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必修四常考公式及高频考点
第一部分 三角函数与三角恒等变换
考点一 角的表示方法
1.终边相同角的表示方法：
所有与角终边相同的角，连同角在内可以构成一个集合：{β|β= k·360 °+α,k∈Z }
2.象限角的表示方法：
第一象限角的集合为{α| k·360 °<α第二象限角的集合为{α| k·360 °+90 °<α第三象限角的集合为{α| k·360 °+180 °<α第四象限角的集合为{α| k·360 °+270 °<α3.终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上(如轴线角)的表示方法：
（1）若所求角β的终边在某条射线上，其集合表示形式为{β|β= k·360 °+α,k∈Z },其中α为射线与x轴非负半轴形成的夹角
（2）若所求角β的终边在某条直线上，其集合表示形式为{β|β= k·180 °+α,k∈Z },其中α为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角
（3）若所求角β的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为{β|β= k·90 °+α,k∈Z },其中α为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角
例：
终边在y轴非正半轴上的角的集合为{α|α= k·360 °+270 °,k∈Z }
终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α= k·180 °+135 °,k∈Z }
终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α= k·90 °+45 °,k∈Z }
易错提醒：
区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0～90、小于180度的角
考点二 弧度制有关概念与公式
1.弧度制与角度制互化
，，1弧度
2.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法）
弧长公式：, 其中为弧所对圆心角的弧度数
扇形面积公式：= R2||, 其中为弧所对圆心角的弧度数
易错提醒：利用S= R2||求解扇形面积公式时，为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数
规律总结：“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“知二求二”，注意公式选取技巧
考点三 任意角的三角函数
1.任意角的三角函数定义
设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么，，（）；化简为.
2.三角函数值符号
规律总结：利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号.
3.特殊角三角函数值
除此之外，还需记住150、750的正弦、余弦、正切值
4.三角函数线
经典结论：
(1)若，则
(2)若，则
(3)
例：
在单位圆中分别画出满足sinα＝、cosα＝、tanα＝－1的角α的终边，并求角α的取值集合
考点四 三角函数图像与性质
图象
定义域
值域
最值 当时，；当时，． 当时，；当时，． 既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在上是增函数；在上是减函数． 在上是增函数；在上是减函数． 在上是增函数．
对称性 对称中心对称轴 对称中心对称轴 对称中心无对称轴
考点五 正弦型（y=Asin(ωx＋φ)）、余弦型函数（y=Acos(ωx＋φ)）、正切性函数（y=Atan(ωx＋φ)）图像与性质
1.解析式求法
（1）y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或y=Acos(ωx＋φ)＋B解析式确定方法
字母 确定途径 说明
A 由最值确定 A＝
B 由最值确定 B＝
ω 由函数的周期确定 相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为0.25个周期
φ 由图象上的特殊点确定 可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点，然后列方程确定；也可通过解简单三角方程确定
A、B通过图像易求，重点讲解φ、ω求解思路：
①φ求解思路：
代入图像的确定点的坐标.如带入最高点或最低点坐标，则或，求值．
易错提醒：y=Asin(ωx＋φ)，当ω>0，且x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相.如果不满足ω>0，先利用诱导公式 ( http: / / baike. / view / 28569.htm" \t "_blank )进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如y=-3sin(-2x+600)的初相是-600
②ω求解思路：
利用三角函数对称性与周期性的关系，解ω.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一.
2.“一图、两域、四性”
“一图”：学好三角函数，图像是关键。
易错提醒：“左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量x，不可针对-x或2x等.
例：
“两域”：
(1) 定义域
求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解.
(2) 值域(最值)：
a.直接法（有界法）：利用sinx，cosx的值域.
b.化一法：化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值).
c.换元法：把sinx或cosx看作一个整体，化为求一元二次函数在给定区间上的值域(最值)问题.
例：
1.y=asinx2+bsinx+c
2.y=asinx2+bsinxcosx+ccosx2
3.y=(asinx+c)/(bcosx+d)
4.y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c
“四性”：
(1)单调性
①函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ-<ωx+φ<2kπ＋，k∈Z解得, 单调递减区间由2kπ+<ωx+φ<2 kπ＋1.5π，k∈Z解得;
②函数y=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ+π<ωx+φ<2kπ＋2π,k∈Z解得, 单调递减区间由2kπ<ωx+φ<2 kπ＋π，k∈Z解得;
③函数y=Atan(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由kπ-<ωx+φ规律总结：注意ω、A为负数时的处理技巧．
(2)对称性
①函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ＋(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得;
②函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ＋(k∈Z) 解得;
③函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得.
规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号.
(3)奇偶性
①函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)，函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
②函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)；
③函数y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函数 φ＝(k∈Z)．
规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号.
(4)周期性
函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，
y＝Atan(ωx＋φ) 的最小正周期T＝.
