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专题 17 解三角形（七大题型+模拟精练）
目录：
01 余弦定理、正弦定理
02 判断三角形的形状
03 解三角形与平面向量
04 解三角形几何的应用
05 取值范围、最值问题
06 解三角形的实际应用
07 解三角形解答题
01 余弦定理、正弦定理
1．（2024·浙江金华·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a，b ， c .若 a = 7 ，b = 2 ， A = 60°，则 c
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1 或 3
【答案】C
【分析】根据余弦定理直接求解即可.
b2 + c2 - a2
【解析】由余弦定理得 cos A = ,
2bc
22
2
+ c2 -
即 7 1 2= ，即 c - 2c - 3 = 0，解得 c = 3或 c = -1（舍）.
2 2c 2
故选：C.
2．（21-22 高一下·江苏连云港·期中）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a = 3， c =1，
cos A 1+ C = - ，则b =（
2 ）
A． 7 B． 13 C．3 D． 19
【答案】A
【分析】先求得 B 的余弦值，再根据余弦定理可求得 b 的值.
2 2 2
cos A + C = cos(π - B) = -cos B 1= - cos B 1 a + c - b 9 +1- b
2
【解析】 ，∴ = = = ，
2 2 2ac 6
∴b2 = 7, b = 7 .
故选：A.
3．（2022·
π
河南·模拟预测）已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为3 3， A = 3 ，
b + c = 4 3 ，则a = （ ）
A． 2 3 B．5 C．8 D． 2 2
【答案】A
【分析】由三角形的面积和A 计算出bc 的值，再根据余弦定理求出 a2 的值，即可得到答案
1
【解析】由题意可知， SVABC = bc sin A = 3 3 ，得bc =12 2
Qb + c = 4 3 ，bc =12
由余弦定理可得： a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = (b + c)2 - 2bc - 2bc cos A
整理得：a 2 = 12 ，\a = 2 3
故选：A
4．（2022·山西晋城·三模） VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A = 30°,b2 + c2 - a2 = 4 3，
则VABC 的面积为（ ）
A 1． 2 B． 3 C．1 D．2
【答案】C
1
【分析】根据余弦定理可求得bc = 4，再根据三角形的面积公式 bc sin A，即可求出结果.
2
【解析】因为 A = 30°,b2 + c2 - a2 = 4 3，
所以 2bc cos A = 3bc = 4 3，所以bc = 4，
1
所以VABC 的面积为 2 bcsin A =1.
故选：C.
5．（2023·四川南充·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，若b2 = a2 + c2 - ac，则B =（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
3 6 3 6
【答案】A
【分析】由余弦定理即可求解.
2 2 2
【解析】由b2
a + c - b ac 1
= a2 + c2 - ac得 ac = a2 + c2 - b2，所以 cos B = = = ，
2ac 2ac 2
由于B 0, π ,\b π= ,
3
故选：A
02 判断三角形的形状
6．（21-22 高二上·广西桂林·期末）VABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 c = b cos A ，则VABC 一
定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】利用余弦定理角化边整理可得.
2
c b b + c
2 - a2
【解析】由余弦定理有 = ，整理得b2 = a2 + c2 ，故VABC 一定是直角三角形.
2bc
故选：C
uuur 2 uuur 2 uuur 2
7．（2023·上海嘉定·一模）已知VABC ，那么“ AC + AB - BC < 0 ”是“ VABC 为钝角三角形”的（ ）
A．充分条件但非必要条件 B．必要条件但非充分条件
C．充要条件 D．以上皆非
【答案】A
【分析】利用余弦定理得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案.
uuur 2 uuur 2 uuur 2
【解析】 AC + AB - BC < 0，即b2 + c2 - a2 < 0，
cos A b
2 + c2 - a2
由余弦定理得： = < 0，
2bc
因为 A 0, π π ，所以 A , π ÷ ，故VABC 为钝角三角形，充分性成立，
è 2
uuur 2 uuur 2 uuur 2
VABC 为钝角三角形，若 B 为钝角，则A 为锐角，则 AC + AB - BC > 0，必要性不成立，
uuur 2 uuur 2 uuur 2
综上：“ AC + AB - BC < 0 ”是“ VABC 为钝角三角形”的充分条件但非必要条件.
故选：A
C
8．（2023·贵州·一模）在VABC 中， a,b,c 2分别为角 A, B,C 的对边，且满足b - a = 2bsin ，则VABC 的形状
2
为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据三角恒等变换得 a = bcosC ，再由余弦定理解决即可.
【解析】由题知，b - a = 2bsin2
C
，
2
b - a sin2 C 1- cosC所以 = = ，
2b 2 2
所以b - a = b - b cosC ，得 a = bcosC ，
2 2 2
所以 a = b a + b - c× ，得 a2 + c2 = b2 ，
2ab
所以VABC 的形状为直角三角形，
故选：A
03 解三角形与平面向量
π π uuur uuur uuur uuur
9．（2024·江苏盐城·模拟预测）VABC 中，若 AB = 6, BAC = , ACB = ，则BA × BC + CA ×CB =（ ）3 4
A．54 B．27 C．9 D．3 6
【答案】A
【分析】利用正弦定理求出BC ，再利用数量积的运算律求解即得.
AB sin π
【解析】在VABC 中，若 AB = 6, BAC
π π
= , ACB = 3，由正弦定理得BC = π = 3 6 ，3 4 sin
4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
所以BA × BC + CA ×CB = BA × BC + AC × BC = BC = 54 .
故选：A
r r r r r r r 3
10．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量 a，b ， c 满足 a =1， b = 3 ， a ×b = - ，2
ar cr
r
- ,b - cr = 30 r°，则 c 的最大值等于（ ）
A． 2 7 B． 7 C． 2 3 D．3 3
【答案】A
【分析】由 AOB =150°, ACB = 30°，即点 A,O, B,C 四点共圆，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.
uuur r uuur r uuurOA a,OB b,OC cr【解析】设 = = = ，
ar
r r
由 =1， b = 3
r 3
， a ×b = - ，则
2 cos AOB
3
= - ，
2
r r r r
所以 AOB =150°，又 a - c,b - c = 30°，所以 ACB = 30°，
uuur
即点 A,O, B,C
r
四点共圆，要使 c 最大，即 OC 为圆的直径，
在VAOB中，由余弦定理可得 AB2 = OA2 + OB2 - 2OA OB cos AOB = 7 ，
AB
即 AB = 7 ，又由正弦定理可得 2R = = 2 7 ，sin AOB
r
即 c 的最大值为 2 7 ，
故选：A
uuur uuur
CA CB
11．（2024·广东东莞·模拟预测）已知在同一平面内的三个点 A，B，C 满足 AB = 2 ， uuur - uuur 1，则
CA CB
uuur uuur
AC + BC 的取值范围是（ ）
A． 0,1 B． 0,2 C． é 0, 3ù D． é 0,2 3ù
【答案】D
uuur uuur
CuuAur CuuB 4π【分析】根据 - ur 1，利用向量数量积的运算性质可得 ACB 60o，从而点C 在度数为 的优弧
CA CB 3
上运动，或点C 在圆的内部，然后根据三角形中线性质和圆的性质可解.
ur uuur uuur
e C
uur
【解析】设 1 = uu
Aur CB
CA ，
e2 = uuur
CB ，
ur uuur uur uuur
则 e1 是与CA同方向的单位向量， e2 是与CB同方向的单位向量，
uuur uuur
CA CB ur uur
对于 uuur - uuur 1，即 e1 - e2 1，
CA CB
ur uur 2 ur uur 1
两边平方得 e1 - e2 1，化简得 e1 ×e2 ，2
ur uur
因此可以得到 e o1 与 e2 的夹角 ACB 60 ，在构成等边三角形时取等号，
2π在如图所示的圆中，点 A、B在圆上，其中劣弧 AB 的度数为 ，3
C 4π点 在度数为 的优弧上运动，或点C 在圆的内部，
3
若点C 在圆上，根据正弦定理，
AB
2R 2 4 3= = = 2 3
可得圆的半径 R 满足 sin C 3 3 ，即R = ，3
2
uuur uuur uuur
设E 为 AB 的中点，则CA + CB = 2CE ，
当CE ^ AB 时，CE长达到最大值，此时VABC 为等边三角形，
3 uuur uuur
可知 CO = R = 3 ，即 CA + CB = 2 3 ，
2
当点C 在圆的内部时，则C、E 重合时， CO = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
此时取最小值 CA + CB = 0，又 CA + CB = AC + BC ，
uuur uuur
综上所述， AC + BC 的取值范围为 é 0,2 3ù .
故选：D
04 解三角形几何的应用
12．（2024·北京·三模）在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为正方形， AB = 4 ， PC = PD = 3， PCA = 45°，
则VPBC的周长为（ ）
A．10 B．11 C．7 + 17 D．12
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合棱锥的结构特征，利用全等三角形性质及余弦定理求出 PB即得.
【解析】在四棱锥P- ABCD中，连接 AC, BD 交于O，连PO，则O为 AC, BD 的中点，如图，
正方形 ABCD中， AB = 4 ， AC = BD = 4 2 ，
在△POC 与VPOD中，OC = OD,OP = OP, PC = PD ，则△POC ≌VPOD，
于是 PDB = PCA = 45° ，
由余弦定理得PB = BD2 2+ PD2 - 2BD × PD cos PDB = 32 + 9 - 2 4 2 3 = 17 ，
2
所以VPBC的周长为7 + 17 .
故选：C
13．（2024·广东广州·模拟预测）在VABC 中，角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，若 c = 3，b = 2 ， BAC
AD 4 6的平分线 的长为 ，则BC 边上的中线 AH 的长等于（ ）
5
A 17 B 4 2 C 17 4 3． ． ． D．
2 3 4 3
【答案】A
【分析】由设 BAD = CAD = a ， SVABC = SVABD + SVACD 可得 cosa 的值，进而可求得 cos 2a，sin 2a 的值，结
uuur2 1 uuur uuur 2 uuur合余弦定理可得 a，由 AH = AB + AC 可求得 2AH ，即可求得结果.4
【解析】由题意知，设 BAD = CAD = a ，则 BAC = 2a ，如图所示，
由 SVABC = S
1
VABD + SVACD 可得 3 2sin 2a
1
= 3 4 6 sina 1+ 2 4 6 sina ，
2 2 5 2 5
整理得3sin 2a = 2 6 sina ，即 sina 3cosa - 6 = 0 ，
又因为 sina 0 ，所以 cosa 6= ，
3
所以 cos 2a = 2cos2 a -1
1
= ，所以 sin 2a = 1- cos2 2 2 ，3 2a = 3
在VABC 中，由余弦定理得 a2 = 32 + 22 - 2 3 2cos 2a =13 - 4 = 9，所以 a = 3，
uuur 1 uuur uuur
由 AH 是BC 边上的中线，得 AH = AB + AC2
uuur2 1 uuur uuur 2AH = AB + AC4
1 uuur uuur2 uuur uuur= AB + AC + 2AB × AC 1= b2 + c2 + 2bc cos 2a 1= b2 2+ c2 + bc 4 4 4 è 3 ÷
1 1
= 2 2
1 17
4
2 + 3 + 2 2 3 ÷ = 4 + 9 + 4 = .
è 3 4 4
17
所以，中线长 AH = .
2
故选：A
2sinBsinC
14．（2023·四川南充·二模）在VABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若b2 + c2 = 2023a2 ，则 tanA ×sinA
的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
2sin B sin C 2sin B sin C 2 2 2
【分析】利用正弦定理和余弦定理有 = ×cos A 2bc b + c - a= × ，再根据条件整体代
tan A ×sin A sin2 A a2 2bc
换即可.
【解析】因为b2 + c2 = 2023a2 ，
则根据正弦定理和余弦定理有
2sin B sin C 2sin B sin C 2bc b2 + c2 - a2 2022a2
= 2 ×cos A = 2 × = = 2022 .tan A ×sin A sin A a 2bc a2
故选：B.
05 取值范围、最值问题
15．（2024·江苏连云港·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a =1，
bcos A =1+ cos B，则边 b 的取值范围为（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 0,2 D． 2,3
【答案】B
【分析】利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦推理得B = 2A，又由正弦定理得b = 2cos A，根据角 A
的范围利用余弦函数性质求解值域即可求解.
【解析】由 a =1，bcos A =1+ cos B得， b cos A = a + a cos B ，
由正弦定理可得 sin B cos A = sin A + sin Acos B ，即 sin B cos A - sin Acos B = sin A，
所以 sin B - A = sin A，所以B - A = A或B - A + A = π （舍去），所以B = 2A，
a sin B sin 2A
由正弦定理得,b = = = 2cos A，
sin A sin A
而0 < A < π,0 < B = 2A < π
π
，0 < C = π - 3A < π ，所以0 < A < ，
3
1
所以 < cos A <1，所以b = 2cos A 1,2 ，所以b 的取值范围为 1,2 .
2
故选：B
16．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角VABC 的三个内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 c = 2, B = 2C ，则 a + b
的取值范围为 （ ）
A． 2,10 B． 2 + 2 2,10 C． 2 + 2 2,4 + 2 3 D． 4 + 2 3,10
【答案】C
【分析】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即可.
【解析】在VABC 中，由B = 2C 可得 A = π - 3C ，
a b c
由正弦定理 = =sin π - 3C sin 2C sin C 得：
2 sin 3C + sin 2C 2 sin C cos 2C + cosC sin 2C + 2sin C cosCa + b = = = 2 4cos2 C + 2cosC -1
sin C sin C
ì
0
π
< A = π - 3C <
2
VABC
π π π
又 为锐角三角形，所以 í0 < B = 2C < ，解得 < C <
2 6 4
，

