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第2讲　抛体运动
整合教材·夯实必备知识
一、平抛运动的规律及应用(必修二第五章第4节)
二、斜抛运动(必修二第五章第4节)
【质疑辨析】
角度1 平抛运动
(1)平抛运动的时间由高度和初速度共同决定。 (　×　)
(2)从同一高度水平抛出的两个物体(不计空气阻力),初速度越大的物体落地时的速度越大。(　√　)
(3)从同一高度平抛的物体,不计空气阻力时,在空中飞行的时间是相同的。(　√　)
(4)做平抛运动的物体,在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。(　√　)
角度2 斜抛运动
(5)斜抛运动的加速度不恒定。(　×　)
(6)无论是平抛运动还是斜抛运动,都是匀变速曲线运动。 (　√　)
精研考点·提升关键能力
考点一　平抛运动的规律及应用　(核心共研)
【核心要点】
1.平抛运动的特点
物理量 特点
飞行时间 由t=知,时间取决于下落高度h,与初速度v0无关
水平射程 x=v0t=v0,即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定,与其他因素无关
落地速度 v==,以θ表示落地速度与水平正方向的夹角,则tanθ==,落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
速度 改变量 平抛运动的加速度a=g恒定,做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv=gΔt相同,方向竖直向下,如图所示
2.平抛运动的两个推论
图示 推论
1.任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点,如图中A点和B点,有:xB=
2.在任意时刻任意位置处,设其末速度方向与水平方向的夹角为α,位移与水平方向的夹角为θ,则tanα=2tanθ
【典例剖析】
角度1 平抛运动的规律及应用
[典例1](2022·全国甲卷)将一小球水平抛出,使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄,频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光。某次拍摄时,小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光,拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像,每相邻两个球之间被删去了3个影像,所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7。重力加速度大小取g=10 m/s2,忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
【备选例题】
(2023·台州模拟)如图所示,一架战斗机沿水平方向匀速飞行,先后释放三颗炸弹,分别击中山坡上水平间距相等的A、B、C三点。已知击中A、B的时间间隔为t1,击中B、C的时间间隔为t2,释放炸弹的时间间隔分别为Δt1、Δt2。不计空气阻力,则 (　　)
A.t1>t2　　　　　　B.t1=t2
C.Δt1>Δt2 D.Δt1=Δt2
角度2 平抛运动的两个推论
[典例2](2023·本溪模拟)如图所示,ab为竖直平面内的半圆环acb的水平直径,c为环上最低点,环半径为R,将一个小球从a点以初速度v0沿ab方向抛出,设重力加速度为g,不计空气阻力,则以下说法错误的是 (　　)
A.小球的初速度v0越大,碰到圆环时的水平分位移越大
B.当小球的初速度v0=时,碰到圆环时的竖直分速度最大
C.无论v0取何值,小球都不可能垂直撞击圆环
D.v0取值不同时,小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
考点二　有约束条件的平抛运动　(核心共研)
【核心要点】
有约束条件的平抛运动的情境及解题策略
已知条件 情境示例 解题策略
已知速度方向 从斜面外平抛,垂直落在斜面上,如图所示, 已知速度的方向垂直于斜面 分解速度 tanθ==
从圆弧形轨道外平抛,恰好无碰撞地进入圆弧形轨道,如图所示,已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度 tanθ==
已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上,如图所示, 已知位移的方向沿斜面向下 分解位移 tanθ===
在斜面外平抛,落在斜面上位移最小,如图所示, 已知位移方向垂直斜面 分解位移 tanθ===
利用位移关系 从圆心处水平抛出,落到半径为R的圆弧上,如图所示, 已知位移大小等于半径R
从与圆心等高的圆弧上水平抛出,落到半径为R的圆弧上,如图所示, 已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
【典例剖析】
角度1 与斜面有关的平抛运动
[典例3] (2024·潍坊模拟)滑板运动是一项青春、时尚、绿色、阳光的体育运动。如图所示,跳台的斜面AB长为L,C点为斜面中点。滑板运动员(视为质点)从斜面顶端A点水平跃出,第一次速度为v0,刚好落在C点;第二次试跳中,要落在斜面底端B点,则离开A点时水平速度大小应为 (　　)
A.v0　　 B.2v0
C.v0 D.3v0
【备选例题】
如图所示,从倾角为θ且足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球(可视为质点),落在斜面上某处,记为Q点,小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α,若把初速度变为2v0,小球仍落在斜面上,则以下说法正确的是 (　　)
A.夹角α将变大
B.夹角α与初速度大小无关
C.小球在空中的运动时间不变
D.PQ间距是原来间距的3倍
角度2 与圆弧面有关的平抛运动
[典例4](2023·长沙模拟)如图所示,半径为R的半球形碗固定于水平面上,碗口水平,O点为碗的圆心,A、B为水平直径的两个端点。将一弹性小球①(可视为质点)从A点沿AB方向以初速度v1水平抛出,小球与碗内壁碰撞一次后恰好经过B点②;
若将该小球从离O点R处的C点以初速度v2水平抛出,小球与碗内壁碰撞一次后恰好返回C点③。假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向速度不变,沿半径方向的速度等大反向,则v2与v1的比值为 (　　)
A.2　　　　　B.
