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第2章 平面向量
2.1 向量的概念
高教社数学拓展模块一（修订版）（上册）
目录ONTENTS
C
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典例剖析
巩固练习
归纳总结
布置作业
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布置作业
我国是海洋大国，海域辽阔、资源丰富．如图所示，某海洋科考船从A点沿东北方向航行100 n mile 到达B点．如果船S舰沿其他方向航行100 n mile，能不能到达B点呢？
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可以看出，船从A点出发沿其他方向航行100 n mile 不能到达B点．
事实上，图中带箭头的线段AB包含两个要素：航程100 n mile ，航向东北方向．
物理学中，把“船沿东北方向航行100 n mile”称为船的位移．
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生活和学习中常会遇到一些量，如长度、质量、时间、温度、面积、年龄，它们在给定了单位后，用一个实数就可以表示出来，这样的量称为数量．
在数学中，把既有大小又有方向的量，称为向量． 向量常用小写黑体英文字母a、b、c、…等来表示，手写体为在字母上方加箭头，如、、 一些软件中也是用字母上方加箭头来表示向量
除了位移，生活中常见的向量还有速度、加速度、力等．
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布置作业
向量a的大小也称为该向量a的模，记为|a|．模为1的向量称为单位向量．
规定：模为零的向量为零向量，记作0或 ．零向量的方向是任意的．
想一想
非零向量的方向如何表示呢？
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以A为起点、B为终点的有向线段记作．
习惯上，在有向线段的终点处加一个指向终点的箭头表示方向，如图所示．
平面中由两点 A、B所确定的线段 AB 有两个方向，即以点 A 为 起点、点 B 为终点的方向和以点 B为起点、点 A 为终点的方向．
一般地，把具有确定方向的线段称为有向线段．
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图中的有向线段直观地表示了船的位移，其长度表示船位移的大小，其箭头指向表示船位移的方向．
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一般地，人们常用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．这也是向量的几何表示．
N
1:1000
A
B
C
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例1. 2022年2月，我国成功举办了第24 届冬季奥林匹克运动会，并取得历史最好成绩．冰球是最受关注的项目之一．如左图所示是按1:1000比例尺绘制的甲运动员带球、传球的示意图，甲运动员从点A带球到了点B，然后将球传给了位于点C的乙运动员．尝试用有向线段分别表示冰球、甲运动员的位移，并指出它们的大小和方向（精确到1m）．
N
1:1000
A
B
C
N
1:1000
A
B
C
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例1
N
1:1000
A
B
C
解 如右上图所示，用有向线段表示甲运动员的位移．在图中测量可得，|AB|≈2.5cm．因此，甲运动员位移的实际大小| |≈2.5cm×1000=25m，方向是正北．
用有向线段表示冰球的位移．在图中测量可得，|AC|≈2.1cm．因此，冰球位移的实际大小| |≈2.1cm×1000=21m，方向是正东．
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例2.如图所示，在坐标纸(正方形小方格的边长为1)上，求各向量的模和方向，并指出其中的单位向量．
解 向量a：|a|2，东北方向；
向量b：|b|2，东北方向；
向量c：|c|，西南方向；
向量d：|d|，东北方向；
向量m：|m|，正北方向；
向量i：|i|，正东方向；
向量j：|j|，正北方向．
其中的单位向量有： i、 j．
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向量i与j的模相等，但是方向不同，它们是不同的向量．
向量a与d的模不相等，但是方向相同，它们也是不同的向量．
向量a与b不仅模相等,而且方向相同．考虑到向量是由大小和方向所确定的，我们把 a与b看作一样的向量．
向量c与d的模相等，方向相反，它们的关系类似于相反数的关系．
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一般地，模相等且方向相同的两个向量称为相等向量．向量a与b相等时，记a=b．
与非零向量a的模相等、方向相反的向量称为a的相反向量，记作 a．
规定：零向量的相反向量仍是零向量．
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进一步观察还可以发现，向量a与d的方向相同，向量c与d的方向相反，但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行．
一般地，方向相同或相反的两个向量称为平行向量．当向量a与b平行时，记a∥b ．
规定：零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a ．
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温馨提示
对于前面图中的平行向量a、c、d，我们可以在平面内作一条与向量a所在直线平行的直线l ．然后，在l上任取一点O，并在l上分别作出 = a ， = c ， = d ，如右图所示．这说明，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上．因此，平行向量也称共线向量．
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例3.如图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心，写出
　　图中符合下列要求的所有向量：
（1）与向量 相等的向量；
（2）与向量 共线的向量.
（2）与向量 共线的向量有：
解: （1）与向量 相等的向量有：
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１．下列说法正确的是 (　　)
A．平行向量就是向量所在直线平行的向量
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度为0
D．共线向量是在一条直线上的向量
解:平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错.故选C．
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2．如图，已知四边形ABCD为正方形，△CBE为等腰直角三角形，回答下列问题：
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练习2.1；习题2.1
再见

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