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提高教材使用效率的实践和探索
［报告摘要］新课标的实施，新内容的调整，新教材的使用，要求师生潜心钻研教材，提高教材的使用效率，让知识在教材由“薄→厚→薄”的螺旋上升过程中生成．“纸上得来总觉浅，心中悟出方知深”，在明确教材体系及其主次的基础上，居高临下地驾驭教材，灵活巧妙的处理、“截减”教材，凭着自己对教材的切身感受去适度地旁征博引，合理的拓展加深，果断删去与主题无关的内容，真正搔到“痒处”，切实给学生编织出一张完整的知识网络，使学生懂一点，晓一类，通一片．
［关键词］新课标　探索　挖掘　有效性　问题解决
正文
本文从以下几个方面来阐述报告的主要内容
1问题的提出，即教材的特点及使用教材的现状；
2有效利用实验教材的实践和探索，从九个方面具体阐述提高教材使用效率的措施；
3有效使用教材的注意点；
4后续的调查工作和期望目标．
1 问题的提出
新的数学课程标准在“以学生（发展）为本”的理念下，要求学生转变学习方式，教师积极探索新的课堂教学方式；要求师生转变教学观念，加深对新教材的理解和把握．教材是学生掌握知识和学习方法的主要参考和依据，而新的实验教材不仅仅是教学内容的简单载体，它更是教师、学生、教学内容和环境之间互动的工具，与原教材相比更有利于学生的自学，有利于教师在教学中为学生构建自主的、探究的、合作的、终身的学习模式．
在新内容、新体系、新要求的实验教材面前，机遇和挑战并存．当前，由于内容变化大、时间安排紧，对新课标还没完全领会等客观因素，特别是原教材惯性思维的牵引下，存在着机械传授、例习题使用简单化、问题解决表面化，教师讲授与学生脱节等问题．教学仍一味地通过补充大量的练习来达到教学目的，使课堂成为题海，学生对知识的把握是感性的，往往知其然而不知其所以然，根本没有享受数学知识的产生过程，没有也不可能体会到数学的严谨性和科学性，这不仅仅影响了新教材的作用，也遏制了学生积极性的发挥．笔者期望以课本为教学内容和教学工具的根本，通过研究新教材的内容、结构、版式以及呈现方式，充分挖掘课本的教学功能，从优化课堂引入等层面去提高教材的使用效率，使教材的角角落落都渗透着新课标的理念，呈现出有效教学的功能．
2 有效利用实验教材的实践和探索
2.1优化课堂引入
新教材力求从学生熟知的生活情景出发，选择学生身边感兴趣的事物，使学生初步感受数学与日常生活的密切关系，形成“问题情景—探究新知—建立模型—解释应用”的基本模式．但有些信息资源呈现给学生的只能是静态的画面，有些引入案例的选择与学生年龄、认知水平不相符合．另外，教材为体现逻辑结构的严密性，许多知识仍然先理论后应用（例题），掩盖了知识体系的构建过程．因此在具体教学过程中教师只有深入理解、研究和挖掘教材中的信息资源，改变、补充、重组教材内容，创造性地合理开发新教材．
例如：实验教科书《数学1》第17、18页函数概念引入的三个实例：（1）炮弹发射问题；（2）南极上空臭氧层空洞问题；（3）恩格尔系数问题，实例本身脱离了学生的实际，不易被学生理解，更不利于新课的引入．如果将之改为：（1）寝室面积问题（解析法）；（2）股票升降的曲线问题（图象法）；（3）学生身高与体重的关系（列表法），这样会接近学生的实际，从而容易被学生认同和接受．
又如讲两角和（差）的正弦、余弦、正切时，原教材通过纯理论的推导得到，就是按照先理论（公式）后例题的呈现模式．实验教科书《数学４》P137将原例1：利用和差角的公式求750，150的正弦、余弦和正切值改为新课的引例，请学生探求cos750，在发现了的情况下，增强了学生寻求公式的欲望．这一改动不仅能使学生认识到数学的价值，符合学生认知规律，也就调动了学生学习的积极性．
注：笔者《河北理科教学研究》上发表的论文《数学解题的＂三步曲＂》以及《新课标理念下一个远未结束的教学案例》（市属一等奖）中，关于课堂的引入需注意的问题加以阐述，强调了概念的引入要注意学生的基础，知识从引入到深化再到应用要层层设好阶梯，在循序渐进中完成．
