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(共38张PPT)
19.1 函数
第2课时 函数
人教版
八年级
下册
汽车耗油量为 0.1 L/km，油箱中有汽油 50 L. 如果在行驶过程中不再加油，那么下列各量中：
①汽车耗油量；②行驶路程x；
③汽车油箱中的剩余油量y.
变量是___________，常量是__________.
复习导入
②③
①
在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
上面几个变量之间有什么联系吗？
汽车耗油量为 0.1 L/km，油箱中有汽油 50 L. 如果在行驶过程中不再加油，那么下列各量中：
①汽车耗油量；②行驶路程x；
③汽车油箱中的剩余油量y.
变量是___________，常量是__________.
②③
①
行驶路程 x
剩余油量 y
10 km
x km
20 km
30 km
......
49 L
y L
48 L
47 L
......
50-0.1×10
50-0.1×20
50-0.1×30
50-0.1x
单值对应关系
说一说
对于用其他方式表示的变化过程，其中的两个变量是否也存在单值对应关系？大家能列举出对应的例子吗？
自主探究
思考
思考
（1）如图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标 x 表示时间，纵坐标 y 表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量. 在心电图中，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应吗？
（2）下表是我国第一至第七次人口普查的年份与人口数，其中年份与人口数可以分别记作变量 x 与 y . 对于表中每一个确定的年份 x ，都对应着一个确定的人口数 y 吗？
年份 人口数/亿
1953 6.02
1964 7.23
1982 10.32
1990 11.60
2000 12.95
2010 13.71
2020 14.43
对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应；
对于表中的每一个确定的年份 x ，都对应着一个确定的人口数 y .
年份 人口数/亿
1953 6.02
1964 7.23
1982 10.32
1990 11.60
2000 12.95
2010 13.71
2020 14.43
S = πr2
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
自变量
y 是 x 的函数
“在一个变化过程中，居于主动地位的变量叫做
自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另
一个变量叫做自变量的函数.”
函数的本质是对应，函数的关系就是变量之间的对应关系.
概念引入
P 是数轴上的一个动点，它所表示的实数是 m，
P 点到坐标原点的距离为 s.
（1）s 是 m 的函数吗？为什么？
（2）m 是 s 的函数吗？为什么？
0
-m
s
m
s
P
解：（1）s 是 m 的函数，因为对于 m 的每一个取值，s 都有唯一确定的值与其对应.
解：（2）m 不是 s 的函数，因为对于 s 除 0 外的每一个取值，m 有两个不同的值，不满足唯一对应性.
（2）m 是 s 的函数吗？为什么？
（1）s 是 m 的函数吗？为什么？
自变量的函数 y 对自变量 x 是单值对应，故给出自变量 x 的一个值，函数 y 不可能有两个或两个以上的值；x 对 y 不一定是单值对应，故可能会存在自变量 x 的多个值对应的函数 y 的值相等.
对应训练
如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值.
函数值
你认为函数与函数值有什么区别？举例说一说.
概念引入
函数是变量，函数值是某个具体的数值，即常数. 一个函数可能有许多不同的函数值.
如：在左面的表格中，年份 x 是自变量，人口数 y 是 x 的函数，是一个变量，表中的 12.52 是 y 的一个函数值.
年份 人口数/亿
1953 6.02
1964 7.23
1982 10.32
1990 11.60
2000 12.95
2010 13.71
2020 14.43
已知函数 y = 2x－5 ，当 y = 5 时， x = ______.
已知鞋子的“码数”y 与“厘米数”x 满足关系式 y = 2x－10，则 22 cm 的鞋子为______码.
5
34
求函数值：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值.
当已知函数解析式时，给出函数值，求相应自变量x
的值，就是解方程.
对应训练
是刻画变量之间对应关系的数学模型，许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示.
函 数
例 1 汽车油箱中有汽油 50 L. 如果不再加油，那么油箱中的油量 y（单位：L）随行驶路程 x（单位：km）的增加而减少，耗油量为 0.1 L/km.