C. D.
考点三　平抛运动的临界和极值问题　 (核心共研)
【核心要点】
常见临界问题及求解思路
两种临界 求解思路
(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度 (2)物体的速度方向恰好达到某一方向 (1)确定临界状态 (2)找出临界状态对应的临界条件 (3)分解速度或位移 (4)若有必要,画出临界轨迹
【典例剖析】
角度1 平抛运动的临界问题
[典例5](2023·成都模拟)如图所示为一乒乓球台的纵截面,AB是台面的两个端点位置,PC是球网位置,D、E两点满足AD=BE=AB,且E、M、N在同一竖直线上。第一次在M点将球击出,轨迹最高点恰好过球网最高点P,同时落到A点;第二次在N点将同一乒乓球水平击出,轨迹同样恰好过球网最高点P,同时落到D点。乒乓球可看作质点,不计空气阻力作用,则两次击球位置到桌面的高度hM∶hN为(　　)
A.　　　　 　 B.
C. D.
角度2 平抛运动的极值问题
[典例6](2023·丽水模拟)如图所示,乒乓球的发球器安装在足够大的水平桌面上,可绕竖直转轴OO'转动,发球器O'A部分与桌面之间的距离为h,O'A部分的长度也为h。重力加速度为g。打开开关后,发球器可将乒乓球从A点以初速度v0水平发射出去,≤v0≤2。设发射出去的所有乒乓球都能落到桌面上,乒乓球可视为质点,空气阻力不计。若使该发球器绕转轴OO'在90°的范围内来回缓慢地水平转动,持续发射足够长时间后,乒乓球第一次与桌面碰撞区域的面积S是(　　)
A.2πh2 B.3πh2
C.4πh2 D.8πh2
【备选例题】
(2023·长沙模拟)在某活动中,某环节的场地设施简化如图,AB为水平直轨道,上面的电动悬挂器可以载人运动,水面上漂浮着一个R=1.5 m的铺有海绵垫的圆盘,圆盘的圆心离平台的水平距离为L=6 m,平台边缘与转盘平面的高度差为H=5 m。选手抓住悬挂器可以在电动机的带动下,从A点下方的平台边缘处沿水平方向做初速度为零、加速度为a=1.5 m/s2 的匀加速直线运动。选手必须做好判断,在合适的位置释放,才能顺利落在转盘上。现将选手简化为质点,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是 (　　)
A.选手从A点出发1 s时释放,可落在圆盘上
B.选手从A点出发2 s时释放,可落在圆盘的圆心
C.选手从A点出发2.5 s时释放,可落在圆盘的圆心
D.选手从A点出发3 s时释放,可落在圆盘上
考点四　斜抛运动　(核心共研)
【核心要点】
1.斜抛运动的相关物理量
斜抛运动的相关物理量 求解思路
斜抛运动的飞行时间 t==
斜抛运动的射高 h==
斜抛运动的射程 s=vxt=v0cosθ·t==, 对于给定的v0,当θ=45°时,射程达到最大值, smax=
2.逆向思维法处理斜抛运动
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动,可逆过程分析,看成平抛运动,分析完整的斜上抛运动,还可根据对称性求解某些问题。
【典例剖析】
角度1 斜抛运动的特点与规律
[典例7](2023·湖南选择考)如图(a),我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示,其轨迹在同一竖直平面内,抛出点均为O,且轨迹交于P点①,抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2,其中v1方向水平,v2方向斜向上②。忽略空气阻力,关于两谷粒在空中的运动,下列说法正确的是 (　　)
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高点的速度小于v1
C.两谷粒从O到P的运动时间相等
D.两谷粒从O到P的平均速度相等
【备选例题】
(2023·咸阳模拟)小明是一名铅球运动员,他根据自己的身高计算出每次投出铅球的速度方向与水平面成θ角可以使自己获得更好的成绩。在比赛中小明在O点进行两次投掷铅球的情况如图所示,已知两次投掷铅球的速度方向与水平面均成θ角。图中直线AB与直线CD垂直,不计空气阻力,下列判断正确的是(　　)
A.当投出铅球的速度大小一定时,θ=45°时成绩最好
B.小明同学两次投掷铅球的成绩相同
C.小明同学两次投掷铅球时,铅球在最高点的速度方向相同
D.小明同学两次投掷铅球时,铅球在某一高度的速度方向与水平面的夹角相同
