直线与直线的位置关系： 相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
异面直线 a，b，b b ，则 θ为异面直线 a与 b所成的角,θ的范围为 (0°,90°].
直线在平面内
m
17.直线与平面的位置关系有： 直线与平面相交 α 记：m 平面α 直线与平面平行
α A 记：平面α∩直线m=A
m
m
记：m 平面α
α
18.线面平行的判定：
平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
·21·
m 记：
m 平面α
n n 平面α m 平面α
α m n
19.线面平行的性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交
线与该直线平行.
β
m m 平面α
m 平面β
b
α α∩β=b m b
20.面 面 平 行 的 判 定 ：
一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行.
a a a
α P b b b


a∩b=P
a,b 平面α α β
a a ∩

b =P
β P b a ,b 平面β
21.面面平行性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
γ
α β
b α∩γ=b
α
β∩γ=a a b
a
β
要证线线平行的常用辅助线：①找中点②连平行四边形的对角线③利用三角形相似.
重要结论：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行.
(4)两个平面平行，则一个平面内任一条直线与另一个平面平行.
l α l
α
α m n β
β
β α γ
(1) (2) (3) (4)
l α m α α γ α β m n β γ α β
α β
l βl β n α l α
·22·
22.直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 :
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
l a α
b α

a
α b O a∩b=O l 平面α
l α
l b
23.线面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线平行.
m n m α
n α m n
α
24.直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直
线和这个平面所成的角.
PM 平面 α，M为垂足，则 θ为斜线PA与平面 α所成的角. P
①当PA 平面 α时，θ= 90°;
θ α
②当直线PA 平面 α或PA 平面 α时，θ= 0°; AM
③线面角 θ的范围是 [0°,90°].
25.二面角：①从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形 叫做二面角.二面角不是角.②
二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂
直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
l OA l
A OB l


θ OA α
B ∠AOB为二面角α-l-β的平面角α
O OB β
β α∩β= l
26.平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果他们所成的角是直 二 面 角 ，就说这两个平
面垂直.
平面与平面垂直的判定：一个平面过另一个平面的垂 线 ，则这两个平面垂直.
β
l l α
l β α β
α
27.平面与平面垂直的性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交 线 的直线与另一个平
面垂直.
·23·
α β
β
l β

l l 平面αα∩β=a
l a
α a
要证线线垂直常用方法：在等腰 (等边)三线合一；线面垂直得线线垂直，勾股定理，余
弦定理 (已知中给出很多线段的长度)，作两 垂 直 平面交 线 的垂线.
重要结论：(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.
l l m 平面αm n m n m α l α β
a 平面α
α β
m α n l β l α
α n α α a n 平面α β α β α l β m α
(1) (2) (3) (4)
切记：一个平面与另一个平面都垂直，但这两个平面不一定垂直或平行.
28.点到平面的距离：常用等体积转化法或建系公式法.
P 求点P到平面ABC的距离
VP-ABC=VA-PBC
A C
B
29.线到面的距离 可转化为线上任一点到平面的距离
B C 求直线CD到平面ABD 1的距离等于点D到平面ABD 1的距离
A D VD-ABD =V1 B-ADD1
B 1 C 1
A 1 D 1
统计
1.总体：在一个调查中，把调查对 象 的全体称为总体.
个体：组成总体的每一个调查对 象 称为个体.
样本：把从总体中抽取的那部分个体称为样本.
样本量：样本中包含的 个体数量 称为样本容量，简称为样本量.
2. 样本量n = 该层抽取的个数分层抽样： .
总体个数N 该层的个体数
3.几个数据中的平均数、众数、中位数、方差、标准差的算法
= x1+x2+ +x平均数：x nn
·24·
众数：n个数据中出现次数最多的数称为众数.
中位数：先把 n个数据从小到大的排列，排在最中间的数称为中位数.若 n为奇数，取
n+1 n n
第 2 个数据；若n为偶数，取第 2 和第 2 + 1个数据的平均数.
1
方差：s2= [(x - x)2n 1 + (x2- x)
2+ +(x - x)2n ]
标准差：S= s2 .方差越小的那组数据越稳定.
4.频率= 频数 极差=最大数据-最小数据
总数
5.在频率分布直方图中，频率、平均数、众数、中位数、方差的算法
频率=纵坐标×组距 各小组的频率之和为 1
平均数=每个组的平均数×相应频率之和
众数=小长方形最高那个组的平均数
中位数 ：先估计 0 .5 落在哪个组 ，再用小于 0 .5 的数据加上 0 .5 落在的组
0.5-前面走的频率 ×组距
该组的频率
方差 s2= ( 每个组的平均数-x)2×相应频率之和
6.第 p百分位数的定义
一般地，一组数据的第 p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p%的数据
小于或等于这个值，且至少有 (100- p)%的数据大于或等于这个值.
7.计算n个数据的第 p百分位数的步骤
第 1步，按从小到大排列原始数据；
第 2步，计算 i=n× p%；
第 3步，若 i不是整数，而大于 i的比邻整数为 j，则第 p百分位数为第 j项数据；若 i是
整数，则第 p百分位数为第 i项与第 i+ 1项数据的平均数.
8.四分位数
第 25百分位数，第 50百分位数，第 75百分位数.这三个分位数把一组数有小到大排列
后的数据分成四等份，因此称为四分位数.
下四分位数 0%—— 25%
第二四分位数 25%—— 50%
第三四分位数 50%—— 75%
上四分位数 75%—— 100%
概率必读物
1.我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点.全 体 样本点的集合称为试验E
的样本空间.用Ω表示样本空间，ω表示样本点，即Ω={ω1,ω2,ω3 }.
·25·
2.若事件A为不可能事件，则P(A) = 0；
若事件B为必然事件，则P(B) = 1;
若事件C为随机事件，则 0设试验E是古典概型，样本空间 Ω包含 n各样本点，事件C包含 k个样本点，则P(C)
= kn .
3. (1)若事件A发生，则事件 B一定发生，称事件 B包含事件A(或事件A包含于事件
B)，记作B A(或A B).
Ω
B A
(2)事件A与事件B至少有一个发生，称事件A与事件B的并事件 (或和事件)，记作
A∪B(或A+B).
Ω
A B
(3)事件A与事件 B同时发生，称事件A与事件 B的交事件 (或积事件)，记作A∩B
(或AB).
Ω
A B
(4)事件A与事件B不能同时发生，即A∩B= ，称事件A与事件B互斥 (或互不相
容).
(5)事件A与事件 B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∩ B= 且A∪ B=

