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数 学
进入高中，你们是高中生了，做好了充分的准备吗？其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题，善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。
开学之前发给你们的这本小册子，是为了初高中知识衔接而编写的。为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性，能有效地克服知识和方法上的跳跃，利于激发你们学习数学的兴趣。你们一定要利用好暑假，做好初、高中数学教材的衔接。A组题要全部完成，B组题供学有余力学生完成。
学数学的几个建议：
1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。 记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。
3、熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。
5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。
6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。
7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。
8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。
9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。
初高中数学衔接教材
现有初高中数学知识存在以下“脱节”
1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
目 录
1.1 数与式的运算
1.1.1绝对值
1.1.2. 乘法公式
1.1.3．二次根式
1.1.４．分式
1．2 分解因式
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
2.2 二次函数
2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
2.2.2 二次函数的三种表示方式
2.2.3 二次函数的简单应用
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
2.3.2 一元二次不等式解法
3.1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
3.1.2相似形
3.2 三角形
3.2.1 三角形的“四心”
3.2.2 几种特殊的三角形
3.3圆
3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系
1.1 数与式的运算
1.1.1．绝对值
一、概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．
二、典型例题：
例1 解不等式：
解法一：由，得；
①若，不等式可变为，即，得，又x＜1，
∴x＜-3；
②若，不等式可变为，
即 又 ∴
综上所述，原不等式的解为或。
解法二：如图1．1－1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；
所以的几何意义即为
|PA|＞4．
可知点P 在点C(坐标为-3)的左侧、或点P在点D(坐标5)的右侧．
∴ 或。
练 习A
1．填空：
（1）若，则x=_________；若，则x=_________.
（2）如果，且，则b＝________；若，则c＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若，则 （B）若，则
（C）若，则 （D）若，则
练习B
3．解不等式：
4、化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
1.1.2. 乘法公式
一、复习：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 ；
（2）完全平方公式 ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 ；
（2）立方差公式 ；
（3）三数和平方公式 ；
（4）两数和立方公式 ；
（5）两数差立方公式 ．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
二、典型例题
例1 计算：．
解法一：原式=
=
=．
解法二：原式=
=
=．
例2 已知，，求的值．
解： ．
练 习A
1．填空：
（1）（ ）；
（2） ；
(3 )　 ．
2．选择题：
（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）不论，为何实数，的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
1.1.3．二次根式
一、概念：一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，，等是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等． 一般地，与，与，与互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
二次根式的意义
二、典型例题
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）； （2）； （3）．
解： （1）； （2）；
（3）．
例2　计算：．
解法一： ＝
　　　　　　　　 ＝
＝ ＝＝．
解法二： ＝
　　 ＝
　　 ＝
　　 ＝
　 　＝．
例3 试比较下列各组数的大小：
（1）和； （2）和.
解： （1）∵，
，
又，
∴＜
（2）∵
又 4＞2，
∴＋4＞＋2，
∴＜...........分子（母）有理化
例4　化简：．
解：
　 ＝
　 ＝
　 ＝
　 ＝．
例 5 化简：（1）； （2）．
解：（1）原式=
．
（2）原式=，
∵，∴， 所以，原式＝．
练 习A
1．填空：
（1）＝__ ___；
（2）若，则的取值范围是_ _ ___；
（3）__ ___；
（4）若，则______ __．
（提示先简化后代入）
2．选择题：
等式成立的条件是 （　　 ）
（A）　 （B）　　 （C）　　 （D）
练习B
3．若，求的值．
4．比较大小：2－ －（填“＞”，或“＜”）．
1.1.4．分式
一、概念：1．分式的意义
形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：； ．
上述性质被称为分式的基本性质．
　2．繁分式
像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
二、典型例题：
例1　若，求常数的值．
解： ∵，
　　 ∴ 解得 ．
例2　（1）试证：（其中n是正整数）；
（2）计算：；
（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有．
（1）证明：∵，
∴（其中n是正整数）成立．
（2）解：由（1）可知
＝．
（3）证明：∵
＝
＝，
又n≥2，且n是正整数，
∴一定为正数，
∴＜．
例3　设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得
2e2－5e＋2＝0，
∴(2e－1)(e－2)＝0，
∴e＝＜1，舍去；或e＝2． ∴e＝2．
练习A
1．填空题：
对任意的正整数n， ()；
2．选择题：
若，则＝　　 （　 　）
　　（A）１ （B）　 （C）　 （D）
3．正数满足，求的值．
4．计算．
习题1．1
A 组
1．解不等式：
２．已知，求的值．
3．填空：
（1）＝________；
（2）若，则的取值范围是________；
（3）________．
4．填空：，，则____ ____；
5．已知：，求的值．
B 组
1．选择题：
（1）若，则 （　 　）
　 （A） （B）　 （C）　 （D）
（2）计算等于 （　 　）
（A）　 （B）　 （C）　 （D）
2．计算：．
1．2 分解因式
一、复习引申：因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12；
（3）； （4）．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．2－4，得 ＝
（4）＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．
2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1）； （2）．
解： （1）==
=．
或＝＝＝
＝
＝． 二次项 一次项 常数项
（2）=
=
=．
3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.
