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第1讲　交变电流的产生和描述
一、正弦交流电(选二第三章第1节)
1.交变电流:大小和方向随时间做周期性变化的电流,简称交流(AC)。
交 流 电
直 流 电
2.正弦式交变电流
(1)条件
在匀强磁场里,线圈绕垂直磁场方向的轴匀速转动,如图所示。
(2)过程
线圈转动一周,两次经过中性面,电流方向改变两次
(3)特点(两个特殊位置)
图示
概念 中性面位置 与中性面垂直的位置
特点 B⊥S B∥S
Φ=BS,最大 Φ=0,最小
e=n=0,最小 e=n=nBSω,最大
感应电流为零, 方向改变 感应电流最大, 方向不变
(4)变化规律
从中性面位置开始计时 e=Emsinωt i=Imsinωt u=Umsinωt
从与中性面垂直的位置开始计时 e=Emcos ωt i=Imcosωt u=Umcos ωt
(5)表达式的推导
二、描述交变电流的物理量(选二第三章第2节)
物理量 定义 备注
周 期 交变电流完成一次周期性变化所需的时间 用T表示,单位是秒(s),表达式T=
频 率 交变电流完成周期性变化的次数与所用时间之比 用f表示,单位是赫兹(Hz),表达式f=
峰 值 交变电流的电压、电流所能达到的最大数值,也叫最大值 Em、Um、Im分别为电动势、电压和电流的最大值
瞬 时 值 交变电流某一时刻的值,是时间的函数 e、u、i分别为电动势、电压和电流的瞬时值
有 效 值 让交变电流与恒定电流分别通过大小相同的电阻,如果它们在交变电流的一个周期内产生的热量相等,则这个恒定电流的电流I、电压U,叫作这个交变电流的有效值 正弦交流电最大值与有效值的关系: E= U= I=
平 均 值 一段时间内电流、电压的平均大小 =n,=
【警示】
(1)我国民用照明电压220 V和动力电压380 V都是指有效值。
(2)若无特别说明,通常所说的交变电流的电压、电流、电动势都是指有效值。
【质疑辨析】
角度1 交变电流的产生
(1)矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴转动时,一定会产生正弦式交变电流。 (　×　)
(2)矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动时,从任意位置开始计时,电动势表达式均为:e=Emsin ωt。 (　×　)
(3)矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动经过中性面时,线圈中的感应电动势为零,电流方向发生改变。 (　√　)
角度2 交变电流的描述
(4)交变电流的有效值总是峰值除以。 (　×　)
(5)可以用有效值计算通过电路截面的电荷量。 (　×　)
(6)交流电路中电压表、电流表的示数是有效值。 (　√　)
精研考点·提升关键能力
考点一　正弦式交变电流的产生及变化规律　(核心共研)
【核心要点】
1.产生
线圈所在位置 特点
起始位置 ①B⊥S,Φ最大
②B∥v,没有边切割磁感线,E=0,I=0
左转90° ①B∥S,Φ=0
②AB、CD边切割磁感线,E最大,I最大
③感应电流方向DCBA
左转180° ①B⊥S,Φ最大
②B∥v,没有边切割磁感线,E=0,I=0
左转270° ①B∥S,Φ=0
②AB、CD边切割磁感线,E最大,I最大
③感应电流方向ABCD
2.变化规律(线圈在中性面位置开始计时)
物理量 函数表达式 图像
磁通量 Φ=Φmcosωt =BScosωt
电动势 e=Emsin ωt =nBSωsinωt
电压 u=Umsinωt =sinωt
电流 i=Imsinωt =sinωt
【典例剖析】
角度1 交变电流的产生
[典例1](2023·广州模拟)交流发电机的示意图如图所示,当线圈ABCD绕垂直于磁场方向的转轴OO'匀速转动时,下列说法正确的是 (　　)
A.图示位置磁通量最大,磁通量的变化率最大
B.图示位置电流最大,方向为A→B
C.从图示位置开始转过90°时,电流方向将发生改变
D.从图示位置开始转过90°时,电动势达到最大值
角度2 交变电流的函数表达式
[典例2]如图所示,交变电流发电机的矩形线框ab=dc=0.40 m,bc=ad=0.20 m,共有50匝线圈,其电阻r=1.0 Ω,在磁感应强度B=0.20 T的匀强磁场中,绕垂直于磁场方向的对称轴OO'以 r/s的转速匀速转动,向R=9.0 Ω的电阻器供电,求:
(1)发电机产生的电动势的最大值;
(2)从线框处于中性面时开始计时,写出闭合电路中电流随时间变化的函数表达式。
