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专题 21 复数（七大题型+模拟精练）
目录：
01 复数的有关概念
02 复数的几何意义
03 实系数有关的一元二次方程
04 复数的四则运算
05 复数与平面向量
06 复数的最值、取值范围问题
07 复数的三角表示
01 复数的有关概念
1．（2024·新疆·三模）复数 z 满足 z + 2i = z ，则 z 的虚部为（ ）
A．- i B． i C． -1 D．1
z 2i2．（24-25 高三上·云南·阶段练习）已知复数 = ，则下列说法正确的是（ ）1+ i
A． z =1- i B． z = 2 C． z =1+ i D． z 的虚部为 i
z -1
3．（2024·山东青岛·三模）已知复数 z 满足 = i，则
1- i z
的虚部为（ ）
A．i B．- i C．1 D． -1
a
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）若 a,b R ，纯虚数 z 满足 z - a = 2z - b i ，则 =（
b ）
1
A 1．2 B．-2 C． D．-2 2
02 复数的几何意义
5．（23-24 高三下·湖北·开学考试）已知复数 z 满足 z × z = 2 3 - 2i，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（23-24 高三上·湖北·期中）已知 i为虚数单位， a为实数，复数 z = 2i × 1+ ai 在复平面内对应的点为 M ，
则“ a > 1 ”是“点M 在第二象限”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
7．（23-24 高一下·广东江门·期末）已知复数 z = x + yi x，y R ，则复平面内点Z 满足 z - 2 + 3i = 2的图
形的面积是（ ）
A．2 B．4 C．2p D． 4p
8．（2024·宁夏·二模）已知复数 z 满足 z - 4 + 5i =1，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（23-24 高一下·辽宁·期中）在复平面内，复数 z1, z2 对应的点关于直线 y = x 对称，若 z1 = 2 + i ，则 z2 +1- 3i =
（ ）
A． 29 B．5 C． 5 D．1
03 实系数有关的一元二次方程
10．（2024·湖南岳阳·三模）若虚数单位 i是关于 x 的方程 ax3 + bx2 + 2x +1 = 0(a,b R)的一个根，则 a + bi =
（ ）
A． 2 B．2 C． 5 D．5
11．（23-24 高三上·湖北武汉·期末）已知 i是关于 x 的方程 2x2 + px + q = 0 （p， q R ）的一个根，则 p + q =
（ ）
A．0 B．-2 C．2 D．1
12．（2024·全国·模拟预测）已知 1+ i b = a i -1 + 2i，其中 a,b R ，i 为虚数单位，则以 a,b为根的一个一
元二次方程是（ ）
A． x2 -1= 0 B． x2 + x = 2 C． x2 - x = 0 D． x2 + x = 0
04 复数的四则运算
a
13．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知复数 z 满足 z = a R （其中 i为虚数单位），且 z = 2 ，则a =
1+ i
（ ）
A．2 B．±2 C． 2 2 D．±2 2
14．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知复数 z 满足 z(3 - 4i) =| 3+ 4i |，则 z =（ ）
3- 4i 3+ 4i -7 + 24i
A．3+ 4i B． C． D．
5 5 25
15．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知虚数 z 满足 z3 -1 = 0，且 z 是 z 的共轭复数，则下列结论错误的是
（ ）
A． z2 + z +1 = 0 B． z =1
C． z2 = z D． z + z2 + z3 +L+ z2024 = 0
16（多选）．（24-25 高三上·山西大同·期末）已知复数 z1, z2 ，下列说法正确的是（ ）
A z = z z2 = z2．若 1 2 ，则 1 2 B． z1z2 = z1 z2
C． z1 - z2 z1 + z2 D． z1 + z2 z1 + z2
17（多选）．（2024·山东·模拟预测）已知 z1 ， z2 为复数，则（ ）
A． z1 + z2 = z1 + z2 B
2
．若 z1 = z2 ，则 z1z2 = z1
C．若 z1 =1，则 z1 - 2 的最小值为 2 D．若 z1 × z2 = 0 ，则 z1 = 0 或 z2 = 0
18（多选）．（2024·广西贵港·模拟预测）已知复数 z1 ， z2 ， z3，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 z1z2 = z1z3，则 z1 = 0 或 z2 = z3 B．若 z
1 3 i 1 31 = - + ，则 z
2024
1 = - - i2 2 2 2
C．若 z21 + z22 = 0 ，则 z1 = z2 = 0 D．若 z1 z1 = z2 z2 ，则 | z1 |=| z2 |
05 复数与平面向量
uuur uuur uuur
19．（2024·江苏南通·模拟预测）复数 2 - 3i 与-1+ i分别表示向量OA与OB ，记表示向量 AB 的复数为 z ，则
zz = ．
uuur uuur uuur
20．（2024·全国·模拟预测）如图，复数 z 对应的向量为OZ ，且 z - i = 5，则向量OZ 在向量OP 上的投影向
量的坐标为（ ）
1 , 2 2 , 4 3 , 6 4 8 A． 5 5 ÷
B． C． D． ,5 5 ÷ 5 5 ÷ 5 5 ÷è è è è
uuur uuur
21．（22-23 2 2高三下·重庆·阶段练习）向量OZ 对应的复数为 - + i ，把2 2 OZ 绕点
O按逆时针方向旋转
uuuur uuuur
165°，得到OZ1 ，则OZ1 对应的复数为 （用代数形式表示）．
06 复数的最值、取值范围问题
1- 2 3 + zn-1
22．（23-24 高三下·全国·强基计划）复数列 zn+1 = ，且 Imz1 1，则 z -11 1 2 3 z 7 的最大值+ - n-1
是 ．
23．（23-24 高一下·重庆璧山·阶段练习）已知复数 z = a + bi(a,b R)，且 z = 2
4 a - 5
，则 z + - 的最小值
z a + 3
是 ．
24．（23-24 高三下·安徽合肥·阶段练习）已知复数 z 满足 z - 2 - 3i =1，则 z +1+ i 的最小值为 ．
25．（2024· 2 2湖南永州·三模）已知复数 z1 = m - m - 5m + 6 i， z2 =10 - m2 - 3m i ，若 z1 < z2 （ z为 z 的共轭
复数），则实数m 的取值范围为 .
07 复数的三角表示
z +1 1
26．（23-24 高三上·江苏·开学考试）已知复数 z 满足 z =1，且 = + ai，则 a =（ ）
z +1 3
1 2 2 3 4A． B． C． D．
3 3 5 5
27．（20-21 高三上·北京·强基计划）设 45° < a < 90°，把复数 z1 = 2sina + i cosa 在复平面上对应的向量按照
顺时针方向旋转135°后得到复数为 z2 = r(sin b + i cos b )，那么 tan b =（ ）
2 tana +1 2 tana -1
A． B．
2 tana -1 2 tana +1
1 1
C． D．
2 tana +1 2 tana -1
28．（2021·全国·三模）瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式
eix = cosx + isinx x R ，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是
当 x = p 时，得到一个令人着迷的优美恒等式 ep i +1 = 0，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底
e，圆周率p ，虚数单位 i，自然数的单位 1 和数字 0）联系到了一起，若 eia 表示的复数对应的点在第二象
限，则a 可以为（ ）
p 2p
A B C 3p
11p
． ． D
3 3
． 2 ． 6
一、单选题
1．（2023·陕西榆林·二模） i2020 = （ ）
A．i B．- i C．1 D． -1
2．（2024·广西柳州·模拟预测）设复数 z1 ， z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称， z1 = 2 - i，则 z1z2 =
（ ）．
A．-5 B．5 C．-8 D．8
3．（2024·四川内江·模拟预测）若复数 z 满足 z2 - 2z+4=0，则 z =（ ）
A． 3 B． 2 C． 5 D． 2
4．（2024·重庆九龙坡·三模）设 z1, z2 是关于 x 的方程 x2 + px + q = 0的两根其中 p, q R ，若 z1 = -1+ 2i （ i
1 1
为虚数单位）.则 + =z z （ ）1 2
2
A．- B
2
． 3 C．-2 D．23
5．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程 x2 + ix +1 = 0（其中 i为虚数单位）的两根分别为 z1 ， z2 ，则有
（ ）
z z
A． z21 = z
2
2 > 0 B． z1 + z2 = z z
1 2
1 2 C． 1+ z1 = 1+ z2 D． = iz1 + z2
6．（2024·山东烟台·三模）若复数 z 满足 z = z - 2 - 2i ，则 z 的最小值为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
uuur uuur
7．（2023·山西·模拟预测）设非零复数 z1 和 z2 在复平面内对应的向量分别为OP 和OQ ，其中 O 为原点，若
w z= 1
z 为纯虚数，则（ ）2
uuur uuur uuur uuur
A．OP//OQ B． OP = OQ