Ω，称事件A与事件B对立.事件A的对立事件记为A，

P(A) = 1-P(A).
Ω
A
A
(6)互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件.
4.组合：从 n个不同的元素中不 分 先 后 (即无序)地取出m个不同元素 (m≤ n)的取法
有C mn 种.
计算公式：
·26·
阶乘：n! =n× (n- 1) × (n- 2) × (n- 3) 3× 2× 1
如：3！= 3× 2× 1 0！= 1 1！= 1
n!
从而C mn = !( - )! C
0 n
n=C n= 1 C 1=C n-1m n m n n =n
分步原理：从 n个不同元素种分先后 (即有序)地取出m个不同元素 (m≤ n)的取法
m 个
有n×(n-1)×(n-2) .
如从 5个数字中分两次取两个数字出来有 5× 4种取法.
注意区分有放回与无放回 .
5.概率的性质：
(1)若A与B互斥，则P(A∪B) =P(A) +P(B)
Ω
A B
(2)设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B) =P(A) +P(B) -P(A∩B)
Ω
A B
(3)若A与B为独立事件 (或A,B发生与否互不影响)
P(A∩B) =P(A) P(B)
空间向量与立体几何必读物
1.建立空间直角坐标系前先证明有三线两两垂直，这三线所在的轴就是 x，y，z轴.
2.空间中的点分三类：
(1)坐标轴上的点：x轴上的点 (x,0,0)，y轴上的点 (0,y,0)，z轴上的点；
(2)坐标平面上的点：平面Oxz上的点 (x,0,z)，平面Oyz上的点 (0,y,z)；
(3)空间中的点：先把此点投影到平面Oxy上找出横、纵坐标，再结合该点的高 度 ，从而
得空间中的点 (x,y,z).
找未知点坐标的方法有两种：
几何法:过此点分别作x,y轴的垂线,与x轴平行的垂线段长度对应横 坐标,与y轴平行的垂线段长度对应纵坐标

向量法:利用线段比例,建立向量关系,再利用对应坐标的等量关系可 确定未知点坐标

3.点A(x1,y1,z1)，点B(x2,y2,z2)，则 AB= (x2- x1,y2- y1,z2- z1)
·27·

AB= AB = (x2-x1)2+(y2-y )21 +(z2-z1)2
4.向量的模:

①若向量 a- 3b+ c= (1, 2 , -3) ，则 a-3b+ c = 12+( 2)2+(-3)2 ;

②若向量 a = b = c = 1且 a,b = 60°, a ,b = 90°, b,c = 120°, a 则 -3b+c =
(a

-3b+ c)2= a 2+9b2+c2-6a b+2a c-6b c .

