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必修二 第八章 立体几何初步
知识点清单
本章思维导图
本章知识点归纳
8．1基本立体图形
第一课时　棱柱、棱锥、棱台
1．可以从以下几个方面理解棱柱
(1)棱柱的两个主要结构特征：
①有两个面互相平行；
②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形．
通俗地讲，棱柱“两头一样平，上下一样粗”．
(2)有两个面互相平行，并不表明只有两个面互相平行，如长方体，有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面．
(3)从运动的观点来看，棱柱也可以看成是一个平面多边形从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，其运动轨迹所形成的几何体．
(4)棱柱可按底面多边形的边数进行分类，如底面是三角形的棱柱叫做三棱柱．
注意：棱柱概念的推广
①斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱．
②直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．
③正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．
④平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱，即平行六面体的六个面都是平行四边形．
⑤长方体：底面是矩形的直棱柱．
⑥正方体：棱长都相等的长方体．
2．棱锥的两个本质特征
(1)有一个面是多边形；
(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形．
注意：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥，棱锥还可按底面多边形边数进行分类．
3．正确认识棱台的结构特征
(1)上底面与下底面是互相平行的相似多边形；
(2)侧面都是梯形；
(3)侧棱延长线必交于一点．
注意：各侧面是全等的等腰梯形的是棱台称为正棱台．棱台还可按底面多边形的边数进行分类．
棱柱结构特征问题的解题策略
(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：
①两个面互相平行；
②其余各面是平行四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．　　　　
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法：
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．　　　　
第二课时　圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体
1．圆柱的结构特征
(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．
(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆．
(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形．
(4)过任意两条母线的截面是矩形．
2．圆锥的结构特征
(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．
(2)平行于底面的截面都是圆．
(3)过轴的截面是全等的等腰三角形．
(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形．
3．圆台的结构特征
(1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点．
(2)平行于底面的截面是圆．
(3)过轴的截面是全等的等腰梯形．
(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形．
4．球的结构特征
(1)球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体．
(2)根据球的定义，铅球是一个球，而足球、乒乓球、篮球、排球等，虽然它们的名字中有“球”字，但它们都是空心的，不符合球的定义，因而都不是球.
5．简单组合体
由简单几何体组合而成的几何体称为简单组合体，构成简单组合体的两种基本形式：
①由简单几何体拼接而成；
②由简单几何体裁去或挖去一部分组成．
简单旋转体结构特征问题的解题策略
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．
(2)解题时要注意明确两点：
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线．　　　　
简单组合体的识别
1．明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数．
2．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．　　　　
求几何体表面上两点间的最小距离的步骤
(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；
(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；
(3)结合已知条件求得结果．　　　　
8．2立体图形的直观图
1．对斜二测画法中“斜”“二测”的解读
“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；
“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．
斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出．
2．在直观图中“变”的量与“不变”量
(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；
(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；
(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化．
斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变.
画平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．　　　　
画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．
(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．
(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半．
(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．　　　　
1．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．　　
8．3简单几何体的表面积与体积
1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．
2．对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识
(1)等底、等高的两个棱柱的体积相同．
(2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.
(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积．
求棱柱、棱锥、棱台的表面积的基本步骤
(1)清楚各侧面的形状，求出每个侧面的面积．
(2)求出其底面的面积．
(3)求和得到表面积．
注意：组合体的表面积应注意重合部分的处理．　　　　
求几何体体积的常用方法
8．3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1．对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解
(1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式.但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的．
(2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的半径长．
(3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题．
(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系
S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl.
2．对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识
(1)等底、等高的两个圆柱的体积相同．
(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．
(3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系
V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.