例3　把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）； （2）．
解： （1）令=0，则解得，，
∴=
=．
（2）令=0，则解得，，
∴=．
二、练习A
1．选择题：
多项式的一个因式为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．分解因式：
（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；
（3）x2－2x－1； （4）．
练习B组
1．分解因式：
　（1） ； （2）；
（3）； 　
2．在实数范围内因式分解：
（1） ； （2）；
（3）；
3．分解因式：x2＋x－(a2－a)．
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
一、概念：我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
． ①
因为a≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2＝；
（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝－；
（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
二、典型例题：
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0；
（3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．
解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根， ．
（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1．
（4）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，
所以①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根
， ；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
一、概念：1、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
，， 则有
；
．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x 2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．
2、特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1＋x 2＝－p，x1·x2＝q，
即 p＝－(x1＋x 2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x 2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x 2)x＋x1·x2＝0的两根，因此有
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x 2)x＋x1·x2＝0．
二、典型例题：
例2 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×22＋k×2－6＝0，
∴k＝－7．
所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－，∴x1＝－．
由 （－）＋2＝－，得 k＝－7．
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
例3 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．
∵x12＋x22－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，
即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，
化简，得 m2－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．
综上，m＝-1．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．
（★）在今后的解题过程中，如果用由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于等于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一：设这两个数分别是x，y，
则 x＋y＝4， ①
xy＝－12． ②
由①，得 y＝4－x，
代入②，得x(4－x)＝－12，
即 x2－4x－12＝0，
∴x1＝－2，x2＝6．
∴ 或因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x2－4x－12＝0 的两个根．
解这个方程，得 x1＝－2，x2＝6． 所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x1－x2|的值； （2）求的值； （3）x13＋x23．
解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根， ∴，．
（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝
＝＋6＝， ∴| x1－x2|＝．
（2）．
（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]
＝(－)×[(－)2－3×()]＝－．
注意：
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则
，，
∴| x1－x2|＝
．
于是有下面的结论：
若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝（其中Δ＝b2－4ac）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．
解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2＝a－4＜0， ①
且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ②
由①得 a＜4，
由②得 a＜．
∴a的取值范围是a＜4．
练习A
1．选择题：
（1）方程的根的情况是 （ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
（2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）
（A）m＜ （B）m＞－ （C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0
（3）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（4）下列四个说法：
①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；
④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（5）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝ ．
（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ．
（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
（4）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．
（5）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．
（6）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．
（7）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ ．
3．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？
4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．
5．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
6．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．
练习B组
1．选择题:
若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两实根互为相反数，则k的值为 （ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
2．填空:
（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于 ．
（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 ．
3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．
4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：
（1）| x1－x2|和；（2）x13＋x23．
5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值．
2．2 二次函数
2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
一、复习引申：问题1 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．
先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．
先列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2x2 … 18 8 2 0 2 8 18
从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．
再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