向量的加法：AB+BC =AC
B C

A D AB+AD=AC

向量的减法：OP-OQ=QP
中线向量：
B
M

A C AM = 12 (AB+AC)
5.
平面向 量的坐标表示 空间向量的坐标表示a = (x1,y

1) a = (x1,y1,z1)
b= (x2,y2) b= (x2,y2,z 2
)
向量的加法 a + b= (x1+ x2,y1+ y ) a

2 + b= (x1+ x 2
,y1+ y2,z1+ z2)
向量的减法 a - b= (x 1- x2,y2- y1) a- b= (x1- x2,y1- y2,z1- z2)
向量的数乘 λa = (λx1,λy1) λa
= (λx1,λy1,λz1)
向量的数量
a

积 b= x1x2+ y y a

1 2 b= x1x2+ y1y2+ z1z2
向量垂直 x1x2+ y1y2= 0 x1x2+ y1y2+ z1z2= 0
a

= λb
向量平行 x1y2= x2y1 x1 = y1 z1x y = z (x2,y2,z2≠ 0)2 2 2

a a = x2+y2 向量 的模 1 1 a = x21+y21+z21
cosθ= cosθ=
向量的夹角 x1x2+y1y2 x1x2+y1y2+z1z2
x21+y21 x22+y22 x21+y2+z2 x2+y2 21 1 2 2+z2

6.若直线 l 平面 α，则AB叫直线 l的方向向量，AB叫平面 α的一个法向量.
在计算平面的法向量时，算得出的坐标就是算出的坐标，算不出的就令其中一个量为
·28·
非零 的值，从而第三个坐标就确定了. l
A
7.异面直线 a，b所成的角为 θ，则 θ的范围为 (0°,90°].
B
α
a A B a
a
θ b C D
α α b cos AB,CD =cosθ
8.
l A B l

l n
α α
l l
l 平面α

l 平面α n是 平 面 α的一个法向量
l 平面α 若n AB=0,则l 平面α
l M l
N
C P B C P B
α A D α A D
l AB
l CD MN AB=0
AB、CD 平面α
AB∩CD=P

MN CD=0 l 平面α
AB∩CD=P
l 平面α
a
α P b α
n1 n2
a
β P
b β
a a
b b 若 n1是平面α的一个法向量
a,b 平面α且a∩b=P n 2是 平 面β的一个法向量
a ,b 平面β且a ∩b =P n1 n2则平面α 平面β
平面α 平面β
·29·

A D n1 α α n2P
β C B β

l AB 若n1是平面α的一个法向量
l CD
AB∩CD=P

n 2是 平面β的一个法向量
n1 n2=0
l 平面α
平面α 平面β
平面α 平面β
9.
P P

n
θ A A θ
α B α B
PB 平面α,点B为垂足
PA是斜线，点A为斜足
AB是斜线PA在平面α上的投影 n是平面α的一个 法向量
则AB与PA所成的角θ为线面角 则 sinθ= cos PA,

n
且线面角θ∈[0°,90°]
10.
m n1
A l l
α n α
O n2B
β β
α∩β=l n 1是平面α的一个法向量
直线m l,直线n l n2是平面β的一个 法 向量
则∠AOB是二面角α- l-β的平面角 cos n ,n = n 1 n 2
二面角的取值范围为[0°,180°] 1 2 n1 n2
最后根据图形判断是
锐二面角还是钝二面角
·30·
11.点到平面的距离：常用等体积转化法
P P

n
A C A C
B B
求点P到平面ABC的距离 若n是平面ABC的一个法向量
VP-ABC=VA-PBC 则点P到 平 面 ABC的距离为d
且d= n PA n
线到面的距离 可转化为线上任一点到平面的距离
B C
A D
B1 C1
A1 D1
求直线CD到平面ABD1的距离等于等于点D到平面ABD1的距离
①VD-ABD =V1 B-ADD1