C． OP + OQ OP - OQ D． OP + OQ = OP - OQ
8．（2024·云南曲靖·模拟预测）若复数 z = x + yi x, y R 且 z - 5 + i = 2 ，则满足 2x - y -1 = 10 的复数 z
的个数为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．4
二、多选题
9．（2024·江苏南通·模拟预测）已知 z1 ， z2 都是复数，下列正确的是（ ）
A．若 z1 = z2 ，则 z1z2 R B．若 z1z2 R ，则 z1 = z2
C．若 z1 = z2 ，则 z21 = z
2
2 D．若 z21 + z22 = 0 ，则 z1 = z2
10．（2024·河北沧州·模拟预测）复数 z = a - 3i a 0 ，则下列说法正确的有（ ）
A． z 在复平面内对应的点都位于第四象限
B． z 在复平面内对应的点在直线 y=- 3上
C． z - z = -6i
D． z + i 的最小值为 4
11．（2025·江苏苏州·模拟预测）1843 年，Hamilton 在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的
维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他
于 10 月 16 日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在
Broughant Bridge．对四元数u = a + bi + cj+ dk ， a,b,c, d R的单位 i, j,k ，其运算满足： i2 = j2 = k2 = -1，
ij = k ， jk = i， ki = j， ji = -k， kj = -i ， ik = - j；记u = a - bi - cj- dk， N u = uu = a2 + b2 + c2 + d 2 ，
u = a2 + b2 + c2 + d 2 ，定义u-1
1
= ，记所有四元数构成的集合为V ，则以下说法中正确的有（
u ）
A．集合 1,i, j, k 的元素按乘法得到一个八元集合
B．若非零元u,v V ，则有：u-1vu = v-1
C．若u,v V ，则有： N uv = N u N v
-1 u
D．若非零元u V ，则有：u = u2
三、填空题
2 + i
12．（2024·北京·三模）若 是纯虚数，则实数 a 的值为 .
1- ai
1+ i
13 2．（2024·广西·模拟预测）已知 i 为虚数单位，若非零复数 z 满足 2 + i z = z ，则 = ．
z
1
14．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数 z = x + yi x R, y R ， z1 = -2， z2 = - ， z2 3 = i 在复平面内对
uuur uuuur uuuur
应的点分别为Z ，Z1 ，Z2 ，Z3，复数 z 满足 z - z1 = 2 z - z2 ，且Z1Z = lZ1Z2 + mZ1Z3 l R, m R ，则
3l + 2m 的最大值为 .
四、解答题
15．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明
了欧拉公式 eiq = cosq + isinq ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的q 取作 π就得到了欧拉
恒等式 eiπ +1 = 0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然
对数的底数 e，圆周率 π，两个单位——虚数单位 i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的 0 ，数
学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式： eiq = cosq + isinq ，解决以下问题：
π
(1)将复数 ie 3 + eπi 表示成 a + bi（ a,b R ， i为虚数单位）的形式；
π i
(2) e 2 + eq i求 q R 的最大值；
(3)若 zn = 1，则 z = zk k = 0,1,2,L,n -1 z cos
2kπ
，这里 k = + i sin
2kπ k = 0,1,2,L,n -1 ，称 z 为1的一个 n
n n k
5 4 3 2 1 2π
次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得 x -1 = x -1 x + x + x + x +1 ，复数 iz = e 5 ，
H x = x2 + x + 2，求H z H z2 H z3 H z4 的值．
16．（2024·贵州黔南·二模）1799 年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元 n
次多项式方程在复数域上至少有一根（ n 1）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基
础作用.由此定理还可以推出以下重要结论： n次复系数多项式方程在复数域内有且只有 n个根（重根按重数
计算）. n n-1对于 n次复系数多项式 f x = x + an-1x + ×××+ a1x + a0 ，其中 an-1， an-2 ， × × ×,a0 C，若方程 f x = 0
ì n
xi = -an-1
i=1
n
xi x j = an-2
n x , x , , x
1 i< j n
有 个复根 1 2 × × × n ，则有如下的高阶韦达定理： í n
xi x j x k = -an-31 i< j
M
n
x1x2 × × × xn = -1 a0
(1)在复数域内解方程 x2 + 4 = 0；
(2)若三次方程 x3 + ax2 + bx + c = 0的三个根分别是 x1 =1- i， x2 =1+ i， x3 = 2（ i为虚数单位），求 a，b ， c
的值；
(3) n 4 n n-1在 的多项式 f x = x + an-1x + ×××+ a1x + a0 中，已知 an-1 = -1， a1 = -n2a， a0 = a ， a为非零实数，
且方程 f x = 0的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含 n的式子表示）.专题 21 复数（七大题型+模拟精练）
目录：
01 复数的有关概念
02 复数的几何意义
03 实系数有关的一元二次方程
04 复数的四则运算
05 复数与平面向量
06 复数的最值、取值范围问题
07 复数的三角表示
01 复数的有关概念
1．（2024·新疆·三模）复数 z 满足 z + 2i = z ，则 z 的虚部为（ ）
A．- i B． i C． -1 D．1
【答案】C
【分析】设 z = a + bi ，根据模长公式列出方程，求出b = -1，得到答案.
【解析】设 z = a + bi 且 a,b R ，则 z + 2i=a + bi + 2i = a + b + 2 i ，
因为 z + 2i = z ，所以 a2 + b + 2 2 = a2 + b2 ,解得：b = -1，则 z 的虚部为 -1 .
故选：C
2i
2．（24-25 高三上·云南·阶段练习）已知复数 z = ，则下列说法正确的是（
1 i ）+
A． z =1- i B． z = 2 C． z =1+ i D． z 的虚部为 i
【答案】B
【分析】利用复数的除法运算求得 z =1+ i，进而可判断每个选项的正确性.
2i 2i(1- i)
【解析】由题意及图得， z = = =1+ i1+ i (1+ i)(1- i) ，
所以 | z |= 12 +12 = 2 ， z = 1- i， z 的虚部为 1.
故选：B.
z -1
3．（2024·山东青岛·三模）已知复数 z 满足 = i，则 z 的虚部为（ ）1- i
A．i B．- i C．1 D． -1
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算求出复数 z ，再根据共轭复数及复数虚部的定义即可得解.
z -1
【解析】由 = i，
1- i
得 z -1 = i 1- i =1+ i ，所以 z = 2+ i，
所以 z = 2 - i，其虚部为 -1 .
故选：D.
a
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）若 a,b R ，纯虚数 z 满足 z - a = 2z - b i ，则 =（
b ）
1 1A．2 B．-2 C． D．-2 2
【答案】B
【分析】利用纯虚线的定义假设 z = mi ，再利用复数的四则运算与复数相等的条件得到 a,b关于m 的表示，
从而得解.
【解析】设 z = mi （m R ，且m 0 ），
则-a + mi = 2mi - b i = -2m - bi ，
a
所以 a = 2m，b = -m，则 = -2 .
b
故选：B.
02 复数的几何意义
5．（23-24 高三下·湖北·开学考试）已知复数 z 满足 z × z = 2 3 - 2i，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】设复数 z = a + bi a,b R ，代入 z × z = 2 3 - 2i，根据复数相等和复数的几何意义可得答案.
【解析】设复数 z = a + bi a,b R ，
因为 z × z = 2 3 - 2i，
所以 a2 + b2 × a + bi = a a2 + b2 + b a2 + b2 i = 2 3 - 2i ，
ì a a2 + b2 = 2 3 ì a = 3
可得 í ，解得 í ，所以 z = 3 - i ，
b a2 + b2 = -2 b = -1
则复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
6．（23-24 高三上·湖北·期中）已知 i为虚数单位， a为实数，复数 z = 2i × 1+ ai 在复平面内对应的点为 M ，
则“ a > 1 ”是“点M 在第二象限”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据复数的运算将复数化简，然后根据复数几何意义求出复平面中的点，根据点在第二象限要求
确定 a的值，然后根据条件判断进行判断即可.
z = 2i × 1+ ai = 2i + 2ai2【解析】复数 = -2a + 2i，
所以在复平面点为M ，则M -2a, 2 ，
当点M 在第二象限时，-2a < 0，即 a > 0，
因为 a > 1 a > 0， a > 0 a > 1，
所以“ a > 1 ”是“点M 在第二象限”的充分不必要条件.
故选：A.
7．（23-24 高一下·广东江门·期末）已知复数 z = x + yi x，y R ，则复平面内点Z 满足 z - 2 + 3i = 2的图
形的面积是（ ）
A．2 B．4 C．2p D． 4p
【答案】D
【分析】利用复数的几何意义，在复平面中求出复数 z 的所有点构成的轨迹方程，再计算面积即可
【解析】因为 z = x + yi x，y R ，
所以 z - 2 + 3i = x + yi - 2 + 3i = x - 2 + y - 3 i
因为 z - 2 + 3i = 2，
所以 z - 2 + 3i = x - 2 2 + y - 3 2 = 2，即 x - 2 2 + y - 3 2 = 4，
所以复平面内点Z 满足 z - 2 + 3i = 2的图形是以 2,3 为圆心，以 2 为半径的圆，
所以它的面积为 π 22 = 4π ，
故选：D.
8．（2024·宁夏·二模）已知复数 z 满足 z - 4 + 5i =1，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解．
【解析】令 z = x + yi, x, y R ，
2
因为 z - 4 + 5i =1，所以 x - 4 + (y + 5)2 =1，
即点 (x, y)在以 4, -5 为圆心，1 为半径的圆上，该圆在第四象限内，
所以 z 在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D
9．（23-24 高一下·辽宁·期中）在复平面内，复数 z1, z2 对应的点关于直线 y = x 对称，若 z1 = 2 + i ，则 z2 +1- 3i =
（ ）
A． 29 B．5 C． 5 D．1
【答案】C
【分析】由 z1, z2 关于直线 y = x 对称求出 z2 ，再根据复数模的定义计算即可．
【解析】因为 z1 = 2 + i ，所以其对应点为 2,1 ，
2,1 关于直线 y = x 对称的点为 1,2 ，则 z2 =1+ 2i ，
所以 z2 +1- 3i = 1+ 2i +1- 3i = 2 - i = 2
2 +12 = 5 ，
故选：C．
03 实系数有关的一元二次方程
10．（2024·湖南岳阳·三模）若虚数单位 i是关于 x 的方程 ax3 + bx2 + 2x +1 = 0(a,b R)的一个根，则 a + bi =
（ ）
A． 2 B．2 C． 5 D．5
【答案】C
【分析】利用方程根的意义，结合复数为 0 的充要条件求出 a,b，再求出复数的模.
【解析】依题意， ai3 + bi2 + 2i +1 = 0，即 (2 - a)i + (1- b) = 0，又 a,b R ，
则 a = 2,b =1，所以 a + bi = 2 + i = 22 +12 = 5 .
故选：C
11．（23-24 高三上·湖北武汉·期末）已知 i是关于 x 的方程 2x2 + px + q = 0 （p， q R ）的一个根，则 p + q =
（ ）
A．0 B．-2 C．2 D．1
【答案】C
【分析】把根代入方程，利用复数的相等求出 p, q即可
【解析】 i是关于 x 的方程 2x2 + px + q = 0 的一个根，
把 i代入方程，有-2 + pi + q = 0，则有 p = 0, q = 2，所以 p + q = 2 .
故选：C
12．（2024·全国·模拟预测）已知 1+ i b = a i -1 + 2i，其中 a,b R ，i 为虚数单位，则以 a,b为根的一个一
元二次方程是（ ）
A． x2 -1= 0 B． x2 + x = 2 C． x2 - x = 0 D． x2 + x = 0
【答案】A
【分析】先根据复数相等求解出 a,b，然后再判断出能满足条件的方程即可.
【解析】因为 1+ i b = a i -1 + 2i，所以b + bi = -a + a + 2 i，
ìb = -a ìa = -1
所以 íb a 2，所以 = +
í
b =1
，
因此所选方程的两根为 ±1，仅有 x2 -1= 0符合要求，
故选：A.
04 复数的四则运算
13．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知复数 z z
a
满足 = a R （其中 i为虚数单位），且 z = 2 ，则a =
1+ i
（ ）
A．2 B．±2 C． 2 2 D．±2 2
【答案】B
【分析】先对复数化简，然后由 z = 2 列方程可求出 a
a a(1- i) a - ai a a
【解析】 z = = = = - i1+ i (1 ，+ i)(1- i) 2 2 2
2 2
z = 2 a a+ - 因为 ，所以 2 ÷ ÷
= 2，
è è 2
化简得 a2 = 4，解得 a = ±2 .
故选：B
14．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知复数 z 满足 z(3 - 4i) =| 3+ 4i |，则 z =（ ）
3- 4i 3+ 4i -7 + 24i
A．3+ 4i B． C． D．
5 5 25
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算及模长公式即可求得 z .
【解析】因为 z(3 - 4i) =| 3+ 4i |，
3+ 4i 5 3 + 4i 5 3 + 4iz 3+ 4i所以 = = = =3- 4i 3- 4i 3 + 4i 25 5 .
故选：C
15．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知虚数 z 满足 z3 -1 = 0，且 z 是 z 的共轭复数，则下列结论错误的是
（ ）
A． z2 + z +1 = 0 B． z =1
C． z2 = z D． z + z2 + z3 +L+ z2024 = 0
【答案】D
A B A z 1 3【分析】对 ，根据立方差公式判断即可；对 ，由 可解得 = - ± i，结合复数的模长即可判断；对
2 2
C z 1 3，根据 = - ± i求解即可；对 D，根据等比数列的求和公式结合 z3 =1， z2 + z +1 = 0求解即可.
2 2
A z3 1 0 z -1 z2【解析】对 ，因为 - = ，故 + z +1 = 0，因为 z 为虚数，故 z2 + z +1 = 0，故 A 正确；
1 3
对 B，由 z2 + z +1 = 0可得 z = - ± i，故 z =1，故 B 正确；
2 2
1 3 1 3
对 C，当 z = - + i时， z2 = - - i，此时 z2 = z 成立，
2 2 2 2
z 1 3当 = - - i时， z2 1 3= - + i，此时 z2 = z 成立，故 C 正确；
2 2 2 2
z 1- z2024
对 D， z + z2 + z3 2024

