资源简介

平均数教学的研究与思考
各位老师，大家下午好，今天主要与大家的分享平均数教学的一些研究与思考，主要从以下三方面展开。
一、平均数的历史与启示
在历史上，平均数最早是怎样的呢？据说平均数最早是用来估计大数的，在公元4世纪，古印度有这样一个故事：一棵枝叶茂盛的大树长有两条大的树枝，国王图潘纳（Rtuparna）需要估计这两条树枝上树叶的数目。他首先估计了根部的一条细枝上树叶的数目，然后乘以树枝上所有细枝的数目，得到估计值为2095。经过一夜的计数，最后证明图潘纳的估计十分接近实际的数目。
相信大家听完这个故事都已经想到了，图潘纳选择的一定是一条不是很大，也不是很小，而是平均大小的细枝作为代表，也就相当于我们现在的平均数。
那么这个历史故事给我们带来怎样的启示呢？首先，有一点很明确，那就是要解决一个问题需要有数据，所以，第一步就要去采集数据、收集数据；其次，需要选用合适的数据，也就是对数据有一定的梳理、选择；最后，用合适的数据作为代表，进行推断。所以平均数基本的基因为了解决问题，很明显有统计的元素，这里蕴含着根据数据进行推断的思想。
所以我们上平均数这样的课，要让学生经历数据产生的过程，感受数据的代表性，体会数据背后蕴含着信息。而且我们不能求出平均数就戛然而止，应该在实际解决问题中关注平均数的推断功能，等等。
这就是这种1600多年前的思想对我们现在的启示。当然这种启示还是比较初步的。要进一步获得教学上的启示，我们还要关注平均数的概念。那么平均数标准的概念到底是怎样的呢？
二、平均数的概念与特征
1.平均数的概念
《辞海》中是这样来定义平均数的“平均数是数据集的中心值，代表数据的一般水平”；数学课程标准（2022年版）解读中是这样说的“平均数的本质是刻画一组数据的整体水平，反映数据的集中趋势，具有代表性；百度百科是这样定义的“平均数，统计学术语，是表示一组数据集中趋势的量数。所以无论是哪个定义哪种说法，关键都是代表一组数据的整体水平（一般水平），反映数据的集中趋势（或中心值），那么一组数据的集中趋势是什么意思呢？数学辞海中是这样来表述的，集中趋势量数，统计学的基本概念之一。指统计学中反映本频率分布基本特征的一类统计量。它是反映样本频率分布中大量数据向哪一点集中这种趋势的量。如果要讲得再直观一点，我想用竺老师课中的这个板书，10、5太高太低，8、6偏高偏低，这样数据不断逼近，到最后移多补少刚刚好，这个过程是不是能较为直观地体会到“集中趋势”的含义。
所以我们也有老师是这样来定义平均数的“平均数就是通过移多补少变得一样多的那个数”，这样的定义也挺直观的，当然，这是一个从平均数外在表现来给出的一个定义，它本质上也是体现了数据的集中趋势。
2.平均数的特征
那么作为数据集中趋势的平均数有怎样的特征呢？平均数的特征是非常多的，最常见的是以下三个特征：
（1）平均数的范围：介于最大值和最小值之间，即平均数比最小的数大一些，比最大的数小一些。我们还是以这页板书为例，竺老师课中这样从大到小的排列，就是体现平均数的范围，而且通过太大太小多次变化让平均数所在的范围更为聚焦。
（2）平均数的虚拟性：一组数据的平均数不一定是这一组数据中的数。竺老师设计的数据里没有7，而且课堂上特意强调：“没有7，为什么选择7”，这就是体现平均数是一个虚拟的数。
（3）平均数的敏感性：任何一个数据改变，平均数都会变。当然敏感性最强烈的体现还是在极端数据的影响。本课中竺老师没有体现，在后续的练习中可能会有所涉及。当然一节课里不是什么都需要体现的，所有的都想体现可能所有的反而都变淡了。
老师们，现在平均数的历史与启示我们知道了，它的概念与特征也清晰了，那么平均数的教学该如何开展呢。下面我们就来讲讲平均数的教学与反思。
三、平均数的教学与思考
1.情境的创设
我们首先来看一下情景的创设与使用。教材中呈现的情景主要有以下三种：
为了便于大家进一步思考，我们把这三种情景做了如下归纳：方式一：用两组数据（个数不相等）的比较为由，引导学生“想到”平均数。方式二：用一组数据求一个代表值为由，引导学生“发现”平均数。方式三：用一组数据先引出平均数的概念，再用两组数据的比较让学生运用平均数。老师们，你最喜欢哪一个情景呢？
苏教版干扰因素多，学生经常会说，为什么人数不相等，这样不公平。比较时思维较为发散，有的会说比最大、比总数，还有学生纠结女生去掉一个人或是男生增加一个等等。讨论起来比较复杂，难以直接指向“代表值”。简单来说就是很绕。这个情景有点运用”平均数解决问题的味道。如果已经学会了平均数，然后运用平均数来比较倒是可以的，所以，我觉得这个不是最理想的。