②平面ABD1的一个法向量为n，则点D到平面ABD1的距离为 d
= DA且 d n n
直线与圆的方程必读物
1.直线的倾斜角 α∈ [0°,180°]，且斜率 k= tanα(α≠ 90°).直线上两点A(x1,y1)，B(x2,
) = y -yy k 1 22 ，则 AB x -x (x1≠ x2).常借助 y= tanx图像来解题.1 2
tan π6 =
3
3 = tan30°
y
tan45°= tan π4 =1
π π x
tan π3 = tan60° = 3
2
b
若直线 l上有方向向量 v= (a,b)，则斜率 k= a .
2.特殊直线：
倾斜角 α= 0°，直线 l:y= y0;
倾斜角 α= 90°，斜率不存在.直线 l:x= x0.
·31·
3.直线的四种形式：
①点斜式：y- y0= k(x- x0)
②斜截式：y= kx+ b(常用于画直线的草图)
x y
③截距式：a + = 1b
④一般式：Ax+By+C= 0
k =k k =k
4.若两直线平行 1 2 若两直线重合 1 2 b1≠b2 b1=b2
若两直线垂直:k1k2=-1
( , ) : + + = = Ax0+By5. P x y l Ax By C 0 d 0+C①点 0 0 到直线 的距离 (先把直线化为一A2+B2
般式)
②两平行线Ax+By+m= 0与Ax+By+n= 0之间的距离
d= m-n (应先将直线化为一般式，且 x,y系数对应相等)A2+B2
6.若直线 l1:A1x+B1y+C1= 0与直线 l2:A2x+B2y+C2= 0
A①当 l l ，则 1 = B1 C11 2 A2 B
≠ ;
2 C2
A B C
②当 l1与 l2重合，则
1 = 1 1
A2 B
= ;
2 C2
③当 l1 l2，则A 1A 2+B 1B 2= 0.
7.与直线Ax+By+C= 0平行的直线设法Ax+By+m= 0.
8.平面内到定点的距离等于定长的轨迹叫做圆.
圆的标准式：(x- a)2+ (y- b)2= r2,圆心为 (a,b),半径为 r.
圆的一般式：x2+ y2+Dx+Ey+F= 0, P F圆心为 (- 2 , - 2 ).
9.点与圆的位置关系：
(1)点M (x0,y0)在圆上：(x 20- a) + (y0- b)2= r2;
(2)点M (x0,y )在圆外：(x - a)2+ (y - b)2> r20 0 0 ;
(3)点M (x0,y0)在圆内：(x - a)20 + (y 2 20- b) < r .
10.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法：
(1)几何法：利用圆心到直线的距离 d和圆的半径 r的大小关系.
d
d r r d r
·32·
d> r 相离 d= r 相切 d< r 相交
常用到：d2+弦的一半 2= r2
(2)代数法：
>0 相交
直线方程 判别式联立 2 =0 相切圆方程 =b -4ac <0 相离
11. D E圆的一般方程:x2+ y2+Dx+ Ey+ F= 0，圆心为 (- 2 , - 2 ).大多用于给出图上
两点、三点 时.
x=a+rcosα
12.圆的参数方程: = + (a为参数)y b rsinα
13.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x- a )21 + (y- b1)2= r2 21 圆O2:(x- a2) + (y- b )2= r22 2
图示 两圆关系 圆心距关系
O 外离 d> rO 1+ r21 2
O O 内含 d< r1- r1 2 2
O 相交 r1-r2 < d< r1+ r1 O 22
O 外切 d= r1+ r21 O2
O O 内切 d= r2 1-r2 1
14.求公共弦所在直线:
x2 +y
2+D1x+E1y+F1=0①联立 x2+y2+D2x+E2y+ = ，由①-②得到直线方程F2 0②
15.
·33·
A
O1
B O2
连心线O1O2垂 直 平 分 公共弦AB
16.已知第三圆经过圆O :x2+ y2+D x+E y+F = 0与圆O :x2+ y21 1 1 1 2 +D2x+E2y+F2=
0的交点，则 巧设 第三圆方程为 x2+ y2+D x+ E y+ F + λ(x2+ y21 1 1 +D2x+ E2y+
F2) = 0.
圆锥曲线必读物
1.平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数 (大于 F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆，即
PF1 + PF2 =2a，这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距.
2.
2 y2 y2x x2
标准方程 a2
+ 2 = 1(a> b> 2 + = 1(a> b>b a b2
0) 0)
y
y A2
B2 F2
图形 x
A1 F1 O F x2 A2 B1 B2
B F11
A1
焦点坐标 (±c,0) (0, ±c)
范围 x ≤ a, y ≤ b x ≤ b, y ≤ a
对称性 关于 x轴、 轴、原点都对称
A1(-a,0),A2(a,0) A1(0, -a),A2(0,a)顶点坐标 B1(0, -b),B2(0,b) B1(-b,0),B2(b,0)
长轴、短轴 长轴A1A2= 2a，短轴B1B2= 2b
e= ca ∈ (0,1)
离心率 当 e越接近 1时，椭圆越扁；
当 e越接近 0时，椭圆越圆；
3.焦点三角形常用结论：
图示 结论
y
P
△PF1F2为等腰三角形， PF1 =
x
F1 O F2 PF2 = a，且∠F1PF2达到最大值
·34·
y
P
r21+ r22= F1F 22
x
F1 O F2 r1+ r2= 2a
y r1+ r2= 2a
P
θ S△PFF = b2 tan
θ
1 2
x 2
F1 O F 22 r +r2- FF 2
cosθ= 1 2 1 22r1r2
y
b2P(c, a )
x 离心率越接近 0的椭圆越圆
F1 O F2
4.当 直 线 与 椭 圆 方 程 联立 时 ，常 设 直 线 为 点斜式：y-y0=k(x-x0) 或
斜截式：y=kx+m 或 横截式：x=ty+m .
一定要考虑： = b2- 4ac> 0
△
弦长公式： AB = 1+k2 (x1+x2)2-4x1x2 .
5.点差法：
①设点A(x1,y1)，B(x2,y2) y
A
x
2 y21 1 中点
a2 + b2 =1① xO②代点 B2 2

