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(共18张PPT)
2.4.2 圆的一般方程
学习目标
1.掌握圆的一般方程及其特点.
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.
3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
复习回顾
问题1:圆的标准方程是什么？
它是关于x，y的什么形式的方程？
(x-a)2 +(y-b)2 =r2 (r>0)
(a，b)为圆心， r为半径
x2 +y2 =r2 圆心在原点
二元二次方程
圆的标准方程的两种求法:
(1)几何法
(2)待定系数法
一般步骤是:①设②列③解④代
新课讲授
问题2:一般地, 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开后，会得出怎样的形式？
(x-1)2+(y-2)2=4
x2+y2-2x+4y+1=0
(x-a)2+(y-b)2=r2
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
x2+y2+Dx+Ey+F=0
能否将形式写得更简单一点呢？
问题3:反过来, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆呢
将方程左边配方, 并把常数项移到右边, 得
方程无实数解，所以不表示任何图形.
表示以( )为圆心， 以 为半径的圆.
D2+E2-4F
>0，
=0，
<0，
(x-a)2+(y-b)2=r2 >0
方程只有一组解 ，表示一个点( ).
1.圆的一般方程
当D2+E2-4F>0时, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆, 我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.
问题4:观察圆的一般方程，你发现它有哪些结构特征？
注意：①关于x，y的二元二次方程，x2与y2系数都是1；
②没有xy这样的二次项；
③圆心为( , )，半径为 .
标准方程 一般方程
方程
代数特征
系数
圆心
半径
问题5:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？
平方和
特殊的二元二次方程
（a,b）
r
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.
(1)求实数m的取值范围；
(2)写出圆心坐标和半径.
解：(1)由表示圆的充要条件得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m＜，即实数m的取值范围为(﹣∞，).
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.
练1.当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
D
分析：由圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－m)2＝m2－2m＋4，
从而对于圆C的半径r有r2＝m2－2m＋4＝(m－1)2＋3≥3，
所以当m＝1时，r2取得最小值，此时圆C的面积最小.
例2 求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ①
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解.
所以，所求圆的方程是x2＋y2－8x＋6y＝0.
问题6:什么是待定系数法？如何运用待定系数法求圆的方程呢？
一般先写出含有未知系数的解的形式（如一种类型的方程、算式或表达式），然后再根据问题所给的条件解得所设的未知系数．由于其中的系数是未知和待定的，这类方法就被称为待定系数法．
(1) 待定系数法： 其大致步骤是:
①根据题意， 选择标准方程或一般方程;
②根据条件列出关于a， b， r或D， E， F的方程组;
③解出a， b， r或D， E， F， 得到标准方程或一般方程.
2.求圆的方程的方法
(2) 几何法
练2.已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1).
(1)求△ABC的外接圆的一般方程；
(2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值.
解：(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值.
(2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
易知M的一个坐标为(2，2)，即a＝2，
又点M(a，2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝6，综上，a＝2或6.
例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0).
由于点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点，
于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3， ①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，
例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，
课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：
(1)圆的一般方程如何表示？
(2)如何求动点的轨迹方程.
当堂检测
1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是( )
C
2.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是( )
A.点 B.直线
C.线段 D.圆
D
当堂检测
3.△ABC三个顶点的坐标分别是A(-1，-5)， B(2，4)，C(5，-5)，则△ABC外接圆的方程是(　　)
A.x2+y2-4x-2y-20=0
B.x2+y2+4x-2y-20=0
C.x2+y2-4x+2y-20=0
D.x2+y2+4x+2y-20=0
C

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