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认识无理数
以上是两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形.
设大正方形的边长为a，a满足什么条件？
a能是整数吗？说说你的理由.
a能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流.(共37张PPT)
2024年秋季
数学 北师大版
八年级上册
1 认识无理数
北师大版 八年级上册
第二章 实数
学习目标
通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
借助计算器探索无理数是无限不循环小数并从中体会无限逼近的思想.
会判断一个数是有理数还是无理数.
复习导入
有理数进行分类：
正整数
零
负整数
正分数
负分数
有理数
分数
整数
有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？
请大家先准备两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形.
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思考探究，获取新知
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假设拼成的大正方形的边长为a，a满足什么条件？
a2=2
1
1
计算：
（ ）2=1
思考：若a2=2，则a为多少？
a可能是整数吗？
1
12 = 1
22 = 4
32 = 9
……
a不是整数
越来越大
计算：
（ ）2=1
思考：若a2=2，则a为多少？
a可能是整数吗？
可能是分数吗？
1
……
a不是整数
a不是分数
结果都是分数
a不是有理数
（1）如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？
（3）b是有理数吗？
正方形的面积=直角三角形的斜边的平方=12+22=5
b2=5
b不是有理数
b
如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？
h2=22-12=3
h不可能是整数，也不可能是分数.
随堂练习
【教材P21 随堂练习】
1
如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.
思考：
1
1
2
2
a
a
S=a2=2
1 < a < 2
S=12=1
S=22=4
面积为2
边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分呢？······借助计算器进行探索.
自主探索
边长a 面积S
1＜a＜2 1＜S＜4
1.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.25
1.41＜a＜1.42 1.9881＜S＜2.0164
1.414＜a＜1.415 1.999396＜S＜2.002225
1.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜S＜2.00024449
想一想：还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？
边长a 面积S
1＜a＜2 1＜S＜4
1.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.25
1.41＜a＜1.42 1.9881＜S＜2.0164
1.414＜a＜1.415 1.999396＜S＜2.002225
1.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜S＜2.00024449
是一个无限不循环小数.
（1）估计面积为5的正方形的边长b的值（结果精确到0.1），并用计算器验证你的估计.
（2）如果结果精确到0.01呢
b=2.236067977···
是一个无限不循环小数.
b=2.24
b
b
S=b2=5
对于体积为2的正方体，借助计算器，可以得到它的棱长c是多少？
c
V=c3=2
c=1.259921049···
也是一个无限不循环小数.
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
3，
= 0.8
= 0.5
·
= 0.18
· ·
= ﹣0.17
·
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
3 = 3.0
结论
如圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，因此它也是一个无理数.再如0.5858858885…（相邻两个5之间8的个数逐次加1）也是无理数.
而能化成有限小数或循环小数，这些数都是有理数.
无限不循环小数称为无理数.
你能找到其他的无理数吗？
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14， ， ，0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）.
有理数
无理数
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.4583， 18.
【教材P24 随堂练习】
随堂练习
解：0.4583， 18是有理数；-π是无理数.
1.右图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段.试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段.
【教材P22 习题2.1 第1题】
巩固练习
解：如图所示，红色的线段长都能用有理数表示；蓝色的线段长都不能用有理数表示.（答案不唯一）
2.请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形：
（1）使它的三边中有一边边长不是有理数；
（2）使它的三边中有两边边长不是有理数；
（3）使它的三边边长都不是有理数.
【教材P22 习题2.1 第2题】
解：如图所示.
3. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
, 3.97 , -234.101 010 10···（相邻两个1之间有1个0）,
0.123 456 789 101 112 13···（小数部分由相继的正整数组成）.
有理数
有理数
有理数
无理数
【教材P25 习题2.2 第1题】
·
4.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
有理数集合
无理数集合
0.315
4.96
3.14159
-5.2323332…
123456789101112…
5.（1）设面积为10的正方形的边长为x，x是有理数吗？说说你的理由.
【教材P25 习题2.2 第2题】
解：x不是有理数. 理由：x既不是整数，也不是分数.
5.（1）设面积为10的正方形的边长为x，x是有理数吗？说说你的理由.
（2）估计x的值（结果精确到0.1），并用计算器验证你的估计.
【教材P25 习题2.2 第2题】
因为3.152=9.9225， 3.22=10.24
所以9.9225 < x2 < 10.24
所以3.15 < x < 3.2
所以x ≈ 3.2
5.（1）设面积为10的正方形的边长为x，x是有理数吗？说说你的理由.
（2）估计x的值（结果精确到0.1），并用计算器验证你的估计.
（3）如果结果精确到0.01呢？
【教材P25 习题2.2 第2题】
因为3.162=9.9856， 3.1652=10.017225
所以3.16 < x < 3.165
所以x ≈ 3.16
6.判断下列说法是否正确：
（1）所有无限小数都是无理数； （ ）
（2）所有无理数都是无限小数； （ ）
（3）有理数都是有限小数； （ ）
（4）不是有限小数的不是有理数. （ ）
×
√
×
×
【教材P25 习题2.2 第3题】
无限循环小数是有理数
7.判断题.
（1）有理数与无理数的差都是有理数. （ ）
（2）无限小数都是无理数. （ ）
（3）无理数都是无限小数. （ ）
（4）两个无理的和不一定是无理数. （ ）
×
√
×
√
8.再举出三个有关无理数的实例.
【教材P25 习题2.2 第4题】
课堂小结
无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.
1
2
任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.
阅读教材P24读一读；
完成练习册中本课时的习题.
课后作业
谢 谢，同学们再见！
谢谢
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