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2025届高考数学一轮复习高频考点专题练：等差数列的前n项和
一、选择题
1．已知等差数列的公差为d，前n项和为，则“”是“”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2．已知等差数列的前n项和为,且,,则是中的( )
A.第28项 B.第29项 C.第30项 D.第32项
3．设为等差数列的前n项和，已知，，则的值为( )
A.64 B.14 C.12 D.3
4．“二十四节气”是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度，二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始，已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中立春到夏至的日晷长的和为( )
A.58.5尺 B.59.5尺 C.60尺 D.60.5尺
5．记为等差数列的前n项和,,则( )
A.24 B.42 C.64 D.84
6．1.已知等差数列的前n项和为，满足，，则下列结论正确的是( )
A.， B.，
C.， D.，
二、多项选择题
7．函数及其导函数的定义均为R，且是奇函数，设，，则以下结论一定正确的有( )
A.为偶函数
B.函数的图象关于直线对称
C.的图象关于对称
D.设数列为等差数列，若，则
8．已知数列的前n项和，则下列结论正确的是( )
A.数列是等差数列 B.
C.的最大值为10 D.
三、填空题
9．和都是等差数列，其前n项和分别为和，若，则______.
10．已知等差数列,若,则________.
11．已知等差数列的前n项和为,,,则数列的前20项和是______.
四、解答题
12．已知正项等差数列，为数列的前n项和，且满足，，设数列满足.
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前n项和为，求.
13．已知数列的前n项和为，且．
（1）若为等差数列，且
①求该等差数列的公差d；
②设数列满足，则当n为何值时，最大？请说明理由；
（2）若还同时满足：
①为等比数列;
②；
③对任意的正整数k存在自然数m，使得、、依次成等差数列，试求数列的通项公式．
参考答案
1．答案：C
解析：因为，所以，即，
又是公差为d的等差数列，所以；
又时，有，即，即，
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：C
2．答案：C
解析：设等差数列的公差为d,
则
,解得,
所以,
令,
得,即是中的第30项.
故选:C.
3．答案：C
解析：利用等差数列求和公式，知道，即.
，且，则.
故选：C.
4．答案：C
解析：设冬至日晷长为，小寒日晷长为，以此类推芒种日晷长为，
因此，，设从冬至日到夏至日过程中，晷长的变化量为d，
所以有，立春日晷长为，
夏至的日晷长为，
所以一年中立春到夏至的日晷长的和为，
故选：C
5．答案：B
解析：因为为等差数列的前n项和,
所以,若,则,
所以.
故选:B.
6．答案：D
解析：，，
，，
令，则，
即和是函数的零点，
，故最多有一个零点，
，，.
又，，
，
，，.
故选：D.
7．答案：ACD
解析：对于A：因为函数及其导函数的定义均为R，且是奇函数，
所以，则，
又，即，故为偶函数，故A正确；
对于B：因为的图象是由函数图象向右平移一个单位，再将横坐标缩短为原来的得到，
又因为是偶函数，函数图象关于对称，
所以函数的图象关于直线对称，故B错误；
对于C：因为，令，，
则，
由为奇函数，即，所以，
所以为奇函数，则图象关于对称，
而的图象可以看作由的图象向右平移4个单位，再向上平移4个单位而得，
所以的图象关于对称，故C正确；
对于D：由选项可知，当时，，
在等差数列中，又，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD
8．答案：ABC
解析：根据题意，数列的前n项和，当时，有，
当时，有，也符合，故；
依次分析选项：
对于A，，则数列是等差数列，A正确；
对于B，数列是公差为-4的等差数列，是递减数列，有，B正确；
对于C，，易得，，故的最大值为，C正确；对于D，，D错误.
故选：ABC.
9．答案：或
解析：由等差数列的性质及求和公式可得：
.
故答案为：
10．答案：
解析：因为等差数列,,,
则.
11．答案：202
解析：由得
又,,即
,公差.
的前n项和为
.
12．答案：(1)，；
(2)11302
解析：（1）设正项等差数列的公差为d，
因为，，所以，解得：
所以.
数列满足
设，
当时，有，即，
当时，有，得
符合，所以
（2）根据（1）的结论，所以数列的前8项依次为：2、4、8、16、32、64、128、256，
对应数列第1、2、4、8、16、32、64、128项，
故数列的前100项为数列的前107项，剔除数列的前7项的数列
设数列的前n项和为，所以
.
13．答案：（1）①；②当或时，最大；
（2）.
解析：（1）①由，，
得﹐解得，，
该等差数列的公差.
②由①知，所以，
则，
所以，且当时，单调递增，当时，单调递减，
故当或时，最大.
（2）因为是等比数列，则，
又，
所以或，
由，得，解得，
由，得，解得，
从而或或或，
又因为、、依次成等差数列，得，而公比，
所以，即，
从而（*）
当时，（*）式不成立；
当时，解得；
当时，（*）式不成立；
当时，（*）式不成立．
综上所述，满足条件的.
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