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第二章 直线和圆的方程
人教版 高中数学
选择性必修一
一、总体设计
直线和圆是平面几何中已经研究过的图形，本章用解析几何的方法进行再研究，可以使学生体会解析几何方法的特点.
本章首先在平面直角坐标系中，探索确定直线位置和圆的几何要素；然后用代数方法刻画直线的斜率、两点间的距离.
在此基础上，建立直线和圆的方程；用方程研究两条直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离以及直线与圆、圆与圆的位置关系；
解决简单的数学问题和实际问题，初步感悟平面解析几何蕴含的数学思想.
二、本章内容
第一部分是直线的方程 共3小节
01
“2.1直线的倾斜角与斜率”
“2.2直线的方程”
“2.3直线的交点坐标与距离公式"3节；
第二部分是圆的方程共2小节
02
“2.4圆的方程”
“2.5直线与圆、圆与圆的位置关系”
三、本章教学时间约需16课时
具体分配如下（仅供参考）：
2.1直线的倾斜角与斜率 约2课时
2.2直线的方程 约3课时
2.3直线的交点坐标与距离公式 约4课时
2.4圆的方程 约2课时
2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 约3课时
小结 约2课时
四、本章知识结构
第1节“直线的倾斜角与斜率”，
主要内容是直线的倾斜角和斜率的概念，倾斜角与斜率之间的关系，过两点的直线斜率公式，
以及运用直线的斜率判断两条直线平行或垂直的位置关系.
为了用代数方法研究直线的有关问题，教科书首先探索在平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素，然后用代数方法表示这些几何要素.
第1节“直线的倾斜角与斜率”，
通过一点和一个方向确定一条直线，引入直线倾斜角刻画直线的倾斜程度（方向）；
然后通过具体实例，由具体到一般，通过向量法，用直线上两点的坐标刻画倾斜角；
把倾斜角的正切值表示为这两点纵坐标的差与横坐标的差的商，进而引出直线斜率的概念；
建立过两点的直线斜率公式，以及直线的斜率与其方向向量的关系.由于两条直线平行或垂直取决于它们的方向，所以由它们斜率的关系可以判断两条直线平行或垂直的位置关系. ’
第2节“直线的方程”
包括直线的点斜式、两点式和一般式方程，
斜截式、截距式方程分别是点斜式、两点式方程的特例.
点斜式方程是其他所有方程的基础，它是在经过两点的直线斜率公式的基础上，利用给定的点和斜率建立直线上任意一点所满足的代数关系.
它一方面表示直线上的点满足这个关系式，
另一方面表示满足这个关系式的点都在这条直线上.
两点式方程是点斜式方程的“变式”表达或推论，两者之间的桥梁是直线的斜率.
而一般式方程揭示了任意一个二元一次方程表示一条直线，任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.点斜式方程、两点式方程都可以化为一般式方程.
第3节“直线的交点坐标与距离公式”
运用直线的方程，判断两条直线的位置关系，求出两条直线相交时交点的坐标；推导点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式.
距离问题是欧氏几何的基本问题之一，在欧氏几何中，把两点间线段的长度定义为距离.而两点间的距离公式与过两点的直线斜率公式是平面解析几何中两个最基本的公式.
教科书用向量方法得出平面上两点间的距离公式.
对于点到直线的距离公式，教科书给出了两种推导方法，两种方法各有所长，在比较中可以体会坐标法与向量法的异同.
而两条平行线间的距离可以转化为点到直线的距离求出，是点到直线的距离公式的“推论”.
圆是本章研究的第二类图形.
虽然圆与直线是两类图形，
但研究方法是一致的，
即根据确定圆的几何要素，
建立圆的方程，
运用圆的方程研究与圆有关的几何性质.
第4节“圆的方程”
包括圆的标准方程、
圆的一般方程两部分内容.
教科书从确定圆的几何要素：
圆心、半径出发，根据两点间的距离公式，得到圆的标准方程.
把圆的标准方程展开，得到圆的一般方程.
圆的标准方程和一般方程是圆的方程的两种形式，它们各有自己的特点，而且两者之间可以互化.
第5节是“直线与圆、圆与圆的位置关系”.
综合运用直线和圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系，以及一些简单的数学问题和实际问题.
图形之间的位置关系，既可以直观定性描述，也可以严格定量刻画.定量刻画的方法既可以完全运用代数的方法，通过运算求解，得到图形之间的位置关系；
也可以综合运用几何方法和代数方法，这种综合是充分借助图形的几何性质，一定程度上简化代数运算，最后得到图形之间的位置关系.