+L+ z = ，因为 z3 =1， z2 + z +1 = 0，
1- z
z 1- z2024 z 1- z2
故 = = z 1+ z = z2 + z = -1，故 D 错误.
1- z 1- z
故选：D
16．（24-25 高三上·山西大同·期末）已知复数 z1, z2 ，下列说法正确的是（ ）
A 2 2．若 z1 = z2 ，则 z1 = z2 B． z1z2 = z1 z2
C． z1 - z2 z1 + z2 D． z1 + z2 z1 + z2
【答案】BCD
【分析】举出反例即可判断 A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断 B；根据复数加减法的几何
意义及坐标表示即可判断 CD.
【解析】对于 A，设 z1 =1+ 2i, z2 = 2 + i，显然 z1 = z2 ，
z2但 1 = -3+ 4i z
2
2 = 3+ 4i，故 A 错；
对于 B，设 z1 = a + bi, z2 = c + di，
则 z1z2 = ac - bd + ad + bc i，
z1z2 = ac - bd
2 + ad + bc 2 = a2c2 + a2d 2 + b2c2 + d 2d 2 ，
z z = a2 + b2 × c2 + d 2 21 2 = a c
2 + a2d 2 + b2c2 + d 2d 2 ，
所以 z1z2 = z1 z2 ，故 B 对；
uuuur
对于 CD，根据复数的几何意义可知，复数 z1 在复平面内对应向量OZ1 ，
uuuur
复数 z2 对应向量OZ2 ，复数加减法对应向量加减法，
uuuur uuuur
故 z1 - z2 和 z1 + z2 分别为OZ1 和OZ2 为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，
所以 z1 - z2 z1 + z2 ， z1 + z2 z1 + z2 ，故 C 对，D 对.
故选：BCD.
17．（2024·山东·模拟预测）已知 z1 ， z2 为复数，则（ ）
A． z1 + z2 = z1 + z
2
2 B．若 z1 = z2 ，则 z1z2 = z1
C．若 z1 =1，则 z1 - 2 的最小值为 2 D．若 z1 × z2 = 0 ，则 z1 = 0 或 z2 = 0
【答案】BD
【分析】通过列举特殊复数验证 A；设 z1 = a + bi, a,b R ，则 z2 = a - bi, a,b R ，通过复数计算即可判断
B；设 z1 = a + bi, a,b R ，由复数的几何意义计算模长判断 C；由 z1 × z2 = 0 得 z1 z2 = 0，即可判断 D.
【解析】对于 A，若 z1 =1+ i,z2 =1- i，则 z1 + z2 = 1+ i +1- i = 2， z1 + z2 = 1+ i + 1- i = 2 2 ，则
z1 + z2 z1 + z2 ，故 A 错误；
对于 B，设 z1 = a + bi, a,b R ，则 z2 = a - bi, a,b R ，
2 2 2
所以 z1z2 = a + bi a - bi = a + b ，而 z1 = a2 + b2 ，
2
所以 z1z2 = z1 ，故 B 正确；
对于 C，设 z = a + bi, a,b R ，因为 z =1，所以 a21 1 + b2 =1，
所以 z - 2 = a - 2 + bi = a - 2 2 + b2 = a2 + b21 - 4a + 4 = 5 - 4a ，
因为-1 a 1，所以1 5 - 4a 9，所以 z1 - 2 的最小值为 1，故 C 错误；
对于 D，若 z1 × z2 = 0 ，所以 z1 × z2 = 0，所以 z1 z2 = 0，
所以 z1 = 0或 z2 = 0 ，所以 z1, z2 至少有一个为 0，故 D 正确.
故选：BD
18．（2024·广西贵港·模拟预测）已知复数 z1 ， z2 ， z3，则下列说法中正确的有（ ）
A 1 3 1 3．若 z z = z 20241 2 1z3，则 z1 = 0 或 z2 = z3 B．若 z1 = - + i，则 z1 = - - i2 2 2 2
C．若 z2 + z21 2 = 0 ，则 z1 = z2 = 0 D．若 z1 z1 = z2 z2 ，则 | z1 |=| z2 |
【答案】ABD
A z3 2024【分析】根据复数的运算法则可判断 ；先计算 1 =1，再求 z1 ，判断 B；用特例验证 C；利用 z × z = z
2
说
明 D 正确.
【解析】对于 A， z1z2 = z1z3 z1(z2 - z3) = 0 z1 = 0或 z2 = z3 ，故 A 正确．
B z2 1 3= - - i z3 1 3 n对于 ，方法： 1 ， 1 =1， z
4
1 = - + i，所以 z1 以 3 为周期，所以2 2 2 2
z2024 3 674+21 = z1 = z
2 1 3
1 = - - i，故 B 正确．2 2
z = cos 2π + i sin 2π z 2π1 z2024方法二（复数的三角表示）： 1 ，所以 1 的模为 ，辐角为 ，则 1 的模为 1，辐角为3 3 3
2π
2024 = 2π 674 4π+ ，
3 3
所以 z2024 4π1 = cos + i sin
4π 1 3
= - - i．故 B 正确．
3 3 2 2
对于 C，取 z1 =1， z2 = i，则 z21 + z22 = 0 ，此时 z1 z2 ，故 C 错误．
对于 D， z1 z1 =| z1 |
2， z2 z =| z |
2
2 2 ，所以 z1 z1 = z2 z2 | z1 |=| z2 |，故 D 正确．
故选：ABD
05 复数与平面向量
uuur uuur uuur
19．（2024·江苏南通·模拟预测）复数 2 - 3i 与-1+ i分别表示向量OA与OB ，记表示向量 AB 的复数为 z ，则
zz = ．
【答案】25
uuur uuur uuur
【分析】根据题意，由向量的减法可得 z = AB = OB - OA，再由复数的乘法运算，代入计算，即可求解.
uuur uuur uuur
【解析】由题意可知， z = AB = OB - OA = -1+ i - 2 - 3i = -3 + 4i，
则 z = -3- 4i ，所以 zz = -3+ 4i -3- 4i = 9 +16 = 25 .
故答案为：25
uuur uuur uuur
20．（2024·全国·模拟预测）如图，复数 z 对应的向量为OZ ，且 z - i = 5，则向量OZ 在向量OP 上的投影向
量的坐标为（ ）
1 , 2 2 4 3 6 4 8 A． B．5 5 ÷
, ÷ C． ,5 5 5 5 ÷
D． , ÷
è è è è 5 5
【答案】D
【分析】首先根据复数的几何意义设出复数 z = -m+ mi m > 0 ，再根据复数模的公式，即可求解m ，再代
入向量的投影公式，即可求解.
2
【解析】由题图可知， z = -m+ mi m > 0 ，则 z -i = -m+ m-1 i = m2 + m-1 =5，
解得m = 4 （m = -3舍去），
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur OZuu×OP OP所以OZ = -4,4 ，OP = 2,4 ，则向量OZ 在向量OP 上的投影向量为 ur × uuurOP OP ，
-4,4 × 2,4 2,4 8 2,4 4 8
所以其坐标为 = = , ÷．
22 + 42 22 + 42 20 20 è 5 5
故选：D
uuur uuur
21．（22-23 2 2高三下·重庆·阶段练习）向量OZ 对应的复数为 - + i ，把2 2 OZ 绕点
O按逆时针方向旋转
uuuur uuuur
165°，得到OZ1 ，则OZ1 对应的复数为 （用代数形式表示）．
1 3
【答案】 - i
2 2

