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(共19张PPT)
19.2.3 一次函数与方程、不等式
一
次
函
数
与
一
元
一
式
次
方
程
不
等
、
疑问导入
思考：y-2x=20是二元一次方程还是函数？
一次函数的一般形式为
y=kx+b(k≠0).
y-2x=20
y=2x+20
方程的角度
二元一次方程
函数的角度
一次函数
任意一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是都对应一条直线.
自主探究
思考：下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=﹣1.
探究点1：一次函数与一元一次方程
1.从“数”的角度看：
一次函数问题 方程的解
2x+1=3 可以看作函数y=2x+1，当y=3时，求x的值 x=1
2x+1=0 可以看作函数y=2x+1，当y=0时，求x的值 x=
2x+1=﹣1 可以看作函数y=2x+1，当y=﹣1时，求x的值 x=﹣1
2.从“形”的角度看：
一次函数问题 图象
2x+1=3 在直线y=2x+1上取纵坐标为3的点，求其横坐标
2x+1=0 在直线y=2x+1上取纵坐标为0的点，求其横坐标 2x+1=﹣1 在直线y=2x+1上取纵坐标为﹣1的点，求其横坐标 从函数的角度看解一元一次方程ax+b=0 (a≠0)，相当于在一次函数y=ax+b (a≠0)的函数值为0时，求自变量x的值.
归纳小结
从数的角度看：
求ax+b=0(a,b是常数，a≠0)的解
一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值
从形的角度看：
求ax+b=0(a,b是常数，a≠0)的解
求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标
数形结合
对应训练
1.当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=2x+8的值满足下列条件？(1)y=0；(2)y=﹣8.
2.下列图象中，直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x－y=2的解的是( ).
(1)x=﹣4；
(2)x=﹣8；
B
探究点2：一次函数与一元一次不等式
思考：下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？
（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜﹣1.
1.从“数”的角度看：
一次函数问题 不等式的解
3x+2>2 可以看作函数y=3x+2，当y>2时，求x的取值范围 x>0
3x+2<0 可以看作函数y=3x+2，当y<0时，求x的取值范围 x<
3x+2<﹣1 可以看作函数y=3x+2，当y<﹣1时，求x的取值范围 x<﹣1
2.从“形”的角度看：
一次函数问题 图象
3x+2>2 在直线y=3x+2上取纵坐标大于2的点，求其横坐标的范围
3x+2<0 在直线y=3x+2上取纵坐标小于0的点，求其横坐标的范围 3x+2<﹣1 在直线y=3x+2上取纵坐标小于﹣1的点，求其横坐标的范围 从函数角度看解一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0(a≠0)相当于在一次函数y=ax+b(a≠0)的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围.
归纳小结
从数的角度看：
求ax+b>0(或<0)(a,b是常数，a≠0)的解集
求一次函数y=ax+b的函数值大于0(或小于0)，求自变量x的取值范围
从形的角度看：
求ax+b>0(或<0)(a,b是常数，a≠0)的解集
求直线y=ax+b在x轴上方(或下方)部分的自变量x的取值范围
数形结合
画出函数y=﹣3x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式﹣3x+6>0 和﹣3x+6<0的解集；
（2）当x取何值时，y<3？
解：（1）由图象可知，
不等式-3x+6>0 的解集是图象位于x轴上方的x的取值范围，即x<2；
不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2；
（2）由图象可知，当x>1时，y<3.
对应训练
随堂练习
1.已知直线y=ax-b的图象如图所示，则关于x的方程ax-b=0的解为x=_____，当x=0时，y=_____.
2
﹣1
2.一次函数y=ax+b的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b≥0的解集是( ).