0
π
< C <
2

令 t cosC
2 3
= 2 , ÷÷ ，则 a + b = 2(4t + 2t 1), t
2 3
-
2 2
,
2 2 ÷÷
，
è è
2 3
因为 y = 4t 2 + 2t -1在 t , ÷÷时单调递增，
è 2 2
所以1+ 2 < y < 2 + 3 ，则 a + b 2 + 2 2,4 + 2 3 .
故选：C
a b 3c
17．（2024·河南·三模）在VABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 + = ，则 tan A + tan C
cos A cos B cosC
的最小值是（ ）
4 8
A． B． C． D．4
3 3 2 3
【答案】B
【分析】由正弦定理得 tan A + tan B = 3 tan C ，再通过两角和的正切公式得 tan A tan B = 4，最后使用基本不
等式求解即可.
a b 3c
【解析】因为 + = ，
cos A cos B cosC
sin A sin B 3sin C
由正弦定理得 + = ，
cos A cos B cosC
所以 tan A + tan B = 3 tan C ，
又因为C = π - (A + B)，
所以 tan A + tan B 3
tan A + tan B
= - ，
1- tan A tan B
3
所以1 = ，
tan A tan B -1
即 tan A tan B = 4 .
4
所以 tan B = , tanC
1
= (tan A+ tan B) 1 4= tan A+ ÷，tan A 3 3è tan A
显然 tan A必为正（否则 tan A和 tan C 都为负，就两个钝角），
所以 tan A + tan C 4 tan A 4 2 16 8= + = ，
3 3tan A 9 3
4 4 π
当且仅当 tan A = ，即 tan A =1, A = 取等号.
3 3tan A 4
tan A tan C 8所以 + .
3
故选：B.
18．（2023·陕西榆林·一模）VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 asinA + b + la sinB = csinC ，则
l 的取值范围为（ ）
A． -2,2 B． 0,2 C． -2,2 D． 0,2
【答案】A
【分析】根据正弦、余弦定理可得l = -2cosC ，结合C 0, 即可求解.
【解析】因为 asinA + b + la sinB = csinC ，由正弦定理得 c2 = a2 + b2 + lab .又 c2 = a2 + b2 - 2abcosC ，
所以l = -2cosC .因为C 0, π ，
所以 cosC -1,1 ，故l -2,2 .
故选：A.
06 解三角形的实际应用
19．（2024·陕西西安·模拟预测）在100m高的楼顶A 处，测得正西方向地面上B、C 两点 B、C 与楼底在同
一水平面上）的俯角分别是75o和15o，则B、C 两点之间的距离为（ ）．
A．200 2 B． 240 2 C．180 3 D． 200 3
【答案】D
【分析】根据图形，利用直角三角形求解即可.
BC 100 100 100 tan 75° - tan15° 100 tan 60°(1+ tan15° tan 75°)【解析】由题意， = - = =
tan15° tan 75° tan15° tan 75° tan15° tan 75°
tan15 tan 75 sin15° sin 75° sin15° cos15°而 ° ° = × = × =1，
cos15° cos 75° cos15° sin15°
所以BC =100 2 3 = 200 3 .
故选：D
20．（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将
小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为
a1 = 1.00m，之后将小镜子前移a = 6.00m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2 = 0.60m，已
知人的眼睛距离地面的高度为 h = 1.75m，则钟楼的高度大约是（ ）
A． 27.75m B．27.25m C． 26.75m D． 26.25m
【答案】D
ah
【分析】设钟楼的高度为 PQ，根据相似得到PQ = a - a ，代入数据计算得到答案.1 2
【解析】如下图，设钟楼的高度为 PQ，
MKE : PQE EQ PQ × KE a × PQ由△ △ ，可得： = = 1 ，
MK h
NTF : PQF FQ PQ ×TF PQ × a由△ △ ，可得： = = 2 ，
NT h
EQ FQ a1 × PQ PQ ×a故 - = - 2 = a ，
h h
故PQ
ah 6 1.75 10.5
= = = = 26.25m
a1 - a 1- 0.6 0.4
，
2
故选：D.
21．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳
光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所
成的二面角为 120°，墙的高度均为 3 米．在时刻 t ，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽
度分别为 1 米、1.5 米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则
时刻 t 最可能为（ ）
太阳高度角 时间 太阳高度角 时间
43.13° 08:30 68.53° 10:30
49.53° 09:00 74.49° 11:00
55.93° 09:30 79.60° 11:30
62.29° 10:00 82.00° 12:00
A．09 : 00 B．10 : 00 C．11:00 D．12 : 00
【答案】B
【分析】作出示意图形，在四边形 ABCD中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形 ABCD的外接圆直径大
小，然后在Rt△BDE 中利用锐角三角函数定义，算出 DBE 的大小，即可得到本题的答案.
【解析】如图所示，
设两竖直墙面的交线为DE ，点E 被太阳光照射在地面上的影子为点 B ，
点 A,C 分别是点 B 在两条墙脚线上的射影，连接 AC ，BD， BE ，
由题意可知 DBE 就是太阳高度角.
∵四边形 ABCD中， BAD = BCD = 90o ， ADC =120o，
∴ ABC = 360o - BAD + BCD + ADC = 60o ，
VABC AC 2 = AB2 + BC 2∴ 中， - 2AB × BC cos 60o
1
=1.52 +12 - 2 1.5 1 =1.75，
2
可得 AC = 1.75 1.32，
∵四边形 ABCD是圆内接四边形，BD是其外接圆直径，
∴设V
AC
ABC 的外接圆半径为 R ，则BD = 2R = o 1.53，sin 60
ED 3
在Rt△BDE 中， tan DBE = = 1.96，
BD 1.53
所以 DBE = arc tan1.96 63.02o，
对照题中表格，可知时刻 t =10 : 00时，太阳高度角为62.29o ，与63.02o 最接近.
故选：B.
22．（2024·云南昆明·一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球 E
和某小行星 M 绕太阳 S 在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在E0 位置时，测
SE M 2π 3π出 0 = ；行星 M 绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了E1位置，测出 SE3 1
M = ，
4
E π1SE0 = ．若地球的轨道半径为 R，则下列选项中与行星 M 的轨道半径最接近的是（参考数据：3
3 1.7）（ ）
A．2.1R B．2.2R C． 2.3R D． 2.4R
【答案】A
【分析】连接E0E1，根据给定条件，在VME0E1 中利用正弦定理求出ME1 ，再在VSME1中利用余弦定理求解
即得.
【解析】连接E0E1，在VSE0E1 中， SE0 = SE = R
π
1 ，又 E1SE0 = ，则VSE0E1 是正三角形，E0E1 = R ，3
SE M 2π由 0 = ， SE
3π π
1M = ，得 E1E0M = ， E0E1M
5π
= ，
3 4 3 12
E M E 3π 1 = 0E1 R
在VME
3
0E1 中， E0ME1 = ，由正弦定理得 π π ，则E1M =
2 = R
4 sin sin
，
3 4 2 2
2
在VSME 21中，由余弦定理得 SM = R + (
3 R)2 2R 3 R ( 2 5- × × - ) = R2 + 3R2 4.2R 2.1R .
2 2 2 2
故选：A
07 解三角形解答题
23．（2024·内蒙古·三模）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
a - 2b cosC = c 2cosB - cosA .
b
(1)求 的值；
a
(2)若B = 2C ，证明：VABC 为直角三角形.
【答案】(1) 2
(2)证明见解析
【分析】（1）由正弦定理和逆用正弦和角公式得到b = 2a，求出答案；
（2）由（1）得到 sinB = 2sinA，结合B = 2C ，得到 sin 2C = 2 sin 2C cosC + 2 cos 2C sin C ，化简得到
cosC 2= ，C
π π
= , B = ，得到答案.
2 4 2
【解析】（1）由 a - 2b cosC = c 2cosB - cosA ，
可得acosC + ccosA = 2 bcosC + ccosB ，
所以 sinAcosC + sinCcosA = 2 sinBcosC + sinCcosB ，
所以 sin B = 2 sin A，
b
则b = 2a，即 = 2 .a
（2）证明：由（1）可得 sinB = 2sinA .
又B = 2C ，所以 sin 2C = 2 sin B + C = 2 sin 3C ，
即 sin 2C = 2 sin 2C + C = 2 sin 2C cosC + 2 cos 2C sin C ，
故 2sin C cosC = 2 2 sin C cos2 C + 2 cos 2C sin C ，
所以 2cosC = 2 2 cos2 C + 2 2 cos2 C - 2 ，
即4 2cos2C - 2cosC - 2 = 0，
因为B = 2C ，所以C 为锐角，
2 π
解得 cosC = （负值舍去），即C = , B
π
= ，
2 4 2
所以VABC 为直角三角形.
24 2024· · A B C a b c . 3b 1- cosB．（ 四川绵阳 模拟预测）三角形三内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 已知 = .
a sinA
(1)求角 B 的大小；
(2)若VABC 的面积等于 3，D为BC 边的中点，当中线 AD 的长最短时，求 AC 边的长.
B 2π【答案】(1) =
3
(2) AC = 14 .
【分析】（1）由正弦定理以及条件边化角得 3sinB =1- cosB，再结合辅助角公式即可求解.
1
（2）先由面积公式 S△ABC = ac sin B 得 ac = 4，再在△ABD 中，由余弦定理结合基本不等式即可得中线 AD2
的最小值，进而可得 AC 长.
【解析】（1）在VABC 中，由正弦定理得， 3sinBsinA = sinA - sinAcosB .
因为 A 0, , sinA 0 ，所以 3sinB =1- cosB，
3sinB cosB 2sin B π+ = + 所以 ÷ =1，即 sin
B π+ 1
6 6 ÷
= ，
è è 2
又B 0, π B π 5π，则 + = ，
6 6
B 2π所以 = .
3
（2）由（1 S 1 3）得 △ABC = acsin120° = ac = 3 ，所以 ac = 4，2 4
在△ABD 中，由余弦定理可得：
2 2
AD2 = c2 + a a 2 a ac 3ac 2 ÷
- 2c × ×cos120° = c +
2 2 ÷
+ = 6，
è è 2 2
a
当且仅当 c = ，即 a = 2 2 ， c = 2 时，等号成立，2
2 2 1
此时 AC = a + c2 - 2accos120° = 8 + 2 - 2 ×2 2 × 2 ×