（1）写出表示 y 与 x 的函数关系的式子；
（2）指出自变量 x 的取值范围；
（3）汽车行驶 200 km时，油箱中还有多少汽油？
常量
变量
变量
（1）写出表示 y 与 x 的函数关系的式子；
（1）行驶路程 x 是自变量，油箱中的油量 y 是 x 的函数.
当行驶路程为 x 时，行驶中的耗油量为 0.1x.
等量关系：油箱中的油量 = 原有油量－行驶中的耗油量
y = 50 － 0.1x
所以 y 与 x 的函数关系可表示为 y = 50 － 0.1x.
解：
0.1x 表示什么意思？
行驶中的耗油量
= 耗油量×行驶路程
例 1 汽车油箱中有汽油 50 L. 如果不再加油，那么油箱中的油量 y（单位：L）随行驶路程 x（单位：km）的增加而减少，耗油量为 0.1 L/km.
（1）写出表示 y 与 x 的函数关系的式子；
（2）指出自变量 x 的取值范围；
（3）汽车行驶 200 km时，油箱中还有多少汽油？
（2）指出自变量 x 的取值范围；
使函数有意义的自变量的取值的全体叫做
自变量的取值范围.
（2）仅从式子 y = 50 － 0.1x 看，x 可以取任意实数.
但是考虑到 x 代表的实际意义为行驶路程，因此 x 不能取负数. 行驶中的耗油量为 0.1x，它不能超过油箱中现有汽油量 50，即
0.1x 50.
因此，自变量 x 的取值范围是
0 x 500.
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义.
解：
在函数 中，自变量 x 的取值范围是（ ）
函数
有意义
2－3x≥0
x+1≠0
D
求自变量的取值范围，可转化为求不等式（组）的解集.
常见自变量取值范围的不同类型
对应训练
类型 特征 举例 取值范围
整式型 等式右边是关于自变量的整式 y = x2+1
分式型 等式右边是关于自变量的分式
根式型 等式右边是关于自变量的开偶次方的式子
等式右边是关于自变量的开奇次方的式子
0指数幂(或负整数指数幂)型 等式右边是关于自变量的0指数幂(或负整数指数幂) y = (x+1)0 - 2(x-3)1
复合型 含有上述两种或多种形式
全体实数
使分母不为0的实数
使根号下的式子为大于或等于0的实数
全体实数
使底数不为0的实数
使各部分都有意义的实数的公共部分
返回
返回
例 1 汽车油箱中有汽油 50 L. 如果不再加油，那么油箱中的油量 y（单位：L）随行驶路程 x（单位：km）的增加而减少，耗油量为 0.1 L/km.
（1）写出表示 y 与 x 的函数关系的式子；
（2）指出自变量 x 的取值范围；
（3）汽车行驶 200 km时，油箱中还有多少汽油？
（3）汽车行驶 200 km时，油箱中还有多少汽油？
（3）汽车行驶 200 km时，油箱中的汽油量是函数 y = 50 － 0.1x 在 x = 200 时的函数值. 将 x = 200 带入 y = 50 － 0.1x，得
y = 50－0.1×200 = 20.
汽车行驶 200 km时，油箱中还有 30 L汽油.
解：
像 y = 50 － 0.1x 这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法. 这种式子叫做函数的解析式.
概念提取
y 关于 x 的函数解析式
y 关于 x 的函数解析式
一名老师带领 x 名学生到某景点参观，若该景点的成人票每张 60 元，学生票每张 40 元，他们买门票的总费用为 y 元，则 y 关于 x 的函数解析式为____________.
y = 40x +60
在求 y 关于 x 的函数解析式时，必须用含 x 的代数式表示 y.