角度2 斜抛运动的逆向处理方法
[典例8](2024·渭南模拟)高楼出现火情时需要一种高架水炮消防车。现距水平地面36 m高的某楼房出现火情,消防员紧急出动救援,已知高架水炮消防车的水炮炮口距离水平地面28.8 m,到起火房间的水平距离为9.6 m,水柱刚好从起火房间的窗户垂直打入,取重力加速度g=10 m/s2,不计空气阻力,则水柱刚打入窗户时的速度为 (　　)
A.6 m/s　B.8 m/s　C.10 m/s　D.15 m/s
角度3 斜抛运动等效成两个反向的平抛运动
[典例9](2023·阜新模拟)2022年9月16日,第九批在韩志愿军烈士的遗骸回归祖国,沈阳桃仙国际机场以“过水门”最高礼遇迎接志愿军烈士回家,以表达对英烈的崇高敬意。如图所示,仪式中的“水门”是由两辆消防车喷出的水柱形成的。两条水柱形成的抛物线对称分布,且刚好在最高点相遇。若水门高约45 m,跨度约90 m。忽略空气阻力、消防车的高度以及水流之间的相互作用,则下列说法正确的是(　　)
A.水喷出后经过约1.5 s到达最高点
B.在最高点相遇前的瞬间,水柱的速度约为0
C.水喷出的瞬间,速度的水平分量约为30 m/s
D.水滴在上升过程中,相等时间内速度的变化量相等
【备选例题】
一小孩站在岸边向湖面抛石子。a、b两粒石子先后从同一位置抛出后,各自运动的轨迹曲线如图所示,两条曲线的最高点位于同一水平线上,忽略空气阻力的影响。关于a、b两粒石子的运动情况,下列说法正确的是 (　　)
A.相等时间间隔内的速度变化量大小Δva>Δvb
B.在空中运动的时间taC.抛出时的初速度va>vb
D.入水时的速度va'答案及解析
考点一　平抛运动的规律及应用
【典例剖析】
角度1 平抛运动的规律及应用
[典例1](2022·全国甲卷)将一小球水平抛出,使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄,频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光。某次拍摄时,小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光,拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像,每相邻两个球之间被删去了3个影像,所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7。重力加速度大小取g=10 m/s2,忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
【思维流程】
【解析】频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光,每相邻两个球之间被删去3个影像,故相邻两球的时间间隔为t=4T=0.05×4 s=0.2 s
设抛出瞬间小球的速度为v0,每相邻两球间的水平方向上位移为x,竖直方向上的位移分别为y1、y2,则水平方向:x=v0t
竖直方向:y1=gt2,y2=g(2t)2-gt2
又因为s1= s2= 且=
代入数据解得v0= m/s
答案: m/s
【备选例题】
(2023·台州模拟)如图所示,一架战斗机沿水平方向匀速飞行,先后释放三颗炸弹,分别击中山坡上水平间距相等的A、B、C三点。已知击中A、B的时间间隔为t1,击中B、C的时间间隔为t2,释放炸弹的时间间隔分别为Δt1、Δt2。不计空气阻力,则 (　　)
A.t1>t2　　　　　　B.t1=t2
C.Δt1>Δt2 D.Δt1=Δt2
【解析】选B。设释放第一颗炸弹的时刻为t01,击中山坡上A点的时刻为tA,释放第二颗炸弹的时刻为t02,击中山坡上B点的时刻为tB,释放第三颗炸弹的时刻为t03,击中山坡上C点的时刻为tC,由于炸弹在空中下落过程,战斗机一直处于炸弹的正上方,则有xAB=v0(tB-tA)=v0t1,xBC=v0(tC-tB)=v0t2
由于xAB=xBC,可得t1=t2
设三颗炸弹在空中下落的高度分别为hA、hB、hC;则三颗炸弹在空中的下落时间分别为ΔtA==tA-t01,ΔtB==tB-t02
ΔtC==tC-t03,则有
Δt1=t02-t01=(tB-)-(tA-)=t1-(-)
Δt2=t03-t02=(tC-)-(tB-)=t2-(-)
由题图可知下落高度关系为:hB略小于hA,hC比hB小得多;则有Δt1<Δt2,故选B。