-

÷ =14，
è 2
故 AC = 14 .
25．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且满足
3c
- sinB = tanA ×cosB .
a
(1)求角A 的大小；
(2)若VABC 为锐角三角形且 a = 2 6 ，求VABC 面积的取值范围.
π
【答案】(1)
3
(2) 4 3,6 3ù
【分析】（1）根据条件由正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得答案；
π
（2）由正弦定理得b = 4 2 sin B， c = 4 2 sin C ，代入三角形面积公式化简得 SVABC = 4 3 sin 2B - 6 ÷
+ 2 3 ，
è
结合角 B 的范围求出答案.
3 sin C
【解析】（1）由正弦定理得， - sin B = tan A ×cos B，
sin A
3 sin C sin B sin A
所以 - = ，
sin Acos B cos B cos A
3 sin C sin A sin B sin Acos B + cos Asin B sin A + B sin C
即 = + = = = ，
sin Acos B cos A cos B cos Acos B cos Acos B cos Acos B
sin A
化简得： = 3，即
cos A tan A = 3
，
又 A 0, π π，所以 A = 3 .
a b c 2 6
2 = = = = 4 2（ ）由正弦定理得： sin A sin B sin C sin π
，
3
所以b = 4 2 sin B， c = 4 2 sin C ，
1
所以 SVABC = bc sin A = 8 3 sin B sin C = 8 3 sin B sin
2π
- B

2 3 ֏

= 8 3 sin B 3 cos B
1
+ sin B ÷÷ = 6sin 2B - 2 3 cos 2B + 2 3
è 2 2

= 4 3 3 sin 2B
1
- cos 2B π
2 2 ÷÷
+ 2 3 = 4 3 sin 2B - ÷ + 2 3 ，
è è 6
ì π
0 < B <
V 2 π π因为 ABC 是锐角三角形，所以 í < B <
0 2π π
，解得 ，
< - B < 6 2
3 2
2B π π 5π π 1所以 -

, ÷，所以 sin 2B -

÷

,1
ù
6 è 6 6 è 6 è 2 ú
，

π
所以 SVABC = 4 3 sin 2B - ÷ + 2 3 4 3,6 3ù .è 6
26．（2024·江西·模拟预测）在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别记为 a，b ， c，且
tan A cos B - sin C= ．
cosC + sin B
(1) π若 B = 6 ，求C 的大小．
(2)若 a = 2，求b + c 的取值范围．
C 2π【答案】(1) =
3
(2) 2, +
cos B - sin C
【分析】（1）由 tan A = ，得 sin AcosC + sin Asin B = cos Acos B - cos Asin C ，再利用两角和差的
cosC + sin B
正余弦公式化简，进而可求得 A, B的关系，即可得解；
（2）利用正弦定理求出b,c，再根据 A, B的关系结合三角函数的性质即可得解.
tan A cos B - sin C sin A cos B - sin C【解析】（1）因为 = ，所以 = ，
cosC + sin B cos A cosC + sin B
即 sin AcosC + sin Asin B = cos Acos B - cos Asin C ，
即 sin AcosC + cos Asin C = cos Acos B - sin Asin B ，
所以 sin A + C = cos A + B ，即sin B = cos A+ B ，
而 A,B (0,π) B A B
π
，所以 + + = 或B - A + B π= ，
2 2
A 2B π π所以 + = 或 A = - （舍去），
2 2
π π
又因为 B = ，所以 A =6 ，6
2π
所以C = ；
3
π
（2）由（1）得 A + 2B = ，
2
a b c
因为 = =sin A sin B sin C ，
b a sin B 2sin B 2sin B 2sin B= = = =
所以 sin A sin A sin π - 2B
cos 2B ，
2 ֏
2sin π + B
c a sin C 2sin C

= = = è 2
÷
2cos B=
π ，sin A sin A sin - 2B cos 2B ÷
è 2
2 sin B + cos B 2 sin B + cos Bb c 2 2+ = =
则 cos 2B cos2 B - sin2
= =
B cos B - sin B cos B π ， +