对应训练
下列两个变量之间不存在函数关系的是（ ）
圆的面积 S 和半径 r 之间的关系
一个正数 b 的平方根 a 与这个正数之间的关系
某班学生的身高 y 与该班学生的学号 x 的关系
某地一天的温度 T 与时间 t 的关系
B
判断一个关系是不是函数关系：
①看是否在一个变化过程中；②看是否存在两个变量；
③看自变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应.
S 是 r 的函数
y 是 x 的函数
T 是 t 的函数
a 不是 b 的函数
随堂练习
2. 下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？
试写出函数的解析式.
（1）改变正方形的边长 x ，正方形的面积 S 随之改变.
【选自教材P74练习 第1题】
解：（1）自变量：正方形的边长 x；
自变量的函数：正方形的面积 S；
函数解析式： S = x2.
（2）每分向一水池注水 0.1 m3，注水量 y（单位：m3）随注水时间 x（单位：min）的变化而变化.
（3）秀水村的耕地面积是 106 m2，这个村人均占有耕地面积 y（单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化.
（4）水池中有水 10 L，此后每小时漏水 0.05 L，水池中的水量 V（单位：L）随时间 t（单位：h）的变化而变化.
（2）自变量：注水时间 x；自变量的函数：注水量 y；函数解析式： y = 0.1x.
（3）自变量：人数 n；自变量的函数：人均占有耕地面积 y；函数解析式： y = .
（4）自变量：时间 t；自变量的函数：水池中的水量 V；函数解析式： V = 10－0.05t.
确定函数解析式的方法：
1. 找：找出变量和常量；
2. 定：确定包含变量和常量的等量关系；
3. 列：根据等量关系列出等式；
4. 变：将等式变形，写成用含自变量的式子表示
函数的形式，得出函数解析式.
3. 按如图所示的程序计算函数 y 的值，若输入 x 的值为 -3，则输出 y 的值为_________.
x -1
开始
输入 x
y = 2x2
y = 2x+3
输出 y
是
否
18
4. 下列函数中，自变量的取值范围错误的是（ ）
A. y = 2x2 中，x 取任意实数
B. 中，x 取 x ≠ -1 的实数
C. 中，x 取 x 2 的实数
D. 中，x 取 x -3的实数
D
x > -3
5. 要用 20 m 长的绳子围成一个矩形，写出矩形的面积 S （单位：m2）关于矩形的一边长 x （单位：m）的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围.
矩形的面积 =
矩形的一边长
相邻另一边的长
×
S
x
解：由题意，得 S = x · = x（10 - x）= - x2+10x .
要使实际问题有意义，则
x > 0，
所以 0 < x < 10.
故矩形的面积 S 关于矩形的一边长 x 的函数解析式为
5. 要用 20 m 长的绳子围成一个矩形，写出矩形的面积 S （单位：m2）关于矩形的一边长 x （单位：m）的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围.
S = - x2+10x（0 < x < 10）.
边长为正数
6. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4 cm，E，F 分别是 BC，DC 边上的动点. 点 E，F 同时从点 C 处出发，均以 1 cm/s 的速度分别向点 B，D 运动，当点 E 与点 B 重合时，两点均停止运动. 设运动时间为 x s，运动过程中 △AEF的面积为 y cm2.
（1）写出 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围.
观察图形
S△AEF = S正方形ABCD - S△ABE - S△ADF - S△ECF
函数
解析式
不规则图形的面积转化为规则图形面积的差
【单击图形或画线文字跳转几何画板】
解：由题意，得 CE = CF = x cm，
所以 BE = DF =（4 - x）cm.
即 y 关于 x 的函数解析式为
速度、时间转化为线段的长度
由 S△AEF = S正方形ABCD - S△ABE - S△ADF - S△ECF，得
【单击图形跳转几何画板】
（2）当点 E 运动到 BC 的中点时，求△AEF 的面积.
解：当点 E 运动到 BC 的中点时， x = CE = 2 cm，
所以 y = = 6 .
所以当点 E 运动到 BC 的中点时，△AEF 的面积是 6 cm2.