角度2 平抛运动的两个推论
[典例2](2023·本溪模拟)如图所示,ab为竖直平面内的半圆环acb的水平直径,c为环上最低点,环半径为R,将一个小球从a点以初速度v0沿ab方向抛出,设重力加速度为g,不计空气阻力,则以下说法错误的是 (　　)
A.小球的初速度v0越大,碰到圆环时的水平分位移越大
B.当小球的初速度v0=时,碰到圆环时的竖直分速度最大
C.无论v0取何值,小球都不可能垂直撞击圆环
D.v0取值不同时,小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
【关键点拨】 小球做平抛运动,竖直方向做自由落体运动,水平方向做匀速直线运动。根据速度的反向延长线交于水平位移的中点,分析小球能否垂直撞击圆环。
【解析】选D。小球做平抛运动,则小球的初速度v0越大,其轨迹就越靠近ab直线,则碰到圆环时的水平分位移越大,故A正确, 不符合题意;小球做平抛运动,当小球掉在c点时竖直分速度最大,设初速度为v0,则有R=gt2,R=v0t
解得v0=,故B正确,不符合题意。小球撞击在圆弧ac段时,速度方向斜向右下方,不可能与圆环垂直;当小球撞击在圆弧cb段时,根据“中点”结论可知,由于O不在水平位移的中点,所以小球撞在圆环上的速度反向延长线不可能通过O点,也就不可能垂直撞击圆环,故C正确,不符合题意;v0取值不同时,小球运动的轨迹不同,落到圆环上的位置不同,则位移的偏向角不同,因速度的偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍,可知速度的偏向角不同,则小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角不相同,故D错误,符合题意。
考点二　有约束条件的平抛运动　
【典例剖析】
角度1 与斜面有关的平抛运动
[典例3] (2024·潍坊模拟)滑板运动是一项青春、时尚、绿色、阳光的体育运动。如图所示,跳台的斜面AB长为L,C点为斜面中点。滑板运动员(视为质点)从斜面顶端A点水平跃出,第一次速度为v0,刚好落在C点;第二次试跳中,要落在斜面底端B点,则离开A点时水平速度大小应为 (　　)
A.v0　　 B.2v0
C.v0 D.3v0
【关键点拨】两次运动过程,运动员的位移都沿斜面方向,故这两次位移与水平面的夹角相同,都等于斜面倾角。
【解析】选A。设斜面倾角为θ,第一次试跳中运动时间为t,则sinθ=gt2,cosθ=v0t,
第二次试跳中运动时间为t',离开A点时水平速度大小为v',则Lsinθ=gt'2,
Lcosθ=v't',解得t'=t,v'=v0,故选A。
【备选例题】
如图所示,从倾角为θ且足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球(可视为质点),落在斜面上某处,记为Q点,小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α,若把初速度变为2v0,小球仍落在斜面上,则以下说法正确的是 (　　)
A.夹角α将变大
B.夹角α与初速度大小无关
C.小球在空中的运动时间不变
D.PQ间距是原来间距的3倍
【解析】选B。根据tanθ==,解得t=,初速度变为原来的2倍,则小球在空中的运动时间变为原来的2倍,C错误;根据x=v0t=知,初速度变为原来的2倍,则水平位移变为原来的4倍,且PQ=,故PQ间距变为原来间距的4倍,D错误;末速度与水平方向夹角的正切值tanβ===2tanθ,可知速度方向与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍,因为位移与水平方向夹角不变,则末速度与水平方向夹角不变,由几何关系可知α不变,与初速度大小无关,A错误,B正确。
角度2 与圆弧面有关的平抛运动
[典例4](2023·长沙模拟)如图所示,半径为R的半球形碗固定于水平面上,碗口水平,O点为碗的圆心,A、B为水平直径的两个端点。将一弹性小球①(可视为质点)从A点沿AB方向以初速度v1水平抛出,小球与碗内壁碰撞一次后恰好经过B点②;
若将该小球从离O点R处的C点以初速度v2水平抛出,小球与碗内壁碰撞一次后恰好返回C点③。假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向速度不变,沿半径方向的速度等大反向,则v2与v1的比值为 (　　)
A.2　　　　　B.