x2 + y2 2 =1②a b2
由①-②得
(x1+x2)(x1-x2) + (y1+y2)(y1-y2)2 2 = 0a b
b2(x1+x2) =- y1-y2
a2(y1+y2) x1-x2
6.焦半径：
y
PF1 = a+ ex PF2 = a- ex P
a- c≤ PF1 ≤ a+ c x
F1 O F2 2
y AF bA 1 = a-c cosθ
θ x b2F1 O FB 2 BF1 = a+c cosθ
1 + 1 = 2a
AF1 BF b2
·35·
x=acosα7.椭圆的参数方程： (α为参数)y=bsinα
8.平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝 对 值 等于常数 (小于 F1F2 )的点的轨迹叫做
双曲线 . 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 .
PF1 - PF2 = 2a.
x2 y
2
双曲线的标准方程： 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)a b
实轴 2a虚轴 2b 焦距 2c
其中 c2= a2+ b2 c离心率 e= a > 1
b b2
渐近线：y=± a x 点P坐标为 (c, a )
右焦点到渐近线的距离为 b
y
O x
数列必读物
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数
列的项.
2.数列的一般形式为 a1，a2，a3， ，an， 简记为 {an}.通项为 an，下标n表示项数.
第n项 an与项数n之间的关系式 通项公式
第n项 an与它的相邻项 an-1的关系式 递推公式
3.等差数列的概念：如果一个数列，从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一
个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做数列的公差，通常用小写字母 d表
示.
数学表达式：an- an-1=常数 d
4.等差数列的性质：(1)通项公式：an= a1+ (n- 1)d，an= am+ (n-m)d.
(2)若 a，A a+b，b成等差数列，则A= 2 ，常巧设为 a- d，a，a+ d.
(3)an-k，an，an+k也成等差数列，常设 an- kd，an，an+ kd.
(4)若m+n= p+ q，则 am+ an= ap+ aq.
( ) = S1,n=15 an 适用于任何数列Sn-Sn-1,n≥2
第一步 ：由Sn写Sn-1；第二步 ：Sn-Sn-1得 an；第三步 ：代n= 1算 a1与S1.
·36·
5.等差数列的判定：(1)定义法：an- an-1=常数 (an+1- an=常数)；
(2)函数法：an= pn+ q，则公差为 q；
(3)中项公式法：2an= an-1+ an+1；
6.等差数列的求和公式：
= n(a1+an) 若1+n=p+q,则a1+an=ap+aS qn 2 用于技巧求和 等差中项a1,an,a2n-1,则a1+a2n-1=2an
= + n(n-1)Sn na1 2 d，建方程组求 a1，d(硬算)
7.等差数列的性质：(1)若数列 {an}成等差数列，则 an- an-1=公差 d；
(2)若 a，A，b成等差数列 (即等差中项)，则 a+ b= 2A；
(3)若m+n= p+ q，则 am+ an= ap+ aq；
(4)Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，S4m-S3m， 也成等差数列；
(5) a SS 为等差数列 {a }的前n项和，T 为等差数列 {b }的前n项和，则 n = 2n-1n n n n T ；bn 2n-1
(6)S奇= a1+ a3+ +a2n-1 S偶= a2+ a4+ +a2n
S奇+S偶=S2n S偶-S奇=nd
8.构造新数列：
第一步：令 bn=一个含an的式子 ；
第二步：写出相邻项 bn-1(或 bn+1)；
第三步：把已知条件代入化简；
第四步：bn- bn-1得公差；
第五步：当n= 1,算出 b1；
第六步：用 bn=b1+(n-1)d 写出新数列的通项；
第七步：由这个式子反求出老数列通项 an.
9.等比数列的概念：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的 比 等于同一
个常数 (常数不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个不为零的常数叫做等比数列的公
a
比，通常用小写字母 q表示.数学表达式： na =常数 q.n-1
10.等比数列的通项公式：
an=a qn-11 (q≠ 0) an=a qn-mm