4 ֏
ì
0 < B < π

0 π< - 2B < π 0 B π又由 í ，得 < < ，
2 4

0
π
< + B < π
2
π B π π< + < 0 cos B π 2所以 ，所以 < +
4 4 2 4 ÷
< ，
è 2
所以b + c 2, + .
27．（2023·全国·模拟预测）记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
cos 2B - cos 2A = 4 cosC - cos3 C ．
π
(1)若C = ，求 A；
3
2
(2)若△ABC a b为锐角三角形，求 + 2 的取值范围．b c
π
【答案】(1) A =
2
3 7
(2) ,
è 2 3 ÷
【分析】（1）运用二倍角公式及和角公式代入化简解方程即可.
（2）根据锐角三角形得 B 的范围，运用正弦定理边化角，将所求式子转化为关于 cos2 B的对勾函数，研究
其值域即可.
【解析】（1）∵ cos2B - cos2A = 4 cosC - cos3C ，
∴1- 2sin2 B - 1- 2sin2 A = 4cosC 1- cos2C = 4cosC sin2 C ，
∴ sin2 A - sin2B = sin2CsinC ，
又∵ sin A + B sin A - B = sin2 Acos2B - sin2Bcos2 A = sin2 Acos2B - sin2B 1- sin2 A = sin2 A - sin2B，
∴ sin A + B sin A - B = sin2CsinC ，即 sinCsin A - B = sin2CsinC ，
又∵ sin C 0，
∴ sin A - B = sin2C ，
C π又∵ = ，
3
sin A 3∴ - B = ，
2
0 A 2π ,0 B 2π 2π 2π又 < < < < ，即- < A - B < ，
3 3 3 3
π
∴ A - B = ，
3
又∵ A + B = π - C
2π
= ，
3
∴ A
π
= .
2
（2）由（1）知 sin 2C = sin A - B ，
π C π
①当 2C = A - B 时，因为 A + B + C = π，所以 2A = π + C ，即 A = + > ，与△ABC 为锐角三角形矛盾，所
2 2 2
以不成立；
②当 2C + A - B = π时，因为 A + B + C = π，所以C = 2B，
所以 A = π - C - B = π - 3B．
ì
0 < B
π
<
2
0 2B π< < π B π由 í ，得 < < ．
2 6 4
0 π π < - 3B < 2
所以 sinA = sin - 3B = sin3B = sin B + 2B = sinBcos2B + cosBsin2B = sinBcos2B + 2sinBcos2B，
a b2 sinA sin2B sinBcos2B + 2sinBcos2B sin2B
故 + 2 = + = +b c sinB sin2C sinB sin2 2B
= cos2B + 2cos2B 1+ 2 = 2cos
2B 1 2cos2B 1- + + = 4cos2 12 B + -1．4cos B 4cos B 4cos2B
π
< B π< 2 cos B 3因为 ，所以 < < ， 2 < 4cos2B < 3，
6 4 2 2
f x x 1令 = + -1 2 < x < 3 1 x +1 x -1 ，则 f x =1- 2 = 2 > 0，x x x
所以 f x 在 2,3 3 7上单调递增，所以 < f x < ，
2 3
a b2 3 7
所以 + 2 的取值范围为 , ．b c 2 3 ÷è
一、单选题
1．（2024·湖南·模拟预测）在VABC 中， c =1， a = 2，C = 30°，则 A =（ ）
A．60° B．90° C．45° D．120°
【答案】B
【分析】利用正弦定理，求出 sin A ，从而求出角A .
a c
【解析】由正弦定理得， = ，
sin A sin C
2 1
所以 = ，解得 sin A =1，
sin A sin 30°
由A 为三角形内角，所以 A = 90°，
故选：B.
2．（2024·吉林·模拟预测）在VABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，“ a cos B = bcos A ”是
“ A = B ”（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据正弦定理和正切函数的性质以及充要条件的判定即可得到答案.
【解析】当 a cos B = bcos A，根据正弦定理得 sin Acos B = sin B cos A
π
，显然 A，B ，
2
则 tan A = tan B ，因为 A，B 为三角形内角，则 A = B ,则充分性成立；
π π
当 A = B ，因为 A，B 为三角形内角，则不会存在 A = B = 的情况，则 A，B ，
2 2
则 tan A = tan B ，则 sin Acos B = sin B cos A，根据正弦定理则 a cos B = bcos A，故必要性成立；
则“ a cos B = bcos A ”是“ A = B ” 的充分必要条件.
故选：C．
3．（2024·江西九江·三模）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 2c - a = 2bcosA，则B =
（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】B
【分析】运用正弦定理进行边角互化，结合诱导公式以及两角和的正弦公式即可解决.
【解析】因为 2c - a = 2bcosA，
由正弦定理， 2sinC - sinA = 2sinBcosA,
因为 A + B + C = π，\2sin A + B - 2sinBcosA = sinA，
展开化简 2sinAcosB = sinA.QsinA > 0,\cosB
1
= ，
2
B 0, π , B π又 \ = .
3
故选:B.
4．（2024·陕西安康·模拟预测）在VABC 中，三个内角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，且
acos B π+ ÷ = bsinA，若 a = 3， c = 2，则b =（6 ）è
A．1 B．2 C． 2 3 D．4
【答案】A
π
【分析】利用正弦定理和三角恒等变换的化简计算可得 B = 6 ，结合余弦定理计算即可求解.
【解析】 a cos(B
π
+ ) = bsin A
6 ，
sin Acos(B π由正弦定理得 + ) = sin B sin A6 ，
又 A 0, π ,sin A > 0，所以 cos(B π+ ) = sin B6 ，
3 cos B 1即 - sin B = sin B ，
2 2
得 cos B = 3 sin B 3，即 tan B = ，
3
又0 < B π B π< ，所以 = 6 ，而 a = 3,c = 2，
由余弦定理得 b a2 c2 2ac cos B 3 4 4 3 3= + - = + - = 1 .
2
故选：A
5．（2024·浙江绍兴·三模）在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若
2bcos(B + C) - a cosC = c cos A，则 A 等于（ ）
2
A． B． C． D．
6 4 3 3
【答案】D
【分析】本题先根据诱导公式对条件式进行化简，再用余弦定理进行边角互化，即可得出答案.
【解析】因为 2bcos B + C - a cosC = c cos A，所以 2bcos π - A = a cosC + c cos A，
即-2bcos A = a cosC + c cos A，
如图，过 B 点作BD ^ AC 于 D，可知a cosC + c cos A = b ，
，
所以-2bcos A = b，
所以 cos A
1
= - ，又 A 0, π 2π，所以 A = .
2 3
故选：D.
6．（2024·重庆·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c
2
，若B = π,b = 6, a2 + c2 = 3ac ，则VABC
3
的面积为（ ）
9
A． 3
9 9
B． C． 3 D 9．
4 4 2 2
【答案】A
【分析】利用余弦定理求得 ac ，进而利用三角形的面积公式求得正确答案.
【解析】由余弦定理得b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ，即36 = a2 + c2 + ac = 3ac + ac = 4ac,ac = 9，
ABC 1 ac sin B 1 9 3 9 3所以三角形 的面积为 = = .
2 2 2 4
故选：A
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三角形 ABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c且满足 c2 - a2 = ab，
c = 2，则VABC 面积取最大值时， cosC =（ ）
A 3 -1 B 3 +1 C 2 - 2 D 2 + 2． ． ． ．
2 4 2 4
【答案】A
【分析】先根据条件，结合正、余弦定理，得到角 A,C 的关系，再用角A 的三角函数表示VABC 的面积，换
元，利用导数的分析面积最大值，对应的角A 的三角函数值，再利用角 A,C 的关系，求 cosC .
【解析】因为 c2 - a2 = ab c2 = a2 + ab ，
又由余弦定理： c2 = a2 + b2 - 2abcosC ，所以 a2 + ab = a2 + b2 - 2ab cosC ，
所以 a = b - 2a cosC .
由正弦定理得： sin A = sin B - 2sin AcosC sin A = sin A + C - 2sin AcosC
sin A = sin C cos A - cosC sin A = sin C - A ，
所以 A = C - A或 A + C - A = π（舍去），故C = 2A .
因为C = 2A，所以B = π - 3A .
c b 2 b = 2sin= π - 3A 3- 4sin
2 A
由正弦定理：
sin C sin B sin 2A sin π - 3A
b = = .
sin 2A cos A
3 3
所以 S
1
= bc sin A 3sin A - 4sin A 3tan A - tan AVABC = = .2 cos A 1+ tan2 A
π
因为 π - 3A > 0 A < ，所以
3 0 < tan A < 3
.
3
设 f x 3x - x= ， x 0, 3 .
1+ x2
3- 3x2 1+ x2 - 3x - x3 × 2x -x4 - 6x2 + 3
则 f x = =
21 x2 1+ x2
2 ，
+
由 f x > 0 x4 6x2 3 0 0 x2 -6 + 36 +12+ - < < < = 2 3 - 3 < 3，
2
由 f x < 0 x2 > 2 3 - 3，
所以 f x 在 0, 2 3 - 3 上单调递增，在 2 3 - 3, 3 上递减，
所以当 x2 = 2 3 - 3时， f x 有最大值.
即当 tan2 A = 2 3 - 3时，VABC 的面积最大.
2 2
此时 cosC = cos 2A cos A - sin A= cos2 A - sin2 A =
cos2 A + sin2 A
1- tan2 A 1- 2 3 - 3
= = 3 -12 = .1+ tan A 1+ 2 3 - 3 2
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题用到了三倍角公式 sin 3a = 3sina - 4sin3 a ，因为有些教材不讲这个公式，所以
该公式的记忆或推导在该题中就格外重要.
cos A cosC
8．（2024·全国·模拟预测）在锐角 VABC 中，若 3 sin A +a c ÷
= sin B sin C ，且 3sinC + cosC = 2，
è
则 a + b 能取到的值有（ ）
A．5 B．4 C． 2 3 D．3
【答案】B
π cos A cosC
【分析】由 3sinC + cosC = 2可求C = 3 sin A
+ ，再根据 ÷ = sin B sin C ，化简可得3 è a c
a b c 4 3 4 3
= = = ，用对应角的正弦来表示边，得 a + b = (sin A + sin B)，最后结合两角差的正
sin A sin B sin C 3 3
弦公式、辅助角公式即可求解.
【解析】由 3 sin C + cosC = 2sin
C π+ = 2，
è 6 ÷
又C (0,
π) C π π+ , 2π
2 6 6 3 ÷
，
è
C π π π所以 + = ，则C = ．
6 2 3
因为 3 sin A
cos A cosC
+ ÷ = sin B sin C ,
è a c
3
根据正弦定理得 cos A cosC sin B sin C b × 2 b+ = = = ，
a c 3 sin A 3a 2a
cos A cosC b
故 + = ，
sin A sin C 2sin A
即 sin C cos A + cosC sin A bsin C 3b= = ，
2 4
所以 sin(A + C) 3b b 4 3= sin B = ，即 = ．
4 sin B 3
a b c 4 3
根据正弦定理得 = = = ，
sin A sin B sin C 3
4 3
所以 a = sin A，b
4 3
= sin B ．
3 3
VABC C π因为 为锐角三角形，且 = ，
3
π π π
所以 0 < A
π
< ，0 < B < ，即 0 < A
π
< ，0 < π - - A <
π π
2 ，解得
< A < ，
2 2 3 2 6 2
a b 4 3+ = (sin A + sin B) 4 3 é= sin A + sin 2π ù所以
3 3 ê
- A÷ú
è 3
4 3 sin A 3

= + cos A
1
+ sin A 4 3 3 3= π
3 2 2 ÷÷ 3
cos A + sin A÷÷ = 4sin A + ÷．
è è 2 2 è 6
π π π π 2π
因为 < A < ，所以 < A + < 3 < sin A π，则 +