Z 2 2

【分析】依题意可得 - , ÷÷，设角a 0° a < 360° 的终边过点Z ，即可求出a ，再求出
è 2 2
uuuur
sin a +165° ， cos a +165° ，即可求出旋转后对应的Z1 ，即可求出OZ1 对应的复数.
uuur 2 2 2 2 2 2
【解析】因为向量OZ 对应的复数为 - + i ，则在复平面内复数 - + i 对应的点为Z - , ÷2 2 2 2 2 2 ÷，è

设角a 0° a < 360° Z 2 , 2- 2 2的终边过点 ，则 ， ，
è 2 2
÷÷ sina = cosa = -
2 2
所以a =135°，
由a +165° = 300° 3，所以 sin a +165° = sin 300° = -sin 60° = - ，
2
cos a +165° = cos300 cos 60 1° = ° = ，
2
uuur uuuur 1 3
将把OZ 绕点O按逆时针方向旋转165°得到OZ1 ，则Z1 ,-2 2 ÷÷，è
uuuur
所以OZ 1 31 对应的复数为 - i .2 2
1 3
故答案为： - i
2 2
06 复数的最值、取值范围问题
1- 2 3 + zn-1
22．（23-24 高三下·全国·强基计划）复数列 zn+1 = Imz 1 z -11+ 1 2 3 z ，且 1 ，则 的最大值- 7n-1
是 ．
18
【答案】
1653 - 900 3 +10 3 -18
【分析】对递推式进行处理，求出 z7 的表达式，然后使用几何意义及圆的方程求解最大值.
1- 2 3 + z 1- 2 3 + zn-1 -1- 1- 2 3 zn-1 n-1 2 3 zn-1 -1
【解析】由已知有 zn+1 -1 = -1 = = ，1+ 1- 2 3 zn-1 1+ 1- 2 3 zn-1 1+ 1- 2 3 zn-1
z 1 1- 2 3 + z
1- 2 3 + zn-1 +1+ 1- 2 3 zn-1 2 - 2 3 z +1
+ = n-1
n-1
且 n+1 +1 = = .1+ 1- 2 3 zn-1 1+ 1- 2 3 zn-1 1+ 1- 2 3 zn-1
3
zn+1 +1 2 - 2 3 z +1 3 n-1 1 zn-1 +1= × = - × z +1
3 z +1
故 ÷÷ ，得
7 = - 1- ÷ ×
1
÷ .zn+1 -1 2 3 zn-1 -1 è 3 zn-1 -1 z7 -1 è 3 z1 -1
3

设 z1 = a + bi a,b R,b 1
z7 +1 3 a + bi +1，则 = -
z
1- ÷÷ × .
7 -1 è 3 a + bi -1
3

1 3 a + bi +1 - × -1
è 3
÷
a + bi -1
解得 z7 = 3 .

1
3 a + bi +1
- ÷ × +1
è 3 a + bi -1
a + bi +1 2c a + b
2 -1- 2bi 2 a -1
由于对 c > 0，有 + = 2 + c = 1+ c
2b
+ - i .
a + bi -1 a -1 + b2 a -1 2 + b2 a -1 2 + b2
2 2
2 a -1
而由 2 ÷ +
2b ÷ 4 2 2b 2b= = × 2 × 可知，复数在复平面上位
a -1 + b2 ÷ è è a -1
2 + b2 ÷ a -1 2 + b2 b a -1 2 + b2 a -1 2 + b2
于区域 x2 + y2 2y 内，即圆 x2 + y -1 2 =1内部或其边界上.
a + bi +1 2 a -1 2b
从而 + c = 1+ c + 2 - 2 i 1+ c
2 +12 -1 .
a + bi -1 a -1 + b2 a -1 + b2
-3 -3 2
a + bi +1 3 3
故 + 1- ÷ ÷ 1+ 1- ÷ ÷÷ +1
2 -1.
a + bi -1 è 3 3 ÷è è
3

1 3
a + bi +1
- ÷ × -1
z 1 è
3 a + bi -1 1 2所以 7 - = 3 - =
3
1 3
a + bi +1
- ÷ × +1 1
3 a + bi +1
- × +1
è 3 a + bi -1
÷
è 3 a + bi -1
2 1 2 1
= 3 × 3 ×
-3 2
1 3- a + bi +1
3 3 1 1-
-3
+ -
è 3
÷ ÷
a + bi -1
3 ÷ è 3 1
3
+ 1- ÷ ÷ +12 -1è 3 ÷
è è
2 18
= =
3 2 6 3 3 3 3 1653- 900 3 +10 3 -18 . 1- ÷ +1÷ + 1- - 3 ÷ 3 ÷
1- ÷
èè
3
è è
2 a -1 2b -3
而当b =1，且复数 2 - 2 i

位于圆 x2 +y2
3
2 2 +2y = 0上，且在圆心与 -1- 1- ,0÷ a -1 + b a -1 ÷ 的连线+ b 3 ÷è è ÷
上时，等号成立.
18
所以 z7 -1 的最大值是 .1653 - 900 3 +10 3 -18
18
故答案为： .
1653 - 900 3 +10 3 -18
4 a - 5
23．（23-24 高一下·重庆璧山·阶段练习）已知复数 z = a + bi(a,b R)，且 z = 2，则 z + - 的最小值
z a + 3
是 ．
【答案】1
z = 2 2 4 (a + bi)(a - bi)【分析】由 ，得 a + b2 = 4，-2 a 2，则 z + = a + bi + = 2a，所以z a + bi
z 4 a - 5 (a + 3) -8+ - = 2a - ，变形后利用基本不等式可求得结果.
z a + 3 a + 3
【解析】因为复数 z = a + bi(a,b R)，且 z = 2，
所以 a2 + b2 = 4，所以 a2 4，得-2 a 2，
4 2 2
所以 z + = a + bi a + b a bi (a + bi)(a - bi)+ = + + = 2a，
z a + bi a + bi
4 a - 5
所以 z + - = 2a
(a + 3) -8
-
z a + 3 a + 3
= 2a 8+ -1
a + 3
2(a 3) 8= + + - 7，
a + 3
因为-2 a 2，所以 a + 3 > 0,
8
> 0，
a + 3
8
所以 2(a + 3) + - 7 2 2(a 8+ 3) × - 7 = 8 - 7 =1，
a + 3 a + 3
8
当且仅当 2(a + 3) = ，即 a = -1或 a = -5（舍去）时取等号，
a + 3
z 4 a - 5所以 + - 的最小值是 1.
z a + 3
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：此题考查复数的运算，考查基本不等式的应用，解题的关键是化简
z 4 a bi (a + bi)(a - bi)+ = + + = 2a，考查数学转化思想，属于较难题.
z a + bi
24．（23-24 高三下·安徽合肥·阶段练习）已知复数 z 满足 z - 2 - 3i =1，则 z +1+ i 的最小值为 ．
【答案】 4
【分析】由复数的几何意义，数形结合得出 z +1+ i 的最小值并求出即可.
【解析】
如图： z - 2 - 3i = z - 2 + 3 i =1 ，
则 z 的几何意义是复平面内的动点 x, y 到定点 A 2,3 的距离等于1，
对应的轨迹为以A 为圆心，半径为1的圆．
z +1+ i = z - -1- i 的几何意义为动点 x, y 到定点B -1, -1 的距离，
由图形可知：当点位于C 时， z +1+ i 取的最小值，
2 2
由 AB = -1- 2 + -1- 3 = 5，
所以 z +1+ i 的最小值为： AB -1 = 4，
故答案为：4
25．（2024·湖南永州· 2 2 2三模）已知复数 z1 = m - m - 5m + 6 i， z2 =10 - m - 3m i ，若 z1 < z2 （ z为 z 的共轭
复数），则实数m 的取值范围为 .
【答案】 3
【分析】由题意可知 z1, z2 都是实数，且 z1 < z2 ,再结合共轭复数的定义列出不等式组，解出m 的取值范围
即可.
【解析】Q z2 =10 - (m
2 - 3m)i ,\ z2 =10 + (m
2 - 3m)i ,
Q z1 < z2 ,\ z1 , z2 都是实数，且 z1 < z2 ,
ìm2 - 5m + 6 = 0
\ m2í - 3m = 0 ,解得m = 3 ,
m2 <10
即实数m 的取值范围为{3}.
故答案为：{3}.
z +1 1
26．（23-24 高三上·江苏·开学考试）已知复数 z 满足 z =1，且 = + ai，则 a =（ ）
z +1 3
1 3 4
A． B 2 2． C． D．
3 3 5 5
【答案】B
z +1
【分析】由题设令 z = cosq + i sinq ，利用复数除法化简 ，再由复数相等求 a .
z +1
【解析】令 z = cosq + i sinq -1，则 z = cosq - i sinq -1，
z +1 cosq +1+ i sinq (cosq +1+ i sinq )2 2cos2 q + 2cosq + 2sinq (cosq +1)i 1
所以 = =
z +1 cosq +1- i sinq (cosq +1)2 2
= = cosq + i sinq = + ai ，
+ sin q 2 + 2cosq 3
ì
cosq
1
=
3 a 1 cos2 q 2 2则 í ，故 = - = .
sinq = a 3
故选：B
07 复数的三角表示
27．（20-21 高三上·北京·强基计划）设 45° < a < 90°，把复数 z1 = 2sina + i cosa 在复平面上对应的向量按照
顺时针方向旋转135°后得到复数为 z2 = r(sin b + i cos b )，那么 tan b =（ ）
2 tana +1 2 tana -1
A． B．
2 tana -1 2 tana +1
1 1
C． D．
2 tana +1 2 tana -1
【答案】B
【分析】利用复数乘法的几何意义可求 tan b .
【解析】根据乘法的几何意义可得：
r(sin b i cos b ) 2sina i cosa écos 3π 3π+ = + - + i sin - ùê ÷ ÷ ，
è 4 è 4 ú