变量和常量
自变量、自变量的函数
函数值
自变量的取值范围
解析式
函数
课堂总结
完成练习册本课时的习题.
课后作业(共35张PPT)
19.1 函数
人教版
八年级下册
第1课时 变量
一次函数
变量与函数
一次函数
一次函数与方程、不等式
实际应用
常量、变量
函数值、自变量
函数的表示方法
正比例函数
一次函数
图象的平移
行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化……在我们周围的事物中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.
你还能举出更多生活中的例子吗？
“万物皆变”
苹果距离地面的高度与时间
心率与
运动强度
手机使用的流量与话费
气温与湿度
为了更好地认识世界，我们要研究和探索这些变化过程，首先要找出其中变化的量和不变的量.
变化的量 不变的量.
探索新知
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程为 s km，行驶时间为 t h. 填写下表，s 的值随 t 的值的变化而变化吗？
t / h 1 2 3 4 5
s / km
60
120
180
240
300
s = 60t
你能找出问题中变化的量和不变的量吗？
汽车的行驶速度 60 km/h
汽车的行驶路程 s 和行驶时间 t
探索新知
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程为 s km，行驶时间为 t h. 填写下表，s 的值随 t 的值的变化而变化吗？
（2）电影票的售价为10元/张. 第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元，y 的值随 x 的值的变化而变化吗？
x / 张 150 205 310
y / 元
1500
2050
3100
y = 10x
如图所示，圆形水波慢慢地扩大. 在这一过程中，当圆的半径 r 分别为
10 cm，20 cm，30cm时，圆的面积 S 分别为多少？S 的值随 r 的值的变化而变化吗？
（3）你见过水中涟漪吗？
r / cm 10 20 30
S / cm2
100π
400π
900π
S = πr2
π
圆周率π是常数
y = 5－x
（4）用 10 m 长的绳子围一个矩形. 当矩形的一边长x 分别为 3 m，3.5 m，4 m，4.5 m 时，它的邻边长 y 分别为多少？y 的值随 x 的值的变化而变化吗？
x / m 3 3.5 4 4.5
y / m
2
1.5
1
0.5
几何画板
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程为 s km，行驶时间为 t h.
（2）电影票的售价为10元/张. 设一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元.
（3）水中涟漪，圆形水波慢慢地扩大过 程中，圆的半径 r ，圆的面积 S .
（4）用 10 m 长的绳子围一个矩形. 矩形的一边长x ，它的邻边长 y.
x / 张 150 205 310
y / 元
r / cm 10 20 30
S / cm2
x / m 3 3.5 4 4.5
y / m
这些运动变化过程中出现的量，你认为可以怎样分类？
数值不断变化的量
数值固定不变的量
变量
常量
在上面的几个变化过程中，有些量的数值是变化的，有些量的数值是始终不变的. 由此，在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
归纳小结
说一说问题（1）~（4）中的变量和常量分别是什么？
变量：
常量：
汽车的行驶路程 s 和行驶时间 t.
汽车的行驶速度
60 km/h.
电影的售出票数 x 和票房收入 y .
电影票的售价
10 元/张.
圆的半径 r 和
圆的面积 S .
圆周率π.
矩形的一边长 x 和
它的邻边长 y .
绳子的长度 10 m.
1. 圆周率 π 表示的是一个常数，是常量；
2. 常量、变量与字母的指数没有关系；
在一个变化过程中，变量的个数一定是两个吗？
3. 判断变量与常量的前提条件是“在同一变化过程中”。
注 意
已知签字笔的价格是 5 元/支，笔记本的价格是 2 元/本，状状购买了 a 支签字笔和 b 本笔记本，花了 m 元.
在这个问题中，变量是___________，常量是________.
a，b，m
2，5
在一个变化过程中，变量的个数一定是两个吗？
指出下列问题中的变量和常量：
【教材P71、72 练习】
（1）某市的自来水价为 4 元/ t. 现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为 x t，月应交水费为 y 元.