6 2 3 6 3 2 6 ÷
1，
è
2 3 < 4sin π 所以 A + ÷ 4，即6 2 3 < a + b 4
．
è
故选：B．
π
【点睛】关键点点睛：本题关键在于用正弦定理的边角互化，求出C = 和用对应角表示对应边，将所求边
3
长之和转化为关于角的三角函数进行化简，再根据所求角的范围来求值域即可.
二、多选题
9．（2023·安徽·模拟预测）在VABC 中， AB = 3, B = 60o，若满足条件的三角形有两个，则 AC 边的取值可
能是（ ）
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
【答案】BC
【分析】根据 AB sinB < AC < AB即可求解.
3
【解析】根据题意可得：满足条件的VABC 有两个，可得 AB sinB < AC < AB < AC < 3 ，
2
故选:BC
10．（2024·江苏南京·二模）已知VABC 内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，O为VABC 的重心，
cosA 1= ， AO = 2，则（ ）
5
uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur
A． AO = AB + AC B．
3 3 AB × AC 3
C．VABC 的面积的最大值为3 6 D． a的最小值为 2 5
【答案】ABC
uuur 1 uuur 1 uuur
【分析】延长 AO 交BC 于点D，根据平面向量的线性运算可得出 AO = AB + AC ，可判断选项 A；结合
3 3
uuur 1 uuur uuur uuur uuurAO = AB 1+ AC ，利用平面向量的数量积定义、数量积运算法则及基本不等式可判断选项 B；由
3 3 AB × AC 3
uuur uuur
和平面向量数量积的定义可得出 AB × AC 15，由 cosA
1
= 求出
5 sinA
2 6
= ，再根据三角形面积公式可判
5
uuur 2 uuur 2 2 uuur uuur
断选项 C；结合选项 B 得出 AB + AC = 36 - AB AC ，再利用余弦定理即可判断选项 D.
5
【解析】
延长 AO 交BC 于点D .
因为O是VABC 的重心，
uuur 2 uuur
所以点D是BC 中点， AO = AD ，
3
uuur 1 uuur uuur
则 AD = AB + AC .2
uuur 2 uuur 2 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur对于选项 A：因为 AO = AD = AB + AC = AB + AC ，故选项 A 正确；3 3 2 3 3
uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur
对于选项 B：由 AO = AB + AC 得： ，
3 3 AB + AC = 3AO
uuur2 uuur uuur 2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
所以9AO = AB + AC = AB + AC + 2AB × AC 2 AB AC + 2AB × AC ，当且仅当 AB = AC 时等号成立.
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又因为 AB × AC = AB AC cosA = AB AC ，即 AB AC = 5AB × AC ， AO = 2，
5
uuur uuur uuur uuur
所以 2 5AB × AC + 2AB × AC 9 22 ，
uuur uuur uuur uuur
即 AB × AC 3，当且仅当 AB = AC 时等号成立，故选项 B 正确；
uuur uuur uuur uuurAB × AC uuur uuur uuur uuur
对于选项 C：因为 AB × AC = = 5AB × AC 15，当且仅当 AB = AC 时等号成立，
cosA
sinA = 1- cos2 A 2 6= ，
5
1 uuur uuur
所以 SVABC = AB AC sinA
1
15 2 6 = 3 6 ，故选项 C 正确；
2 2 5
uuur2 uuur uuur 2 uuur2 uuur2 uuur uuur对于选项 D：由9AO = AB + AC = AB + AC + 2AB × AC ， AO = 2，
uuur 2 uuur 2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
得 AB + AC = 9AO - 2AB × AC = 36 - 2AB × AC = 36
2
- AB AC ，
5
所以由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bccosA可得：
uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
a2
2
= AB + AC - 2 AB × AC cosA = 36 4- AB AC 36 4- 15 = 24 ，即 a 2 6 ，当且仅当 AB = AC 时等5 5
号成立，
所以 a的最小值是2 6，故选项 D 错误.
故选：ABC.
11．（2024·贵州黔南·二模）已知锐角VABC 的三个内角A ， B ，C 的对边分别是 a，b ， c，且VABC 的面
3
积为 a2 + c2 - b2 .则下列说法正确的是（ ）4
B πA． = 3
π π
B．A 的取值范围为 ,
è 6 2 ÷
C．若b = 3 ，则VABC 的外接圆的半径为 2
3 3 3 3
D．若 a = 3，则VABC 的面积的取值范围为 ,8 2 ÷÷è
【答案】ABD
【分析】对 A：借助面积公式与余弦定理计算即可得；对 B：借助锐角三角形定义与三角形内角和计算即可
得；对 C：借助正弦定理计算即可得；对 D：借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量A 表示出来，
结合A 的范围即可得解.
【解析】对 A 1：由题意可得 ac sin B 3= a2 + c2 - b2 ，由余弦定理可得 a2 + c2 - b2 = 2ac cos B ，2 4
1
即有 ac sin B 3= 2ac cos B 3= ac cos B ，即 sin B = 3 cos B ，
2 4 2
π π
由B 0, 2 ÷
，故 tan B = 3 ，即 B = ，故 A3 正确；è
A 0, π C π A B 2 π A 0, π A π , π 对 B：则 ÷ ， = - - = - ÷，解得 ÷，故 B 正确；
è 2 3 è 2 è 6 2
2R b 3C = = = 2对 ：由正弦定理可得 sin B 3 ，即R =1，故 C 错误；
2
对 D：若 a 1= 3，则 S = ac sin B 1= 3c 3 3c = ，
2 2 2 4
a c a 3 sin C
由正弦定理可得 = ，即
sin A sin C c = ×sin C =
，
sin A sin A
sin A π+ 1 3
即 S 3c 3 3 sin C 3 3
÷ 3 3 sin A + cos A
= = = × è 3 = × 2 2
4 4 sin A 4 sin A 4 sin A
3 3 9
= + ，
8 8 tan A
π
由 A ,
π
÷，则 tan A
3 , 3 3 3 3 + ，故 S , ，故 D 正确.
è 6 2

è 3
÷÷ 8 2 ÷÷ è
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：D 选项关键点在于借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量A 表示出来，结
合A 的范围即可得解.
三、填空题
4 4
12．（2024·湖南长沙·二模）在VABC 中，若BC = 2， tan A = - ， cos B = ，则 AC = .
3 5
3
【答案】
2
【分析】由同角三角函数关系求解 sin A,sin B ，再由正弦定理可得解.
4 4
【解析】由已知 tan A = - ， cos B = ，
3 5
ì sin A 4
= -
则 ícos A 3 ， sin2 B + cos2 B =1，
2 2 sin A + cos A =1
又 A, B 0, π ，
所以 sin A
4
= ， sin B
3
= ，
5 5
BC AC
又根据正弦定理 = ，
sin A sin B
则 AC =
sin B × BC = 3 ，
sin A 2
3
故答案为： .
2
13．（2024·湖北襄阳·模拟预测）在 VABC 中， AB = AC ，点 D 在线段 BC 上， AB ^ AD ， BD = 3，CD =1，
uuur uuuur
点 M 是VABC 外接圆上任意一点，则 AB × AM 最大值为 .
【答案】3+ 3 3
【分析】根据题中条件，结合勾股定理、余弦定理，可得 AD = 3 ， AB = AC = 6 ，由正弦定理，可得VABC
uuur uuur
外接圆半径，根据向量的线性运算法则，结合数量积公式，可得 AB × AO 的最大值，即可得答案.
【解析】由题意可得： AB2 = BD2 - AD2， AC 2 = AD2 + DC 2 - 2AD × DC cos ADC
= AD2 +1+ 2AD 1 AD
BD ，
所以 9 - AD2 = AD2 +1+ 2AD 1
AD 5
= 1+ AD2
BD 3 ，
解得 AD = 3 ，则 AB = AC = 6 ，
设VABC 的外心为O，外接圆的半径为 R ，
2R AC 6= = = 3 2 3 2
由正弦定理得： sin ABC 3 ，解得R = ，
3 2
6
可得 cos BAO
3
= 2 =
3 ．3 3
2
uuuur uuur uuuur
由平面向量的线性运算知， AM = AO + OM ，
uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur
所以 AB × AM = AB × (AO + OM ) = AB × AO + AB × OM ，
uuur uuur uuur uuur
由图可知： AB × AO =| AB | × | AO | cos BAO 6
3 2 3
= = 3．
2 3
uuuur uuur uuur uuur 3 2
当OM / / AB且同向时， (AB × OM )max = 6 = 3 3 ，2
uuur uuuur
所以 AB × AM 最大值为3+ 3 3．
故答案为：3+ 3 3．
【点睛】方法点睛：平面向量解题方法
1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，
借助坐标运算来实现．
2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思
想的应用．
提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向．
14．（2024·江苏·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 a = 2,c = 3,cosB = bcosC, P,Q
分别在边 AB 和CB上，且 PQ把VABC 的面积分成相等的两部分，则 PQ的最小值为 .
【答案】 3
【分析】根据题目中 a = 2,c = 3,cosB = bcosC ，可求出 b 及角 B 大小，再根据三角形面积公式及题意可求出
SVPBQ，进而可得出BP × BQ ，根据余弦定理表示出PQ2，最后利用基本不等式即可求出 PQ 的最小值.
【解析】
2 2 2 2 2 2
由 cosB = bcosC a + c - b a + b - c，得 = b × ，
2ac 2ab
22 + 32 - b2 b 2
2 + b2 - 32
即 = × ，解得b = 7 ，
2 2 3 2 2b
2 2 2
cosB a + c - b 4 + 9 - 7 1= = = , B π= , S 1 3 3 3= 2 3 = ，
2ac 2 2 3 2 3 VABC 2 2 2
S 3 3VPBQ = ，令BP = x, BQ = y,
1 x y 3 3 3× × = ,\ xy 3= 3, y = ，
4 2 2 4 x
ì0 < x 3
3
í 3 x 3 PQ2 = x2令 ，得 ， + y2 - 2xy cos B x2
9
= + - 3 2 9 - 3 = 3，
0 < 2 2 x
2
x
9
所以PQ = 3 x2min ，当且仅当 = 2 即 x = 3 时等号成立.x
故答案为： 3 .
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是求出BP与BQ的等量关系，利用基本不等式的性质求出 PQ 的最
小值.
四、解答题
15．（2024·河北秦皇岛·三模）在 VABC 中，内角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b
π
， c，C = 且 a + b = 7 ，
3
VABC 4 3的外接圆半径为 .
3
(1)求VABC 的面积；
(2)求VABC 边 AB 上的高 h .
【答案】(1)11 3
4
(2) 11 3
8
【分析】（1）利用正弦定理及余弦定理可求出 ab，利用面积公式计算即可；
（2）根据三角形面积公式即可求.
【解析】（1）在VABC c 4 3中，由正弦定理可得， = 2 ，则 c 2 4 3 3= = 4，
sinC 3 3 2
根据余弦定理 c2 = a2 + b2 - 2abcosC ，得16 = a2 + b2 - 2abcosC = a + b 2 - 3ab，
所以3ab = 49 -16 = 33，所以 ab =11，
1 11 3
所以 S△ABC = absinC = .2 4
1 1
（2 S 11 sin60° 11 3） △ABC = absinC = ch，所以2 2 h = =
.
4 8
sin C sin A - sin B
16．（2024·四川南充·模拟预测）在VABC 中， = .
sin A + sin B sin B + sin C
(1)求A ；
(2)若BC = 3，求VABC 周长的最大值.
2π
【答案】(1)
3
(2)3+ 2 3
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）利用余弦定理及基本不等式求出b + c 的最大值，即可得解.
sin C sin A - sin B c a - b
【解析】（1）因为 = ，由正弦定理可得 = ，
sin A + sin B sin B + sin C a + b b + c
即bc + c2 = a2 - b2 ，
b2 + c2 2cosA - a -bc 1由余弦定理 = = = - ，
2bc 2bc 2
Q A 0,π A 2π，\ = .
3
（2）因为 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = b2 + c2 + bc = 9，
b + c 2即 - bc = 9，
2
Qbc b + c ÷ ，当且仅当b = c 时取等号，
è 2
2
\9 = b + c 2 b + c 3- bc b + c 2 - ÷ = b + c
2
，即b + c 2 3 ，
è 2 4
又b + c > a = 3，所以3 < b + c 2 3 ，当且仅当b = c = 3时取等号，
\VABC 周长 L = a + b + c 3+ 2 3，
即VABC 周长的最大值为3+ 2 3.
17．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形 ABCD中， AB//CD ， AD ×sin D = 3AC ×cos ACD ，
BAC 的角平分线与BC 相交于点E ，且 AE = 1, AB = 3 .
(1)求 ACD的大小；
(2)求BC 的值.
π
【答案】(1)
3
3
(2)
2
【分析】（1）在VACD中利用正弦定理结合已知条件求出 tan ACD，即可得解；
（2）依题意可得 BAC
π
= ，由 SVBAE + SVCAE = SVBAC 求出 AC ，再在VABC 中利用余弦定理计算可得.3
AD AC
【解析】（1）在VACD中，由正弦定理得 = ，
sin ACD sin D
所以 AD ×sin D = AC ×sin ACD ，
又 AD ×sin D = 3AC ×cos ACD ，
所以 AC ×sin ACD = 3AC ×cos ACD，因为cos ACD 0，
所以 tan ACD = 3 .
因为0 < ACD < π，所以 ACD
π
= .
3
AB//CD BAC ACD π（2）因为 ，所以 = = 3 .
π
因为 AE 平分 BAC ，所以 BAE = CAE = .
6
因为 SVBAE + SVCAE = SVBAC ，
1
所以 AB × AE ×sin
π 1
+ AC × AE ×sin π 1= AB × AC ×sin π ，
2 6 2 6 2 3
又 AB = 3 1 1 1， AE =1，所以 3 1 + AC 1 1 1 = 3AC 3 ，
2 2 2 2 2 2
3
解得 AC = ，
2
BAC π因为 = ，所以BC 2 = AC 2 + AB2 - 2AB × AC cos BAC
3
2
3 2 3 1 9
= ÷÷ + 3 - 2 3 = ，
è 2 2 2 4
3
所以BC = .
2
18．（2022·河南濮阳·模拟预测）在VABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知
1+ sin B + cos B cos B - sin
B 7
÷ = 2 + 2cos B ．
è 2 2 12
(1)求 cosB ;
c 2
(2)若 = ,D
AD
a 3 为边
AC 上一点,且BD=AC ．求 的值．
DC
【答案】(1) cos B
7
=
12
AD
(2) = 2
DC
【分析】（1）运用倍角公式化简即可；
（2）根据 cos BDA+cos BDC=0，利用余弦定理求解.
【解析】（1
B B B
）由倍角公式得 2 2cos + 2sin cos ÷ cos
B sin B 7 4cos2 B 7- ÷ = = cos
B
è 2 2 2 è 2 2 12 2 6 2
B B B B 7
所以 cos + sin ÷ cos - sin