C. D.
【题眼破译】——提升信息转化能力
信息①小球与碗内壁发生弹性碰撞,满足机械能守恒,同时小球碰撞前后瞬间,小球的切向速度不变。
信息②由对称性知小球与碗内壁的碰撞点应在碗的最低点。
信息③要使小球能反弹回C点,小球必须垂直打在圆弧上。
【解析】选B。小球从A点以初速度v1向右平抛,反弹后经过B点,由对称性知小球与碗内壁的碰撞点应在碗的最低点。由平抛运动的规律有R=v1t1　R=g
解得v1=
小球从C点以初速度v2向右平抛,要使小球能反弹回C点,小球必须垂直打在圆弧上,如图所示:
设碰撞点为D,连接OD,即为平抛轨迹过D点的切线。过D点作DE⊥AB于E,则O为小球平抛水平位移的中点,有ED=g CO=OE=v2t2
在直角三角形ODE中,有(ED)2+(OE)2=R2,解得v2=,可得v2与v1的比值为,故B正确,A、C、D错误。
考点三　平抛运动的临界和极值问题
【典例剖析】
角度1 平抛运动的临界问题
[典例5](2023·成都模拟)如图所示为一乒乓球台的纵截面,AB是台面的两个端点位置,PC是球网位置,D、E两点满足AD=BE=AB,且E、M、N在同一竖直线上。第一次在M点将球击出,轨迹最高点恰好过球网最高点P,同时落到A点;第二次在N点将同一乒乓球水平击出,轨迹同样恰好过球网最高点P,同时落到D点。乒乓球可看作质点,不计空气阻力作用,则两次击球位置到桌面的高度hM∶hN为(　　)
A.　　　　 　 B.
C. D.
【关键点拨】 取M关于CP的对称点,根据平抛运动规律,水平方向做匀速直线运动、竖直方向做自由落体运动,即可解答。
【解析】选C。设CP高为H,M点距离台面的高度为hM,N点距离台面的高度为hN,取M关于CP的对称点Q,由几何关系可知,Q的高度与M的高度相等,且Q点位于D点上方。只看第一次从P到A的平抛过程,可知P到Q的水平距离为P到A的水平距离的,则有P到Q的时间为P到A时间的,根据y=gt2可知,P到Q的竖直距离为P到A的,所以有= 解得hM=H
同理,对第二次平抛运动有=
解得hN=H,可得hM∶hN=,故选C。
角度2 平抛运动的极值问题
[典例6](2023·丽水模拟)如图所示,乒乓球的发球器安装在足够大的水平桌面上,可绕竖直转轴OO'转动,发球器O'A部分与桌面之间的距离为h,O'A部分的长度也为h。重力加速度为g。打开开关后,发球器可将乒乓球从A点以初速度v0水平发射出去,≤v0≤2。设发射出去的所有乒乓球都能落到桌面上,乒乓球可视为质点,空气阻力不计。若使该发球器绕转轴OO'在90°的范围内来回缓慢地水平转动,持续发射足够长时间后,乒乓球第一次与桌面碰撞区域的面积S是(　　)
A.2πh2 B.3πh2
C.4πh2 D.8πh2
【解析】选C。设乒乓球做平抛运动的时间为t,则t=。当速度最大时,水平位移具有最大值xmax,xmax=vmaxt=2·=4h,当速度最小时,水平位移具有最小值xmin,xmin=vmint=·=2h,其中vmax、vmin为v0的最大值和最小值,又因为发球器O'A部分长度也为h,故乒乓球的落点距竖直转轴距离的范围为3h≤x≤5h,乒乓球第一次与桌面碰撞区域是一个圆心角为90°、宽度为2h的环形带状区域,其面积S=·π[(5h)2-(3h)2]=4πh2,A、B、D三项错误,C项正确。
【备选例题】
(2023·长沙模拟)在某活动中,某环节的场地设施简化如图,AB为水平直轨道,上面的电动悬挂器可以载人运动,水面上漂浮着一个R=1.5 m的铺有海绵垫的圆盘,圆盘的圆心离平台的水平距离为L=6 m,平台边缘与转盘平面的高度差为H=5 m。选手抓住悬挂器可以在电动机的带动下,从A点下方的平台边缘处沿水平方向做初速度为零、加速度为a=1.5 m/s2 的匀加速直线运动。选手必须做好判断,在合适的位置释放,才能顺利落在转盘上。现将选手简化为质点,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是 (　　)