1、二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．
问题2 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．
类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
2、二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：
由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－
，
所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
3、（1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝．
（2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝．
上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．
二、典型例题：
例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，
∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线x＝－1；
顶点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；
采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这四点画出图象（如图2－5所示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．
例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：
x /元 130 150 165
y/件 70 50 35
若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．
解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx+b
将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有
解得 k＝－1，b＝200．∴ y＝－x＋200．
设每天的利润为z（元），则
z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000
＝－(x－160)2＋1600， ∴当x＝160时，z取最大值1600．
答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．
例3 把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值．
解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数y＝x2的图像，所以，
解得b＝－8，c＝14．
解法二：把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，等价于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x2＋bx＋c的图像．
由于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x－4)2＋2的图像，即为y＝x2－8x＋14的图像，∴函数y＝x2－8x＋14与函数y＝x2＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14．
说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．
这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．
三、练习A
1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）
（A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2
（C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x
（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2 （ ）
（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．填空题
（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n＝ ．
（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝ 时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图象经过原点．
（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x＝ 时，函数取最 值y＝ ；当x 时，y随着x的增大而减小．
3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．
（1）y＝x2－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x2．
2.2.2 二次函数的三种表示方式
一、复习引申：通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．
当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有
ax2＋bx＋c＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．
于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以 x1＋x2＝，x1x2＝，
即 ＝－(x1＋x 2)， ＝x1x2．
所以，y＝ax2＋bx＋c＝a()
= a[x2－(x1＋x 2)x＋x1x2]
＝a(x－x1) (x－x2)．
由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．
二、典型例题：
例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．
分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为，
∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴，解得a＝．
∴二次函数的解析式为，即y=
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．
例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
展开，得 y＝ax2＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为 ，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝．
所以，二次函数的表达式为y＝，或y＝－．
分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．
解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．
又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．
于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，
由于函数图象过点(1，0)，
∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－，或a＝．
所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．
说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．
例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．
所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．
通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？
三、练习A
1．选择题:
（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定
（2）函数y＝－(x＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ）
（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)
2．填空：
（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a (a≠0) ．
（2）二次函数y＝－x2+2x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ．
3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；
（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；
（3）函数图象与x轴交于两点(1－，0)和(1＋，0)，并与y轴交于(0，－2)．
2.2.3 二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换
1．平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．
例1 求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：
（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；
（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．
分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．
解：二次函数y＝2x2－4x－3的解析式可变为 y＝2(x－1)2－1，
其顶点坐标为(1，－1)．