(4)求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积．
3．与球的体积、表面积有关的问题
(1)球的表面积(体积)与半径之间的函数关系
S球＝4πR2　V球＝πR3
从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有惟一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．
(2)球的表面积(体积)计算中蕴涵的数学思想
①函数方程思想：根据球的表面积与体积公式可知，球的半径R，球的表面积S，球的体积V三个量“知一求二”．
②转化思想：空间问题平面化．
(3)球体的截面的特点
①球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆．
②利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．
求圆柱、圆锥、圆台的表面积的基本步骤
(1)得到空间几何体的平面展开图．
(2)依次求出各个平面图形的面积．
(3)将各平面图形的面积相加．　　　
圆柱、圆锥、圆台的体积求法
(1)直接法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求出．
(2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，先求再去．　　　　
1．求球的体积与表面积的方法
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的最关键要素，把握这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
2．球的截面问题的解题技巧
(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
(2)解题时要注意借助球半径R、截面圆半径r、球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
3．常见的几何体与球的切、接问题的解决策略
(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．　　　
8．4空间点、直线、平面之间的位置关系
8．4.1平面
1．平面的几个特点
(1)平面是平的；
(2)平面是没有厚度的；
(3)平面是无限延展而没有边界的．
2．从集合的角度理解点、直线、平面
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示．
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示．
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“ ”或“ ”表示．
3．准确认识三个基本事实的意义和作用
(1)基本事实1
意义：是在空间确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．
作用：①确定平面；②证明点、线共面．
(2)基本事实2
意义：说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展”．
作用：既是判断直线是否在平面内，又是检验平面的方法．
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可出推出不共线的三点，一条直线和这条直线外一点，两条相交直线，两条平行直线，都能唯一确定一个平面．
(3)基本事实3
意义：揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法．
作用：①判断两个平面是否相交；
②确定两个平面的交线；
③证明若干点共线问题．
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”．
提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”．　　　　
1．证明三点共线的方法
(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．
(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．
2．证明三线共点的步骤
(1)首先说明两条直线共面且交于一点；
(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；
(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．　　　　
8．4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
1．对异面直线的理解
(1)异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线．
2．直线与平面位置关系的画法要求
(1)画直线a在平面α内：如图a所示：
要求：表示直线a的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外．
(2)画直线a与平面α相交：如图b所示：
要求：表示直线a的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感．
(3)画直线a与平面α平行：如图c所示：
要求：最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行．
3．两个平面位置关系的画法
(1)两平行平面的画法：画两平行的平面时要注意把表示平面的两个平行四边形画成对应边平行．
(2)两相交平面的画法：
①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图(1)．
②画表示两平面交线的线段，如图(2)．
③过图(1)中线段的端点分别画线段使它平行且等于②表示交线的线段，如图(3)．
④画图(3)表示平面的平行四边形的边，如图(4)．
1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．
2．判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交．
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l α，A α，B∈α，B l AB与l是异面直线(如图)．
　　　　
直线与平面位置关系的判断
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.　　　　
1．平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点．
(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
2．常见的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；
(2)长方体的六个面中，三组相对面平行.　　　　
8．5空间直线、平面的平行
8．5.1直线与直线平行
1．对基本事实4的认识
(1)基本事实4，它表述的性质通常叫做平行线的传递性．
(2)基本事实4是论证平行问题的主要依据.
2．对等角定理的两点认识
(1)等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用．
(2)当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补．因此等角定理用来证明两个角相等或互补．
证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等．
(2)定义法
用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点．
(3)基本事实4
用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由基本事实4即可得到a∥c.　　　　
证明两个角相等的方法
(1)利用等角定理．
(2)利用三角形全等或相似．　　　　
8．5.2直线与平面平行
第一课时　直线与平面平行的判定
直线与平面平行的判定(证明)
1．定义法：判定(证明)直线与平面无公共点．
2．判定定理：
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．
用符号表示：a α，b α且a∥b a∥α.
3．体现了转化思想
此定理将证明线面平行的问题转化为证明线线平行．此定理可简记为：线线平行 线面平行.
