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(共33张PPT)
2024年秋季
数学 北师大版
八年级上册
北师大版 八年级上册
5 三角形的内角和定理
第1课时 三角形内角和定理的证明
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.
2.应用三角形内角和定理解决相关问题.
复习回顾
1.回顾平行线有哪些性质？
两直线平行
内错角相等
同位角相等
同旁内角互补
2.我们学过的知识中哪些含有180°的关系？
三角形内角和等于180°
1
2
3
4
∠1=∠2
∠1=∠3
∠1+∠4=180°
平角为180°
进行新课
我们已经知道三角形的内角和等于180°，有什么方法可以验证这一结论？
①测量
47°
73°
60°
60°+47°+73°=180°
②几何画板
A
B
C
③剪拼
④折叠
B
C
A
A
B
C
观测的结果不一定可靠，还要通过数学知识来说明. 根据上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
剪拼折叠角的目的什么？
构造平角
A
B
C
B
C
A
A
B
C
如果不实际移动角，通过什么方式来改变角的位置呢？
A
B
C
知识点一
三角形内角和定理的证明
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
如何改变角的位置构造平角？
延长BC到D，过点C作射线CE∥BA
分析：
E
D
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.
A
B
C
E
D
1
2
证明：延长BC到D，过点C作射线
CE∥BA，则
∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），
∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）.
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证法一：
三角形内角和定理
三角形内角和等于180°
A
B
C
几何语言：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
证明：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1，∠C=∠2,
（两直线平行，内错角相等）.
∵∠2+∠1+∠BAC=180°
（平角的定义），
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
（等量代换）.
1
2
l
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
你还能想到其他添加辅助线构造平角的方法吗？
证法二：
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
证明：过点D作DE∥AC，DF∥AB.
∴∠C=∠1，∠B=∠3
（两直线平行，同位角相等）.
∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
∴∠A=∠2（等量代换）.
∵∠1+∠2+∠3=180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）.
1
2
3
D
E
F
证法三：
思考：除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？
两直线平行，同旁内角互补
除了在三角形顶点或边上构造平角外，还可以在三角形内部和外部构造平角.
A
B
C
A
B
C
讨论：如何构造平行线得到同旁内角呢？
根据给出的辅助线提示，请同学们课后完成这两种证明方法.
l
D
E
F
A
B
C
E
D
A
B
C
l
A
B
C
D
E
F
A
B
C
l
A
B
C
D
E
F
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
转化思想
添加辅助线（平行线）
利用平行线的性质，转移角
转化为平角或同旁内角
例1 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
知识点二
三角形内角和定理的应用
A
C
B
D
解：在△ABC中，
∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理).
∵∠B= 38°，∠C=62°(已知)，
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性质).
∵AD平分∠BAC(已知)，
∴∠BAD =∠CAD= ∠BAC= ×80°= 40°
(角平分线的定义).
在△ADB中，
∠B +∠BAD+∠ADB = 180°(三角形内角和定理).
∵∠B=38°(已知)，∠BAD =40°(已证)，
∴∠ADB= 180°- 38°-40°= 102°(等式的性质).
A
C
B
D
拓展：如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
基本图形归纳
∠A+∠B=∠C+∠D
“8”字形
∠1+∠2=∠3+∠4
“A”字形
随堂练习
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是
______三角形 .
1.练一练：
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= .
③在△ABC中， ∠A=∠B+10°，∠C=∠A + 10°，则∠A= ， ∠ B= ，∠ C= .
102°
直角
60°
50°
70°
2.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE= 180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）=42°．
3.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°-60°=120°．
4. 直角三角形的两锐角之和是多少度？证明你的结论.
证明:因为三角形内角和为180°，而直角为90°，所以直角三角形两锐角之和为180°-90°=90°.
【教材P179 随堂练习 第1题】
5. 正三角形的一个内角是多少度？证明你的结论.
证明：因为正三角形三个内角相等.所以正三角形每一个内角的度数为 ×180°=60°.
【教材P179 随堂练习 第2题】
6. 已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D，E分别在AB和AC上，且DE//BC.
求证：∠ADE=50°.
【教材P179 随堂练习 第3题】
A
B
C
D
E
证明:∵DE// BC(已知)，
∴∠AED=∠C=70°(两直线平行，同位角相等).
又∵∠A=60°(已知)，
∴ ∠ADE=180°－70°－60°=50°
(三角形内角和定理).
A
B
C
D
E
课堂小结
三角形内角和定理
内容
证明
应用
∠A+∠B=∠C+∠D
“8”字形
添加辅助线（平行线）
利用平行线的性质，转移角
转化为平角或同旁内角
三角形内角和等于180°
∠1+∠2=∠3+∠4
“A”字形
布置作业：完成练习册中本课时的习题。
课后作业
谢 谢，同学们再见！
谢谢
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