A.选手从A点出发1 s时释放,可落在圆盘上
B.选手从A点出发2 s时释放,可落在圆盘的圆心
C.选手从A点出发2.5 s时释放,可落在圆盘的圆心
D.选手从A点出发3 s时释放,可落在圆盘上
【解析】选B。选手释放后,在空中做平抛运动,故落到圆盘上的时间为t== s=1 s,在水平方向上,选手先以a=1.5 m/s2做匀加速直线运动,经过时间t1后释放,位移为x1=a=0.75
再以初速度v0=1.5t1做匀速直线运动,位移为x2=v0t=1.5t1,要想选手落在圆盘上,则有L-R=4.5 m≤x1+x2≤L+R=7.5 m,联立可得(-1) s≤t1≤(-1) s,故A、D错误;要想落在圆盘圆心,则有x1+x2=6 m,解得t1=2 s,故B正确,C错误。
考点四　斜抛运动
【典例剖析】
角度1 斜抛运动的特点与规律
[典例7](2023·湖南选择考)如图(a),我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示,其轨迹在同一竖直平面内,抛出点均为O,且轨迹交于P点①,抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2,其中v1方向水平,v2方向斜向上②。忽略空气阻力,关于两谷粒在空中的运动,下列说法正确的是 (　　)
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高点的速度小于v1
C.两谷粒从O到P的运动时间相等
D.两谷粒从O到P的平均速度相等
【题眼破译】——提升信息转化能力
信息①两颗谷粒从O到P水平位移相同。
信息②谷粒1做平抛运动,谷粒2做斜上抛运动。
【解析】选B。两谷粒抛出后在空中的加速度均为重力加速度,故两谷粒加速度相等,A错误;两谷粒均从O点运动到P点,在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动,谷粒1做自由落体运动,竖直方向上位移相同,故谷粒2运动时间较长;谷粒2做斜抛运动,水平方向上为匀速直线运动,故运动到最高点的速度即为v2在水平方向上的分速度。与谷粒1比较,水平位移相同,但运动时间较长,故谷粒2在最高点的速度小于v1,B正确、C错误;两谷粒从O点运动到P点的位移相同,运动时间不同,故平均速度不相等,谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度,D错误。故选B。
【备选例题】
(2023·咸阳模拟)小明是一名铅球运动员,他根据自己的身高计算出每次投出铅球的速度方向与水平面成θ角可以使自己获得更好的成绩。在比赛中小明在O点进行两次投掷铅球的情况如图所示,已知两次投掷铅球的速度方向与水平面均成θ角。图中直线AB与直线CD垂直,不计空气阻力,下列判断正确的是(　　)
A.当投出铅球的速度大小一定时,θ=45°时成绩最好
B.小明同学两次投掷铅球的成绩相同
C.小明同学两次投掷铅球时,铅球在最高点的速度方向相同
D.小明同学两次投掷铅球时,铅球在某一高度的速度方向与水平面的夹角相同
【解析】选D。当投出铅球的速度大小一定时,水平射程为x=v0cosθ·t,竖直方向上有-h=v0sinθ·t-gt2,h未确定时无法确定θ角为多少时成绩最好,故A错误;小明同学两次投掷铅球的成绩不相同,第2次落地点到圆心O的距离大一些,成绩好一些,故B错误;铅球在最高点时速度方向均为水平方向,竖直速度均减为零,且速度方向为轨迹的切线方向,由题图可知,两次投掷铅球时,铅球在最高点的速度方向不相同,第1次沿OB方向,第2次沿OD方向,故C错误;由斜抛运动的对称性可知,两次投掷铅球时,铅球到与投掷点相同高度的速度方向与水平面的夹角相同,故D正确。
角度2 斜抛运动的逆向处理方法