【备选例题】
　　如图所示,某小型发电机的N、S磁极之间的磁场可看作匀强磁场,磁场的磁感应强度大小B= T,边长L=0.2 m的正方形线圈绕与磁场垂直的轴OO'匀速转动,线圈的两侧经集流管和电刷与阻值为3 Ω的电阻相连。与R并联的交流电压表为理想电表,其示数U=6 V。已知正方形线圈的匝数N=20匝,电阻为r=1.0 Ω,则从图示位置开始计时,电动势的瞬时值表达式为 (　　)
A.e=8sin10πt(V)　 B.e=8cos10πt(V)
C.e=8sin5πt(V) D.e=8cos5πt(V)
角度3 交变电流的图像
[典例3](2022·海南等级考)如图,矩形导线框在匀强磁场中绕垂直于磁轴OO'以角速度ω匀速转动。线框面积为S,匝数为n,磁感应强度大小为B,t=0时线框平面与磁场方向平行。下列四幅图中能正确表示线框上产生的感应电动势e随时间t变化关系的是 (　　)
【备选例题】
　　如图a所示,一矩形线圈abcd放置在匀强磁场中,并绕过ab、cd中点的轴O O'以角速度ω逆时针匀速转动。若以线圈平面与磁场夹角θ=45°时(如图b)为计时起点,并规定当电流自a流向b时电流方向为正。则下列四幅图中正确的是
(　　)
考点二　交变电流有效值的求解　(核心共研)
【核心要点】
1.三法求解交变电流的有效值
公式法 利用E=、U=、I=计算,只适用于正(余)弦式交变电流
定义法 对于非正弦式电流计算有效值时要根据电流的热效应,抓住“三同”,即“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量” (1)分段计算:分段计算电热求和得出一个周期内产生的总热量; (2)常用公式:根据实际情况选用 Q=I2Rt和Q=t求得电流有效值和电压有效值
能量守 恒法 当有电能和其他形式的能转化时,可利用能的转化和守恒定律来求有效值
2.四种非常规图像的有效值
电流名称 电流图线 有效值
正弦半波电流 ()2R+0=I2RT 解得有效值I=
正弦单向脉冲电流 2×()2R=I2RT 解得有效值I=
矩形脉冲电流 R+0=I2RT 解得有效值I=
非对称性交变电流 R+R=I2RT 解得有效值 I=
【典例剖析】
角度1 图像类
[典例4](2023·唐山模拟)若甲、乙图中的U0、T所表示的电压、周期值是相同的,一定值电阻接到如图甲所示的正弦交流电源上,消耗的电功率为P1;若该电阻接到如图乙所示的方波交流电源上,消耗的电功率为P2。两个完全相同的电热器,分别通以如图丙、丁所示的交变电流(丙图曲线为正弦曲线的一部分),在一段相同且较长时间内,它们的发热量之比为4∶1,电流的峰值之比为I1∶I2。则 (　　)
A.P1∶P2=1∶5　　I1∶I2=4∶1
B.P1∶P2=1∶5　　I1∶I2=9∶2
C.P1∶P2=3∶17　 I1∶I2=9∶2
D.P1∶P2=3∶17　 I1∶I2=4∶1
角度2 线圈转动类
[典例5](多选)(2023·湖南选择考)某同学自制了一个手摇交流发电机,如图所示。大轮与小轮通过皮带传动(皮带不打滑),半径之比为4∶1,小轮与线圈固定在同一转轴上。线圈是由漆包线绕制而成的边长为L的正方形,共n匝,总阻值为R。磁体间磁场可视为磁感应强度大小为B的匀强磁场。 大轮以角速度ω匀速转动,带动小轮及线圈绕转轴转动,转轴与磁场方向垂直。线圈通过导线、滑环和电刷连接一个阻值恒为R的灯泡。假设发电时灯泡能发光且工作在额定电压以内,下列说法正确的是 (　　)
A.线圈转动的角速度为4ω
B.灯泡两端电压有效值为3nBL2ω
C.若用总长为原来两倍的相同漆包线重新绕制成边长仍为L的多匝正方形线圈,则灯泡两端电压有效值为
D.若仅将小轮半径变为原来的两倍,则灯泡变得更亮
【备选例题】
(多选) (2023·石家庄模拟)如图所示,直角坐标系xOy的第一、三象限有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,有一电阻为R、半径为L、圆心角为60°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴以角速度ω匀速转动(O轴位于坐标原点)。则下列说法正确的是 (　　)
A.产生的交变电流的周期T=
B.产生的交变电流的周期T=
C.导线框内产生的感应电流的有效值为
D.导线框内产生的感应电流的有效值为
考点三　交变电流“四值”的理解和计算　(核心共研)
【核心要点】
项目 重要关系 适用情况
瞬时值 e=Emsinωt i=Imsinωt 计算某时刻电流、电压
最大值 Em=nBSω Im= 讨论电容器的击穿电压