÷ =
è 2 2 è 2 2 12
cos2 B - sin2 B 7即 =
2 2 12
即 cos B
7
=
12
（2）
不妨设 c = 2, a = 3 ,则b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = 9 4
7
+ -12 = 6
12
所以b = 6 ,由题知BD = b = 6
设 AD = m, DC = n ,则m + n = 6 ①
BD2 + AD2 - AB2 6 + m2 - 4 2 + m2
在△ABD 中由余弦定理得 cos BDA = = =
2BD × AD 2 6m 2 6m
2 2 2 2 2
在△CBD中由余弦定理得 cos BDC
BD + CD - BC 6 + n - 9 n - 3
= = =
2BD ×CD 2 6n 2 6n
因为 BDA+ BDC= ,所以 cos BDA+cos BDC=0
2 + m2 n2 - 3
即 + = 0②, 2 6 6联立①②，解得m = ,n =
2 6m 2 6n 3 3
AD m
所以 = = 2
DC n
【点睛】关键点点睛：本题属于多三角形问题，关键要抓住多个三角形之间的联系.
19．（2024·河北·二模）若 VABC 内一点 P 满足 PAB = PBC = PCA = q ，则称点 P 为 VABC 的布洛卡点，
q 为VABC 的布洛卡角．如图，已知VABC 中，BC = a ， AC = b ， AB = c，点 P 为的布洛卡点，q 为VABC
的布洛卡角．
b c PB(1)若 = ，且满足 = 3，求 ABC 的大小．
PA
(2)若VABC 为锐角三角形．
1 1 1 1
（ⅰ）证明： = + + ．
tanq tan BAC tan ABC tan ACB
（ⅱ）若 PB平分 ABC ，证明：b2 = ac．
π
【答案】(1)
6
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）先判断VPCB 与△PBA相似，进而得到 a = 3c，应用余弦定理求出 cos ABC 的值即可；
（2）（ⅰ）在VABC 内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
1 1 1 a2 + b2 + c2
+ + = ，针对q 分别在VPAB 、VPBC和VPCA内，三次应用余弦定
tan BAC tan ABC tan ACB 4SVABC
理以及三角形的面积公式，且 SVABC = SVPAB + SVPBC + SVPAC 表示出三角形的面积，由余弦定理形式相加，再
1 a2 + b2 + c2
化简整理得： = ，即可得证；（ⅱ）得出 a2 + b2 + c2 与 SVABC 的等量关系，再利用余弦定理和tanq 4SVABC
三角形的面积公式， PB平分 ABC S
1
，将 VABC = ac sin 2q 代入，化简整理即可得证.2
【解析】（1）若b = c ，即 AB = AC ，得∠ABC = ACB ，
点 P 满足 PAB = PBC = PCA = q ，则 PCB = PBA，
在VPCB 和△PBA中， PCB = PBA， PAB = PBC = q ，
所以VPCB 与△PBA
PB
相似，且 = 3，
PA
BC a
所以 = = 3 ，即 ，
AB c a = 3c
2 2 2
由余弦定理得： cos ABC a + c - b= ，且 a = 3c，b = c ，
2ac
cos ABC 3b
2 + b2 - b2 3
得 = = ，且0 < B < π2 ，2 3b 2
ABC π所以 = 6 ；
（2）（ⅰ）在VABC 内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
1 cos BAC b2 + c2 - a2 b2 + c2 - a2
= = = ，
tan BAC sin BAC 2bc sin BAC 4SVABC
1 cos ABC a2 + c2 - b2 a2 + c2 - b2
= = = ，
tan ABC sin ABC 2ac sin ABC 4SVABC
1 cos ACB a2 + b2 - c2 a2 + b2 - c2
= = = ，
tan ACB sin ACB 2absin ACB 4SVABC
1 1 1 a2 + b2 + c2
三式相加可得： + + = ①
tan BAC tan ABC tan ACB 4SVABC
在VPAB 内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
1 cosq AP2 + c2 - BP2 AP2 + c2 - BP2
= = = ，
tanq sinq 2AP ×c sinq 4SVPAB
1 BP2 + a2 - CP2 1 CP2 + b2 - AP2
在VPBC和VPCA内，同理： = ， = ，
tanq 4SVPBC tanq 4SVPCA
1 AP2 + c2 - BP2 BP2 + a2 - CP2 CP2 + b2 - AP2
三式相等： = = = ，
tanq 4SVPAB 4SVPBC 4SVPCA
因为 SVABC = SVPAB + SVPBC + SVPCA ，由等比性质得：
1 (AP2 + c2 - BP2 ) + (BP2 + a2 - CP2 ) + (CP2 + b2 - AP2 ) a2 + b2 + c2
= = ②
tanq 4SVPAB + 4SVPBC + 4SVPCA 4SVABC
1 1 1 1
由①②式可证得： = + + ；
tanq tan BAC tan ABC tan ACB
1 1 1
（ⅱ）因为 SVABC = SVPAB + SVPBC + SVPAC = c × AP sinq + a × BP sinq + b ×CP sinq ，2 2 2
1
即 SVABC = sinq c × AP + a × BP + b ×CP ，2
所以 c × AP + a × BP + b ×CP
2S
= VABC ，
sinq
在VPAB,VPBC,VPAC 中，
分别由余弦定理得：BP2 = c2 + AP2 - 2c × AP cosq ，CP2 = a2 + BP2 - 2a × BP cosq ，
AP2 = b2 + CP2 - 2b ×CP cosq ，
2cosq c × AP + a × BP + b ×CP = a2 + b2 2三式相加整理得 + c ，
a2 + b2 + c2 = 2cosq c × AP + a × BP + b ×CP ，
将 c × AP + a × BP + b
2S
×CP = VABC 代入得：
sinq
a2 + b2 + c2 = 2cosq 2S× VABC
sinq
若 PB平分 ABC
1
，则 ABC = 2q ， SVABC = ac sin 2q ，2
a2 b2 c2 2cosq 2SVABC 2cosq ac sin 2q所以 + + = × = × = 4ac cos2 q ③
sinq sinq
2
又由余弦定理可得： a + c2 = b2 + 2ac cos 2q = b2 + 2ac cos2 q - sin2 q ④
- b2由③ ④得： = -b2 + 2ac sin2 q + cos2 q
b2所以 = ac sin2 q + cos2 q ，
所以b2 = ac .
【点睛】关键点点睛：根据 SVABC = SVPAB + SVPBC + SVPAC 表示出三角形得面积，在VPAB,VPBC,VPAC 中，由
余弦定理相加，得出 a2 + b2 + c2 与 SVABC 的等量关系，是解决本题的关键.专题 17 解三角形（七大题型+模拟精练）
目录：
01 余弦定理、正弦定理
02 判断三角形的形状
03 解三角形与平面向量
04 解三角形几何的应用
05 取值范围、最值问题
06 解三角形的实际应用
07 解三角形解答题
01 余弦定理、正弦定理
1．（2024·浙江金华·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a，b ， c .若 a = 7 ，b = 2 ， A = 60°，则 c
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1 或 3
2．（21-22 高一下·江苏连云港·期中）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a = 3， c =1，
cos A 1+ C = - ，则b =（
2 ）
A． 7 B． 13 C．3 D． 19
3．（2022·河南·模拟预测）已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为3 3， A
π
=
3 ，
b + c = 4 3 ，则a = （ ）
A． 2 3 B．5 C．8 D． 2 2
4．（2022·山西晋城·三模） VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A = 30°,b2 + c2 - a2 = 4 3，
则VABC 的面积为（ ）
A 1． 2 B． 3 C．1 D．2
5．（2023·四川南充·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，若b2 = a2 + c2 - ac，则B =（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
3 6 3 6
02 判断三角形的形状
6．（21-22 高二上·广西桂林·期末）VABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 c = b cos A ，则VABC 一
定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
uuur 2 uuur 2 uuur 2
7．（2023·上海嘉定·一模）已知VABC ，那么“ AC + AB - BC < 0 ”是“ VABC 为钝角三角形”的（ ）
A．充分条件但非必要条件 B．必要条件但非充分条件
C．充要条件 D．以上皆非
8．（2023·贵州·一模）在VABC 中， a,b,c分别为角 A, B,C 的对边，且满足b - a = 2bsin2
C
，则VABC 的形状
2
为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形
03 解三角形与平面向量
V AB 6 BAC π π
uuur uuur uuur uuur
9．（2024·江苏盐城·模拟预测） ABC 中，若 = , = , ACB = ，则BA × BC + CA ×CB =（ ）3 4
A．54 B．27 C．9 D．3 6
r r r r r r r 3
10．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量 a，b ， c 满足 a =1， b = 3 ， a ×b = - ，2
ar r
r r r
- c,b - c = 30°，则 c 的最大值等于（ ）
A． 2 7 B． 7 C． 2 3 D．3 3
uuur uuur
CA CB
11．（2024·广东东莞·模拟预测）已知在同一平面内的三个点 A，B，C 满足 AB = 2 ， uuur - uuur 1，则
CA CB
uuur uuur
AC + BC 的取值范围是（ ）
A． 0,1 B． 0,2 C． é0, 3ù D． é 0,2 3ù
04 解三角形几何的应用
12．（2024·北京·三模）在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为正方形， AB = 4 ， PC = PD = 3， PCA = 45°，
则VPBC的周长为（ ）
A．10 B．11 C．7 + 17 D．12
13．（2024·广东广州·模拟预测）在VABC 中，角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，若 c = 3，b = 2 ， BAC
4 6
的平分线 AD 的长为 ，则BC 边上的中线 AH 的长等于（ ）
5
A 17． B 4 2． C 17 D 4 3． ．
2 3 4 3
VABC 2 2 2 2sinBsinC14．（2023·四川南充·二模）在 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若b + c = 2023a ，则 tanA ×sinA
的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
05 取值范围、最值问题
15．（2024·江苏连云港·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a =1，
bcos A =1+ cos B，则边 b 的取值范围为（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 0,2 D． 2,3
16．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角VABC 的三个内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 c = 2, B = 2C ，则 a + b
的取值范围为 （ ）
A． 2,10 B． 2 + 2 2,10 C． 2 + 2 2,4 + 2 3 D． 4 + 2 3,10
17．（2024·河南·三模）在VABC
a b 3c
中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 + = ，则 tan A + tan C
cos A cos B cosC
的最小值是（ ）
4 8
A． B． C． 2 3 D．43 3
18．（2023·陕西榆林·一模）VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 asinA + b + la sinB = csinC ，则
l 的取值范围为（ ）
A． -2,2 B． 0,2 C． -2,2 D． 0,2
06 解三角形的实际应用
19．（2024·陕西西安·模拟预测）在100m高的楼顶A 处，测得正西方向地面上B、C 两点 B、C 与楼底在同
一水平面上）的俯角分别是75o和15o，则B、C 两点之间的距离为（ ）．
A．200 2 B． 240 2 C．180 3 D． 200 3
20．（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将
小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为
a1 = 1.00m，之后将小镜子前移a = 6.00m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2 = 0.60m，已
知人的眼睛距离地面的高度为 h = 1.75m，则钟楼的高度大约是（ ）
A． 27.75m B．27.25m C． 26.75m D． 26.25m
21．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳
光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所
成的二面角为 120°，墙的高度均为 3 米．在时刻 t ，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽
度分别为 1 米、1.5 米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则
时刻 t 最可能为（ ）
太阳高度角 时间 太阳高度角 时间
43.13° 08:30 68.53° 10:30
49.53° 09:00 74.49° 11:00
55.93° 09:30 79.60° 11:30
62.29° 10:00 82.00° 12:00
A．09 : 00 B．10 : 00 C．11:00 D．12 : 00
22．（2024·云南昆明·一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球 E
和某小行星 M 绕太阳 S 在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在E0 位置时，测
出 SE0M
2π 3π
= ；行星 M 绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了E1位置，测出 SE1M = ，3 4
E1SE
π
0 = ．若地球的轨道半径为 R，则下列选项中与行星 M 的轨道半径最接近的是（参考数据：3
3 1.7）（ ）
A．2.1R B．2.2R C． 2.3R D． 2.4R
07 解三角形解答题
23．（2024·内蒙古·三模）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
a - 2b cosC = c 2cosB - cosA .
b
(1)求 的值；
a
(2)若B = 2C ，证明：VABC 为直角三角形.
24．（2024· · 3b 1- cosB四川绵阳 模拟预测）三角形三内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c .已知 = .
a sinA
(1)求角 B 的大小；
(2)若VABC 的面积等于 3，D为BC 边的中点，当中线 AD 的长最短时，求 AC 边的长.
25．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且满足
3c
- sinB = tanA ×cosB .
a
(1)求角A 的大小；
(2)若VABC 为锐角三角形且 a = 2 6 ，求VABC 面积的取值范围.
26．（2024·江西·模拟预测）在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别记为 a，b ， c，且
tan A cos B - sin C= ．
cosC + sin B
(1)若 B
π
=
6 ，求
C 的大小．
(2)若 a = 2，求b + c 的取值范围．
27．（2023·全国·模拟预测）记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
cos 2B - cos 2A = 4 cosC - cos3 C ．
π
(1)若C = ，求 A；
3
2
(2) a b若△ABC 为锐角三角形，求 + 2 的取值范围．b c
一、单选题
1．（2024·湖南·模拟预测）在VABC 中， c =1， a = 2，C = 30°，则 A =（ ）
A．60° B．90° C．45° D．120°
2．（2024·吉林·模拟预测）在VABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，“ a cos B = bcos A ”是
“ A = B ”（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·江西九江·三模）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 2c - a = 2bcosA，则B =
（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
4．（2024·陕西安康·模拟预测）在VABC 中，三个内角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，且
acos π B + = bsinA，若 ， c = 2，则b =（ ）
è 6 ÷
a = 3