线面平行的判定定理必须具备三个条件
(1)直线a在平面α外，即a α；
(2)直线b在平面α内，即b α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．　　　　
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法．
提醒：线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．
(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．　　　　
第二课时　直线与平面平行的性质
1．对直线与平面平行的性质定理的几点认识
(1)线面平行的性质定理的条件有三个：
①直线a与平面α平行，即a∥α；
②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；
③直线a在平面β内，即a β.三个条件缺一不可．
(2)定理的作用
①线面平行 线线平行；
②画一条直线与已知直线平行．
(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．
(4)在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”的错误．
2．证明线线平行的方法
(1)定义法：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行．
(2)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
(3)线面平行的性质定理： a∥b，应用时题目条件中需有线面平行．
利用线面平行性质定理解题的步骤
　　　　
线面平行判定与性质的综合应用的策略
判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：
线线平行线面平行线线平行．　　　　
8.5.3平面与平面平行
第一课时　平面与平面平行的判定
剖析平面与平面平行的判定定理
(1)具备两个条件
判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件．
①平面β内两条相交直线a，b，即a α，b α，a∩b＝P.
②两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.
(2)体现了转化思想
此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行．
(3)此定理可简记为：线面平行 面面平行.
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.　　　　
解决线线平行与面面平行的综合问题的策略
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．
(2)
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．　　　　
8.5.3平面与平面平行
第二课时　平面与平面平行的性质
1．解读平面与平面平行的性质定理
(1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理.可简述为“若面面平行，则线线平行”．
(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：
①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三个条件缺一不可．
(3)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面一切直线”的错误．
2．两个平面平行的一些常见结论
(1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行．
(2)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交．
(3)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等．
应用面面平行性质定理的基本步骤
　　　　
1．证明直线与直线平行的方法
(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等；
(2)基本事实4；
(3)线面平行的性质定理；
(4)面面平行的性质定理．
2．证明直线与平面平行的方法
(1)线面平行的判定定理；
(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．　　　
空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
8．6空间直线、平面的垂直
8．6.1直线与直线垂直
对异面直线所成的角的认识理解的注意点
(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关．
(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算．
(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.
求异面直线所成的角的一般步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求.　　　　
证明两条直线垂直的策略
(1)对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明．
(2)对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明．　　　　
8．6.2直线与平面垂直
第一课时　直线与平面垂直的判定
1．对直线与平面垂直的几点说明
(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．
(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形．
(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．这是判断两条直线垂直的一种重要方法．
2．理解直线与平面垂直的判定定理
不能用“一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直”．实际上，由基本事实4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线平行．
3．判定定理所体现的数学思想
直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想，即将线面垂直转化为线线垂直．
4．直线与平面所成的角的理解和判断
(1)对斜线和平面所成的角的定义的理解
斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角．
(2)判断方法
首先，判断直线和平面的位置，若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为0°的角；若直线与平面垂直，此时直线与平面所成的角为90°.
其次，若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线(实际操作过程中，这一点的选取要有利于求角)，找出直线在平面内的射影，从而确定出直线和平面所成的角，一般转化到直角三角形、等边三角形中求解．
直线与平面垂直定义的“双向”作用
(1)证明线面垂直
若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直．即线线垂直 线面垂直．
(2)证明线线垂直
若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．即线面垂直 线线垂直．　　　　
线线垂直和线面垂直的相互转化
求直线与平面所成角的一般步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．
(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．　　　
8．6.2直线与平面垂直
第二课时　直线与平面垂直的性质
1．剖析直线与平面垂直的性质定理
(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论．
(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)．
(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
(4)定理的推证过程采用了反证法．
2．直线与平面垂直的性质
(1) l⊥b；(2) a∥b；(3) b⊥α；(4) a⊥β；(5) α∥β.