11.等比中项：若 a，G，b成等比数列，则G2= ab(即等比中项).
若 an-k，an，a
2
n+k成等比数列，则 an= an-kan+k.
x a
巧设：q ，x，xq或
n
k ，an，a q
k
n .
q
12.等比数列的求和公式：
= a1(1-q
n)
Sn 1-q (q≠ 1) Sn=
a1-anq
1-q
·37·
当 q= 1时，Sn=na1
常用到 1- q2= (1+ q) (1- q) 1- q3= (1- q) (1+ q+ q2)
13.等比数列的性质：
(1) a若数列 {an}为等比数列，则 na =公比 q；n-1
(2)若m+n= p+ q，则 am an= ap aq；
S
(3)S奇+S =S
偶
偶 n，S =公比 q；奇
(4)Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，S4m-S3m， 也成等比数列.
14.构造新数列：
第一步：令 bn=一个含an 的式子；
第二步：写出相邻项 bn-1(或 bn+1)；
第三步：把已知条件代入化简；
b
第四步： n 得公比；
bn-1
第五步：当n= 1,算出 b1；
第六步：用 bn=b qn-11 写出新数列的通项；
第七步：由这个式子反求出老数列通项 an.
15.数列求和：
n(a1+an) n(n-1)
①直接套用公式：等差数列求和公式：Sn= 2 =na1+ 2 d
na1,q=1
等比数列求和公式：Sn= a1(1-qn) a1-anq1-q = 1-q ,q≠1
②倒序求和：
Sn= a1+ a2+ a3+ +an
Sn= an+ an-1+ an-2+ +a1
③ 裂项 相消法：
(1) 1 = 1 1 1形如：
n(n+k) (k n - + )n k
1 = 1 - 1
n(n-1) n-1 n
常见 1 1 1 1(n-1)( = ( -n+1) 2 n-1 n+1 )
1 = 1 ( 1 1(2n-1)(2n+1) 2 2n-1 - 2n+1 )
(2) 1 = 1 ( n+k- n )
n+k+ n k
·38·
1
+ - =
1
2 ( n+2- n)n 2 n
常见
n+1- n = 1 - 1
n n+1 n n+1
④错位相减法：
若数列 {an} 1由一个等差数列和一个等比数列 之积 构成，形如 (2n- 3) × ( 2 )
n.第一
步：写出Sn= a1+ a2+ a3+ +an；
第二步：等式两边乘以等比数列的公比 q；
第三步：用Sn- qSn.第一个位置空着，最后一个项照着抄；
a1-anq
第四步：用公式 1-q 求中间部分的和，最后一项照抄；
第五步：等式两边除以 1- q得Sn；
第六步：代n= 1检验.
⑤区分 错位 相减法与 分组 求和法
之和 1
分组求和法用于一个等差数列与一个等比数列 构成，形如 2n- 3+ ( )n，2n
之差 2
- (n+ 5).
16.通过简单的递推公式求通项公式：
a
① an- an-1= d an= a1+ (n- 1)d na = q an= a q
n-1
1
n-1
②累加法：an+1- an= f(n)，形如：an+1- an= 2n+ 1，a - a n-1n n-1= 3
a a
③累乘法： n+1 = f(n)，形如： n+1 = ( 1 )n an = nan a
，
n 2 an-1 n+1
④ an= pan+ q(相邻项系数不同)构造新数列，设
an+1+λ=p(an+λ) 化简回去确定 λ的值.
一元函数的导数及其应用
Δy f(x
1. 1
)- f(x2)
平均变化率： = =
Δx x1-x2
Δy
2.瞬时变化率 lim = lim = f '(x0) =Δx→0 Δx Δx→0
f(0+Δt)- f(0)
初速度 v0= limΔt→0 Δt
3.求导公式：
若 f(x) = c,则 f '(x) = 若 f(x) = cosx,则 f '(x) =
若 f(x) = lnx,则 f '(x) = 若 f(x) = 3x,则 f '(x) =
若 f(x) = sinx,则 f '(x) = 若 f(x) = log2x,则 f '(x) =
若 f(x) = xα,则 f '(x) = 若 f(x) = ex,则 f '(x) =
·39·
复合函数的导数：f '(μ) = f '(μ) μ'x
如 [ln(1- x)]' = (sin2x)' =
[e1+x]' = [(2x- 1)2]' =
[cf(x)]' =
[ f(x) g(x)]' =
[ f(x)( ) ]' = (g(x) ≠ 0)g x
4. 求曲线在某点处的切线方程的步骤：
①对曲线求导；
②代切点的横坐标→切线的斜率为 ；
③用点斜式： 表示切线方程
(求切点坐标：利用切点既在曲线上，又在切线上)
5.求函数的单调性：
①一次函数 y= kx+ b的单调性由 决定:
k> 0时，一次函数为 函数；
k< 0时，一次函数为 函数.