A．1 B．2 C． 2 3 D．4
5．（2024·浙江绍兴·三模）在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若
2bcos(B + C) - a cosC = c cos A，则 A 等于（ ）
p p p 2p
A． B． C． D．
6 4 3 3
2
6 2024· · VABC A, B,C a,b,c B = π,b = 6, a2 + c2．（ 重庆 模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，若 = 3ac ，则VABC
3
的面积为（ ）
9
A 3
9 9
B C 9． ． ． 3 D．
4 4 2 2
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三角形 ABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c且满足 c2 - a2 = ab，
c = 2，则VABC 面积取最大值时， cosC =（ ）
A 3 -1 B 3 +1 C 2 - 2 D 2 + 2． ． ． ．
2 4 2 4
cos A cosC
8．（2024·全国·模拟预测）在锐角 VABC 中，若 3 sin A + ÷ = sin B sin C ，且a c 3sinC + cosC = 2，è
则 a + b 能取到的值有（ ）
A．5 B．4 C． 2 3 D．3
二、多选题
9．（2023·安徽·模拟预测）在VABC 中， AB = 3, B = 60o，若满足条件的三角形有两个，则 AC 边的取值可
能是（ ）
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
10．（2024·江苏南京·二模）已知VABC 内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，O为VABC 的重心，
cosA 1= ， AO = 2，则（ ）
5
uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur
A． AO = AB + AC B．
3 3 AB × AC 3
C．VABC 的面积的最大值为3 6 D． a的最小值为 2 5
11．（2024·贵州黔南·二模）已知锐角VABC 的三个内角A ， B ，C 的对边分别是 a，b ， c，且VABC 的面
3
积为 a2 + c2 - b2 .则下列说法正确的是（ ）4
B πA． = 3
π
B．A 的取值范围为 ,
π
÷
è 6 2
C．若b = 3 ，则VABC 的外接圆的半径为 2
3 3 3 3
D．若 a = 3，则VABC 的面积的取值范围为 ,8 2 ÷÷è
三、填空题
4 4
12．（2024·湖南长沙·二模）在VABC 中，若BC = 2， tan A = - ， cos B = ，则 AC = .
3 5
13．（2024·湖北襄阳·模拟预测）在 VABC 中， AB = AC ，点 D 在线段 BC 上， AB ^ AD ， BD = 3，CD =1，
uuur uuuur
点 M 是VABC 外接圆上任意一点，则 AB × AM 最大值为 .
14．（2024·江苏·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 a = 2,c = 3,cosB = bcosC, P,Q
分别在边 AB 和CB上，且 PQ把VABC 的面积分成相等的两部分，则 PQ的最小值为 .
四、解答题
π
15．（2024·河北秦皇岛·三模）在 VABC 中，内角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，C = 且 a + b = 7 ，
3
VABC 4 3的外接圆半径为 .
3
(1)求VABC 的面积；
(2)求VABC 边 AB 上的高 h .
sin C sin A - sin B
16．（2024·四川南充·模拟预测）在VABC 中， = .
sin A + sin B sin B + sin C
(1)求A ；
(2)若BC = 3，求VABC 周长的最大值.
17．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形 ABCD中， AB//CD ， AD ×sin D = 3AC ×cos ACD ，
BAC 的角平分线与BC 相交于点E ，且 AE = 1, AB = 3 .
(1)求 ACD的大小；
(2)求BC 的值.
18．（2022·河南濮阳·模拟预测）在VABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知
1+ sin B + cos B cos B sin B 7 -2 2 ÷ = 2 + 2cos B ．è 12
(1)求 cosB ;
c 2
(2) AD若 = ,D 为边 ACa 3 上一点,且BD=AC ．求 的值．DC
19．（2024·河北·二模）若 VABC 内一点 P 满足 PAB = PBC = PCA = q ，则称点 P 为 VABC 的布洛卡点，
q 为VABC 的布洛卡角．如图，已知VABC 中，BC = a ， AC = b ， AB = c，点 P 为的布洛卡点，q 为VABC
的布洛卡角．
PB
(1)若b = c ，且满足 = 3，求 ABC 的大小．
PA
(2)若VABC 为锐角三角形．
1 1 1 1
（ⅰ）证明： = + + ．
tanq tan BAC tan ABC tan ACB
（ⅱ）若 PB平分 ABC ，证明：b2 = ac．专题 17 解三角形
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2 = b2 + c2 - 2bccos A；
a b c 2 2
公式 = = = 2R b = c + a2 - 2accosB ；
sin A sin B sinC
c2 = a2 + b2 - 2abcosC．
b2 + c2 - a2cosA = ；
（1） a = 2Rsin A，b = 2RsinB， c = 2RsinC ； 2bc
a c2 + a2 - b2
常见变形 （2） sin A = ， sinB b c= ， sinC = ； cosB = ；
2R 2R 2R 2ac
a2 + b2 - c2cosC = ．
2ab
（2）面积公式：
S 1 1D ABC = absin C = bcsin A
1
= acsin B
2 2 2
S ABC abc 1D = = (a + b + c) × r （r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算 R，r．）4R 2
二、相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边 a : b : c = sin A : sin B : sin C
②大边对大角 大角对大边
a > b A > B sin A > sin B cos A < cos B
③ a + b + c a + b b + c a + c a b c合分比： = = = = = = = 2R
sin A + sin B + sin C sin A + sin B sin B + sin C sin A + sin C sin A sin B sin C
（2）△ABC 内角和定理： A + B + C = p
① sin C = sin(A + B) = sin Acos B + cos Asin B c = a cos B + bcos A
同理有： a = bcosC + c cos B ，b = ccos A + a cosC ．
② -cosC = cos(A + B) = cos Acos B - sinAsinB ；
③ tan C tan(A B) tan A + tan B斜三角形中， - = + = tan A + tan B + tanC = tan A × tan B × tanC
1- tan A × tan B
④ sin( A + B ) cos C A + B C= ； cos( ) = sin
2 2 2 2
⑤在DABC 中，内角 A，B，C 成等差数列 B p , A C 2p= + = ．
3 3
三、实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α（如图②）．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
（1）北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向（如图③）．
（2）北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方向．
（3）南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角 θ 为坡角）．
（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡度）．坡度又称为坡比．
解题方法总结
1、方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：
A 为锐角 A 为钝角或直角
图形
a = bsin A bsin A < a < b a b a > b关系式 a b
解的个
一解 两解 一解 一解 无解
数
2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，
要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有 sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有 a,b,c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有 cos x的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到 A + B + C = p ．
3、三角形中的射影定理
在VABC 中， a = bcosC + c cos B；b = a cosC + c cos A； c = bcos A + a cos B ．
高考中判定三角形的形状及求周长、面积等问题多用正弦、余弦定理来解决，难度中等，选择题、
填空题、解答题中均有出现。
一、利用正弦定理、余弦定理解三角形
2
例 1　在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a = 2，c = 2 ，cosA = - .
4
(1)求 sinC 和 b 的值 ；
π
(2)求 cos 2A + ÷的值.
è 3
答案 (1) 7 ，1
4
(2) 21 - 3
8
2 2
b + c - a
2 14
分析 （1）由 cos A = ，代入即得解b ，利用 sin2 A + cos2 A =1可得 sin A = ，再利用正弦定理
2bc 4
可得解 sin C ；
（2）先求解 cos 2A,sin 2A，利用两角和的余弦公式展开，即得解.
2 2 2
解析 （1 cos A b + c - a）因为 = ，
2bc
且 a = 2， c = 2 ， cos A 2= -
4
所以b =1；
因为 cos A 2= - ，且 sin2 A + cos2 A =1， A (0,p )
4
所以 sin A > 0,sin A 1 cos2 A 14= - =
4
又 a : sinA = c : sinC ，
解得 sinC 7= ；
4
2 3
（2）因为 cos 2A = 2cos A -1 = - ，
4
sin 2A = 2sin Acos A 7= - ，
4
cos 2A π+ 所以 ÷ = cos2Acos
π
- sin2Asin π 21 - 3=
è 3 3 3 8
方法归纳：　解三角形问题的技巧
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或
边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，
该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
二、正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点 1　三角形形状判断
B
例 2　在VABC 2中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，若 2asin = a - c ，则VABC的形状为（ ）
2
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
答案 C
分析 由正弦定理、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案.
2sinAsin2 B解析 由正弦定理可得 =sinA - sinC ，
2
所以 2sinA
1- cosB
× =sinA - sinC ，
2
即 sinAcosB = sinC = sin B + A = sinBcosA + cosBsinA，所以 sinBcosA = 0 ，
又因为B 0, π ，所以 sinB 0，则 cosA = 0，
又因为 A 0, π π，所以 A = .
2
故选：C.
方法归纳：　判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用 A＋B＋C＝π 这
个结论．
命题点 2　三角形的面积
例 3　已知VABC 的内角为 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且bcos A = 2c cosC - a cos B．
(1)求角 C 的大小：
(2)若 c = 2,b2 + c2 = a2 + 4ac cos A，求VABC 的面积．
π
答案 (1)
3
(2) 2 3
3
分析 （1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解；
（2）由 b2 + c2 = a2 + 4ac cos A 和余弦定理可得b = 2a，再次利用余弦定理求出 a、b，结合三角形的面积公式计
算即可求解.
解析 （1）bcos A = 2c cosC - a cos B，
由正弦定理得 sin B cos A = 2sin C cosC - sin Acos B ，
即 sin B cos A + sin Acos B = 2sin C cosC ，
得 sin(A + B) = 2sinC cosC ，
即 sin C = 2sin C cosC ，又C (0, π),sin C > 0，
所以1 = 2cosC ，即 cosC
1
= ，又0 < C < π，
2
π
所以C = ；
3
（2）由 b2 + c2 = a2 + 4ac cos A ，得b2 + c2 - a2 = 4ac cos A，
2
cos A b + c
2 - a2
由余弦定理得 = ，得b2 + c2 - a2 = 2bc cos A，
2bc
所以 4ac cos A = 2bc cos A ，又 cos A 0，
所以b = 2a .
π
由（1）知，C = ，
3
由余弦定理得 c2 = a2 + b2 - 2ab cosC = a2 + 4a2 - 4a2
1
× = 3a2 ，
2
又 c = 2 2 3，所以3a2 = 4 ，由 a > 0，解得 a = ，
3
b 4 3 S 1 absin C 1 2 3 4 3 3 2 3所以 = ，故 VABC = = × × × = .3 2 2 3 3 2 3
方法归纳：　三角形面积公式的应用原则
1 1 1
(1)对于面积公式 S＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
2 2 2
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
命题点 3　与平面几何有关的问题
例 4　如图所示，在梯形 ABCD中， AB / /CD ， ABC
π
= ，点E 是BC 上一点，CE
π
= 2BE = 4, AED = ，
2 3
VADE 的面积为8 3，则 AD 的长为（ ）
A． 4 3 B．6 3 C．8 D．8 2
答案 A
x y
+
分析 设 AB = x,CD = y ，求得 tan(π - AED) = 2 4x y ，得到方程 3xy - 4x - 2y -8 3 = 0，再由VADE 的面1-
2 4
积为8 3，得到 2x + y = 8 3，联立方程组，求得 x, y的值，即可求解.
x y
+
解析 由题意，设 AB = x,CD = y ，则 tan(π - AED) = tan( AED + CED) = 2 4 ，
1 x y-
2 4
x y
+
可得 2 4x y = tan
2π
= - 3 ，整理得
3 3xy - 4x - 2y -8 3 = 0
，
1-
2 4
8 3 1 (x y) 6 1 2x 1又由 = + - × - × 4y ，即 2x + y = 8 3，
2 2 2
ìxy = 24
联立可得 xy = 24

