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2.4.1 圆的标准方程
学习目标
1.掌握圆的定义及标准方程.
2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系.
问题导入
问题2：初中学习的圆的定义是什么？
圆心
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
静态：平面内到所有到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆.
集合
问题1：确定一个圆的基本要素是什么？
半径
（位置）
（大小）
x
y
O
平面直角坐标系
圆心坐标
半 径
圆上点的坐标满足的关系式
圆的方程
新课讲授
两边平方，得
（3）根据 公式，得
问题3：若一个圆的圆心为A(a， b)， 半径为r， 那么如何求此圆的方程
（1）对于圆A上任意一点M(x， y)满足什么条件？
|MA|= r
O
A
M(x，y)
x
(a，b)
①
（2）你能用描述法来表示圆上所有点的集合吗？

P={M||MA|= r}
两点间距离
方程①.
圆上任意点M的坐标
满足
M的坐标满足方程①
点M在圆心为A的圆上
这时我们把方程①称为以圆心为A(a，b)， 半径为r的圆的标准方程.
问题4：圆上的点是否都适合方程①？适合方程①的坐标的点是否都在圆上？
①
几何特征
三条件
二要素
确定圆的方程
a，b，r
1.圆的标准方程
(x a)2+(y b)2=r2
以A(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是
问题5：圆的标准方程结构特征有哪些？
①括号内x，y系数都为___ ；括号内连接符号为____，括号外连接符号为___；
②圆上点的坐标为_______，圆心______，半径_____;
③关于x，y的 元 次方程.

+
r>0
二
二
1
特别地，圆心在坐标原点， 则圆方程为 .
x2 + y2 = r2
例1 求与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程.
解：∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
练1.已知点A(2，0)，B(0，-2)，圆C以线段AB为直径，则它的标准方程是(　　)
A.(x+1)2+(y-1)2=2
B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x+1)2+(y-1)2=4
D.(x-1)2+(y+1)2=4
B
问题6：如何确定点P(x0， y0)与圆(x a)2+(y b)2=r2的位置关系？
2.点与圆的位置关系
|PC||PC|=r
|PC|>r
点在圆上
点在圆外
点在圆内
位置关系
图形
几何条件
代数形式
P
C
C
P
C
P
解：圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
把点M1(5，－7)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，
得(5－2)2＋(－7＋3)2＝25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上.
把点M2(－2，－1)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，
得(－2－2)2＋(－1＋3)2＝20，左右两边不相等，
点M2的坐标不满足圆的方程，
所以点M2不在这个圆上(如图).
例2 求圆心为A(2，－3)， 半径为5的圆的标准方程， 并判断点M1(5，－7)， M2(－2，－1)是否在这个圆上.
练2.（1）已知点P(a，a+1)在圆x2+y2=25的内部，则a的取值范围是( )
A.-4（2）点P(1，1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则a的取值范围( )
A.-11 D.a=±1
A
A
例3 已知圆E经过A(2，3)，B(3，2)，C(4，3)三点，求圆E的标准方程.
解 设圆E:(x-a)2+(y-b)2=r2，r>0，
∴圆E:(x-3)2+(y-3)2=1.
练3.求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
解：方法一　(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
练3.求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
∵弦的垂直平分线过圆心，
即圆心坐标为(4，－3)，
即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
方法二　(几何法)由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：
(1)圆的标准方程是什么？
(2)如何判断点与圆的位置关系？
当堂检测
1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心、半径是(　　)
A.(1，-2)，4 B.(1，-2)，2
C.(-1，2)，4 D.(-1，2)，2
2.点(5a+1，12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，则实数a的取值范围是(　　)
D
D
当堂检测
3.已知点A(1，－2)，B(－1，4)，求过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程.
故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
解：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

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