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解三角形拓展：
三角形中线，角平分线问题 、最值、取值范围问题
一、必备知识分层透析
一、三角形中线问题以及定比分点线段长
方法1、向量法
如图在中，为的中点，
如果不是中点，是几等分点也可以用此法，结合定比分点公式。
方法2、角互补
在中有：;
在中有：
二、角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
方法1：内角平分线定理：
或
方法2：等面积法(使用频率最高）
方法3：边与面积的比值：（这个结论也可以结合定比分点公式应用）
二、重点题型分类研究
题型1: 向量化法、角互补法
题型2：三角形角平分线（比例法）
题型3：三角形角平分线（等面积法）
题型4：边长周长面积最值问题
一般考虑结合基本不等式，也可以考虑函数化。有时可以构造隐圆。
题型5：边长周长面积取值范围问题
一般考虑三角函数化，有时可以构造隐圆。
题型1: 三角形中线问题（向量化法和角互补法）
例题1．锐角中，角、、所对的边分别为、、，且
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）因为，所以，
即，
又因，所以
又由题意可知，
所以，因为，所以.
（2）
由余弦定理可得，
又，
则
，
由正弦定理可得，所以，
，
所以
，由题意得，解得，
则，
所以所以
所以所以中线CD长的取值范围为
例题2．在①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．
在中，角，，的对边分别为，，，______．
(1)求角；
(2)若，，求的边上的中线的长．
【答案】(1)
(2)
(1)解：（1）若选①，即，得，
，或（舍去），
，；
若选②：，
由正弦定理，得，
，，，则，，；
(2)
解：是的边上的中线，，
，
，
．
例题3．在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足.
(1)求角；
(2)若边上的中线长为，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
(1)因为，由正弦定理得，
所以，化简得，
因为，所以，因为,所以；
(2)
设中线交于，则，
由余弦定理得，即，
化简得，因为，所以，
所以.
题型2：三角形角平分线（比例法、等面积法）
例题1．在中，的角平分线与边相交于点，满足.
(1)求证：；
(2)若，求的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：因为为的角平分线，故，
在中，由正弦定理可得：①，
在中，由正弦定理可得：②，
由①和②可得，
又，故，
可得：，即；
（2）由题意可知，，由（1）知，不妨设.
在中，由余弦定理可得：，
即③，
在中，由余弦定理可得：，
即④，
由又，故，
由③和④可解得：，，
从而可得，，，
在中，由余弦定理得：，
又，故.
例题2．已知的内角的对边分别为，满足.
(1)求角；
(2)是的角平分线，若，的面积为，求的值.
【答案】(1)；
(2).
（1）由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又， 则；
（2） 由面积公式得， 解得，
又是的角平分线， 则 ， 故.
， 则.
例题3．记的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，为方程的两个实数根，且的角平分线交于点，求．
【答案】(1)；
(2)2.
(1)依题意，，即，
在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：，
因，解得，
所以．
(2)依题意，，，而是的角平分线，则，
即，整理得，解得，
所以．
例题4．已知中，角，，所对的边分别为，，，点在边上，为的角平分线．．
(1)求；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)
(2)
（1），，即
由正弦定理可得
，
即
（2），即
设，则
，解得
例题5．如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．
(1)求及线段的长；
(2)求的面积．
【答案】(1)，BC＝6
(2)
(1)∵，∴，∴，∴
由余弦定理得（负值舍去），即BC＝6.
(2)∵，，∴，∴，
∵AE平分∠BAC，，
由正弦定理得：，
其中，∴，
∵AD为BC边的中线，∴，∴.
题型3：周长（边长）（最值问题）
例题1．的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意有，
即有，
由正弦定理得：，
又，所以，则，所以；
（2）解：由（1）知，因为，且的面积为，
由得：，所以，
由余弦定理得：，所以，
所以的周长为.
例题2．在中，分别是角的对边，已知向量，设函数 .
(1)求的单调递增区间；
(2)若 ，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
（1）因为，
由 ， 得 ，
所以 的单调增区间为.
（2）由 得 ，故，
因为，所以 ，故，得，
所以 ，又，，
，
又 ， 所以 ，故 ，
所以 最大值为 .
例题3．如图，在平面四边形中，．
(1)判断的形状并证明；
(2)若，，，求四边形的对角线的最大值．
【答案】(1)直角三角形，证明见解析
(2)9
【详解】（1）已知，由正弦定理可得：，
即
得，
，，
故，即为直角三角形．
（2）如图，在BC上方作Rt△BCM使，且，
∴，
∴且
∴，由，，得，
在中，，
由，，得.
由，得，
∴，当M在AC上时等号成立，
∴．
20．（12分）类似拓展练习，构造相似快难得想。
如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，.

(1)已知，且
（i）当时，求的面积；
（ii）若，求.
(2)已知，且，求AC的最大值.
【答案】(1)（i）；（ii）；
(2).