证明线线平行常有如下方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；
(2)利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线；
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面．
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．　　　　
8.6.3平面与平面垂直
第一课时　平面与平面垂直的判定
1．二面角与平面几何中的角的对比
平面几何中的角 二面角
图形
定义 从平面内一点出发的两条射线组成的图形 从一条直线出发的两个半平面组成的图形
表示法 由射线—点(顶点)—射线构成，即为∠AOB 由半平面—线(棱)—半平面构成，记为二面角α l β
意义 定量的反映两条直线的位置关系 定量的反映两个平面的位置关系
2．剖析平面与平面垂直
(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况．例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的．
(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的．
3．详解平面与平面垂直的判定定理
(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直 面面垂直．
(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．
解决二面角问题的策略
(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．
(2)求二面角的大小的方法：
一作：即先作出二面角的平面角；
二证：即说明所作角是二面角的平面角；
三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”．　　　　
　证明面面垂直常用的方法
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．　
对面面垂直的性质定理的理解
(1)定理成立的条件有三个：
①两个平面互相垂直；
②直线在其中一个平面内；
③直线与两平面的交线垂直．
(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．
(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
应用面面垂直性质定理要注意的问题
应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后，进一步转化为线线垂直．　　　　
垂直关系的转化
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
本章定理定义梳理
一、空间几何体的结构特征
1．多面体及其结构特征
(1)棱柱：①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行．
(2)棱锥：①有一个面(底面)是多边形；
②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．
(3)棱台：①上、下底面互相平行，且是相似图形；②各侧棱延长线相交于一点．
2．旋转体及其结构特征
(1)圆柱：①圆柱的轴垂直于底面；②圆柱的轴截面是矩形；③圆柱的所有母线相互平行且相等，且都与圆柱的轴平行；④圆柱的母线垂直于底面．
(2)圆锥：①圆锥的轴垂直于底面；②圆锥的轴截面为等腰三角形；③圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线都是圆锥的母线，圆锥的母线有无数条；④圆锥的底面是一个圆面．
(3)圆台：①圆台的上、下底面是两个半径不等的圆面；②圆台两底面圆所在平面互相平行且和轴垂直；③圆台有无数条母线；④圆台的母线延长线交于一点．
二、空间几何体的直观图
1．斜二测画法中“斜”和“二测”
“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；
“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．
2．斜二测画法中的建系原则
在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等．
三、空间几何体的表面积和体积
1．多面体的表面积
各个面的面积之和，也就是展开图的面积．
2．旋转体的表面积
圆柱：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)．
圆锥：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．
圆台：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．
球：S＝4πR2.
3．柱体、锥体、台体的体积公式
(1)柱体的体积公式：
V柱体＝Sh(S底面面积，h为高)．
(2)锥体的体积公式V锥体＝Sh(S底面面积，h为高)．
(3)台体的体积公式
V台体＝(S＋＋S′)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)．
(4)球的体积公式
V＝πR3.
四、空间点、线、面之间的位置关系
1．平面的基本性质
四个基本事实及其作用
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
作用：①可用来确定一个平面；②证明点线共面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
作用：可用来证明点、直线在平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
作用：判断空间两条直线平行的依据．
2．空间中两直线的位置关系
空间中两直线的位置关系
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
五、直线、平面平行的判定与性质
1．直线与平面平行
(1)判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行 线面平行)．
(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行 线线平行”)．
2．平面与平面平行
(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”)．
(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
六、直线、平面垂直的判定及其性质
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义：
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)异面直线所成的角：
定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(3)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
(4)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
2．平面与平面垂直
(1)平面和平面垂直的定义：
两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直．
(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直．
(3)性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
四、本章考点梳理
棱柱的结构特征
例题1.下列关于棱柱的说法正确的是(　　)
A．所有的棱柱两个底面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱
D．棱柱至少有五个面
【解析】选ABD　对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误．故选A、B、D.
棱锥、棱台的结构特征
例题2.下列说法中，正确的是(　　)
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；
③四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长相等．
A．①②　　　　　　　　　 B．①③
C．②③ D．②④
【解析】选B　由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．故选B.
多面体的平面展开图问题
例题3.　(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)(　　)
(2)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？
【解析】(1)由选项验证可知选A.
(2)图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把平面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
【答案】　(1)A　(2)①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台
旋转体的结构特征
例题4.判断下列各命题是否正确：
(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．
【解析】(1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．
(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
(3)正确．
(4)错．应为球面．
简单组合体的结构特征
　例题5.描述下列几何体的结构特征．
【解析】图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.
圆柱、圆锥、圆台侧面展开图问题
例题6.如图所示，已知圆柱的高为80cm，底面半径为10cm，轴截面上有P，Q两点，且PA＝40cm，B1Q＝30cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？
【解析】将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形．
∴A1B1＝·2πr＝πr＝10π(cm)．
过点Q作QS⊥AA1于点S，
在Rt△PQS中，PS＝80－40－30＝10(cm)，
QS＝A1B1＝10π(cm)．
∴PQ＝＝10(cm)．
即蚂蚁爬过的最短路径长是10cm.