，联立方程组 í ，解得 x = 2 3, y = 4 3 ，
2x + y = 8 3
所以 AD = 62 + (y - x)2 = 4 3 .
故选：A.
方法归纳：　平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转
化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如
边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，
若研究最值，常使用函数思想．
三、解三角形的应用举例
命题点 1　距离问题
例 5　为了测量A 、 B 两岛屿之间的距离，一艘测量船在D处观测，A 、 B 分别在D处的北偏西15°、北偏
东45°方向．再往正东方向行驶 48 海里至C 处，观测 B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则
A 、 B 两岛屿之间的距离为（ ）
A． 28 3 海里 B．28 6 海里 C． 24 3 海里 D．24 6 海里
答案 D
分析 画出图形，由题意可知 ADC = 105° ， ACD = 30°，CD = 48，在△ADC 中，利用正弦定理求出 AD ，
再由△BCD为等腰直角三角形，求出BD，再在VADB 中利用余弦定理可求得结果.
解析 根据题意画出图形，如图所示：
由题意知 ADC = 105° ， ACD = 30°，CD = 48，所以 DAC = 45°，
48 AD 48
1

2
在△ADC 中，由正弦定理得： = 解得 AD = = 24 2 ，
sin 45° sin 30° 2
2
又 BDC = 45°， BCD = 90°，所以BC = DC = 48，BD = 48 2 ，
又 ADB =15° + 45° = 60°，
2 2
在VADB 中，由余弦定理得： AB2 = 48 2 + 24 2 - 2 48 2 24 2 cos 60° = 3456，
解得 AB = 24 6 ，所以A 、 B 两岛屿之间的距离为24 6 海里．
故选：D．
命题点 2　高度问题
例 6　如图，为测量山高 MN，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角
MAN = 60°,C 点的仰角 CAB = 45°以及 MAC = 75°；从C 点测得 MCA = 60° .已知山高BC =100m ，则
山高MN = （ ）
A．100m B．150m C．75m D．50 3m
答案 B
分析 在VABC 中计算 AC ，然后在△MAC 中计算 AM ，最后在VAMN 中计算出MN 即可.
BC
解析 根据题意， AC = =100 2m ，
sin 45°
在△MAC 中， CMA =180° - 75° - 60° = 45°，
AC AM
由正弦定理得 = ，
sin 45° sin 60°
所以 AM = 100 3m，
在VAMN 中，MN = AM sin 60° =150m .
故选：B
命题点 3　角度问题
例 7　《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流
长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，
在圆弧的两个端点A ， B 处分别作切线相交于点C ，测得切线 AC = 99.9cm，BC =100.2cm ， AB = 180cm ，
根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（ ）
A．0.62 B．0.56 C．-0.56 D．-0.62
答案 A
分析 由图形可知 AOB + ACB =180o ，由余弦定理求出 cos ACB，可得 cos AOB .
解析 由题意， OAC = OBC = 90o，所以 AOB + ACB =180o ，
切线 AC = 99.9cm，BC =100.2cm ，由切线长定理，不妨取 AC = BC =100cm ，
又 AB = 180cm ，由余弦定理，
2 2 2 2 2 2
有 cos AC + BC - AB 100 +100 -180 ACB = = = -0.62，
2AC × BC 2 100 100
cos AOB = cos 180o - ACB = -cos ACB = 0.62 .
故选：A
四、解三角形中的最值和范围问题
3
例 8　在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 bsin C＋ccos B＝a.
3
(1)若 a＝2，b＝ 3，求△ABC 的面积；
(2)若 c＝2，求△ABC 周长的取值范围．
3
解　(1)∵ bsin C＋ccos B＝a，
3
3
∴ sin Bsin C＋sin Ccos B＝sin A，
3
3
∴ sin Bsin C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，
3
3
∴ sin Bsin C＋sin Ccos B
3
＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
3
∴ sin Bsin C＝sin Bcos C，
3
3
∵sin B≠0，∴ sin C＝cos C，
3
又易知 cos C≠0，
∴tan C＝ 3，
∵0π
∴C＝ .
3
π
∵a＝2，b＝ 3，C＝ ，
3
1 1 π
∴S△ABC＝ absin C＝ ×2× 3×sin 2 2 3
1 3 3
＝ ×2× 3× ＝ .
2 2 2
π
(2)在△ABC 中，c＝2，C＝ ，
3
由余弦定理得 4＝a2＋b2－ab，
a＋b
∴(a＋b)2－4＝3ab≤3·( 2，2 )
3
即(a＋b)2－4≤ (a＋b)2，
4
即(a＋b)2≤16，
∴0又 a＋b>c＝2，
∴2故△ABC 周长的取值范围是(4,6]．
方法归纳：　解三角形中最值(范围)问题的解题策略
利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一边的函数或不等式，利用函数的单
调性或基本不等式等求最值(范围)．

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