2 二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)的单调性由对称轴 和 决定.
3 反比例函数 y= kx (k≠ 0)的单调性由 k决定：
k> 0时，反比例函数为 函数；
k< 0时，反比例函数为 函数.
k
4 对勾函数 y= x+ x (k> 0)在 上单增，在 上单减.
5 除上述函数以外，利用导函数求单调性：f '(x)> 0解出 x得增区间；
f '(x)< 0解出得 区间.
多个单调区间之间用“ ”或“ ”隔开.
7 已知函数的单减区间 f '(x) 0; 已知函数的单增区间 f '(x) 0;
6.求函数在闭区间 [a,b]上的最值的步骤：
1 求导 f '(x);
2 令 f '(x) = 0,解出 x1,x2;
3 讨论 f '(x)在多个区间 (定义域被 x1,x2分成的)与 的关系，并画出草图；
4 进而得到 f(x)在各个区间上的 ；
5 求出极值；
6 计算端点值 f(a),f(b);
7 最后得到最大值和最小值.
7.若“x0”是 f(x)的极值点
·40·
8.极值、最值都是指原函数的值，如函数 f(x)在 x= 2处有极小值-1，即 =-1.
9.解决双参数综合题时，有两种思路：1 分离变量法；2 分类讨论.
1 分离变量法
(1) f (x) =- 1【例】 x3+ 1 x23 2 + 2ax (
2
在 3 , +∞)上单调递增，则 a的取值范围为
(2) 1若存在两个不等实根 x1,x 22∈ [ e ,e],使-x + ax- 3= 2xlnx成立，求 a的取值范
围.
2 分类讨论
【例】(1)已知函数 f(x) = lnx- ax,求函数的单调区间.
(2)已知函数 f(x) = lnx+ 12 ax
2- x,讨论 f(x)的单调性.
(3)若曲线 f(x) = x3- ax2与直线 y= a2x- 1只有一个交点，求实数 a的取值范围.
计数原理
1.分类加法计数原理：N=m1+m2+…+mn(不重不漏)
2.分步乘法计数原理：N=m1×m2×…×mn(缺一不可 )
3.排列：一般地，从 n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，
叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列. 符号：Amn (有序)
4. n!排列数计算公式：Am nn = ( - )! An =n! =n× (n- 1) × (n- 2) ×…× 2× 1n m
A 1=n A 0n n= 1 0! = 1 1！= 1
5.组合：一般地，从 n个不同元素中取出m (m≤ n)个元素作为一组，叫做从 n个不同元
素中取出m个元素的一个组合．符号：C mn (无序)
·41·
Am
6. n!组合数计算公式：Cm nn = =Amm (n-m)!m!
Cn=C0= 1 C1=n Cm=Cn-mn n n n n
7.捆绑法 (相邻问题)：把相邻的元素进行捆绑，捆绑后相邻元素看作“1”，再与其他元素
排列.
8.插空法 (不相邻问题)：先把其它元素排列，再把不相邻元素插入空隙.
9.分堆法 (分配问题)：先分堆 (均分除以A )，再捧堆.
10.二项式定理：(a+ b)n=C0 nna +C1an-1b1+C2 n-2 2 nn na b + +Cnbn,n∈N
(1)等号右边的多项式有 n+1 项；
(2)二项式系数：Ckn 项的系数：Ckn
(3)通项：(a+ b)n展开式的第 k+ 1项叫做二项展开式的通项，记作T =Ckan-kbkk+1 n
(4)特例：(1+ x)n=C0+C1x+C2x2+C3x3+ +Cnn n n n nx
当 x= 1时，C0+C1+C2+ +Cn= 2nn n n n (即二项式系数之和)
n
(5)C0+C2n n+C4 1 3 5 2n+ =Cn+Cn+Cn+ = 2
(6)项系数之和为 f(1)
1 a0(令 x= 0)
2 a0+ a2+ a4+ =
f(1)+ f(-1)
2
+ + + = f(1)- f(-1)a1 a3 a5 2
n
( ) 当n为偶数时：C 27 二项式系数最大项： n n-1 n+1当n为奇数时：C 2n =C 2n
随机变量及其分布
P(AB)
1.一般地，设A、B为两个随机事件，且P(A) > 0，我们称P(B A ) = ( ) 为在事P A
件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
n(AB) P(AB)
2.计算公式：①P(B A) =
n( ) = ( ) ；②变式：P(AB) =P(A) P(B A).A P A
3.条件概率的性质：设P(A)> 0，则
(1)P(Ω A) = 1;
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C A) =P(B A) +P(C A);