有效值 对正弦交变电流 有E= U= I= (1)计算与电流热效应相关的量(如功率、热量) (2)交流电表的测量值 (3)电气设备铭牌上的额定电压、额定电流 (4)保险丝的熔断电流
平均值 =n = 计算通过电路横截面的电荷量
【典例剖析】
角度1 有效值的应用
[典例6](2023·通州区模拟)如图甲为交流发电机的原理图,矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO'匀速转动。线圈的电阻为5.0 Ω,线圈与外电路连接的定值电阻为95.0 Ω,电压表为理想交流电表①。线圈产生的电动势随时间变化的正弦规律图像如图乙所示②。下列说法正确的是 (　　)
A.交流电的频率为100 Hz
B.电压表的读数为220 V
C.t=1.0×10-2 s时,线圈平面与磁场平面平行
D.发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为24.2 J③
【备选例题】
　　(多选)(2023·常德模拟)为发展新能源,某科研小组制作了一个小型波浪发电机,磁铁固定在水中,S极上套有一个浮筒,浮筒上绕有线圈,其截面示意图如图甲所示。浮筒可随波浪上下往复运动切割磁感线而产生感应电动势,线圈中产生的感应电动势随时间按正弦规律变化,如图乙所示。线圈电阻r=2 Ω,把线圈与阻值R=8 Ω的小灯泡串联,小灯泡恰好正常发光。下列说法正确的是 (　　)
A.小灯泡的额定电压为3 V
B.线圈中电流的有效值为0.5 A
C.发电机的输出功率为1.28 W
D.一个周期内线圈产生的焦耳热为0.128 J
角度2 最大值、平均值的应用
[典例7](多选) (2023·西安模拟)如图所示,面积为S、电阻为R的单匝矩形闭合导线框abcd处于磁感应强度为B的垂直纸面向里的匀强磁场中(cd边右侧没有磁场)。若线框从图示位置开始绕与cd边重合的竖直固定轴以角速度ω开始匀速转动,则线框旋转一周的过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.线框中感应电动势的最大值为
B.线框中感应电动势的有效值为
C.线框中感应电流的有效值为
D.从图示位置开始转过的过程中,通过导线某横截面的电荷量为
考点　正弦式交变电流产生的其他方式　(核心共研)
【核心要点】
导体棒在匀强磁场中平动 导体棒在匀强磁场中匀速平动,但导体棒切割磁感线的有效长度按正弦规律变化,则导体棒组成的闭合电路中产生正弦式交变电流
导体棒在匀强磁场中平动 导体棒在匀强磁场中沿平行导轨平动切割磁感线时,棒的速度按正弦规律变化,则棒中产生正弦式交变电流
导体棒在不均匀磁场中平动 导体棒在磁场中匀速平动切割磁感线,在棒的平动方向上,磁场按照正弦规律变化,则棒中产生正弦式交变电流
线圈处于周期性变化的磁场中 闭合线圈垂直于匀强磁场,线圈静止不动,磁场按正弦规律做周期性变化,则线圈中产生正弦式交变电流
【典例剖析】
角度1 导体棒有效长度按正弦规律变化
[典例1]如图,在光滑绝缘水平面上MN右侧有垂直纸面向里的匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B,金属线框ACD放在水平面上,其中ADC部分对照正弦图像弯制而成,形状为完整正弦图像的一半,D点离AC边的距离最远,DE长为d。现使线框以速度v0匀速进入磁场,线框运动过程中AC边始终与MN垂直,若线框的电阻为R,则线框进入磁场的过程中,图中理想电流表的示数为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
[典例2](多选)(2023·柳州模拟)如图所示,一个x轴与曲线方程y=0.2sin(x)(m)所围成的空间中存在着匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里,磁感应强度B=0.2 T。正方形金属线框的边长L=0.40 m,其电阻R=0.1 Ω,它的下边与x轴重合,右边位于x=0处,在拉力F的作用下,线框以v=10 m/s的速度从x=0处开始沿x轴正方向匀速运动。不计一切阻力,则 (　　)
A.线框中感应电流的方向始终为逆时针方向
B.线框位移为0.55 m时,拉力的功率为1.6 W
C.把线框全部拉出磁场的过程,线框产生的焦耳热为0.036 J
D.把线框全部拉出磁场的过程,拉力做功为0.048 J
角度2 导体棒的速度按正弦规律变化