北师大版一组数据，清楚简单，我觉得是扣住平均数概念的本质的，就是一组数据的代表值。当然它也有不足，就是例题上没有体现出来知识的运用，也就是平均数的运用不会一直都在一组数据中，两组数据甚至多组数据，数据个数不一样时的比较，是平均数非常重要的运用。当然它后面的习题中是有的，不过例题中没有。
再看人教版，人教版看上去很好，一个是平均数的概念，一个是平均数的运用，两全其美。但是，仔细推敲，这个方案也有一个不足。例1是直接让学生去求平均每人收集多少个，那么为什么要求平均每人收集多少个呢，这么做的意义在哪里呢，教材都没有呈现，只是告知学生这个数是平均数，这样的情景驱动性不强。所以我们要表述一个重要的观点：若按这样的教学路径，一些重要的问题学生就无需思考——为什么要算平均数？没有理由干嘛要算平均数呢。平均数到底有什么好？其他的数为什么不选？平均数究竟是什么？等等，这些都不需要考虑了，这样的话，哪里还需要研究它的集中趋势，关于平均数的现实意义都不见了。
所以我觉得三版教材比较而言，人教版的例1是编得最不理想的。这个例题，没有揭示平均数产生的必要性，没有展现出作为“统计意义”背景下的平均数教学的要求。所以像这样的内容，这样的编排，跟课改以前是一样的。不信，以下是96年的教材，你可以对比一下，是不是差不多，就是先记住公式，然后会灵活地计算。
当然，我们现在的教学肯定不能这么教，我们需要的是“统计意义”背景下的平均数教学，体现平均数是表示一组数据集中趋势的统计量，反映了一组数据的一般情况（或整体水平）。所以，我们更倾向于选择一组数据，基于现实需求产生一组数据，需要代表值。然后要理解现实意义，解决现实问题，也就是数据来源于相对真实的情境，要尽可能让学生经历数据的收集、整理、表达、分析等体现统计特征的过程。
所以，竺老师的课例1就选择这样的情境，这是一个模拟数据产生的尽可能真实的情境，能引发求代表值的现实需求。所以竺老师这一块教学的重点是研究这个数据究竟好在哪里？例2还是两组数据，不过与人教版例2相比有一个微调，变成了篮球比赛，这个情境好在哪里呢？是的，更为真实，比赛还是同样的人，但现实中的确会出现缺赛这样的情况。让学生再次面对在“真实情境”产生的数据，从而主动分析。例2就是调用例1的经验，在“真实情境”中主动运用知识解决问题。
情境的创设，突出的是一个真实，当然也是打影号的，是相对的真实，尽可能的真实。
2.过程的展开
看完了情境分析，我们来看一下这节课的环节展开。相信大家已经看出来，这节课的核心环节主要有两个，第一个就是平均数的概念，第二个就是平均数的运用。
（1）平均数的概念围绕两大问题：“平均数有什么好处”、“平均数为什么可以这样计算”。首先，是“平均数有什么好处”，也就是淘汰其他数字，确定数字7的整个过程，这个过程中竺老师紧紧围绕 “整体水平”这个词。淘汰其他数字是因为它们太高、太低或偏高、偏低，不能代表整体水平，确定数字7是因为它不高不低可以代表整体水平，出现统计图中的那条线，也是表示它代表的是整体水平。其次，是“平均数为什么可以这样计算”，这个部分从表面上看，是在让学生解释平均数为什么这么算，而这个环节真正的意图，它的本质是在打通“求和均分”与“移多补少”，它们都是把每个数据变得一样多，是殊途同归。这样学生就不会只是记住一个公式，这样的打通进一步促进学生对平均数本质的理解。
（2）平均数的运用分为正向运用与逆向运用。在篮球比赛这样一个较为真实的情境下，因小刚第四场未上场，导致比赛场次不同，比总数不合适，比最高、最低分也不能代表整体水平，从而引导学生比平均数，体现出平均数的作用。在练习环节通过“知道平均分求一门学科的成绩”这样逆向的思考，加深对平均数的运用。在这样不同的正、逆向的运用中强化学生对平均数的理解，理解平均数的统计意义。
所以，在整个平均数的教学与思考中，我们的核心观点是让学生亲近数据，爱上数据。为此我们努力在体现以下两点：让学生亲历统计活动的过程，获得（或尽可能接受）真实的数据；让学生亲近数据，能主动地、深入地尝试“研究”数据，切实体会数据的价值。这也就是在培养学生的数据意识。
各位老师，今天关于平均分的内容已经基本讲完了，但是大家有没有发现竺老师的课中还有一个很明显的特点，是的，学生提问。相信大家也看到了有这样一个环节，这个环节挑战性比较大，课上也比较费时间（大概5分钟），这就是在顾特引领下，我们团队一直以来研究的生问课堂。那么大家想想看这样做有什么价值呢？为什么不师问，而要生问呢？因为学生能够主动提出问题，不仅教学更有驱动性，学生更能主动探究，事实上学生提出问题的过程也是对这些数据在思考、在分析的过程，有助于学生数据意识的培养，实现“统计意义”背景下的平均数教学目标。
以上便是我对于平均数教学的一些思考，非常感谢顾特的指导，感谢大家的倾听，不足之处希望能够得到顾特、万老师和各位老师的批评与指正，谢谢大家。

展开更多......

收起↑