水平放置的平面图形的直观图
例题7.用斜二测画法画如图所示边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图．
【解析】(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2cm，在y′轴上取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．
空间图形直观图的画法
例题8.用斜二测画法画出正五棱柱的直观图．
【解析】(1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．
(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.
(3)画侧棱．过点A，B，C，D，E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都相等．
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示．
直观图的还原与计算
例题9　(1)如图①，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是(　　)
A．1　　　　　　　　　 B.
C．2 D．4
(2)如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积.
【答案】　C
【解析】(1)由题图知，△OAB为直角三角形．∵O′B′＝，∴A′B′＝，O′A′＝2.
∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，∴S△OAB＝××4＝2.故选C.
(2)如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝×2＝5.
棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
例题10已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________．
答案：80＋48
【解析】如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，
在Rt△B1FB中，BF＝×(8－4)＝2，B1B＝8，
故B1F＝＝2，
所以S梯形BB1C1C＝×(8＋4)×2＝12，
故四棱台的侧面积S侧＝4×12＝48，
所以S表＝48＋4×4＋8×8＝80＋48.
棱柱、棱锥、棱台的体积
例题11.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD A1B1C1D1挖去四棱锥O EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
【答案】　(1)　(2)12　(3)118.8
【解析】(1)VA DED1＝VE DD1A＝××1×1×1＝.
(2)V正方体＝23＝8，VS ABCD＝×22×(5－2)＝4.
V＝V正方体＋VS ABCD＝12.
(3)由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，
对角线长分别为6cm和4cm，
故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm3)．
又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，
所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12
＝132(cm3)，
所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．
圆柱、圆锥、圆台的表面积
例题12.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)
A．12π　　　　 B．12π
C．8π D．10π
(2)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积为__________．
(3)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为________．
【答案】　(1)B　(2)2π　(3)168π
【解析】(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×()2＋2π××2＝12π.
(2)由题意，母线长l＝2，底面半径为1，所以侧面积为π×1×2＝2π.
(3)先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.
故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
圆柱、圆锥、圆台的体积
例题13.如图所示的几何体是一棱长为4cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)
【解析】正方体的表面积为4×4×6＝96(cm2)，
圆柱的侧面积为2π·1×1＝2π(cm2)，
圆柱的底面积为π·12＝π(cm2)，
则挖洞后几何体的表面积为
96－π＋2π＋π＝96＋2π≈102.28(cm2).
球的体积与表面积
例题14.(1)球的体积是，则此球的表面积是(　　)
A．12π B．16π
C. D.
(2)一平面截一球得到直径为2cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是(　　)
A．12πcm3 B．36πcm3
C．64πcm3　　 D．108πcm3
(3)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为________．
【答案】　(1)B　(2)B　(3)π
【解析】(1)设球的半径为R，则由已知得πR3＝，解得R＝2.故球的表面积S表＝4πR2＝16π.
(2)设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示．
在Rt△OO1A中，O1A＝cm，OO1＝2cm，
∴球的半径R＝OA＝＝3(cm)，
∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3)．
(3)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为π.
立体几何三种语言的相互转化
例题15.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
【解析】(1)点P∈直线AB；(2)点C 直线AB；
(3)点M∈平面AC；(4)点A1 平面AC；
(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB 平面AC；
(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.
点、线共面问题
例题16.如图，已知：a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α.
证明：∵PQ∥a，∴PQ与a确定一个平面β.
∴直线a β，点P∈β.
∵P∈b，b α，∴P∈α.
又∵a α，∴α与β重合．∴PQ α.
点共线、线共点问题
例题17.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点).
证明：因为梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰.
因为AB，CD必定相交于一点.
设AB∩CD＝M.
又因为AB α，CD β，所以M∈α，M∈β.
所以M∈α∩β.
又因为α∩β＝l，所以M∈l.
即AB，CD,l共点(相交于一点)．
直线与直线位置关系的判断
例题18.在正方体ABCD A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为(　　)
A．4　　　　　　　 B．5
C．6 D．7
【解析】选C　如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，与直线BA1异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条，故选C.