2.2力求理论推导更严密、充分
数学理论推导过程的严密性，以及对数学学科知识内涵的挖掘，可以增进对数学知识的理解和掌握，学生对待数学一丝不苟的态度有利于培养学生热爱数学的情感．注重提高学生的数学思维能力是新课标的基本理念，学生在观察发现、归纳类比、演绎证明等思维活动过程中，有助于学生对数学本质进行思考和判断．教师要力求在理论的教学过程中有意去培养学生思维的灵活性、深刻性、全面性和发散性，数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用．
例如实验教科书《数学5》中等比数列求和公式的推导，要求Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，两边同乘公比q，再作差得到前后项（移位）相消的效果，冠以名为“错位相减法”，总结推导过程可由此及类，此方法适用于一个等差乘一个等比数列的求和．另外进一步挖掘探究发现，等比数列的前n项的和公式还有以下证法：
（1）用乘法公式证明
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1（1＋q＋q2＋…＋qn－1）
＝·（1－q）（1＋q＋q2＋…＋qn－1）＝．
（2）用裂项相消法证明
∵q≠1，∴Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1
∴Sn＝＝．
（3）用解方程的思路证明
∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q（a1＋a1q＋…＋a1qn－2）＝a1＋q（Sn－a1qn－2）
∴Sn＝a1＋q（Sn－a1qn－1）∵q≠1，∴解关于Sn的方程，可得Sn＝．
（4）用等比数列的定义证明
∵{an}是等比数列，∴．∴＝q，即＝q．于是Sn＝．
注：笔者在《上海中学数学》上发表的论文《三次函数性质的研究和应用》就是以书本二次函数的系列知识为基础，通过严密的推导，挖掘出三次函数图象的本质属性，以三次函数、三次方程、三次不等式为介质在数学竞赛和高考中得到考查和应用．
2.3充分挖掘例题的教学功能
数学教学的根本目的是在学习知识的同时，提高分析问题和解决问题的能力．例题教学中渗透数学思想是实现这一目标的主要途径．例题教学中渗透数学思想，既可以在分析问题、探索思路的过程中进行，用数学思想方法指导分析，进行思维导向；也可以在解题结束后进行提炼，加以显化，让学生回顾思维过程，总结运用了哪些思想方法和思维策略．
如在实验教科书《数学３》算法中有例：用更相减损术求98与63的最大公约数，在将之转化为程序框图进而编写程序的过程中体现了（1）等价转换（化归）的思想，即由可知98与63的最大公约数就是63与35的最大公约数；（2）数形结合的思想，其实从算法到框图正如代数到几何一样，使问题更加直观；（3）分类讨论的思想，在副置分母、子之数，以少减多的过程涉及到减数与差的大小关系需要分类解决．在平时的教学过程中若能跳出题海，从方法和思想的高度去分析和解决问题，必能起到事半功倍的效果．
另外，讲解例题不能就题论题，要善于适度引申．一道简单的例题，通过一系列的变式和合理地深化难度，可为训练思维，深化认识，优化认知提供契机．通过变式教学，将知识串珠成线，不仅能使学生的思维始终处于极度兴奋的状态，思维得到升华，而且这也是课堂上开展研究性学习的切实有效的途径．
注：笔者在《数学教学研究》上发表的论文《新课标下如何挖掘课本例题的教学功能》中，对例题功能从能力的培养，思维的训练，意志品质的熏陶等角度加以详细的阐述，具体到章节有《妙用线性规划的思想解题》发表在《中学教研（数学）》，《等价转换在概率中的妙用》发表在《中学数学研究》．
2.4拓展习题作用