[典例3](2023·盐城模拟)如图甲所示,足够长的光滑平行导轨固定在水平面内,处于磁感应强度为B0、方向竖直向上的匀强磁场中,导轨间距为L,一端连接一定值电阻R。质量为m、长度为L、电阻为R的金属棒垂直导轨放置,与导轨始终接触良好。在金属棒的中点对棒施加一个平行于导轨的拉力①,棒运动的速度v随时间t的变化规律如图乙所示的正弦曲线②。已知在0~的过程中,通过定值电阻的电荷量为q③;然后在t=T时撤去拉力。其中v0已知, T 未知, 不计导轨的电阻。求:
(1)电阻R上的最大电压U;
(2)在0~T的过程中,拉力所做的功W④;
(3)撤去拉力后,金属棒的速度v随位置x变化的变化率k(取撤去拉力时棒的位置为x=0)。
[典例4](多选)(2023·宁德模拟)如图甲所示,电阻不计的光滑矩形金属框ABCD固定于水平地面上,其中AD、BC两边足够长,AB、CD两边长为1.0 m,都接有
R=0.2 Ω的电阻,空间存在竖直向下的匀强磁场,磁感应强度B=1 T。一质量
m=1.0 kg、阻值r=0.1 Ω、长l=1.0 m的导体棒ab放置在金属框上。t=0时刻,在水平外力F作用下从x=-0.2 m位置由静止开始做简谐运动,简谐运动的回复力系数k=100 N/m,平衡位置在坐标原点O处。导体棒ab的速度随时间变化的图像是图乙所示的正弦曲线。则 (　　)
A.导体棒在x=0位置的水平外力为F=10 N
B.导体棒在x=0.1 m位置的动能为Ek=1.5 J
C.0至0.05π s时间内通过导体棒ab的电量为q=2 C
D.0至0.05π s时间内导体棒ab产生的焦耳热为Q=0.25 J
角度3 导体棒在不均匀磁场中平动
[典例5](2023·聊城模拟)如图所示,坐标系xOy的第一、四象限的两块区域内分别存在垂直纸面向里、向外的匀强磁场,磁感应强度的大小均为1.0 T,两块区域曲线边界的曲线方程为y=0.5sin2πx(m)(0A.0.5 J　　　　　　 B.0.75 J
C.1.0 J D.1.5 J
角度4 线圈处于周期性变化的磁场中
[典例6](多选)(2023·沧州模拟)半径为r的圆形导体框与小灯泡组成如图甲所示的回路,框内存在匀强磁场,磁感应强度随时间按正弦规律变化,如图乙所示(规定垂直纸面向里为磁场的正方向)。圆形导体框电阻为R1,小灯泡电阻为R2,其他电阻不计,磁感应强度最大值为B0,变化周期为T,电压表为理想电压表,下列说法正确的是 (　　)
A.导体框上感应电动势的最大值为
B.电压表的示数为
C.在~内流过小灯泡电流的方向为N→L→M,通过小灯泡的电荷量q=
D.一个周期内回路中产生的热量为
答案及解析
考点一　正弦式交变电流的产生及变化规律
【典例剖析】
角度1 交变电流的产生
[典例1](2023·广州模拟)交流发电机的示意图如图所示,当线圈ABCD绕垂直于磁场方向的转轴OO'匀速转动时,下列说法正确的是 (　　)
A.图示位置磁通量最大,磁通量的变化率最大
B.图示位置电流最大,方向为A→B
C.从图示位置开始转过90°时,电流方向将发生改变
D.从图示位置开始转过90°时,电动势达到最大值
角度2 交变电流的函数表达式
[典例2]如图所示,交变电流发电机的矩形线框ab=dc=0.40 m,bc=ad=0.20 m,共有50匝线圈,其电阻r=1.0 Ω,在磁感应强度B=0.20 T的匀强磁场中,绕垂直于磁场方向的对称轴OO'以 r/s的转速匀速转动,向R=9.0 Ω的电阻器供电,求:
(1)发电机产生的电动势的最大值;
答案:(1)160 V
【解析】(1)线圈面积
S=ab·ad=0.4×0.2 m2=0.08 m2
线圈旋转角速度:
ω= r/s= rad/s=200 rad/s
则发电机产生的电动势的最大值:
Em=NBωS=50×0.2×200×0.08 V=160 V
(2)从线框处于中性面时开始计时,写出闭合电路中电流随时间变化的函数表达式。
答案: (2)i=16sin200t (A)
【解析】(2)从线框处于中性面时开始计时,交变电流函数表达式应为正弦函数,瞬时电动势的表达式为e=Emsinωt=160sin200t(V)
则电流随时间变化的函数表达式:i==sin200t (A)=16sin200t(A)
【方法技巧】 书写交变电流表达式的一般步骤
【备选例题】
　　如图所示,某小型发电机的N、S磁极之间的磁场可看作匀强磁场,磁场的磁感应强度大小B= T,边长L=0.2 m的正方形线圈绕与磁场垂直的轴OO'匀速转动,线圈的两侧经集流管和电刷与阻值为3 Ω的电阻相连。与R并联的交流电压表为理想电表,其示数U=6 V。已知正方形线圈的匝数N=20匝,电阻为r=1.0 Ω,则从图示位置开始计时,电动势的瞬时值表达式为 (　　)
A.e=8sin10πt(V)　 B.e=8cos10πt(V)