整理得到： r(sin b + i cos b ) = 2sina + i cosa 2 2 - - i ÷÷
è 2 2

= - 2 sina 2+ cosa + i - 2 sina
2
- cosa
2 2 ÷÷
，
è
- 2 sina 2+ cosa
tan b 2 2 tana -1故 = = ，
2 2 tana +1
- 2 sina - cosa
2
故选：B.
28．（2021·全国·三模）瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式
eix = cosx + isinx x R ，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是
当 x = p 时，得到一个令人着迷的优美恒等式 ep i +1 = 0，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底
e，圆周率p ，虚数单位 i，自然数的单位 1 和数字 0）联系到了一起，若 eia 表示的复数对应的点在第二象
限，则a 可以为（ ）
p 2p 3p 11p
A． B． C． D．
3 3 2 6
【答案】B
【分析】将选项中所给的角逐一带入，由欧拉公式把复数 eia 化为三角形式，再化为代数形式，即可判断复
数在复平面内对应的点在第几象限，从而得到结果.
【解析】得 eia = cosa + isina ，
a p
p i
当 = 3 p时，
3 e = cos + isin
p 1 3 i 1 3= + ，复数对应的点 ( , )在第一象限；
3 3 2 2 2 2
2p 2p ia = e 3 cos 2p isin 2p 1 3 i ( 1 3当 3 时， = + = - + ，复数对应的点 - , )在第二象限；3 3 2 2 2 2
a 3p
3p i
= e 2 cos 3p isin 3p当 时， = + = -i ，复数对应的点 (0, -1) 在 y 轴上；
2 2 2
α 11p
11p i
= e 6 cos11p isin 11p 3 1 3 1当 时，6 = + = - i
，复数对应的点 ( ,- )在第四象限；
6 6 2 2 2 2
故选：B．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关数学文化类问题，正确解题的关键是理解欧拉公式，并能将复数
三角形式熟练化为代数形式，确定出复数在复平面内对应的点.
一、单选题
1．（2023·陕西榆林·二模） i2020 = （ ）
A．i B．- i C．1 D． -1
【答案】C
【分析】利用复数的乘方运算计算即得.
【解析】 i2020 = (i4 )505 =1.
故选：C
2．（2024·广西柳州·模拟预测）设复数 z1 ， z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称， z1 = 2 - i，则 z1z2 =
（ ）．
A．-5 B．5 C．-8 D．8
【答案】A
【分析】由复数的几何意义知 z2 = -2 - i，再由复数的四则运算，即可求解．
【解析】因为复数 z1 ， z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且 z1 = 2 - i，
所以 z2 = -2 - i，所以 z1z2 = 2 - i -2 - i = -5．
故选：A．
3．（2024·四川内江·模拟预测）若复数 z 满足 z2 - 2z+4=0，则 z =（ ）
A． 3 B． 2 C． 5 D． 2
【答案】B
【分析】根据复数的四则运算以及复数模的计算公式即可求解.
【解析】因为 z2 - 2z + 4 = (z -1)2 + 3 = 0，
所以 (z -1)2 = -3 = 3i2 ，
解得 z = 1± 3i ，
所以 | z |= 1+ 3 = 2 .
故选：B.
4．（2024·重庆九龙坡·三模）设 z , z 是关于 x 的方程 x21 2 + px + q = 0的两根其中 p, q R ，若 z1 = -1+ 2i （ i
1 1
为虚数单位）.则 + =z z （ ）1 2
2 2
A．- B． C3 ．-2 D．23
【答案】A
【分析】根据实系数一元二次方程在复数范围内根的关系求出另一个根，再代入求解即可.
【解析】因为关于 x 的方程 x2 + px + q = 0( p, q R)的一个根为 z1 = -1+ 2i ，
所以另一个根 z2 = -1- 2i ，
1 1 1 1 -1- 2i -1+ 2i 2
所以 + = + = = -z1 z2 -1+ 2i -1- 2i .-1+ 2i -1- 2i 3
故选：A.
5．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程 x2 + ix +1 = 0（其中 i为虚数单位）的两根分别为 z1 ， z2 ，则有
（ ）
A 2 2
z z
． z1 = z2 > 0 B． z1 + z2 = z1z2 C． 1+ z1 = 1+ z2 D
1 2
． = iz1 + z2
【答案】D
【分析】设方程 x2 + ix +1 = 0的根为 z = a + bi ，将其代入方程中的 x 中，根据复数相等的条件，构造方程组，
解出 a , b .则两根 z1, z2 知道了，再逐项代入验证即可.
【解析】设方程 x2 + ix +1 = 0的根为 z = a + bi a,b R ，
代入方程， (a + bi)2 + i(a + bi) +1 = 0 ,整理得 (a2 - b2 - b +1) + (a + 2ab)i = 0，
2 2 ìa = 0ìa - b - b +1 = 0
故 í ，则 í -1± 5 ，
a + 2ab = 0 b = 2
z -1+ 5 -1- 5不妨令 1 = i,， z2 2
= i，
2
对于 A：因为 z2 5 - 3 2 3+ 5 2 21 = , z2 = - ，即 z1 z2 ，故 A 错误；2 2
对于 B： z1 + z2 = -i z1z2 = 1，故 B 错误.
2
C: 1 z 1 -1+ 5

i = 1 -1+ 5
5 - 5
对于 + 1 = + +2 2 ÷÷
= ,
è 2
2
1 z 1 -1- 5
-1- 5 i 1 5 + 5+ 2 = + = +2 2 ÷÷
= ，
è 2
因此， 1+ z1 1+ z2 ,故 C 错误.
z z 1
对于 D 1 2： = = iz1 + z -i
,故 D 正确.
2
故选:D.
6．（2024·山东烟台·三模）若复数 z 满足 z = z - 2 - 2i ，则 z 的最小值为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】B
【分析】由复数的几何意义即可求解.
【解析】若复数 z 满足 z = z - 2 - 2i ，则由复数的几何意义可知复数 z 对应的点集是线段OA的垂直平分线，
其中O 0,0 , A 2,2 ，
z 1 OA 1 2所以 的最小值为 = 2 + 22 = 2 .
2 2
故选：B.
uuur uuur
7．（2023·山西·模拟预测）设非零复数 z1 和 z2 在复平面内对应的向量分别为OP 和OQ ，其中 O 为原点，若
w z= 1
z 为纯虚数，则（ ）2
uuur uuur uuur uuur
A．OP//OQ B． OP = OQ

C． OP + OQ OP - OQ D． OP + OQ = OP - OQ
【答案】D
【分析】设 z1 = a + bi ， z2 = c + di，w = ki ，根据题意结合复数的乘除法运算求出 a,b,c, d , k 的关系，再根据
复数的向量表示逐一判断即可.
【解析】设 z1 = a + bi ， z2 = c + di，w = ki ，
其中 a，b，c，d， k R ，且 a，b 不同时为 0，c，d 不同时为 0， k 0，
由题意 a + bi = ki c + di = -kd + cki，
uuur uuur
所以OP ×OQ = (a,b) × (c, d ) = ac + bd = -kdc + kcd = 0，
uuur uuur
所以OP OQ，故 A 错误；
uuur uuur uuur uuur
OP = a2 + b2 , OQ = c2 + d 2 ，无法比较 OP , OQ 的大小，故 B 错误；
2 2OP + OQ × OP - OQ = OP - OQ ，