作为习题，它的主要作用是为了巩固基本知识，促使学生掌握基本技能，从而提高解决问题的基本能力．习题的编制期望学生通过自己“做数学”来真正领会知识的内涵，明确概念的外延，解题的步骤，通过归纳类比、拓展思考、反思和建构，做到举一反三，由此及类，由习题到模式，这是培养解题能力、抽象概括能力的重要手段．有时习题本身还是有用的公式或者是重要的定理，教学中要引导学生从方法的高度去分析，探究习题结论成立的条件、适用的范围，在培养学生思维灵活性的同时增强了习题的应用意识．当然不可否认教材内容（包括习题）的设计和参考解答有时确有疏漏，要鼓励学生大胆发表独特见解，激发他们的好奇心，使学生的思维品质在质疑过程中不断升华和发展．教师要深入研究，设计适当的问题情景，让学生研究、发现所存在的问题，以求在掌握基础知识的同时，提高问题意识，增强思维的批判性．
如实验教科书《数学5》P113有思考：如图1，当时，点P的坐标是什么？相应的P114有习题，已知点当时，分别求点P坐标．问题的解决过程起始于向量的加法，使用了向量的共线定理，最后归结于平面向量的基本（分解）定理，但作为习题它还提供了A，P，B三点共线的充要条件，不妨称之为直线方程的向量形式，应用此结论在判断、证明三点共线和求方程等问题中会显得漂亮而简洁．(02年全国高考)平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，若点C满足，其中，且，求点C的轨迹方程．根据例题结论即求直线AB的方程，结果为，更多应用见文4．
又如实验教科书《数学5》P76中有习题，在数列，设，，．（2）如果是以ｑ为公比的等比数列，求证也是等比数列，并求其公比．其实结论成立是有适用范围和条件的，当原数列的公比ｑ＝－１，ｎ是偶数时，不能成为等比数列．
注：笔者在《中学教研（数学）》上发表的论文《也谈面积法解题》，《数理化解题研究》上发表的论文《联想直线解题》都是充分挖掘了课本习题的内涵，用举一反三，由此及类方法的指导下完成的．
2.5辨析问题的内涵和本质
新的课程理念强调理解数学的本质，在概念的理解过程中要有“咬文嚼字”的磨刀功，在定理、公式的使用要注重“细枝末节”．在细节决定成败的今天，问题意识显得尤为重要．新教材在按逻辑呈现知识的主线下，同时辅助了“问题串”的副线，通过系列问题让学生自行探索解决，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识．
例如：实验教科书《数学２》直线的倾斜角和斜率一节中教材用了7个问题，将确定直线的条件、如何描述直线的倾斜程度、当时斜率不存在等教材内容通过“思考”的形式加以阐述．使学生的学习不仅仅只限于简单的接受、记忆、模仿和练习，而是通过学生自己的独立思考、自主探索得到数学知识，进而养成求实、说理、批判、责疑等理性思维的习惯和锲而不舍的追求真理的精神．
另外，学生在认真解决教材问题的同时，还要善于自己提出问题，对数学学生要多问几个为什么，要问根究底，为什么要这样，不这样行吗？有没有其他更好的方法？除了这些注意点还需要注意些什么？等等，从而使知识返璞归真，挖掘出数学知识中所蕴涵的思想方法和本质属性．
注：笔者在国家级期刊《数学通讯》上发表的论文《导数中十个易错问题的辨析》，《一个解析几何典例的错解探析》强调了学好数学要善于比较和分析，善于在解题之前辨析概念之间的差别，善于在定义的细微之处化时间．数学需要在争鸣和讨论中理解概念的本质，挖掘知识的内涵，明确解题过程的科学性和严密性．
2.6充分利用教材的空白（缺）
新教材一个明显的特点是内容的每一页，每一章节都留有了很多的空白，这给学生提供了自主安排的空间，可以个性化的利用教材．我们提倡学生利用空白做好教材理论的注释，“好记性不如烂笔头”的术语要求学生做好课堂笔记，记典型的例题，记理论的补充，记方法的总结，记解题的注意点，记章节的结构和体系等等，充分利用教材的空白创造性地优化教材．创立意会认知理论的哲学家波兰尼指出：“我们所知道的比我们所能言传的多”，他将知识分为明言知识和默会知识，很多默会知识只有通过学生自己个性化地理解、表达和注记．