本章选学内容
本章还安排了
“方向向量与直线的参数方程”
“笛卡儿与解析几何”
“坐标法与数学机械化”等选学内容，
目的是拓展学生的知识面，让学生从多种角度认识直线方程的表示形式，了解解析几何产生的过程，以及我国数学家吴文俊先生运用坐标法进行几何定理机器证明的杰出贡献.
五、本章的重点
过两点的直线斜率公式是建立直线方程的基础，
两点间的距离公式是建立圆的标准方程的基础，
两个公式是本章内容的基础.
在此基础上建立的直线的方程、圆的方程，以及运用它们研究两条直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离、直线与圆、圆与圆的位置关系等
六、本章的难点
用向量方法推导点到直线的距离公式，
以及对直线与直线的方程，
圆与圆的方程之间关系的认识，
坐标法是解析几何最基本的研究方法
本章研究直线、圆及其相关问题，用的是坐标法.
坐标法是解析几何最基本的研究方法，
它建立了几何与代数之间的联系，体现了数形结合的思想.
七、本章学业要求
能够根据具体问题情境的特点，通过建立适当的平面直角坐标系，建立直线与圆的方程.
能够根据直线与圆等相关几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；能够根据对直线与圆问题的分析，探索解决问题的思路；能够运用代数方法解决问题得到代数结论，给出代数结论的几何解释，解决直线与圆的问题.
能够运用平面解析几何思想解决一些简单的与直线、圆有关的实际问题.
重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养.
八、核心知识评价要求
主题 知识单元 核心知识 评价要求 合计个数
了解 理解 掌握 几何与代数 直线和圆的方程 直线的方程 直线的倾斜角与斜率 7 4
过两点的直线斜率的计算公式 V 两条直线平行或垂直的判定 直线方程的三种形式：点斜式、两点式、一般式 V 两条直线的交点及其坐标 4
两点间的距离公式 点到直线的距离公式 V 两条平行直线间的距离 圆的方程 圆的标准方程 5
圆的一般方程 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 直线与圆的简单应用 V 总计个数 1 6 6 13
九、思想方法评价要求
思想方法 评价要求
数形结合 能以确定直线位置的几何要素为基础，通过分析直线与圆上点的几何特征，建立直线与圆的方程;.能从给定的直线或圆的方程说出直线或圆的几何特征，能揭示直线或圆上的点与对应方程的解之间的一一对应关系.
函数与方程 能用方程的语言与形式表达几何图形的几何特征，能分析直线与圆的方程中的数量关系，能通过研究直线或圆的方程以及它们所组成的方程组解的情况得到直线与圆的位置关系或其他几何问题的结论.
化归与转化 能在平面直角坐标系下将直线与直线的方程、圆与圆的方程熟练进行转化；能在具体问题情境下，将几何关系问题转化为代数形式，通过运算得到代数结论后能将结论转化为几何结论；能将直线的点斜式方程、两点式方程与一般式方程相互进行转化.
特殊与一般 能认识直线的点斜式方程与两点式方程是在特殊条件下的直线方程，能认识直线的斜截式方程是特殊的点斜式方程，截距式方程是特殊的两点式方程；能理解直线的一般式方程的代数意义；能将直线的各种形式方程进行互化；能认识圆的标准方程与圆的一般方程间的关系.
十、关键能力评价要求
关键能力 评价要求
直观想象 能通过观察直线发现确定直线位置的几何要素与直线的几何特征，通过对圆的观察发现确定圆的几何要素与圆的几何特征；能通过对直线方程的观察感知直线的位置状态，通过对圆的方程的观察感知圆的位置与大小；能借助信息技术的动态演示直观感知方程中的参数对曲线形态的影响，形成数学直觉和数形结合的思想.
运算求解 能根据几何背景问题的分析得到问题解决方法，并能明确相应代数方法的运算流程；运算过程中能清晰描述直线与圆的方程的几何意义；能熟练地运用待定系数法、消元法、换元法等进行求解、化简和运算，能灵活运用函数与方程的思想和坐标法解决与直线和圆有关的数学问题和实际问题.
推理论证 能通过类比、归纳、演绎等推理过程，认清直线与圆的几何特征；能结合具体图形，推出直线与圆的几何要素和位置关系.能运用直线与圆的方程和几何要素，对有关问题进行合乎逻辑的分析、推理和证明，并用数学符号准确、规范地表述问题，进而解决问题.
抽象概括 能在现实情境和数学情境中抽象概括出直线与圆的概念和位置关系；能利用特殊到一般、具体到抽象的方法得到直线与圆的方程；能用代数方法刻画直线与圆的几何性质和位置关系；能将代数运算结论转化为几何结论.

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