（1）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，-2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y＝2(x－3)2－2．
（2）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y＝2(x＋1)2＋2．
2．对称变换
问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．
例2 求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：
（1）直线x＝－1；
（2）直线y＝1．
解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状．
由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(－3，-1)，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋12x＋17．
（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线y＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．
由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y＝－2(x－1)2＋3，即y＝－2x2＋4x＋1．
二、分段函数
一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．
例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．
分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．
解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数．这个函数的解析式为
由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．
三、配方法及其应用
1、同学们知道，在求二次函数的图象的顶点坐标或求最大（小）值时需用到变形：，这种变形的过程就叫配方。具体过程为
用配方来解决最大（小）值等问题的方法叫作配方法，这是高中数学最重要的方法之一，望同学们给予足够的重视，在上高中之前务必先学会并掌握配方。
例1、将下列二次函数式配方：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
例2、求下列二次函数的最大（或最小）值：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）
∴当时 y取最小值
（2）
∴当x=3时，y取最大值10
（3）
∴当x=-2时，y取最小值-1
（4）
∴当x=-2时，y取最大值-3
思考：1、二次函数式的配方和分解因式的区别是什么？
2、你是否已概括出了配方的几个步骤？（注：最好不要用公式去套）
四、练习A组
将下列二次函数配方
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11） （12）
（13） （14）
（15）
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
一、概念：方程
是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中,,叫做这个方程的二次项,,叫做一次项,6叫做常数项．
我们看下面的两个方程组：
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．
二、典型例题：
例1 解方程组
分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．
解：由②,得
x＝2y＋2， ③
把③代入①,整理,得 8y2＋8y＝0，
即 y(y＋1)＝0．
解得 y1＝0，y2＝－1．
把y1＝0代入③, 得 x1＝2；
把y2＝－1代入③, 得x2＝0．
所以原方程组的解是
说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．
例2 解方程组
解法一：由①，得　　　　 ③
把③代入②，整理，得　
解这个方程，得　．　
把代入③，得；
把代入③，得．
所以原方程的解是　 　
解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求．
这个方程组的是一元二次方程　
的两个根，解这个方程，得　，或．
所以原方程组的解是　　　
三、练习A
1．下列各组中的值是不是方程组 的解 　 （ ）
（1） （2） （3） （4）　
2．解下列方程组:
（1）　　　 （2）　
（3）　 （4）
2.3.2 一元二次不等式解法
一、引入：二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知
当x＝－2，或x＝3时，y＝0，
即x2－x-6＝0；
当x＜－2，或x＞3时，y＞0，
即x2－x－6＞0；
当－2＜x＜3时，y＜0，
即x2－x－6＜0．
这就是说，如果抛物线y= x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么
一元二次方程x2－x－6＝0的解就是
x1＝－2，x2＝3；
同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2－x－6＞0的解是 x＜－2，或x＞3；
一元二次不等式 x2－x－6＜0的解是 －2＜x＜3．
上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．
那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？
我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为 x＜x1，或x＞x2；
不等式ax2＋bx＋c＜0的解为 x1＜x＜x2．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－，由图2.3－2②可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为 x≠－；
不等式ax2＋bx＋c＜0无解．
（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；
不等式ax2＋bx＋c＜0无解．
今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．
二、典型例题：
例3 解不等式：
（1）x2＋2x－3<0； （2）x－x2＋6＜0；
（3）4x2＋4x＋1≥0； （4）x2－6x＋9≤0；
（5）－4＋x－x2＜0．
解：（1）∵Δ＞0，方程x2＋2x－3＝0的解是 x1＝－3，x2＝1．
∴不等式的解为 －3< x <1．
（2）整理，得 x2－x－6＞0．
∵Δ＞0，方程x2－x－6=0的解为 x1＝－2，x2＝3．
∴所以，原不等式的解为 x＜－2，或x >3．
（3）整理，得 (2x＋1)2≥ 0.
由于上式对任意实数x都成立，∴原不等式的解为一切实数．
（4）整理，得 (x－3)2≤0.
由于当x＝3时，(x－3)2＝0成立；而对任意的实数x，(x－3)2＜0都不成立，
∴原不等式的解为 x＝3．
（5）整理，得 x2－x＋4＞0．
Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．
例4 已知不等式的解是求不等式的解．
解：由不等式的解为，可知
，且方程的两根分别为2和3，
∴，即 ．
由于，所以不等式可变为 ，
即 －整理，得
所以，不等式的解是 x＜－1，或x＞．
说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．
三、练习A
1．解下列不等式：
（1）3x2－x－4＞0； （2）x2－x－12<0；
（3）x2＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x2 ≤ 0．
2．解下列方程组：
（1） （2）
（3）
3．解下列不等式：
（1）3x2－2x＋1＜0； （2）3x2－4＜0；
（3）2x－x2≥－1；
练习B组
1．取什么值时,方程组 有一个实数解 并求出这时方程组的解．
2．已知关于x不等式2x2＋bx－c＞0的解为x＜－1，或x＞3．试解关于x的不等式
bx2＋cx＋4≥0．
3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
一、引入
在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.
在一张方格纸上，我们作平行线（如图3.1-1），直线交于点，，另作直线交于点，不难发现
我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段、成比例.
如图3.1-2，，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.
二、典例
例1 如图3.1-2， ，
且求.
解 ，∴ ,
例2 在△ABC中，为边上的点，，
求证：.
证明（1）
∽，
证明（2） 如图3.1-3，过作直线，
.
过作交于，得 BDEF，因而
从上例可以得出如下结论：
平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
例3 在△ABC中，为∠BAC的平分线，求证：.
证明 过C作CE//AD，交BA延长线于E，
∵AD//CE, ∴
又AD平分∠BAC，∠BAD=∠DAC，
由知∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，
∴∠E=∠ACE，即AE=AC，∴
例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.
练习A
1．如图3.1-6，，下列比例式正确的是（ ）
A． B．
C． D.
2．如图3.1-7，
求.
3．如图，在△ABC中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.
4．如图，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交的延长线于点，求证：.
3.1.2 相似形
我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？
例4 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，∠BAC为直角，于D.