由 B 选项得，无法判断 OP + OQ , OP - OQ 的关系，故 C 错误；
2 2
OP + OQ - OP - OQ = 4OP ×OQ = 0，

所以 OP + OQ = OP - OQ ，故 D 正确.
故选：D.
8．（2024·云南曲靖·模拟预测）若复数 z = x + yi x, y R 且 z - 5 + i = 2 ，则满足 2x - y -1 = 10 的复数 z
的个数为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．4
【答案】A
【分析】由 z - 5 + i = 2 可得复数 z 对应的点在圆心为 5,-1 ，半径为 2 的圆上，
又 2x - y -1 = 10 的几何意义为复数 z 在复平面内的点到直线 2x - y -1 = 0 的距离为 2 ，则由圆心 5,-1 到
直线 2x - y -1 = 0 的距离为 2 5 ，即可得到复数 z 的个数.
【解析】因为 z = x + yi，所以 z - 5 + i = x - 5 + y +1 i，
又 z - 5 + i = 2 2 2，所以 x - 5 + y +1 = 2，
即复数 z 对应的点在圆心为 5,-1 ，半径为 2 的圆上，
2x - y -1
又 2x - y -1 = 10 可以变形为 = 2 ，
5
即其几何意义为复数 z 在复平面内的点到直线 2x - y -1 = 0 的距离为 2 ，
2 5 - -1 -1
又圆心 5,-1 到直线 2x - y -1 = 0 的距离为 = 2 5
22
，
- -1 2
而 2 5 - 2 > 2 ，所以满足条件的 z 不存在.
故选：A.
二、多选题
9．（2024·江苏南通·模拟预测）已知 z1 ， z2 都是复数，下列正确的是（ ）
A．若 z1 = z2 ，则 z1z2 R B．若 z1z2 R ，则 z1 = z2
C．若 z1 = z 2 22 ，则 z1 = z2 D．若 z21 + z22 = 0 ，则 z1 = z2
【答案】AD
【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断 A；举出反例即可判断 BC；根据复数的乘法运算
及复数的模的计算公式即可判断 D.
【解析】设 z1 = a + bi, z2 = c + di, a,b,c,d R ，
对于 A， 若 z1 = z2 ，则 z1 = c - di，故 z1z2 = c
2 + d 2 R ，故 A 正确；
对于 B，当 z1 = z2 = i时， z1z2 = -1 R, z2 = -i z1，故 B 错误；
2 2
对于 C，当 z1 =1, z2 = i时， z1 =1, z2 = -1，故 C 错误；
对于 D，若 z2 21 + z2 = 0 ，则 z
2
1 = -z
2 2 2 2
2 ，所以 z1 = -z2 = z2 ，
z2 = a2 - b2 + 2abi = a2 2 2 2 2 21 - b + 4a b = a2 + b2 = a2 + b2 = z 21 ，
2 2 2 2
同理 z2 = z2 ，所以 z1 = z2 ，所以 z1 = z2 ，故 D 正确.
故选：AD.
10．（2024·河北沧州·模拟预测）复数 z = a - 3i a 0 ，则下列说法正确的有（ ）
A． z 在复平面内对应的点都位于第四象限
B． z 在复平面内对应的点在直线 y=- 3上
C． z - z = -6i
D． z + i 的最小值为 4
【答案】BC
【分析】由复数的几何意义，即可判断 A 和 B；根据共轭复数的概念及复数的加减运算法则判断 C；由复数
的模即可判断 D．
【解析】对于 AB，因为 z = a - 3i，所以 z 在复平面内对应的点为 a,-3 a 0 ，故 A 错误，B 正确；
对于 C， z = a + 3i, z - z = a - 3i - a + 3i = -6i ，故 C 正确；
对于 D， z + i = a - 2i = a2 + 4 2 ，当 a = 0时， z + i 取最小值为 2，故 D 错误；
故选：BC．
11．（2025·江苏苏州·模拟预测）1843 年，Hamilton 在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的
维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他
于 10 月 16 日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在
Broughant Bridge．对四元数u = a + bi + cj+ dk ， a,b,c, d R的单位 i, j,k ，其运算满足： i2 = j2 = k2 = -1，
ij = k ， jk = i， ki = j， ji = -k， kj = -i ， ik = - j；记u = a - bi - cj- dk， N u = uu = a2 + b2 + c2 + d 2 ，
1
u = a2 + b2 + c2 + d 2 -1，定义u = ，记所有四元数构成的集合为V ，则以下说法中正确的有（
u ）
A．集合 1,i, j, k 的元素按乘法得到一个八元集合
B．若非零元u,v V ，则有：u-1vu = v-1
C．若u,v V ，则有： N uv = N u N v
-1 u
D．若非零元u V ，则有：u = u2
【答案】ACD
【分析】对于 A，利用已知条件求出所求集合为 1,i, j, k, -1, -i, - j, -k 即可；对于 B，直接给出反例u =1， v = 2
即可；对于 C，利用 N u 的定义计算即可；对于 D，利用 C 选项的结果验证即可.
【解析】对于 A，由于 i2 = j2 = k2 = -1， ji = -k， kj = -i ， ik = - j，故集合 1,i, j, k 的元素按乘法可以得到
集合 1,i, j, k,-1,-i,- j,-k ，容易验证该集合中任意两个元素的乘积还在该集合中，故集合 1,i, j, k 的元素按
乘法得到的集合是八元集合 1,i, j, k,-1,-i,- j,-k ，故 A 正确；
B u =1 v = 2 u-1vu =1-1
1 -1
对于 ，取 ， ，则 × 2 ×1 =1×2 ×1 = 2 = 2 = v-1，故 B 错误；
2
对于 C，若u,v V ，设u = a + bi + cj+ dk ， v = x + yi + zj+ wk ，则
N uv = N a + bi + cj+ dk x + yi + zj+ wk
= N ax - by - cz - dw + ay + bx + cw - dz i + az + cx + dy - bw j+ aw + dx + bz - cy k
= ax - by - cz - dw 2 + ay + bx + cw - dz 2 + az + cx + dy - bw 2 + aw + dx + bz - cy 2
= a2x2 + b2x2 + c2x2 + d 2x2 + a2 y2 + b2 y2 + c2 y2 + d 2 y2 + a2z2 + b2z2 + c2z2 + d 2z2 + a2w2 + b2w2 + c2w2 + d 2w2
= a2 + b2 + c2 + d 2 x2 + y2 + z2 + w2
= N a + bi + cj+ dk N x + yi + zj+ wk
= N u N v ，故 C 正确；
2
对于 D，根据题目中的定义有 N u = u ，从而
u u uu uu
N u N u N u
× = = = = = =1
u2 u2 N u2 N .u2 N u ×u N u N u
-1 u
所以u = u2 ，故 D 正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可求解所求的问题.
三、填空题
2 + i
12．（2024·北京·三模）若 是纯虚数，则实数 a 的值为 .
1- ai
【答案】 2
【分析】求出复数的代数形式，然后根据纯虚数的定义列方程求解即可.
2 + i 2 + i 1+ ai 2 - a + 2a +1 i
【解析】 = =1- ai 1- ai 1 ，+ ai 1+ a2
2 + i
因为 是纯虚数，
1- ai
ì2 - a = 0
所以 í ，得 a = 2 .
2a +1 0
故答案为： 2
1+ i
13．（2024· 2广西·模拟预测）已知 i 为虚数单位，若非零复数 z 满足 2 + i z = z ，则 = ．
z
3 1
【答案】 + i
5 5
【分析】设 z = x + yi，x， y R ，由已知可得 2x + y + x - 2y i = x2 + y2 ，利用复数相等的条件可求得
1+ i
z = 2+ i，进而可求 .
z
【解析】设 z = x + yi，x， y R ，
2
则 2 + i z = 2 + i x - yi = 2x + y + x - 2y i = x2 + y2 = z ，
ì2x + y = x2 + y2 ìx = 2 ìx = 0
即 í ，解得 或 í （舍去），
x - 2y 0
í
= y =1 y = 0
1+ i 1+ i (1+ i)(2 - i) 3 1
则 z = 2+ i，所以 = = = + i ．
z 2 + i 5 5 5
3 1
故答案为： + i .
5 5
1
14．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数 z = x + yi x R, y R ， z1 = -2， z2 = - ， z3 = i 在复平面内对2
uuur uuuur uuuur
应的点分别为Z ，Z1 ，Z2 ，Z3，复数 z 满足 z - z1 = 2 z - z2 ，且Z1Z = lZ1Z2 + mZ1Z3 l R, m R ，则
3l + 2m 的最大值为 .
【答案】 4 + 2 2
【分析】先将复数转化为平面直角坐标系中的坐标，然后用距离公式对条件 z - z1 = 2 z - z2 进行变形，得
到 x2 + y2 =1，由此可以证明 x - y 2 . 之后再使用向量的坐标运算将3l + 2m 表示为关于 x, y的表达式，
利用 x - y 2 即可证明3l + 2m 4 + 2 2 ，最后给出一个3l + 2m = 4 + 2 2 的例子即可说明3l + 2m 的最大
值是 4 + 2 2 .
1
【解析】由 z = x + yi， z1 = -2， z2 = - ， z3 = i ，知Z x, y ，Z1 -2,0 Z
1
， 2 - ,0