另外，教材还在很多理论推导的关键之处故意留了空缺，在公式生成和解题的过程中让学生自主完成．例如：实验教科书《数学5》在两角和差的正、余弦公式的推导过程中，从公式出发，、，，，，等所有公式教材都要求学生推导并填充完整．这样不仅学生自己体验了知识的生成过程，集中了学生学习的注意力，而且让学生感受了创造数学知识的成就感．
2.7密切联系实际
数学起源于生活和生产实践，引导学生关注生活，在生活情景中学习数学，大力发展学生的数学应用意识是新课标的要求．开展数学应用的教学活动符合社会的需要，也有利于扩展学生的视野，让学生认识到数学与我有关，与实际生活有关，所以我要学数学、用数学．新教材从概念的引入，理论，公式的应用都能感受到数学与生活的密切联系．当然由于数学本身的学科特点，经过抽象后形成的许多书本知识往往已经失去其原有鲜活生动的实际含义，使学生难以接受和琢磨．因此教学中教师还是要充分挖掘课本知识的生活背景，只有建立在学生经验上的知识才容易被学生所掌握．
例如教材不等式选讲中有题：已知a，b，m都是正数，并且，求证．作为课本例题只停留在不等式证明方法的分析上，巩固了作差、作商、和分析等方法．但如果将问题还原其生活背景，改为：b克糖水中有a克糖（，若再添加m克糖（，则糖水变甜了，试根据这一事实提炼出一个不等式并加以证明．这样会大大增加学生对问题的感性认识和学习的兴趣．
注：笔者在《河北理科教学研究》上发表的论文《例析以实验为背景的应用题》，《点击高考数列形成的十大背景》中指出学习数学要密切联系实际，注重问题的生活背景，提高学生阅读理解、实践操作和综合应用知识的能力.
2.8通过阅读思考培养学习兴趣
　阅读自学是新课标倡导的学习方式，体现数学的文化价值是新课标的基本理念．新教材尽可能地在学习数学知识的同时，插入一些阅读思考，设置了“数学建模”、“数学文化”等学习活动，一方面辅助理论的进一步理解，另一方面体现数学科学的思想体系和数学的美学价值，设立了“数学史选讲”等专题．而我们的现状是极大多数教师和学生在高考指挥棒的指引下，以为“阅读思考”是留于形式，高考不作要求，根本无暇顾及，居不知学生数学兴趣的培养是点滴积累起来的，热爱数学的情操是在潜移默化的过程中形成的．例如：在算法一章中更相减损术求两数的最大公约数，秦九韶公式可以大大减少多项式的运算次数，特别是我国古代数学家刘徽的割圆术，他采用了以直代曲，无限趋近，内外夹逼的数学极限思想，从理论上将值的计算提高到任意精度，这一成果在世界上的领先地位达1000多年．我们在为我们的先辈所创造的历史感到骄傲的同时，更被割圆术中所体现的数学思想和严密的逻辑思维而肃然起敬．
2.9注重与现代信息技术的有机整合
新课程在教学建议中指出，恰当运用现代信息技术，提高教学质量．重视信息技术与课程内容的有机整合，整合的原则是有利于对数学本质的理解．利用信息技术可以呈现教学难以呈现的课程内容，另一方面，现代信息技术还可以改进学生的学习方式，可以将算法融入有关教材内容，在整理知识的过程中，使知识更加结构化、网络化、系统化．例如，在知识层层推进过程中体现了内容的顺序结构，在数列求和及函数迭代等具体解题过程中体现了方法的循环结构，在不同方法适用不同题型过程中体现了数学知识的条件结构．在数列求和的方法整理中就有程序框图如上图②所示，这样使数学问题直观、明了，更有利于方法的归类和知识的掌握．
3 有效利用教材的几个注意点
3.1突出数学中的核心概念
教学要明确教学内容的重点、难点，明确每一节课的教学目的，改变理科教学中用例题代替课堂，变成先有例题后有教学目的的方法，这是教学中＂脚踏西瓜皮＂的表现．其实只有在教学目的指引下的教学才是有效的，必须明确每一个例题所承担教学目的，是围绕哪个核心概念展开的，为什么要讲，讲几个，不讲行吗？切忌那些课堂形式轰轰烈烈，教学内容空洞乏味的教学。
3.2教师指导与学生参与相结合