【分析】（1）（i）利用余弦定理结合已知求出，再借助等腰三角形性质求出面积；（ii）利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解作答.
（2）连接，由已知结合余弦定理可得，，再利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式求解作答.
【详解】（1）（i）设，在中，由余弦定理得，解得，
在中，，则底边上的高，
所以的面积
（ii）设，依题意，，
则，，即，而，
所以.
（2）连接，中，，，

由余弦定理得，
则，，设，在中，，
于是，在中，，
由余弦定理得：，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，，
所以AC的最大值是. 也可以构造。
【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.第三点可以构造隐圆，第四点可以构造三角形相似。高中基本思想应该是转化为角的三角函数。补充构造三角形的做法。
例题4．已知的内角、、所对的边长分别为、、，且，若，，求：
(1)求的值；
(2)求的最大值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由已知和正弦定理得，
由余弦定理可得，
所以.
（2）解：法一：，则，
由得，
即，
又中，
从而，
即，
所以（当且仅当时取等号），
故的最大值为.
法二：由
所以，，
即，
即，
所以（当且仅当时取等号），
故的最大值为.
例题5．在中，内角、、所对的边分别为、、，且，.
(1)已知的面积满足，求角；
(2)若边上的中线为，求长的最小值.
答案：(1)A=,
(2)AD
题型4：面积最值问题
例题1．设，.
(1)求的单调递增区间；
(2)在锐角中，、、的对边分别为、、.若，，求面积的最大值.
【答案】(1)和
(2)
（1）
由题意，，
因为，所以，
由正弦函数的单调性可知，当或，
即或时，函数递增，
所以的单调递增区间是和.
（2）
由题意，，所以，
因为锐角，则，故，
由余弦定理，，故，
由基本不等式，，故，当b=c时等号成立
因此，，当时，面积取得最大值.
例题2．如图，在扇形中，点为上一点，，分别为线段，上的点，且，，．
(1)求的大小；
(2)若扇形的半径为30，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
（1）在中，由正弦定理得：，又由余弦定理得：，化简得：，
即，
解得：，（舍去），，则，
又，，，所以.
（2）连接，可得，设（），则，
在中，，在中，，
所以的面积
，
即（），
因为，所以，则当时，即为中点时，
的面积取得最大值.
例题3．已知在中，三个内角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若角为钝角，且角的角平分线与边相交于点，满足，求的面积的最小值.
【答案】(1)或；
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得：.
因为,所以,所以.
因为，所以或.
（2）当时，，
所以，即（当且仅当时取等号），
解得：（当且仅当时取等号）.
所以（当且仅当时取等号）.
即的面积的最小值为.
例题4．在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)设，是所在平面上一点，且与点分别位于直线的两侧，如图，若，，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(1)．由正弦定理得，∵sinC≠0，
∴，
即．∴，即．
∵0(2)在△BCN中，由余弦定理得，∵BN＝6，CN＝3，
∴
由（1）和b＝c，得△ABC是等腰直角三角形，于是，
∴四边形ABCD的面积
∴当时，S取最大值，
即四边形ABCD的面积的最大值是．
题型5：三角形周长（边长）（范围问题）
例题1．锐角中，角，，所对边的长分别为，，，．
(1)求的大小；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由正弦定理，，故.
又为锐角三角形，故，故，即，解得.
（2）由正弦定理，即，又，故.
由正弦定理可得.因为，且为锐角三角形，故,且，可得.
故，即，故，即b的取值范围为
例题2．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量、满足：，，且．
(1)求角；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因 ，且，
于是有，即，
在中，由正弦定理得：，而，
于是得，又A为锐角，所以．
（2）是锐角三角形，由（1）知，，
于是有，且，从而得，
而，由正弦定理得，
则，，
则有，
而，则，即,所以的取值范围．
例题3．已知向量，，函数.在中，内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若，且的面积，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，，，
所以
，
又，所以.
所以，.
因为，
所以.
（2）解：由（1）知，所以.
因为，所以，所以.
由余弦定理得.
又，所以.
因为的周长，
所以，即周长的取值范围为.