2 2 ÷
，Z3 0,1 ，从而
è
uuur uuuur 3 uuuur
Z1Z = x + 2, y

，Z1Z2 = ,0÷，Z1Z3 = 2,1 .è 2
2 uuur 22z - z = ZZ = x + 2 2 + y2 z - z 2
uuuur 2
ZZ x 1= = + 由于 21 1 ， 2 2 ÷ + y ，故条件 z - z1 = 2 z - z2 即为
è 2
2
x + 2 2
1
+ y2 = 4 x +
2
÷ + y ÷÷，展开得到 x
2 + 4x + 4 + y2 = 4x2 + 4x + 4y2 +1，再化简得3x2 + 3y2 = 3，所以
èè 2
x2 + y2 =1，故我们有 x - y 2 x - y 2 + x + y 2 = x2 + y2 - 2xy + x2 + y2 + 2xy = 2 x2 + y2 = 2 ，从而
x - y x - y = x - y 2 2 .
uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur
由于Z1Z = lZ1Z2 + mZ1Z3 ，Z1Z = x + 2, y
3 3l
，Z1Z2 = ,0÷，Z Z = 2,1 ，故 x + 2, y =

+ 2m, m ÷ ，从而
è 2 1 3 è 2
3l 3l+ 2m = 2 + 2m ÷ - 2m = 2 x + 2 - 2y = 4 + 2 x - y 4 + 2 2 .
è 2
x 2 y 2经验证，当 = ， = - 时，条件满足. 此时3l + 2m = 4 + 2 x - y = 4 + 2 2 .
2 2
所以3l + 2m 的最大值是 4 + 2 2 .
故答案为： 4 + 2 2 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将复数坐标化为平面直角坐标系中的坐标，并将复数之差的模长
表示为平面直角坐标系中的线段长度. 另外，本题还具有“阿波罗尼斯圆”的背景：平面上到两个不同定点
M , N 的距离之比恒为常数 c 0,1 U 1, + 的点的轨迹是一个圆，该圆称为关于M , N 的阿波罗尼斯圆. 使
用解析几何方法结合距离公式，很容易证明此结论.
四、解答题
15．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了
欧拉公式 eiq = cosq + isinq ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的q 取作 π就得到了欧拉恒
等式 eiπ +1 = 0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数
的底数 e，圆周率 π，两个单位——虚数单位 i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的 0 ，数学家
评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式： eiq = cosq + isinq ，解决以下问题：
π
(1)将复数 ie 3 + eπi 表示成 a + bi（ a,b R ， i为虚数单位）的形式；
π i
(2)求 e 2 + eq i q R 的最大值；
(3)若 zn = 1，则 z = zk k = 0,1,2,L,n -1 z cos
2kπ isin 2kπ，这里 k = + k = 0,1,2,L,n -1 ，称 zk 为1的一个 nn n
5 4
次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得 x -1 = x -1 x + x3 + x2 + x1 +1 2π，复数 iz = e 5 ，
H x = x2 + x + 2，求H z H z2 H z3 H z4 的值．
(1) 1 3【答案】 - + i
2 2
(2) 2
(3)11
【分析】（1）根据欧拉公式直接可得解；
π i π i π i
（2）由欧拉公式可证明 e 2 + eq i 2，并得到 e 2 + e 2 = 2，这即得结果；
（3）根据单位根的概念，代入化简即可.
【解析】（1）由欧拉公式有
π i
e 3 eπi π π
1 3 1 3
+ = cos + isin ÷ + cosπ + isinπ = + i ÷ + -1 = - + i .
è 3 3 è 2 2 ÷ 2 2
π i π i π i
（2）由于 e 2 cos
π π
= + i sin =1 eq i， = cosq + i sinq =1，故 e 2 + eq i e 2 + eq i =1+1 = 2，
2 2
π π i πq i i
π i π i π i
而当q = 时，有 e 2 + e = e 2 + e 2 = 2e 2 = 2 e 2 = 2 .
2
π i
e 2 + eq i故 q R 的最大值是 2 .
（3）由于 z5 = 1，故0 = z5 -1 = z -1 z4 + z3 + z2 + z +1 ，而 z 1，所以 z4 + z3 + z2 + z +1 = 0 .
故H z H z2 H z3 H z4
= z2 + z + 2 z4 + z2 + 2 z6 + z3 + 2 z8 + z4 + 2
= z2 + z + 2 z4 + z2 + 2 z + z3 + 2 z3 + z4 + 2 （利用 z5 = 1）
= z2 + z + 2 z3 + z4 + 2 × z + z3 + 2 z4 + z2 + 2
= z6 + 2z5 + 3z4 + 2z3 + 2z2 + 2z + 4 z7 + 2z5 + 2z4 + 3z3 + 2z2 + 2z + 4
= z + 2 + 3z4 + 2z3 + 2z2 + 2z + 4 z2 + 2 + 2z4 + 3z3 + 2z2 + 2z + 4 （利用 z5 = 1）
= 3z4 + 2z3 + 2z2 + 3z + 6 2z4 + 3z3 + 3z2 + 2z + 6
= z4 + z + 4 z3 + z2 + 4 （利用 z4 + z3 + z2 + z +1 = 0）
= z7 + z6 + 5z4 + 5z3 + 4z2 + 4z +16
= z2 + z + 5z4 + 5z3 + 4z2 + 4z +16（利用 z5 = 1）
= 5z4 + 5z3 + 5z2 + 5z +16
=11（利用 z4 + z3 + z2 + z +1 = 0）.
所以H z H z2 H z3 H z4 =11.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对欧拉公式的使用和复数四则运算法则的熟练运用.
16．（2024·贵州黔南·二模）1799 年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元 n
次多项式方程在复数域上至少有一根（ n 1）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基
础作用.由此定理还可以推出以下重要结论： n次复系数多项式方程在复数域内有且只有 n个根（重根按重数
. n f x = xn + a xn-1计算） 对于 次复系数多项式 n-1 + ×××+ a1x + a0 ，其中 an-1， an-2 ， × × ×,a0 C，若方程 f x = 0
ì n
xi = -an-1
i=1
n
xi x j = an-2
1 i< j n
有 n个复根 x1, x2 , × × ×, xn ，则有如下的高阶韦达定理： í n

xi x j xk = -an-31 i< j
M

x1x2 × × × xn = -1
n a0
(1)在复数域内解方程 x2 + 4 = 0；
(2)若三次方程 x3 + ax2 + bx + c = 0的三个根分别是 x1 =1- i， x2 =1+ i， x3 = 2（ i为虚数单位），求 a，b ， c
的值；
(3)在 n 4的多项式 f x = xn + a xn-1n-1 + ×××+ a1x + a 20 中，已知 an-1 = -1， a1 = -n a， a0 = a ， a为非零实数，
且方程 f x = 0的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含 n的式子表示）.
【答案】(1) x = ±2i
(2) a = 4,b = 6,c = -4
1 1 1 1
(3) = = ××× = =x1 x2 xn n
【分析】（1）根据题意直接解方程即可；
（2）根据题意结合韦达定理分析运算求解；
1 1 1 2
（3）根据题意结合韦达定理可得 x1 + x2 + ×××+ xn =1，结合不等式可得 + + ×××+ nx x x ，由1 2 n
ìx1x2 × × × xn-1 + x1 × × × xn-2xn + ×××+ x
n-1 2
2x3 × × × xn = -1 -n a 1 1 1
í 可得 + + ×××+ = n
2
x x x ，结合不等式成立条件分析 x1x2 × × × xn = -1
n a 1 2 n
求解.
【解析】（1）由 x2 + 4 = 0可得 x2 = -4 ，解得 x = ±2i .
ìx1 + x2 + x3 = -a

（2）由题意可知： íx1x2 + x2x3 + x1x3 = b，

x1x2x3 = -c
ì4 = -a

将 x1 =1- i， x2 =1+ i， x3 = 2代入可得 í6 = b ，

4 = -c
所以 a = 4,b = 6,c = -4 .
r r
（3）设 a = a1,a2 , × × ×,an ,b = b1,b2 , × × ×,bn ， a1,a2 , × × ×,an ,b1,b2 , × × ×,bn > 0，
r r r r r r
因为 a ×b a b ，当且仅当 a ∥ b 时，等号成立，
可得 a1b1 + a2b2 + ×××+ anbn a
2
1 + a
2
2 + ×××+ a
2
n × b
2
1 + b
2
2 + ×××+ b
2
n ，
即 a b + a b 2 21 1 2 2 + ×××+ anbn a1 + a2 + ×××+ a
2
n × b
2 2
1 + b2 + ×××+ b
2
n ，
a1 a2 an
当且仅当 = = ××× =b1 b b
时，等号成立，
2 n
n n-1
因为方程 f x = x + an-1x + ×××+ a1x + a0 = 0 的根恰好全是正实数，
设这 n 个正根分别为 x1, x2 , × × ×, xn ，
2
且 an-1 = -1， a1 = -n a， a0 = a ，
ìx1 + x2 + ×××+ x n
=1
x x × × × x n-1 2由题意可知： í 1 2 n-1 + x1 × × × xn-2xn + ×××+ x2x3 × × × xn = -1 -n a ，

x1x2 × × × xn = -1
n a
因为 x1 + x2 + ×××+ xn =1，且 x1, x2 , × × ×, xn 均为正数，
1 1 1 1 1 1
则 + + ×××+ = x1 + x2 + ×××+ xn + + ××× +x x x x x ÷1 2 n è 1 2 xn
2