考点六 常见公式
常见公式要做到“三用”：正用、逆用、变形用
1.同角三角函数的基本关系
；=
2.三角函数化简思路：“去负、脱周、化锐”
（1）去负，即负角化正角：
sin(-a)=-sina； cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana；
（2）脱周，即将不在（0,2π）的角化为（0,2π）的角：
sin(2kπ+a)=sina； cos(2kπ+a)=cosa；tan(2kπ+a)=-tana；
（3）化锐，即将在（0,2π）的角化为锐角：
6组诱导公式
，，．
，，．
，，．
，，．
，．
，．
口诀：奇变偶不变，符号看象限. 均化为“kπ/2±a”,做到“两观察、一变”。一观察：k是奇数还是偶数；二观察：kπ/2±a终边所在象限，再由kπ/2±a终边所在象限，确定原函数对应函数值的正负.一变：正弦变余弦、余弦变正弦、正切利用商的关系变换. 其中公式（1）也可理解为终边相同角的三角函数值相同，公式（3）也可按照函数奇偶性理解
3.两角和差公式
；；
,
4.二倍角公式
；；
，
二倍角公式是两角和的正弦、余弦、正切公式，当α ( http: / / baike. / subview / 504231 / 504231.htm" \t "_blank )=β ( http: / / baike. / subview / 504244 / 504244.htm" \t "_blank )时的特殊情况
倍角是相对的，如0.5α ( http: / / baike. / subview / 504231 / 504231.htm" \t "_blank )是0.25α ( http: / / baike. / subview / 504231 / 504231.htm" \t "_blank )的倍角，3α ( http: / / baike. / subview / 504231 / 504231.htm" \t "_blank )是1.5α ( http: / / baike. / subview / 504231 / 504231.htm" \t "_blank )的倍角
5.升降幂公式
（升幂缩角）.
（降幂扩角），
6.辅助角公式
=(辅助角所在象限由点的象限决定, ，- <<).
7.半角公式
sin=±；cos=±
tan=；tan==
8.其它公式
1+sin a =(sin+cos)2；1-sin a = (sin-cos)2
9.万能公式
sin a=；cos a=；tan a=
10.和差化积
sin a+sin b=2sincos；sin a-sin b = 2cossin
cos a+cos b = 2coscos；cos a-cos b = -2sinsin
tan a+tan b =
11.积化和差
sinAsinB =-[cos(A+B)-cos(A-B)]；cosAcosB =[cos(A+B)+cos(A-B)]
sinAcosB =[sin(A+B)+sin(A-B)]；cosAsinB =[sin(A+B)-sin(A-B)]
12.三倍角公式
；；
13.常见计算技巧
（1）简单的三角方程的通解
.
.
.
特别地,有
.
.
.
（2）最简单的三角不等式及其解集
.
.
.
.
.
.
例：
已知sinα>、cosα>、tanα>－1、sinα<- 、cosα<- 、tanα<－1,分别求出α的取值范围
14.三角形中三角函数关系
在△ABC中，有.
；；tan(A+B)=-tanC;等．
15.三角函数化简的常用技巧
1.三角函数化简要做到“四看、四变”
(1)看角、做好角的变换：观察角与角之间和、差、倍、互补、互余等关系，采取诱导公式、两角和差公式、倍角公式、拼凑角等办法化简.
(2)看名、做好名的变换：利用同角三角函数基本关系实现弦切互化，掌握弦的一次齐次式或二次齐次式化简方法
(3)看次数、做好次数的变换：利用升降幂公式实现扩角降次、缩角升次
(4)看形、做好形的变换：利用辅助角公式，统一函数形式
2.具体技巧
(1)遇分式通分、遇根式升幂.
(2)和积转换法
掌握sin α±cos α，sin αcos α化简方法，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，“知一求二”．
(3)巧用“1”的变换
1＝sin2θ＋cos2θ＝＝tan450＝sin＝cos 0….