空间直线与平面位置关系判断
例题19.下列命题中，正确命题的个数是(　　)
①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；
④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α；
⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】　C
【解析】如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC 平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即④正确；⑤显然正确，故选C.
平面与平面位置关系的判断
例题20.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
【解析】如图所示，a α，b β，a∥b.
由图形可知，这两个平面可能相交，也可能平行．
【答案】　C
利用基本事实4证明直线与直线平行
例题21.如图所示，在正方体ABCD A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点．
求证：EE′∥FF′.
证明：因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，
所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
所以四边形EBB′E′是平行四边形．
所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
所以EE′∥FF′.
利用等角定理证明两角相等
例题22.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG∽△C1DA1.
证明：如图，连接B1C.
因为G，F分别为BC，BB1的中点，
所以GF∥B1C且GF＝B1C.
又ABCD A1B1C1D1为正方体，
所以CD∥AB且CD＝AB，
A1B1∥AB且A1B1＝AB，
由基本事实4知CD∥A1B1且CD＝A1B1，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，
所以A1D∥B1C且A1D＝B1C.又B1C∥FG，
由基本事实4知A1D∥FG.
同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG的两边分别对应平行且均为锐角，
所以∠DA1C1＝∠EGF，
∠A1DC1＝∠EFG.
所以△EFG∽△C1DA1.
线面平行判定定理的理解
例题23.如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　　 B．b∥α
C．b α D．b∥α或b α
【解析】由a∥b，且a∥α，知b∥α或b α.
【答案】　D
直线与平面平行的判定
例题24.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
证明：连接BC1，
则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.
又AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.
又EF 平面AD1G，AD1 平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.
直线与平面平行性质的应用
例题25.如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．
求证：截面MNPQ是平行四边形．
证明：因为AB∥平面MNPQ，
平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB 平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.
同理可得PQ∥AB.由基本事实4可得MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面四边形MNPQ为平行四边形．
线与面平行的判定与性质的综合
例题26.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
【解析】直线l∥平面PAC，证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，
所以EF∥AC.
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，
所以EF∥l.
因为l 平面PAC，EF 平面PAC，
所以l∥平面PAC.
平面与平面平行的判定
例题27.如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O.
求证：平面AGO∥平面D1EF.
证明：设EF∩BD＝H，连接D1H，在△DD1H中，
因为＝＝，
所以GO∥D1H，
又GO 平面D1EF，D1H 平面D1EF，
所以GO∥平面D1EF.
在△BAO中，因为BE＝EA，BH＝HO，所以EH∥AO，
又AO 平面D1EF，EH 平面D1EF，
所以AO∥平面D1EF，
又GO∩AO＝O，AO 平面AGO，GO 平面AGO，所以平面AGO∥平面D1EF.
平面与平面平行的判定与性质的综合
例题28.如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P 平面ABCD.
求证：平面PAB∥平面EFG.
证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，∴EF∥AB.
又EF 平面PAB，∴EF∥平面PAB.
同理可证EG∥平面PAB.
又∵EF∩EG＝E，
∴平面PAB∥平面EFG.
面面平行性质的应用
例题29.如图，已知平面α∥β，P α且P β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
【解析】因为AC∩BD＝P，
所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，
因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.
所以＝，即＝.
所以BD＝.
利用面面平行的性质判断位置关系
例题30.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B，B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.
求证：AC∥FG.
证明：连接A1C1，∵AC∥A1C1，A1C1 平面A1EC1，AC 平面A1EC1，
∴AC∥平面A1EC1.
又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，
∴AC∥FG.
线线、线面、面面平行的转化
例题31.如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2BC，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点．
求证：直线EE1∥平面FCC1.
证明：因为F为AB的中点，所以AB＝2AF
又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，
因为AB∥CD所以CD∥AF，
所以AFCD为平行四边形，
所以FC∥AD，又FC 平面ADD1A1，
AD 平面ADD1A1
所以FC∥平面ADD1A1
因为CC1∥DD1，CC1 平面ADD1A1，
DD1 平面ADD1A1
所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1 平面ADD1A1，
所以EE1∥平面FCC1.