x 1 x 1 1

1 × + 2 × + ××× + x × ÷
2
x n ÷
= n ，
è 1 x2 xn
1 1 1 1
当且仅当 = = ××× = =x x x n 时，等号成立，1 2 n
n-1
x1x2 × × × xn-1 + x1 × × × xn-2xn + ×××+ x2x3 × × × x
2
n 1 1 1 -1 -n a 又因为 = + + ×××+ = = n2 ，
x1x2 × × × xn x1 x2 x -1 nn a
1 1 1 2
即 + + ×××+ = nx ，1 x2 xn
1 1 1 1
所以 = = ××× = =x x x n .1 2 n
1 1 1 1 1 1 1
【点睛】关键点点睛：利用柯西不等式可得则 + + ×××+ n2 ，当且仅当 = = ××× = =x x x x x x n 时，等号1 2 n 1 2 n
成立，注意等号成立的条件分析求解.专题 21 复数
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
1.复数的有关概念
(1)定义：一般地，当 a与 b 都是实数时，称 a＋bi为复数.复数一般用小写字母 z 表示，即 z
＝a＋bi(a，b∈R)，其中 a称为 z的实部，b称为 z的虚部.
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的 a＋bi为实数 b＝0
分类 a＋bi为虚数 b≠0
a＋bi为纯虚数 a＝0且 b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且 b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，
复数 z 的共轭复数用 z表示.
→
(5)复数的模：向量OZ＝(a，b)的长度称为复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，复数 z
的模用|z|表示，因此|z|＝ a2＋b2.当 b＝0时，|z|＝ a2＝|a|.
2.复数的几何意义
→
复数 z＝a＋bi与复平面内的点 Z(a，b)及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意
→ →
义，即OZ＝OZ1
→
＋OZ2
→
，Z1Z2
→
＝OZ2
→
－OZ1.
(3)由复数加、减法的几何意义可得||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
本专题是复数的基础知识，高考中重点考查复数的模的计算及复数相等的条件，复数的四则运算，
共轭复数等，主要以选择题、填空题的形式出现，难度较低。
题型一　复数的概念
例 1（1）复数 z = i i +1 -1的模为（ ）
A． 2 B．2 C． 5 D．3
答案 C
分析 根据复数的运算，结合复数的模长计算公式，可得答案.
解析 z = -2 + i， z = 5 ．
故选:C
（2）已知复数 z = a + 2i，若 z × (3+ i) 是实数，则实数a = （ ）
A．3 B．-3 C．6 D．-6
答案 C
分析 根据条件，利用复数的运算及复数的定义，即可求出结果.
解析 因为 z = a - 2i ，则 z × (3+ i) = 3a + 2 + (a - 6)i，
∴ a - 6 = 0，得到 a = 6，
故选：C．
方法归纳：　解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为
代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
题型二　复数的四则运算
z
例 2（1）已知复数 z 满足 2z - z =1+ 3i，则 = （i
）
A．-1+ i B．1- i C．1+ i D．-1- i
答案 B
分析 设复数 z ，由题设条件求得 z =1+ i，最后代入所求式即得.
解析 设 z = a + bi a R,b R ，则 z = a - bi ，
由2z - z = a + 3bi = 1+ 3i，可得 a = b =1,
z 1+ i
则 = =1- i .
i i
故选：B
i 1
（2）已知复数 z = - ，则 + z =（
1 i 2
）
+
1 1
A． B． 2 C．1 D．24
答案 B
1
分析 根据复数代数形式的除法运算化简 z ，即可求出 + z ，从而求出其模.
2
z i i(1- i) 1 1解析 因为 = - = - = - - i
1 z 1，所以 + = - i1+ i (1+ i)(1 i) 2 2 ，- 2 2
1 1 2z 1所以 + = - ÷ = ．2 è 2 2
故选：B．
方法归纳：　(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
题型三　复数的几何意义
2024
例 3　(1)己知 i 2 - i是虚数单位，则复数 z =
2 + i2023
对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 A
分析 利用复数乘方的运算法则，由复数的除法运算可得结果.
1012 1011
解析 易知 i2024 = i2 =1， i2023 = i × i2 = -i ,
z 2 - i
2024 2 -1 1 2 + i 2 + i 2 1
所以 = 2023 = = = = = + i2 + i 2 - i 2 - i 2 - i 2 + i 5 5 5 ，
2 1
其对应点的坐标为 ,5 5 ÷ ，位于第一象限.è
故选：A
(2)(2020·全国Ⅱ)设复数 z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝ 3＋i，则|z1－z2|＝________.
答案　2 3
解析　方法一　设 z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，
因为 z1＋z2＝ 3＋i，
所以 2z1＝( 3＋a)＋(1＋b)i，
2z2＝( 3－a)＋(1－b)i.
因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，
所以 3＋a 2＋ 1＋b 2＝4，①
3－a 2＋ 1－b 2＝4，②
①2＋②2，得 a2＋b2＝12.
所以|z 2 21－z2|＝ a ＋b ＝2 3.
→ →
方法二　设复数 z1，z2在复平面内分别对应向量OA，OB，
→ →
则 z1＋z2对应向量OA＋OB.
→ → → →
由题意知|OA|＝|OB|＝|OA＋OB|＝2，
如图所示，以 OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，
→
则 z1－z2对应向量BA，
→ → →
且|OA|＝|AC|＝|OC|＝2，
→ →
可得|BA|＝2|OA|sin 60°＝2 3.
→
故|z1－z2|＝|BA|＝2 3.
方法归纳：　由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一
起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
a b b
在如图的复平面中，r＝ a2＋b2，cos θ＝ ，sin θ＝ ，tan θ＝ (a≠0)．
r r a
任何一个复数 z＝a＋bi都可以表示成 z＝r(cos θ＋isin θ)的形式．其中，r是复数 z的模；θ是以 x轴
→
的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线 OZ)为终边的角，叫做复数 z＝a＋bi的辐角．
我们把 r(cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式．
对应于复数的三角形式，把 z＝a＋bi叫做复数的代数形式．
复数乘、除运算的三角表示：
已知复数 z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，
z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则
z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
z1 r1
＝ [cos(θ1－θ2)＋isin(θ2 2 1－θ2)]．z r
例 4（1） -1- 3i的三角形式是（ ）
2 cos π isin π 2 écos π i sin 2π ùA．- + ÷ B． ê - ÷ + -è 3 3 è 3 è 3
÷
ú
2 sin 7πC． + i cos
7π
÷ D． 2 cos
4π
+ i sin 4π
è 6 6 ÷ è 3 3
答案 D
分析 合理化简原复数，表示为三角形式即可.
解析 由题意得 -1- 3i = 2( - 1 - 3 i) = 2 cos 4π + i sin 4π2 2 3 3 ，故 D正确.
故选：D
r π r
（2）在复平面内，把复数3- 3i对应的向量 a 按顺时针方向旋转 ，所得向量在 a 上的投影向量对应复数3
是（ ）
2 3 3i 3 - 3i 3- 3iA． - B．3- 2 3i C． D．
2 2
答案 D
é π π ù
分析 由复数的几何意义可得旋转后的向量所对应的复数为 3- 3i êcos - ÷ + i sin - ÷ 并化简 ，再结合
è 3 è 3
ú

投影向量的定义求解．
r π
解析 因为把复数3- 3i对应的向量 a = (3, - 3) 按顺时针方向旋转 ，3
所以旋转后的向量所对应的复数为
(3 3i)[cos( π) i sin( π)] (3 3i)(1 3- - + - = - - i) 3 3 3= - i 3- i 3+ i2 = -2 3i，
3 3 2 2 2 2 2 2
r
所以旋转后的向量b = 0, -2 3 ，
r r r
又因为 a ×b = 6， a = 32 + (- 3)2 = 2 3 ，
r
r r ar ×b ar 1 ar
3 3
所以向量b 在 a上的投影向量是 × = = , -ar ar 2 2 2 ÷÷
3 3
，即对应复数是 - i .
è 2 2
故选：D .
（3）复数 z = a + bi(a,b R,i是虚数单位 )在复平面内对应点为Z ，设 r = OZ ,q 是以 x 轴的非负半轴为始边，
以OZ 所在的射线为终边的角，则 z = a + bi = r cosq + isinq ，把 r cosq + isinq 叫做复数 a + bi的三角形式，
n
利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，[r cosq + isinq ] = r n cosnq + isinnq n N* ，例如：
3
1 3 i cos 2π 2π
3
- +

÷÷ = + isin ÷ = cos2π + isin2π =1，
è 2 2 è 3 3
4
(1 + i)4 = 2

cos
π
+ isin π ÷÷ = 4 cosπ + isinπ = -4，复数 z 满足： z3 =1+ i ，则 z 可能取值为（ ）
è è 4 4
2 cos π isin π 3π 3πA． +

B． 2 cos + isin
è 12 12 ÷ ÷è 4 4
6 5π
C． 2 cos + isin
5π 6
÷ D． 2
cos17π + isin
17π
4 4 12 12 ÷è è
答案 D
6 é 2kπ π
分析 根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得 z = 2 êcos + ÷ + i sin
2kπ π ù
+ ÷ , k Z，即可得
è 3 12 è 3 12 ú
解.
解析 设 z = r cosq + i sinq ，
则 z3 =1+ i= 2

cos
π
+ i sin π = r3 cos3q + i sin 3q ，
è 4 4 ÷
所以 r = 6 2 ，3q 2kπ
π ,k Z q 2kπ π= + ，即 = + ,k Z，
4 3 12
z 6 2 écos 2kπ π i sin 2kπ π= + ù所以 ê 3 12 ÷
+ + , k Z
è è 3 12
÷
ú
q 17π 6 2 cos
17π isin 17π故 k = 2 时， = ，故 z 可取 + ，
12 è 12 12 ÷
故选：D
【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再
利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式.

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