3.四种常见题型
给角求值、给值求值、给值求角，辅助角公式
若角的范围在（0,90），选择正弦、余弦函数均可；若角的范围在（0,180），选择余弦函数较好；若角的范围在（-90,90），选择正弦函数较好；
第二部分 平面向量
考点一 向量的有关概念
1.向量：既有大小又有方向的量，用黑体小写字母或用起点终点的大写字母表示
2.向量的模：有向线段的长度，|a|
3.单位向量：模为1的向量.与a平行的单位向量：±a/|a|；与a同向的单位向量：a/|a|；单位向量有无数个
4.零向量：模为0的向量，方向是任意的.注意实数0与向量0的区别
5.相等向量：长度相等、方向相同.对向量起点和终点不作要求,可在平面内任意平移
6.相反向量：长度相等、方向相反.对向量起点和终点不作要求,可在平面内任意平移
7.共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量，对长度不作要求
易错提醒：
1.有向线段与向量的区别：向量可用有向线段来表示，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段. 向量只有两要素:方向和大小;而有向线段有三要素:起点、方向和大小
2.共线向量（平行向量）可重合，注意与直线平行的区别；不要单纯从字面上理解共线向量，注意与直线重合的区别
3.规定零向量与任意向量平行；不可说零向量与任意向量垂直
4.零向量与单位向量的特殊性：长度确定、方向任意.a//b, b// c,不一定推出a//c; a=b, b= c,一定推出a=c
6.向量不可以比较大小，如不能得出3i>2i
考点二 向量的线性运算
1.向量的加法法则
（1）平行四边形法则：共起点，指向对角线；起点相同、终点相同，首尾相连、路径不限
（2）三角形法则：首尾相连，可理解为“条条大路通罗马”
2. 向量的减法原则：起点相同、指向被减
(a+b)= OC , (a-b)= BA
两个向量共线只可用三角形法则；封闭图形、首尾相连、相加为零
3.向量的数乘运算
实数与向量的积叫做向量的数乘，记作．其几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩
（1）
（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，
4.a与b的数量积运算
a·b=|a||b|cosθ=|a||b|cos=x1x2+y1y2
（1）|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影
（2）a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积
（3）θ为a与b的夹角，0≤θ≤π
（4）零向量与任一向量的数量积为
（5）a·b=-b·a
（6）向量没有除法，“a/b”没有意义,注意与复数运算的区别
（7）向量的加法、减法、数乘结果为向量，向量的数量积结果为实数
易错提醒：
向量的数量积与实数运算的区别：
（1）向量的数量积不满足结合律，即：(a b) c≠a (b c)
（2）向量的数量积不满足消去律，即：由 a b=a c (a≠0)，推不出 b=c
（3）由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b
（4）|a b|≤|a| |b|
考点三 向量的运算律
1.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的数量积的运算律：
(1) a·b= b·a （交换律）;
(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
考点四 向量的坐标表示及坐标运算
1.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量（隐含另一条件为非零向量，基底不唯一）e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
该定理作用：证明三点共线、两直线平行或两个向量a、b共线.
解题思路：可用两个不共线的向量e1、e2表示向量a、b，设b=λa（a≠0），化成关于e1、e 2的方程，即f(λ) e1+g(λ) e2=0,由于e1、e 2不共线，则f(λ)=0，g(λ) =0
2.向量的坐标表示
表示
(1)设a=,b=，则a+b=
(2)设a=,b=，则a-b=
(3)设
(4)设a=,b=，则a·b=|a||b|cosθ=xx2+y1y2
（5）设A，B,则
（6）
易错提醒：
公式（2）与公式（5）的区别
向量坐标与该向量有向线段的端点无关，仅与其相对位置有关
考点四 向量的常见公式
1.线段的定比分公式
（1）定比分点向量公式：设，，是线段的分点,是实数，且，则的坐标是，即
（）.
（2）定比分点坐标公式：
，
2.三角形五“心”向量形式的充要条件
设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则
（1）为的外心.
（2）为的重心.
（3）为的垂心.
（4）为的内心.
（5）为的的旁心.
3. A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点共线OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1
(x1-x2)(y2-y3)= (x2-x3) (y1-y2)等
4. 向量的三角形不等式和方程
（1）∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；② 当且仅当a、b同向时，右边取等号
（2）∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；② 当且仅当a、b反向时，右边取等号
记忆规律：
（1）与（2）的几何意义为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
（3）∣a+b∣2+∣a-b∣2=2（∣a∣2+∣b∣2），该式几何意义为平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和
（4）a·b>0推不出a与b的夹角为锐角，可能为0；a·b<0推不出a与b的夹角为钝角，可能为180
5.点的平移公式
.
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为.
6.“按向量平移”的几个结论
(1)点按向量a=平移后得到点.
(2)函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.
(3)图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.
(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.
(5)向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.
考点五 向量的的四种常见题型
设a=,b=
1.两个向量的平行或共线关系：a//bb=λa（a≠0）（交叉相乘差为零），
若a=0,则λa=0，当b=0，λ不唯一；当b≠0，λ不存在.限定a≠0是保证λ的唯一性和存在性
不可写为x1/x2=y1/y2
2.两个向量的垂直关系 aba·b=0|a||b|cosθ=0（对应相乘和为零）
3.两个向量的夹角公式：,其中θ为a与b的夹角
4.两个向量的模运算：若，则或
（a±b）2=a2±2ab+b2,（a+b）（a-b）=a2-b2
解题技巧：
1.如向量用模表示，且已知两个向量的夹角，遇模，先平方后开方，如
2.如向量用坐标表示，遇模不平方，直接按照坐标运算
y
O
x
y
O
x
终边
y
O
x
y
O
x
P
M
A
T
P
M
A
T
正弦线
余弦线
正切线
P
P
M
A
T
P
M
A
T
终边
终边
终边
函
数
性
质
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