C.e=8sin5πt(V) D.e=8cos5πt(V)
【解析】选B。由闭合电路欧姆定律E=U+r,解得E=8 V,所以Em=8 V,又因为Em=NBSω,可得线圈转动的角速度为ω== rad/s=10π rad/s,从图示位置开始计时,电动势的瞬时值表达式为e=Emcosωt=8cos10πt(V),选项B正确,A、C、D错误。
角度3 交变电流的图像
[典例3](2022·海南等级考)如图,矩形导线框在匀强磁场中绕垂直于磁轴OO'以角速度ω匀速转动。线框面积为S,匝数为n,磁感应强度大小为B,t=0时线框平面与磁场方向平行。下列四幅图中能正确表示线框上产生的感应电动势e随时间t变化关系的是 (　　)
【解析】选B。t=0时刻线框与中性面垂直,此时感应电动势最大,最大值为Emax=nBSω,图像应为余弦函数,选项B正确。
【备选例题】
　　如图a所示,一矩形线圈abcd放置在匀强磁场中,并绕过ab、cd中点的轴O O'以角速度ω逆时针匀速转动。若以线圈平面与磁场夹角θ=45°时(如图b)为计时起点,并规定当电流自a流向b时电流方向为正。则下列四幅图中正确的是
(　　)
【解析】选D。从a图可看出线圈从垂直于中性面开始旋转,函数图像应是余弦函数。由楞次定律可判断,初始时刻电流方向为b到a,若以线圈平面与磁场夹角θ=45°时为计时起点,瞬时电流的表达式i=-Imcos(ωt+),则图像为D图像所描述,选项D正确。
考点二　交变电流有效值的求解
【典例剖析】
角度1 图像类
[典例4](2023·唐山模拟)若甲、乙图中的U0、T所表示的电压、周期值是相同的,一定值电阻接到如图甲所示的正弦交流电源上,消耗的电功率为P1;若该电阻接到如图乙所示的方波交流电源上,消耗的电功率为P2。两个完全相同的电热器,分别通以如图丙、丁所示的交变电流(丙图曲线为正弦曲线的一部分),在一段相同且较长时间内,它们的发热量之比为4∶1,电流的峰值之比为I1∶I2。则 (　　)
A.P1∶P2=1∶5　　I1∶I2=4∶1
B.P1∶P2=1∶5　　I1∶I2=9∶2
C.P1∶P2=3∶17　 I1∶I2=9∶2
D.P1∶P2=3∶17　 I1∶I2=4∶1
【解析】选A。甲图所示交流电的电压有效值为U甲=,乙图所示电压的有效值为T=·+·,解得U乙=U0,又P1=,P2=,则有P1∶P2=1∶5。丙图所示交流电的有效值为RT=()2R·,解得I丙=,丁图所示交流电的有效值为I丁=I2,又因为在一段相同且较长时间内发热量之比为4∶1,由焦耳定律可得Q=I2Rt,即I丙∶I丁=2∶1,由此可得I1∶I2=4∶1,选项A正确。
【方法技巧】 “三步”法求有效值
角度2 线圈转动类
[典例5](多选)(2023·湖南选择考)某同学自制了一个手摇交流发电机,如图所示。大轮与小轮通过皮带传动(皮带不打滑),半径之比为4∶1,小轮与线圈固定在同一转轴上。线圈是由漆包线绕制而成的边长为L的正方形,共n匝,总阻值为R。磁体间磁场可视为磁感应强度大小为B的匀强磁场。 大轮以角速度ω匀速转动,带动小轮及线圈绕转轴转动,转轴与磁场方向垂直。线圈通过导线、滑环和电刷连接一个阻值恒为R的灯泡。假设发电时灯泡能发光且工作在额定电压以内,下列说法正确的是 (　　)
A.线圈转动的角速度为4ω
B.灯泡两端电压有效值为3nBL2ω
C.若用总长为原来两倍的相同漆包线重新绕制成边长仍为L的多匝正方形线圈,则灯泡两端电压有效值为
D.若仅将小轮半径变为原来的两倍,则灯泡变得更亮
【题眼破译】
【解析】选A、C。皮带传动线速度相等,同轴转动角速度相等,根据v=ωr,大轮与小轮半径之比为4∶1,则小轮转动的角速度为4ω,线圈转动的角速度为4ω,A正确;线圈产生感应电动势的最大值Emax=nBS·4ω,又S=L2,联立可得Emax=4nBL2ω,感应电动势的有效值E==2nBL2ω,根据串联电路分压原理可知灯泡两端电压有效值为U==nBL2ω,B错误;若用总长为原来两倍的相同漆包线重新绕制成边长仍为L的多匝正方形线圈,则线圈的匝数变为原来的2倍,线圈产生感应电动势的最大值E'max=8nBL2ω,此时线圈产生感应电动势的有效值E'==4nBL2ω,根据电阻定律R=ρ,可知线圈电阻变为原来的2倍,即为2R,根据串联电路分压原理可得灯泡两端电压有效值U'==,C正确;若仅将小轮半径变为原来的两倍,根据v=ωr可知小轮和线圈的角速度变小,根据E=,可知线圈产生的感应电动势有效值变小,则灯泡变暗,D错误。
【备选例题】