求证：（1）AB2=BD·BC，
AC2=CD·CB；
（2）AD2=BD·CD
证明 （1）在Rt△BAC与Rt△BDA中，
∠B=∠B，∠BAC=∠ADB=90
∴△BAC∽△BDA，∴，
即AB2=BD·BC
同理可证得AC2=CD·CB
（2）在Rt△ABD与Rt△CAD中，∠C=90 -∠B=90 -∠DAC
∴∠B=∠DAC
∴Rt△ABD∽Rt△CAD ∴，即AD2=BD·DC
我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.
例5、在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求证：AE·AB=AF·AC
证明 AD⊥BC，
∵△ADB为直角三角形，又DE⊥AB，
由射影定理，知AD2=AE·AB.
同理可得AD2=AF·AC. 图3.1—13
AE·AB=AF·AC
练习 2(A组)
1．如图3.1-15，D是△ABC的边AB上的一点，过D点作DE//BC交AC于E.已知AD：DB=2：3，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是，则梯形的上、下底长分别是__________.
3．已知：△ABC的三边长分别是3，4，5，与其相似的△的最大边长是15，求△的面积.
4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；
若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形？
5．如图3.1-17,点C、D在线段AB上，是等边三角形，
当AC、CD、DB满足怎样的关系时，∽？
当∽时，求的度数.
习题3.1
A组
如图3.1-18，中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（ ）
A．DE=1，BC=7 B．DE=2，BC=6
C．DE=3，BC=5 D．DE=2，BC=8
如图3.1-19，BD、CE是的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则等于（ ）
A．1：3 B．1：4
C．1：5 D．1：6
如图3.1-20， ABCD 中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE：AB=2：3，，求.
如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中点，交AC于F，过F作FG//AB交AE于G，求证：.
3.2 三角形
3．2．1 三角形的“四心”
一、引入：三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.
如图3.2-1 ，在三角形ΔABC中，有三条边，三个角A，B，C，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
二、典例
例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.
已知 D、E、F分别为ΔABC三边BC、CA、AB的中点，
求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.
证明 连结DE，设AD、BE交于点G，
∵D、E分别为BC、AC的中点，则DE//AB，且，
∴ΔGDE∽ΔGAB，且相似比为1：2，∴.AG=2GD，BG=2GE
设AD、CF交于点，同理可得，
则与重合，∴AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成.
结论1：三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）
例2 已知ΔABC的三边长分别为，I为ΔABC的内心，且I在ΔABC的边上的射影分别为，求证：.
证明 作ΔABC的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，
∵AE，AF为圆的从同一点作的两条切线，∴AE=AF，
同理，BD=BF，CD=CE.
∴b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD
=AF+AE=2AF=2AE
即
例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.
已知 O为三角形ABC的重心和内心.
求证 三角形ABC为等边三角形.
证明 如图，连AO并延长交BC于D.
∵O为三角形的内心，故AD平分，
∴（角平分线性质定理）
∴O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.
∴，即.
同理可得，AB=BC. ∴ΔABC为等边三角形.
结论2：三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）
例4 求证：三角形的三条高交于一点.
已知 ΔABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H点.
求证 .CH⊥AB
证明 以CH为直径作圆，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠HDC=∠HEC=90°
∴D、E在以CH为直径的圆上，
∴∠FCB=∠DEH
同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得
∠BED=∠BAD
∴∠BCH=∠BAD，
又ΔABD与ΔCBF有公共角∠B，∠CFB=∠ADB=90°，即CH⊥AB。
结论3：过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.
练习1（A组）
1． （1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径
是 ___________;
（2）若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是 ___________. 并请说明理由.
3.2.2 几种特殊的三角形
等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.
例5 在ΔABC中，求（1）ΔABC的面积及边上的高；（2）ΔABC的内切圆的半径；（3）ΔABC的外接圆的半径.
解 （1）如图，作于.
为的中点，
又解得.
（2）如图，为内心，则到三边的距离均为，
连，，
即，
解得.
（3）ΔABC是等腰三角形，
外心在上，连，
则RtΔOBD中，
解得
结论4：在直角三角形ABC中，∠A为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为（其中分别为三角形的三边BC,CA,AB的长），为什么？
该直角三角形的三边长满足勾股定理：.
练习2（A组）
直角三角形的三边长为3，4，,则________.
等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________.