新课标指出“高中数学课程应倡导学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程”．因此教师应由原来的“讲演者”转变为“编剧”和“导演”，即教师在对教材内容重新设计、重新组合、二次开发的同时，组织协调好学生的学习活动，为学生创造一个数学建构活动的意境，让学生自己体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识．
3.3注重知识的发生和发展（过程性原则）
教师既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们数学学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中表现出来的情感态度的变化．培养学生的“元认知”，教师要通过揭示自己在思维的控制、行为的决定来帮助学生学会如何调控自己，要将解题的计划、监控和评价中运用的策略尽可能地展示出来，让学生通过观摩、聆听教师对概念的理解、对解题思维过程的分析、评价，使学生在学习知识的同时，获取对知识的形成过程．
3.4建构性原则
建构原则告诉我们，学生知识的形成正如“滚雪球”，它是一个不断完善和补充的过程，新知识的掌握必须与学生已有的的认知结构发生联系和作用，因此新知识的传授不能脱离学生的心理特点和认知水平，更不能急于求成，教师要鼓励学生通过自己积极主动的思维活动去获取新知识，要在学生的原有知识和教学目标之间设置阶梯，在学生的最近发展区不断完善自己的知识结构和体系．
3.5以“问题”为轴心
学生知识的形成和能力的提高是在不断提出问题、分析问题和解决问题的过程中完成的．教材功能的有效挖掘，包括概念的理解、理论的推导、公式定理的应用等都应通过“问题”这一轴心得到生成．学生在利用课本的过程中，要具有问题意识，要通过收集有关信息尝试解决问题，在遇到困难时要对自己的方案进行质疑、调整和完善，要对自己提出问题和解决问题的过程进行自评与互评，同时形成既能独立思考又能与他人合作交流的思维品质．
4 后续的调查研究和结束语
由于时间仓促，笔者期望通过后续的调查和研究，以学生的发展和需要为本，了解学生在使用过程中的现状，教材的“不足”，特别是后进生在学习过程中的困难及其原因，从而在达到教学目的的同时，用学生最容易的方案去教学，用学生最乐意的过程去操作，根据学生的认知水平去指导学生如何利用好教材，最大程度的挖掘教材的教学功能．另一方面，也期望通过对广大一线教师的调查，剖析在新教材使用的道路上各自的困惑和对策，共同探讨、群策群力，积极吸取他人的优点，借鉴他人具体的有效的操作方案．
注：笔者在国家级期刊《现代中小学教育》上发表的论文《后进生的调查和研究》，《学生需要“傻瓜”教材》中对后进生的自学（阅读）能力加以分析，我们的专家需要编制一些通俗易懂的参考书辅助教学，我们的教师要处理好教材，深入浅出的来讲解理论，各个击破教学难点．
最后，笔者以为教材有效性的挖掘是一个系统的、长期的、不断完善的过程，不能一蹴而就．希望有更多的教师和专家来关注教材的使用，通过教材真正领会《普通高中数学课程标准（实验）》的理念，超越教材对教学内容的机械传递，创造性地、个性化的运用教材，形成丰富、多样的内容呈现方式和教材处理模式．
参考文献
1 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）[M]．北京：人民教育出版社，2003
2 尤小平．关于高中课程标准实验教材（数学·苏教版）使用的若干建议[J]，中学数学教学参考（高中），2007，9
3 屠丰庆．新课标下如何挖掘课本例题的教学功能[J]，数学教学研究，2006，3
4 邹楼海．新教材中一道例题的价值[J]．数学通讯 2001，15
x
P1
O
y
图1
P2
P
开始
等差加等比
方法=分组求和
等差乘等比
等差乘积的倒数
数列和具有对称性
方法=裂项相消
方法=错位相减
方法=倒序相加
a=数列的特征
输出数列和
结束
图②

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