[典例8](2024·渭南模拟)高楼出现火情时需要一种高架水炮消防车。现距水平地面36 m高的某楼房出现火情,消防员紧急出动救援,已知高架水炮消防车的水炮炮口距离水平地面28.8 m,到起火房间的水平距离为9.6 m,水柱刚好从起火房间的窗户垂直打入,取重力加速度g=10 m/s2,不计空气阻力,则水柱刚打入窗户时的速度为 (　　)
A.6 m/s　B.8 m/s　C.10 m/s　D.15 m/s
【解析】选B。将水的逆过程看成是平抛运动,竖直方向有Δh=gt2
解得t= s=1.2 s 水平方向有x=v0t
解得水平速度为v0== m/s=8 m/s
则水柱刚打入窗户时的速度为8 m/s。故选B。
角度3 斜抛运动等效成两个反向的平抛运动
[典例9](2023·阜新模拟)2022年9月16日,第九批在韩志愿军烈士的遗骸回归祖国,沈阳桃仙国际机场以“过水门”最高礼遇迎接志愿军烈士回家,以表达对英烈的崇高敬意。如图所示,仪式中的“水门”是由两辆消防车喷出的水柱形成的。两条水柱形成的抛物线对称分布,且刚好在最高点相遇。若水门高约45 m,跨度约90 m。忽略空气阻力、消防车的高度以及水流之间的相互作用,则下列说法正确的是(　　)
A.水喷出后经过约1.5 s到达最高点
B.在最高点相遇前的瞬间,水柱的速度约为0
C.水喷出的瞬间,速度的水平分量约为30 m/s
D.水滴在上升过程中,相等时间内速度的变化量相等
【关键点拨】 两条水柱形成的抛物线对称分布,且刚好在最高点相遇,可从最高点把水柱看成两个方向相反的对称的平抛运动,使问题的解决极大简化。
【解析】选D。两条水柱形成的抛物线对称分布,且刚好在最高点相遇,可把水柱看成逆过程的平抛运动,竖直方向有h=gt2,解得t== s=3 s,A错误;水柱在水平方向做匀速直线运动,在最高点相遇前的瞬间,水柱的速度等于水喷出的瞬间的水平分速度,则有vx== m/s=15 m/s,B、C错误;速度变化量为矢量,水滴上升过程中只受重力,加速度不变,有Δv=g·Δt,可得水滴在上升过程中,相等时间内速度的变化量相等。D正确。
【备选例题】
一小孩站在岸边向湖面抛石子。a、b两粒石子先后从同一位置抛出后,各自运动的轨迹曲线如图所示,两条曲线的最高点位于同一水平线上,忽略空气阻力的影响。关于a、b两粒石子的运动情况,下列说法正确的是 (　　)
A.相等时间间隔内的速度变化量大小Δva>Δvb
B.在空中运动的时间taC.抛出时的初速度va>vb
D.入水时的速度va'【解析】选D。
解法一:两粒石子均做斜抛运动,因石子在空中时只受重力,加速度等于重力加速度,由Δv=gΔt可知,相等时间间隔内的速度变化量大小相等,故A错误;两石子均做斜抛运动,运动时间取决于竖直高度,从抛出点到最高点高度相同,向上运动时间相同,从最高点下落高度相同,下落时间相同,所以两石子在空中运动时间相等,故B错误;设任一石子初速度大小为v0,初速度的竖直分量为vy,水平分量为vx,初速度与水平方向的夹角为α,上升的最大高度为h,取竖直向上方向为正方向,石子竖直方向上做匀减速直线运动,加速度为a=-g,由0-=-2gh,得vy=,h相同,vy相同,则两粒石子初速度的竖直分量相同。由速度的分解知vy=v0sinα,由于α不同,所以v0不同,b石子初速度与水平方向的夹角小,所以b石子抛出的初速度较大,故C错误;根据机械能守恒定律知mgH=mv'2-m,得石子入水速率为v'=,抛出时位置相同,b抛出时的初速度大,b石子入水时的末速度大,故D正确。
解法二:
设a、b两石子运动轨迹的最高点分别为A、B。从最高点向左、向右分析,为两段平抛运动。两石子在空中运动时,只受重力作用,加速度等于重力加速度g,由Δv=gΔt可知,相等时间间隔内的速度的变化量大小相等,故A错误;a、b两石子向左、向右两段平抛运动的竖直高度分别相同,故在空中的运动时间相等,即ta=tb,同时可知抛出时竖直向上的分速度和落水时竖直向下的分速度vy相同,故B错误;a、b两石子向左、向右两段平抛运动的水平位移不相同,故水平方向的分速度vxa

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