(多选) (2023·石家庄模拟)如图所示,直角坐标系xOy的第一、三象限有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,有一电阻为R、半径为L、圆心角为60°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴以角速度ω匀速转动(O轴位于坐标原点)。则下列说法正确的是 (　　)
A.产生的交变电流的周期T=
B.产生的交变电流的周期T=
C.导线框内产生的感应电流的有效值为
D.导线框内产生的感应电流的有效值为
【解析】选B、C。线框一条半径切割磁感线产生的感应电动势E=BL2ω,线框逆时针转动,以OQ与x轴负半轴重合时为计时起点,因导线框匀速转动,故0~时间内,导线框中的感应电流I0==;~时间内,导线框中的感应电流为0;以逆时针方向为正方向,画出I-t图像如图所示,
由图可知,感应电流周期等于旋转周期的一半,即T=,选项A错误,B正确;交流电周期为T,根据上述可知,导线框转动一周只有T的时间内有感应电流,则有()2R=I2RT,解得感应电流的有效值为I=,选项C正确,D错误。
考点三　交变电流“四值”的理解和计算
【典例剖析】
角度1 有效值的应用
[典例6](2023·通州区模拟)如图甲为交流发电机的原理图,矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO'匀速转动。线圈的电阻为5.0 Ω,线圈与外电路连接的定值电阻为95.0 Ω,电压表为理想交流电表①。线圈产生的电动势随时间变化的正弦规律图像如图乙所示②。下列说法正确的是 (　　)
A.交流电的频率为100 Hz
B.电压表的读数为220 V
C.t=1.0×10-2 s时,线圈平面与磁场平面平行
D.发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为24.2 J③
【题眼破译】——提升信息转化能力
信息①→交流电表的读数是有效值。
信息②→
信息③→求产生的热量要用交流电的有效值。
【解析】选D。由题图乙知,交流电的频率为f===50 Hz,选项A错误;电压表的读数为U=·=(×) V=209 V,选项B错误;t=1.0×10-2 s时,电压瞬时值为零,磁通量最大,线圈平面与磁场平面垂直,选项C错误;发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为Q=t=×1 J=24.2 J,选项D正确。
【备选例题】
　　(多选)(2023·常德模拟)为发展新能源,某科研小组制作了一个小型波浪发电机,磁铁固定在水中,S极上套有一个浮筒,浮筒上绕有线圈,其截面示意图如图甲所示。浮筒可随波浪上下往复运动切割磁感线而产生感应电动势,线圈中产生的感应电动势随时间按正弦规律变化,如图乙所示。线圈电阻r=2 Ω,把线圈与阻值R=8 Ω的小灯泡串联,小灯泡恰好正常发光。下列说法正确的是 (　　)
A.小灯泡的额定电压为3 V
B.线圈中电流的有效值为0.5 A
C.发电机的输出功率为1.28 W
D.一个周期内线圈产生的焦耳热为0.128 J
【解析】选C、D。由乙图可知,感应电动势有效值为4 V,此时小灯泡正好正常发光,则由串联分压可得U额==3.2 V,选项A错误;线圈中电流有效值为I=I额==0.4 A,选项B错误;发电机输出功率为P出=U额I额=1.28 W,选项C正确;由乙图可得周期为0.4 s,一个周期内线圈产生的焦耳热为Q=I2rT=0.128 J,选项D正确。
角度2 最大值、平均值的应用
[典例7](多选) (2023·西安模拟)如图所示,面积为S、电阻为R的单匝矩形闭合导线框abcd处于磁感应强度为B的垂直纸面向里的匀强磁场中(cd边右侧没有磁场)。若线框从图示位置开始绕与cd边重合的竖直固定轴以角速度ω开始匀速转动,则线框旋转一周的过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.线框中感应电动势的最大值为
B.线框中感应电动势的有效值为
C.线框中感应电流的有效值为
D.从图示位置开始转过的过程中,通过导线某横截面的电荷量为
【解析】选B、D。根据题意可知,线框中感应电动势的最大值为Em=BSω,选项A错误;设电动势的有效值为U,由电流的热效应有·=·T,解得U==,线框中感应电流的有效值为I=,选项C错误,B正确;线框转过后,此时线框的有效面积为S有=Scos=S,根据=、=和q=·Δt可得q==,选项D正确。
考点　正弦式交变电流产生的其他方式
【典例剖析】
角度1 导体棒有效长度按正弦规律变化