(3)设B和B互为对立事件，则P(B A) = 1-P(B A);
(4)当P(A)> 0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B A) =P(B).
在做n个事件有复杂关系时，常借助韦恩图帮你理清关系.
·42·
4.全概率公式
一般地，设A1，A2， ，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪ ∪An=Ω，且P(Ai)>
n
0，i= 1,2, ,n，则对任意的事件B Ω，有P(B) = P(Ai)P(B Ai)，我们称这个公式为
i=1
全概率公式.
5.计算公式：P(B) =P(A1B) +P(A2B) +P(A3B)
=P(A1) P(B A1) +P(A2) P(B A2) +P(A3)P(B A3)
A1
A1B 逻辑上先有事件A1，A2，A3发生，才有事件B发生，即
A3 A3B
A2B B 由因导果 .
A2
6.贝叶斯公式
设A1，A2， ，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪ ∪An=Ω，且P(Ai)> 0，i= 1,
2, ,n，则对任意的事件B Ω，有
P(Ai)P(B Ai) P(Ai)P(B AP(A ii B ) = ( ) = n ，i= 1,2, ,nP B P(Ai)P(B Ai)
i=1
A1
A1B
A3 A3B 追寻事件B是在怎样
A2B B
A2 的情况下发生的
P(A2B) 由果找因P(A2 B )= P(B) 全概率公式
7.随机变量的定义
一般地，对于随机试验样本空间 Ω中的每个样本点 ω，都有唯一的实数X(ω)与之对
应，我们称X为随机变量.
8.分布列的定义
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2， ，xn，我们称X取每一个值 xi的
概率P(X= xi) = pi，i= 1,2, ,n为X的概率分布列，简称分布列.
表示：①解析法
P(X= xi) = pi，i= 1,2, ,n.
②列表法
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
9.离散型随机变量分布列的性质
(1)pi≥ 0，i= 1,2, ,n；
(2)p1+ p2+ +pn= 1.
·43·
10.离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
n
则称E(X) = x1p1+ x2p2+ xnpn= xipi，为随机变量X的均值或数学期望，数学期
i=1
望简称期望，反映了随机变量取值的平均水平.
E(aX+ b) = aE(X) + b
11.离散型随机变量的方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称 D (X ) = (x 1 - E (X ) ) 2 p 1 + (x 2 - E (X ) ) 2 p 2 + + (x n - E (X ) ) 2 p n =
n
(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差.
i=1
称 D(X)为随机变量X的标准差，记为 σ(X).
方差反应谁的水平发挥相对稳定.
D(aX+ b) = a2D(X)
12.若一个随机变量 ξ的分布列为
ξ 0 1
P 1- p p
则称随机变量 ξ满足两点分布.
13.二项分布的定义
一般地，在 n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为 p(0< p< 1)，用X
表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X= k) =Ckn pk(1- p)n-k，k= 0,1, ,n.如果
随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p).
14.一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
(1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率 p；
(2)确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n,p)；
(4)设X~B(n,p)，那么E(X) =np，D(X) =np(1- p).
15.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取 n件 (不
·44·
Ck Cn-k
放回)，用X表示抽取的 n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X= k) = M N-Mn ，kCN
=m,m+ 1,m+ 2, ,r.其中n,N ,M∈N *.
大范围N M
有两个分层 N-M M N-M小范围n k n-k
16.确定超几何分布模型
(1)明确是不放回取东西；
(2) E(X) =n M在用公式 N 时，要写出N，M，n.D(X) =E(X
2) -E 2(X).
17.正态分布与正态曲线
- (x-μ)
2
函数 f(x) = 1 e 2σ2 ，(x∈R，其中 μ∈R，σ> 0为参数)
σ 2π
为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.若随
机变量X的概率分布密度函数为 f(x)，则称随机变量X服从正态
分布，记为X~N (μ,σ2).
当 μ= 0时，称随机变量X服从标准正态分布，记为X~N (0,σ2).
18.正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线 x= μ对称；
1
②曲线在 x= μ处达到峰值 ；
σ 2π
③当 x 无限增大时，曲线无限接近 x轴；
④当 σ较小时，峰值高，正态曲线“高瘦”，表示随机变量X的分
布比较集中；当 σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”；
⑤若X~N (μ,σ2)，则E(X) = μ，D(X) = σ2.
19.正态分布的 3σ原则
假设X~N (μ,σ2)，则对给定的 k∈N *，P(μ- kσ≤X≤ μ+ kσ)是一个只与 k有关的
定值.特别地，
P(μ- σ≤X≤ μ+ σ) ≈ 0.6827
P(μ- 2σ≤X≤ μ+ 2σ) ≈ 0.9545
P(μ- 3σ≤X≤ μ+ 3σ) ≈ 0.9973
实际生活服从 3σ原则才算合格.
正相关线性相关
20.两个变量的关系 负相关非线性相关
21.

线性相关关系可用线性回归方程 y= bx+ a . 表示 此直线恒过样本中心 (x,y)，b
> 0 正相关.
22. e 残差 =观测值-预测值
·45·
23.相关系数 r的绝对值越接近 1则相关性越强；哪个模型的 r越大，那个模型就拟合
得更好.
24.非线性相关，如 y= lnx+c 或 y=dex+ f 型可通过 换元法 转化为线性相关.y=
bx+ a(b a 、 叫最小二乘估计).
25.独立性检验
2= n(ad-bc)
2
χ (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
若P(χ2≥ x0)成立，则 1-P(χ2≥ x0)表示有多少把握认为有关；
若P(χ2≥ x0)成立，则认为没有关系，则X与Y独立.
·46·

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