A.x≥2 B.x≤2 C.x≥4 D.x≤4
B
3.函数y=2x+6的图象如图，利用图象：
（1）求方程 2x+6=0 的解；
（2）求不等式 2x+6>0 的解集；
（3）求不等式组﹣1≤2x+6≤3 的解集．
解：(1)因为图象过点(﹣3, 0)，所以方程2x+6=0的解为x=﹣3．
(2)因为当函数y=2x+6的图象在x轴上方时，x>﹣3，所以不等式2x+6>0的解集为x>﹣3．
3.函数y=2x+6的图象如图，利用图象：
（1）求方程 2x+6=0 的解；
（2）求不等式 2x+6>0 的解集；
（3）求不等式组﹣1≤2x+6≤3 的解集．
(3)因为函数图象过F(﹣1.5, 3)，G(﹣3.5,﹣1)两点，当函数y=2x+6的函数值满足﹣1≤y≤3时，﹣3.5≤
x≤﹣1.5，所以不等式组的解集是﹣3.5≤x≤﹣1．
拓展延伸
在平面直角坐标系中，一次函数y=kx和y=mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式(k-m)x-n>0的解集是_____．
kx>mx+n
x>1
课堂小结
数：计算求解
形：观察图象
一次函数
一元一次方程
一元一次不等式(共22张PPT)
19.2.3 一次函数与方程、不等式
一
次
函
数
与
二
元
一
次
方
程
组
回顾导入
1.二元一次方程x+y=5和一次函数y=﹣x+5之间有什么联系？
2.（1）解二元一次方程组
x+y=5，
2x﹣y=1；
（2）求直线y=﹣x+5和直线y=2x﹣1交点的坐标．
对比（1）中方程组的解与（2）中交点的坐标，你有什么发现？
探索新知
由上节课我们可知，y=﹣x+5既可以表示一个二元一次方程，又可以表示一个一次函数．
那么对于二元一次方程2x﹣y=3，可以将其写成一次函数　___________的形式．
y=2x﹣3
探究点1：二元一次方程与一次函数
（1）画出一次函数y=2x﹣3的图象；
探索新知
（2）找出一次函数y=2x﹣3的几组解；
（3）将（2）中找出的几组解在平面直角坐标系中描出，你发现了什么
x=﹣1，y=﹣5
x=0，y=﹣3
x=1，y=﹣1
x=2，y=1
x=3，y=3
x=4，y=5
y=2x﹣3
找出的几组解在平面直角坐标系中描出后，均在直线y=2x﹣3上．
探索新知
y=2x﹣3
（4）在一次函数y=2x﹣3的图象上的点的坐标都是二元一次方程2x﹣y=3的解吗
归纳小结
从数的角度看：
一次函数
y=kx+b (k≠0)
二元一次方程
y-kx=b (k≠0)
从形的角度看：
以二元一次方程y=kx+b(其中k，b为常数，k≠0)的解为坐标的点组成的图形
一次函数
y-kx=b的图象
直线上每个点的坐标都是二元一次方程x﹣2y=2的解的是( ).
对应训练
C
探究点2：二元一次方程组与一次函数
思考：（1）在同一平面直角坐标系中，分别作直线y=﹣x+5和直线y=2x﹣1，这两条直线有交点吗？有的话，求出交点的坐标．
y=﹣x+5
y=2x﹣1
解：根据图象可知，有交点．
令﹣x+5=2x﹣1，解得x=2．
将x=2代入y=﹣x+5，得y=﹣2+5=3，
所以交点的坐标为(2, 3)．
y=﹣x+5
y=2x﹣1
思考：（2）中交点的坐标与方程组 的解有什么关系？
x+y=5，
2x﹣y=1
解方程组 得
x+y=5，
2x﹣y=1，
x=2，
y=3.
所以（1）中交点的坐标就是方程组的解．
从数的角度看：
归纳小结
解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；
由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
从形的角度看：
解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标.
问题3：1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h.
（1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间x（单位：min）的函数关系.
分析：气球上升时间x满足0≤x≤60.
对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5.
对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15.
（2）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
从数的角度看：就是求自变量x(0≤x≤60)为何值时，两个一次函数y=x+5，y=0.5x+15的函数值相等，并求出函数值.
y=x+5
y=0.5x+15
联立
x-y=5
0.5x-y=-15
x=20
y=25
解得
这就是说，当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度.
从形的角度看：同一坐标系下，两直线的交点坐标为(20, 25)，说明气球上升20min时，两气球都位于海拔25m的高度.
对应训练
如图，一次函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则关于x，y 的二元一次方程组 的解是( )
﹣ax+y=b，
kx﹣y=0
x=3，
y=﹣1
A.
x=﹣3，
y=﹣1
B.
x=﹣3，
y=1
C.
x=3，
y=1
D.
C
练习
考虑下面两种移动电话计费方式：
方式一 方式二
月租费/(元/月) 30 0
本地通话费/(元/min) 0.30 0.40
用函数方法解答何时两种计费方式费用相等.
【选自教材第98页 练习】
解：设通话时间为x min，若按“方式一”计费方式则收取费用y=30+0.3x，若按“方式二”计费方式则收取费用y=0.4x.
在同一平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图象：
得
x=300，
y=120.
解方程组
y=30+0.3x，
y=0.4x，
所以两图象交于点(300，120).
当x=300 时，30+0.3x=0.4x.即当一个月内通话时间等于300min时，选择两种计费方式费用相等.
随堂练习
某销售公司推销一种产品，设x(单位：件)是每月推销产品的数量，y(单位：元)是付给推销员的月报酬.公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：
（1）求每种付酬方案中y关于x的函数解析式；
方案一：y=40x.
方案二：y=20x+600.
（2）当推销产品多少件时，选择方案一与选择方案二所得报酬相同 报酬是多少
根据题意列方程组，得
y=40x，
y=20x+600.
x=30，
y=1200.
解得
答：当推销产品30件时，选择方案一与选择方案二所得报酬相同，报酬是1200元．
（3）若推销员某月推销产品35件，则他选择哪种方案所得报酬更高
结合（2）中的答案和函数图象可得，当月推销产品35件时，选择方案一所得报酬更高．
拓展延伸
当k为何值时，直线2k+1=5x+4y与直线k=2x+3y的交点在第四象限
联立
5x+4y=2k+1，
2x+3y=k.
解得
x= ，
y= .
因为它们的交点在第四象限，所以x>0，y<0，即
解得 课堂小结
二元一次方程的解
两个一次函数图象的交点坐标
两个二元一次方程的公共解

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