[典例1]如图,在光滑绝缘水平面上MN右侧有垂直纸面向里的匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B,金属线框ACD放在水平面上,其中ADC部分对照正弦图像弯制而成,形状为完整正弦图像的一半,D点离AC边的距离最远,DE长为d。现使线框以速度v0匀速进入磁场,线框运动过程中AC边始终与MN垂直,若线框的电阻为R,则线框进入磁场的过程中,图中理想电流表的示数为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
【解析】选C。在线框进入磁场的过程中,切割磁感线的有效长度按正弦规律变化,因此产生的是正弦交流电,电动势最大值Em=Bdv0,电动势有效值E=Bdv0,电流表的示数为I==,选项C正确。
[典例2](多选)(2023·柳州模拟)如图所示,一个x轴与曲线方程y=0.2sin(x)(m)所围成的空间中存在着匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里,磁感应强度B=0.2 T。正方形金属线框的边长L=0.40 m,其电阻R=0.1 Ω,它的下边与x轴重合,右边位于x=0处,在拉力F的作用下,线框以v=10 m/s的速度从x=0处开始沿x轴正方向匀速运动。不计一切阻力,则 (　　)
A.线框中感应电流的方向始终为逆时针方向
B.线框位移为0.55 m时,拉力的功率为1.6 W
C.把线框全部拉出磁场的过程,线框产生的焦耳热为0.036 J
D.把线框全部拉出磁场的过程,拉力做功为0.048 J
【解析】选B、D。线框进入磁场区域过程,通过线框磁通量增加,根据楞次定律可知,感应电流为逆时针方向;线框离开磁场区域过程,通过线框磁通量减少,根据楞次定律可知,感应电流为顺时针方向,选项A错误;线框位移为0.55 m时,线框切割磁感线的有效长度为L'=y=0.2sin[×(0.55-0.4)](m)=0.2 m,产生的电动势为E=BL'v=0.2×0.2×10 V=0.4 V,感应电流为I== A=4 A,此时拉力为F=F安=BIL'=0.2×4×0.2 N=0.16 N,拉力的功率为P=Fv=0.16×10 W=1.6 W,选项B正确;线框产生的最大电动势为Em=BL'v=0.2×0.2×10 V=0.4 V,最大感应电流为Im== A=4 A,则电流有效值为I'==2 A,把线框全部拉出磁场的过程中,线框产生的焦耳热为Q=I'2Rt=(2)2×0.1× J=0.048 J,根据功能关系可知,把线框全部拉出磁场的过程,拉力做功为WF=Q=0.048 J,选项C错误,D正确。
角度2 导体棒的速度按正弦规律变化
[典例3](2023·盐城模拟)如图甲所示,足够长的光滑平行导轨固定在水平面内,处于磁感应强度为B0、方向竖直向上的匀强磁场中,导轨间距为L,一端连接一定值电阻R。质量为m、长度为L、电阻为R的金属棒垂直导轨放置,与导轨始终接触良好。在金属棒的中点对棒施加一个平行于导轨的拉力①,棒运动的速度v随时间t的变化规律如图乙所示的正弦曲线②。已知在0~的过程中,通过定值电阻的电荷量为q③;然后在t=T时撤去拉力。其中v0已知, T 未知, 不计导轨的电阻。求:
(1)电阻R上的最大电压U;
答案:(1)　
【解析】(1)当金属棒的速度最大时,棒中的感应电动势为Em=B0Lv0
回路中的电流I=
电阻上的电压为U=IR=
(2)在0~T的过程中,拉力所做的功W④;
答案: (2)m+B0Lv0q
【解析】(2)由于感应电动势为e=B0Lv0sin()t
类比于单匝线圈在磁场中转动产生的电动势,则0~的过程中,通过定值电阻的电量与线圈从中性面转过90°通过定值电阻的电量相同
B0Lv0=Φ·,q=
则有q=
电动势的有效值为E=
在0~时间内,产生的焦耳热为Q=·T
根据功能关系,有W=Q+m
解得W=m+B0Lv0q
(3)撤去拉力后,金属棒的速度v随位置x变化的变化率k(取撤去拉力时棒的位置为x=0)。
答案: (3)-
【解析】(3)撤去拉力时,对导体棒根据动量定理有
-B0LΔt=mv-mv0
感应电流的平均值为=
由于x= t
解得v=v0-,可知k=-
【题眼破译】——提升信息转化能力
信息①→导体棒切割磁感线产生感应电流。
信息②→产生的感应电流是交流电。
信息③→感应电荷量要用交流电的平均值。
信息④→利用功能关系求拉力做的功。
[典例4](多选)(2023·宁德模拟)如图甲所示,电阻不计的光滑矩形金属框ABCD固定于水平地面上,其中AD、BC两边足够长,AB、CD两边长为1.0 m,都接有
R=0.2 Ω的电阻,空间存在竖直向下的匀强磁场,磁感应强度B=1 T。一质量