求异面直线所成的角
例题32.如图，三棱锥A BCD中，AC⊥BD，E在棱AB上，F在棱CD上，并使AE∶EB＝CF∶FD＝m(m＞0)，设α为异面直线EF和AC所成的角，β为异面直线EF和BD所成的角，试求α＋β的值．
【解析】过点F作MF∥BD，交BC于点M，连接ME，
则CM∶MB＝CF∶FD＝m，
又因为AE∶EB＝CF∶FD＝m，
所以CM∶MB＝AE∶EB，
所以EM∥AC，
所以α＝∠MEF，β＝∠MFE，
AC与BD所成的角为∠EMF，
因为AC⊥BD，∴∠EMF＝90°，
所以α＋β＝90°.
　证明直线与直线垂直问题
例题33如图，已知在长方体ABCD A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点．
求证：CD1⊥EF.
证明：取CD1的中点G，连接EG，DG.
因为E是BD1的中点，所以EG∥BC，EG＝BC.
因为F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
所以DF∥BC，DF＝BC.
所以EG∥DF，EG＝DF.
所以四边形EFDG是平行四边形，所以EF∥DG，
又A1A＝AB，所以四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，
所以DG⊥CD1，所以CD1⊥EF.
　对线面垂直定义及判断定理的理解
例题34.下列命题中，正确的序号是________．
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
【答案】　④⑤
【解析】当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．
线面垂直判定定理的应用
例题35.如图所示，直角△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC.
证明：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，
∴SD⊥AC.
如图，连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，∴∠ADS＝∠BDS，
∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
求直线与平面所成的角
例题36.三棱锥S ABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值．
【解析】如图，过S作SO⊥平面ABC于点O，连接AO，BO，CO.则SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO.
∵SA＝SB＝SC＝a，∴△SOA≌△SOB≌△SOC，
∴AO＝BO＝CO，∴O为△ABC的外心．
∵△ABC为正三角形，∴O为△ABC的中心．
∵SO⊥平面ABC，
∴∠SAO即为SA与平面ABC所成的角．
在Rt△SAO中，SA＝a，AO＝×a＝a，
∴cos∠SAO＝＝，
∴SA与底面ABC所成角的余弦值为.
直线与平面垂直性质的应用
例题37.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：MN∥AD1.
证明：因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
线与面垂直的判定与性质的综合
例题38.如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.
求证：AE⊥SB.
证明：因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因为AE 平面SAB，所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.
而SB 平面SBC，所以AE⊥SB.
二面角大小的计算
例题39.如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A PD C平面角的度数；
(2)求二面角B PA C平面角的度数．
【解析】(1)∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形，
∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD.又CD 平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A PD C平面角的度数为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B PA C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B PA C平面角的度数为45°.
面面垂直的判定
例题40.如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC.
证明：法一：(利用定义证明)
因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A BC S的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝a，BD＝＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A BC S为直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
法二：(利用判定定理)
因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
利用面面垂直的性质定理证明垂直
例题41.如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．△PAD为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD.若G为AD边的中点．
求证：平面PBG⊥平面PAD.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形．
∵G为AD边的中点，∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，BG 平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
∵BG 平面PBG，
∴平面PBG⊥平面PAD.
线线、线面、面面垂直的综合
例题42.如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点.
求证：(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
证明：(1)∵AD∥BC，BC 平面PBC，AD 平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，
∴AD∥MN.
又∵BC∥AD，∴MN∥BC.
又∵N是PB的中点，∴点M为PC的中点．
∴MN∥BC且MN＝BC，
又∵E为AD的中点，∴MN∥DE且MN＝DE.
∴四边形DENM为平行四边形．
∴EN∥DM，且DM 平面PDC.
∴EN∥平面PDC.
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，
且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.
又∵侧面PAD是正三角形，且E为中点，
∴PE⊥AD，又∵PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PBE.
又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥平面PBE，
又PB 平面PBE，
∴AD⊥PB.
又∵PA＝AB，N为PB的中点，∴AN⊥PB.
且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB 平面PBC.
∴平面PBC⊥平面ADMN.

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