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2025届高考数学一轮复习高频考点专题练：函数的基本性质
一、选择题
1．如图所示是函数(且互质)的图象，则( )
A.m、n是奇数且 B.m是偶数，n是奇数，且
C.m是偶数，n是奇数，且 D.m、n是偶数，且
2．函数部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
3．函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4．已知函数则下列结论错误的是( )
A.存在实数a，使函数为奇函数；
B.对任意实数a和k，函数总存在零点；
C.对任意实数a，函数既无最大值也无最小值；
D.对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数在区间上单调递减.
5．若函数是定义在R上的奇函数，，，则( )
A.2 B.0 C.60 D.62
6．已知函数是奇函数,则实数a的值是( )
A.1 B. C.4 D.
二、多项选择题
7．对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数m的取值可以是( )
A.1 B.e C. D.
8．已知定义在R上的偶函数在上单调递增，且也是偶函数，则( )
A.
B.
C.函数的图象关于直线对称
D.函数的图象关于直线对称
三、填空题
9．已知函数给出下列结论：
①的图象关于点对称；
②的图象关于直线对称；
③是周期函数；
④的最大值为.
其中正确结论有___________.（请填写序号）
10．若是R上的奇函数，且在上单调递减，则函数的解析式可以为________.（写出符合条件的一个解析式即可）
11．某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投千元________.
四、解答题
12．已知是定义在R上的奇函数,当时,.
（1）求函数的解析式;
（2）求函数的零点.
13．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）判断函数的单调性并用定义加以证明；
（2）求使成立的实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：函数的图象关于y轴对称，故n为奇数，m为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故，
故选：C.
2．答案：C
解析：当时，，故BD不正确；
当时，，且为增函数，所以为减函数，故A不正确，
故选：C.
3．答案：C
解析：因为，即，定义域为，且，
即为奇函数，又由幂函数的性质可知在上单调递减，
所以在上单调递减，故符合题意的只有C；
故选：C.
4．答案：B
解析：首先分别作出，，的函数的图像，如下：
结合图像进行分析：
当时，，此时如图1所示，
函数的图像关于原点对称，其为奇函数，
所以存在，使得函数为奇函数，故A正确；
由图可知，无论a取何值，当时，，当时，，
所以函数既无最大值也无最小值，故C正确；
作一条直线，当时，存在实数k使得函数的图像与没有交点，
即此时没有零点，
因此对于任意实数a和k，函数总存在零点不正确，故B不正确；
如图2，当时，对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数在区间上单调递减，故D正确.
故选：B
5．答案：A
解析：由题意，所以的周期为4，
且关于直线对称，
而，
所以.
故选：A.
6．答案：C
解析：已知函数,所以该函数的定义域为,
又因为函数是奇函数,所以,
所以,
则,故,所以,则可得,
所以,则对任意的,都有,符合题意.
7．答案：BCD
解析：依题意，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，即方程有两个根，
即：，令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又在处的切线方程为，如图，
由图可知，要使方程有两个根，则或.
故选：BCD.
8．答案：ACD
解析：因为是偶函数，所以，即，所以的图象关于直线对称.
因为是偶函数，所以的图象关于y轴对称，
所以，.
因为在上单调递增，所以，
即，A正确，B错误.
因为是偶函数，所以的图象关于y轴对称，将的图象向左平移3个单位长度可得的图象，所以的图象关于直线对称，C正确.
令函数，则，即，所以函数的图象关于直线对称，D正确.
9．答案：①③④
解析：因为,
,
所以, 故①正确;
因为,
,
所以,故②错误;
因为,
所以是周期为的周期函数,
故③正确;
函数,
取,令,得或1,
所以,,,单调递增,,,单调递减,且,所以,故④正确.
故答案为①③④.
10．答案：（答案不唯一）
解析：由函数是R上的奇函数，且在上单调递减，可取函数.
故答案为：（答案不唯一）.
11．答案：/1.5
解析：设投入经销B商品x千元，则投入经销A商品的资金为千元，所获得的收益千元，
则，
可得，
当时，可得，函数单调递增；
当时，可得，函数单调递减；
所以当时，函数取得最大值，最大值为.
故答案为：
12．答案：（1）
（2）零点是-1,0,1
解析：（1）设,则,
所以,
因为为奇函数,
所以,
所以,
故的解析式为.
（2）由,得或,
解得或或,
所以的零点是-1,0,1.
13．答案：（1）在上是增函数，证明见解析；
（2）
解析：（1）函数是定义在上的奇函数，
，即.
又，即，解得.
经检验，时，是定义在上的奇函数.
设，且，
则.
，
，，，
，即，
在上是增函数.
（2）由（1）知，在上是增函数，
是定义在上的奇函数，
由，得，
，即，解得.
所以实数m的取值范围是.
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