m=1.0 kg、阻值r=0.1 Ω、长l=1.0 m的导体棒ab放置在金属框上。t=0时刻,在水平外力F作用下从x=-0.2 m位置由静止开始做简谐运动,简谐运动的回复力系数k=100 N/m,平衡位置在坐标原点O处。导体棒ab的速度随时间变化的图像是图乙所示的正弦曲线。则 (　　)
A.导体棒在x=0位置的水平外力为F=10 N
B.导体棒在x=0.1 m位置的动能为Ek=1.5 J
C.0至0.05π s时间内通过导体棒ab的电量为q=2 C
D.0至0.05π s时间内导体棒ab产生的焦耳热为Q=0.25 J
【解析】选A、B。由题意可知,平衡位置在坐标原点O处,由图乙可知,导体棒在平衡位置速度最大,为2.0 m/s,由电磁感应定律可得,导体棒产生的感应电动势为E=Blv=1×1.0×2.0 V=2.0 V,由闭合电路欧姆定律可得,电路中的电流
I== A=10.0 A,由安培力公式可得,导体棒受到的安培力大小为
F安=BIl=1×10.0×1.0 N=10 N。由平衡条件可知F=F安=10 N,选项A正确;由题图乙可知,导体棒的速度为v=2.0sint(m/s)=2.0sint(m/s)=2.0sin10t(m/s),由题意可知,导体棒的振幅为0.2 m,t=0时刻,导体棒从x=-0.2 m位置由静止开始做简谐运动,可知导体棒ab的位移x随时间变化的关系式应为x=-0.2cos10t(m),则有导体棒在x'=0.1 m位置时,可得0.1 m=-0.2cos10t(m),则有cos10t=-,10t=,解得t= s,则有t= s时,导体棒的速度为v1=2.0sin(10×) m/s= m/s,则有导体棒的动能为Ek=m=×1.0×()2 J=1.5 J,选项B正确; 导体棒产生的平均感应电动势==,由闭合电路欧姆定律可得,导体棒中的平均电流=,通过导体棒ab的电量q=Δt,在0~0.05π s时间内,导体棒的位移为0.2 m,联立解得q=1 C,选项C错误;导体棒切割磁感线产生的感应电动势
e=Blv=1×1.0×2.0sin10t(V)=2.0sin10t(V),通过导体棒的感应电流
i== A=10sin10t(A),感应电流的有效值I== A=5 A,由焦耳定律可得,0~0.05π s时间内,导体棒ab产生的焦耳热
Q=I2rt1=(5)2×0.1×0.05π J=0.25π J,选项D错误。
角度3 导体棒在不均匀磁场中平动
[典例5](2023·聊城模拟)如图所示,坐标系xOy的第一、四象限的两块区域内分别存在垂直纸面向里、向外的匀强磁场,磁感应强度的大小均为1.0 T,两块区域曲线边界的曲线方程为y=0.5sin2πx(m)(0A.0.5 J　　　　　　 B.0.75 J
C.1.0 J D.1.5 J
【解析】选D。线框匀速切割磁感线,当bc边到达x=0.75 m时,前后两边都切割磁感线,产生的感应电动势最大,感应电流最大,为Im== A=4 A,线框穿过磁场区域的过程中,形成三段以正弦规律变化的感应电流,如图所示(规定逆时针方向为正),三段感应电流的峰值分别为2 A、4 A、2 A,三段感应电流的持续时间均为0.25 s,整个过程产生的焦耳热Q=Rt1+Rt2+Rt3=2×()2×0.5×
0.25 J+()2×0.5×0.25 J=1.5 J,由于线框匀速运动,根据功能关系,可得拉力F做的功等于整个过程中线框产生的焦耳热为1.5 J,选项D正确。
角度4 线圈处于周期性变化的磁场中
[典例6](多选)(2023·沧州模拟)半径为r的圆形导体框与小灯泡组成如图甲所示的回路,框内存在匀强磁场,磁感应强度随时间按正弦规律变化,如图乙所示(规定垂直纸面向里为磁场的正方向)。圆形导体框电阻为R1,小灯泡电阻为R2,其他电阻不计,磁感应强度最大值为B0,变化周期为T,电压表为理想电压表,下列说法正确的是 (　　)
A.导体框上感应电动势的最大值为
B.电压表的示数为
C.在~内流过小灯泡电流的方向为N→L→M,通过小灯泡的电荷量q=
D.一个周期内回路中产生的热量为
【解析】选A、D。由图乙可知磁感应强度为B=B0sinωt,导体框中感应电动势为E感==B0πr2ωcosωt,ω=,感应电动势的最大值为Em=,选项A正确;电压表示数为小灯泡电压的有效值E有效=,U==,选项B错误;在~内磁场垂直纸面向外增大,感应电流产生的磁场垂直纸面向里,感应电流沿顺时针方向,故流过小灯泡电流的方向为N→L→M,通过小灯泡的电荷量为q=·Δt=Δt==,选项C错误;一个周期内回路中产生的热量应该用交流电的有效值,Q=T=,选项D正确。
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