满足下列条件的ΔABC，不是直角三角形的是（ ）
A． B．∠C=∠A+∠B
C．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D．
已知直角三角形的周长为，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.
习题3.2
A组
已知：在ΔABC中，AB=AC，为BC边上的高，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ）
A．6 B．4.5 C．2.4 D．8
如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________.
已知：是ΔABC的三条边，，那么的取值范围是_________。
若三角形的三边长分别为，且是整数，则的值是_________。
6、如图3.2-19，等边ΔABC的周长为12，CD是边AB上的中线，E是CB延长线上一点，且BD=BE，则ΔCDE的周长为（）
A． B．
C． D．
7、如图3.2-20，在ΔABC中，，BD是边AC上的高，求的度数。
3．3圆
3．3．1 直线与圆，圆与圆的位置关系
一、引入：设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？
观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线.请熟记以下结论：
1、在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在RtΔOMA中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有.
2、当直线与圆相切时，如图3.3-3，为圆的切线，可得，，且在RtΔPOA中，.
如图3.3-4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得～ΔPTB，因而.（切割线定理）
二、典型例题
例1 如图3.3-5，已知⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是AB的中点，求弦BD的长度。
解 连结OD，交AB于点E。
∵BD=AD,O是圆心，
∴OD⊥AB,BE=AE=
在RtΔBOE中，OB=5cm,BE=3cm,
在RtΔBDE中，BE=3cm,DE=1cm,
练习 A
1.如图3.3-9，⊙O的半径为17cm，弦AB=30cm，AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C，求弦AC和BD的长。
2.已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB//CD，AB=8cm,CD=6cm, ⊙O的半径等于5cm，求梯形ABCD的面积。
3.如图3.3-10，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，求CD的长。
习题3.3
A组
已知弓形弦长为4，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为（ ）
A． B． C．3 D．4
在半径等于4的圆中，弦心距为2，垂直平分半径的弦长为（ ）
A． B． C． D．
AB为⊙O的直径，弦，E为垂足，若BE=6，AE=4，则CD等于（ ）
A． B． C． D．
如图3.3-12，在⊙O中，E是弦AB延长线上的一点，已知OB=10cm,OE=12cm，求AB。
B组
如图3.3-13，已知在RtΔABC中，以C为圆心，CA为半径的圆交斜边于D，求AD。
如图3.3-14，在直径为100mm的半圆铁片上切去一块高为20mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长。
1.1.1．绝对值（答案）
练习A 1．（1）； （2）；或 2．D 3．
练习B 4、
1.1.2．乘法公式
1．（1）　 （2）　 （3）　
2．（1）D （2）A
1.1.3．二次根式
练习A 1． （1）　（2）　（3）　（4）．2．C
练习B 3．1 4．＞
1.1.4．分式
练习A 1． 2．B 3．0 4．
习题1．1
A组
1．或 2．1 3．（1） （2） （3）
4．（1） 5．4．
B组 1．（1）D （2）C 2．
1.2分解因式（答案）
A组 1． B
2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）
（3） （4）．
B组
1．（1） 　（2）
　（3）
2．（1）；　（2）；
　（3）；
3．
2.1 一元二次方程（答案）
练习A
1． （1）C （2）D （3）C （4）B 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式Δ＜0，所以方程没有实数根；对于④，其两根之和应为－．
（5）C
2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x2＋2x－3＝0 （4）2
（5） （6）6 （7）
3．k＜4，且k≠0
4．－1 提示：(x1－3)( x2－3)＝x1 x2－3(x1＋x2)＋9
5．当m＞－，且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m＝－时，方程有两个相等的实数根；当m＜－时，方程没有实数根．