例题4．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，的面积．
(1)求；
(2)求周长的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意得：
，
由正弦定理得：，
根据余弦定理可知，又
所以，得，
因为，
所以；
（2）法一：，
因为，即，
即，解得：，当时等号成立，
又，
所以，
所以，
综上，周长的取值范围．
方法二：=由正弦定理．
∴又．
∴
∵，∴
∴，
∴，
∴．
综上，周长的取值范围．
题型6：三角形面积（范围问题）
例题1．中，角、、所对的边分别为，，且
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积的取值范围．
【答案】(1)C
(2)
【详解】（1）由题意得，2sin21+cos2C，
∴ ，
又，
∴ ，解得cosC或1，
∵ ，∴cosC，则C；
（2）∵C，c，
∴由余弦定理得， ，
所以，解得 ，
∴ ，解得 ，当且仅当a=b=1时取等号，
∴△ABC的面积，
∴△ABC的面积S的取值范围是．
例题2．在中，角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围．
【答案】(1)B(2)
（1）解：∵，
由正弦定理可得：，
又∵，
∴，即：
∵，
∴，即
（2）解：为锐角三角形，所以，解得，
∵，由正弦定理得，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴的面积的取值范围为．
例题3．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，．已知
①，②，③，
从这三个条件中任选一个，回答下列问题，
(1)求角；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)若选①，由，得，
即，
∴．
又∵锐角，∴，∴．
若选②，由，，
∴，∴．
又∵锐角，∴，∴．
若选③，∵，
由正弦定理，得，
即，由余弦定理，得．
又∵锐角，∴，∴．
(2)
由正弦定理，得．
∴
．
∵锐角，∴且，∴，
∴，∴，
∴，
∴面积的取值范围为解三角形拓展：
三角形中线，角平分线问题 、最值、取值范围问题
一、必备知识分层透析
一、三角形中线问题以及定比分点线段长
方法1、向量法
如图在中，为的中点，
如果不是中点，是几等分点也可以用此法，结合定比分点公式。
方法2、角互补
在中有：;
在中有：
二、角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
方法1：内角平分线定理：
或
方法2：等面积法(使用频率最高）
方法3：边与面积的比值：（这个结论也可以结合定比分点公式应用）
二、重点题型分类研究
题型1: 向量化法、角互补法
题型2：三角形角平分线（比例法）
题型3：三角形角平分线（等面积法）
题型4：边长周长面积最值问题
一般考虑结合基本不等式，也可以考虑函数化。有时可以构造隐圆。
题型5：边长周长面积取值范围问题
一般考虑三角函数化，有时可以构造隐圆。
题型1: 三角形中线问题（向量化法和角互补法）
例题1．锐角中，角、、所对的边分别为、、，且
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围．
例题2．在①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．
在中，角，，的对边分别为，，，______．
(1)求角；
(2)若，，求的边上的中线的长．
例题3．在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足.
(1)求角；
(2)若边上的中线长为，且，求的面积.
题型2：三角形角平分线（比例法、等面积法）
例题1．在中，的角平分线与边相交于点，满足.
(1)求证：；
(2)若，求的大小.
例题2．已知的内角的对边分别为，满足.
(1)求角；
(2)是的角平分线，若，的面积为，求的值.
例题3．记的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，为方程的两个实数根，且的角平分线交于点，求．
例题4．已知中，角，，所对的边分别为，，，点在边上，为的角平分线．．
(1)求；
(2)若，求的大小．
例题5．如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．
(1)求及线段的长；
(2)求的面积．
题型3：周长（边长）（最值问题）
例题1．的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
例题2．在中，分别是角的对边，已知向量，设函数 .
(1)求的单调递增区间；
(2)若 ，求的最大值.
例题3．如图，在平面四边形中，．
(1)判断的形状并证明；
(2)若，，，求四边形的对角线的最大值．
练习． 如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，.

(1)已知，且
（i）当时，求的面积；
（ii）若，求.
(2)已知，且，求AC的最大值.
例题4．已知的内角、、所对的边长分别为、、，且，若，，求：
(1)求的值；
(2)求的最大值.
例题5．在中，内角、、所对的边分别为、、，且，.
(1)已知的面积满足，求角；
(2)若边上的中线为，求长的最小值.
题型4：面积最值问题
例题1．设，.
(1)求的单调递增区间；
(2)在锐角中，、、的对边分别为、、.若，，求面积的最大值.
例题2．如图，在扇形中，点为上一点，，分别为线段，上的点，且，，．
(1)求的大小；
(2)若扇形的半径为30，求面积的最大值．
例题3．已知在中，三个内角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若角为钝角，且角的角平分线与边相交于点，满足，求的面积的最小值.
例题4．在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)设，是所在平面上一点，且与点分别位于直线的两侧，如图，若，，求四边形面积的最大值．
练习4．从①；②；③；
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________．
(1)求角的大小；
(2)求取值范围；
(3)当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值．（类似拓展练习均是将边转化为角表示，只是角多角少的问题，一个是两个角，一个是一个角）将边转化为角的三角函数。需要整理，还可以考虑相似三角形试试。
题型5：三角形周长（边长）（范围问题）
例题1．锐角中，角，，所对边的长分别为，，，．
(1)求的大小；
(2)若，求的取值范围．
例题2．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量、满足：，，且．
(1)求角；
(2)若，求的取值范围．
例题3．已知向量，，函数.在中，内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若，且的面积，求周长的取值范围.
例题4．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，的面积．
(1)求；
(2)求周长的取值范围．
题型6：三角形面积（范围问题）
例题1．中，角、、所对的边分别为，，且
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积的取值范围．
例题2．在中，角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围．
例题3．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，．已知
①，②，③，
从这三个条件中任选一个，回答下列问题，
(1)求角；
(2)若，求面积的取值范围．

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