6．设已知方程的两根分别是x1和x2，则所求的方程的两根分别是－x1和－x2，∵x1＋x2＝7，x1x2＝－1，∴(－x1)＋(－x2)＝－7，(－x1)×(－x2)＝x1x2＝－1，∴所求的方程为y2＋7y－1＝0．
练习B组
1．C 提示：由于k=1时，方程为x2＋2＝0，没有实数根，所以k＝－1．
2．（1）2006 提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝2006．
（2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a3＋a2b＋ab2＋b3＝a2(a＋b)＋b2(a＋b)＝(a＋b)( a2＋b2)＝(a＋b)[( a＋b) 2－2ab]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．
3．（1）∵Δ＝(－k)2－4×1×(－2)＝k2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根．
（2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．
4．（1）| x1－x2|＝，＝；（2）x13＋x23＝．
5．∵| x1－x2|＝，∴m＝3．把m＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m＝3．
2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质（答案）
练习A
1、（1）D （2）A
2、（1）4 0 （2）2 -2 0
（3）下 （-2，5） -2 大 5
3、（1） 开口向上，对称轴为x=1 ，顶点坐标为（1，-4），当x=1时，y取最小值-4。
（2） 开口向下，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，10），当x=3时，y取最大值10。
2.2.2 二次函数的三种表示方式（答案）
1（1）A （2）C 2、（1） （2）4
3、（1） （2）=
（3）
2.2.3 二次函数的简单应用
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11） （12）
（13） （14）
（15）
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
练 习 A组
1.（1）（2）是方程的组解； （3）（4）不是方程组的解．
2．（1） （2）
（3） （4）
2.3.2 一元二次不等式解法
练 习 A组
1．（1）x＜－1，或x＞； （2）； （3）x＜－4，或x＞1；
（4）x＝4．
2．（1） （2）
（3）
3．（1）无解 （2） （3）
B 组
1．消去，得．
当,即时，方程有一个实数解．
将代入原方程组，得方程组的解为
2．由题意，得 －1和3是方程2x2＋bx－c＝0的两根，
∴－1＋3＝－，－1×3＝－， 即b＝－4，c＝6．
∴不等式bx2＋cx＋4≥0就为－4 x2＋6x＋4≥0，即2 x2－3x－2≤0，
∴．
3.1 相似形（答案）
练习A
1．D
2．设，即.
3．
4．作交于，则，又得.
练习2（A组）
1．D
2．12，18
3．
4．（1）因为所以是平行四边形；（2）当时，为菱形；当时，为正方形.
5．（1）当时，∽；（2）.
习题3.1 A组
1、B 2、B 3、
4、BF为直角三角形ABC斜边上的高，故BF2=AF FC
又可证AG=BF， 所以AG2=AF FC
3.2 三角形
练习1（A组）
1、（1）； （2）.
练习2（A组）
1．5或 2.或 3.C
4．设两直角边长为，斜边长为2，则，且，解得，
∴.
习题3.2
A组
1．B 2. D 3. 4. 5.8 6、A 7、
3.3 圆
练习A
1．取AB中点M，连CM，MD，则，且C，O，M，D共线，.
2．O到AB，CD的距离分别为3cm,4cm，梯形的高为1cm或7cm，梯形的面积为7或49.
3. 半径为3cm，OE=2cm.,OF=.
习题3.3
A组
1．B 2.A 3.B 4.AB=16cm.
B组
1.作于M，AB=13cm,. 2、AB=80㎜
1
A
x
-3
C
x
P
|x－1|
图1．1－1
D
5
必须记住
－1
－2
x
x
图1．2－1
－1
－2
1
1
图1．2－2
－2
6
1
1
图1．2－3
－ay
－by
x
x
图1．2－4
－1
1
x
y
图1．2－5
x+y
2x-y
2
-3
y＝x2
y＝2x2
图2.2-1
x
O
y
图2.2-2
x
y
O
－1
y＝2x2
y＝2(x＋1)2
y＝2(x＋1)2＋1
x
y
O
x＝－
A
图2.2-3
x
y
O
x＝－
A
图2.2-4
x
O
y
x＝－1
A(－1,4)
D(0,1)
B
C
图2.2－5
x
y
O
x＝－1
A(1,－1)
A1(－3,－1)
图2.2－7
x
y
O
y＝1
A(1,－1)
B(1，3)
图2.2－8
x(克)
y(分)
O
图2.2－9
20 40 60 80 100
400
320
240
160
80
①②
①
②
x
O
－2
3
y＝x2－x－6
y
y＞0
y＞0
y＜0
图2.3－1
x
y
O
x1
x2
x
y
O
x1= x2
y
x
O
图2.3－2
②
③
①
图3.1-1
图3.1-2
图3.1-3
图3.1-5
图3.1-6
图3.1-7
图3.1.8
图3.1.9
图3.1-12
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