变量：
常量：
4 元 / t
xt
y 元
某户月用水量 x 和月应交水费 y .
自来水价 4 元/t .
在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
对应训练
变量：
常量：
手机通话时间 t 和话费卡余额 w .
手机通话费 0.2 元/min .
（2）某地手机通话费为 0.2 元/min. 李明在手机话费卡中存入 30 元，记此后他的手机通话时间为 t min，话费卡中的余额为 w 元.
变量：
常量：
变量：
常量：
涟漪半径 r 和圆周长 C .
圆周率π.
第一个抽屉的本数 x 和第二个抽屉的本数 y .
一共有 10 本书.
（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为 r ，圆周长为 C ，圆周率（圆周长与直径之比）为 π.
（4）把 10 本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入 x 本，第二个抽屉放入 y 本.
在课本P71的4个问题中，对于每个问题，其中一个变量的变化是怎样影响另一个量的变化的？
想一想
变量之间的关系：
s 随着 t 的变化而变化.
s 怎样随着 t 的具体变化而变化？
当 t 的值取定后，s 的值有一个且只有一个.
也就是说，当 t 取定一个值时，s 的值由 t 的值完全确定，且唯一确定.
变量之间的关系：
每当 x 取定一个值时，y 就有唯一确定的值与其对应 . 例如，若 x =150，则 y =1500；x =205，则 y =2050；x =310，则 y =3100.
变量之间的关系：
每当 r 取定一个值时，S 就有唯一确定的值与其对应 .
1
2
3
4
...
r
π
4π
9π
16π
...
πr2
变量之间的关系：
每当 x 取定一个值时，y 就有唯一确定的值与其对应 .
上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.
唯一确定
归 纳
当一个变量取定一个值时：
另一变量有对应值；
对应值只有一个.
也叫“单值对应关系”
唯一确定
下图是某地一天的气温变化图象，任意给出这天中的某一时刻 t，你能说出这一时刻的气温 T 吗？
对应训练
若球的体积为V，半径为R，则 .
其中_________是变量，________是常量.
（1）常量、变量与字母的指数没有关系.
（2）π 是常量，不是变量.
V，R
随堂练习
2. 已知路程 s，速度 v 和时间 t 的关系式为 s=vt，则下列
说法中正确的是（ ）.
当 s 一定时，v 是常量，t 是变量
当 v 一定时，t 是常量，s 是变量
当 t 一定时，t 是常量，v 是变量
当 t 一定时，s 是常量，v 是变量
C
s 是常量，v，t 是变量
v 是常量，s，t 是变量
t 是常量，s，v 是变量
√
判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化.
常量与变量是相对的，前提是“在一个变化过程中”.
3. 回顾多边形的相关知识，随着多边形边数 n 的增加，多边形的内角和 α 和外角和 β 会有什么变化？请用式子表示出它们的关系.
解：α 的值随 n 的值的变化而变化，边数 n 每增加1，内角和 α 增加180°，α =（n-2）·180°；
β 不受 n 的影响，β =360°.
4. 如图，在矩形 ABCD 中，点 M 在边 BC 上，点 N 在
边 CD 上. 设 BM=a，CN=b，则△BMN 的面积 .
（1）若保持点 M 不动，点 N 在 CD 上运动，
请指出 中的变量与常量；
（2）若保持点 N 不动，点 M 在 BC 上运动，
请指出 中的变量与常量.
几何画板示意图
解：（1）S 和 b 是变量， 和 a 是常量；
（2）S 和 a 是变量， 和 b 是常量.
2
1
2
1
5. 已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与用铝量有如表关系：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？
（2）当易拉罐底面半径为 2.4 cm 时，易拉罐需要的用铝量
是多少？
（3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少
时比较适宜？说说你的理由.
底面半径 x/cm 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
用铝量 y/cm3 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5
底面半径 x/cm 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
用铝量 y/cm3 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5
解：（1）反映了用铝量 y 与底面半径 x 之间的关系.
（2）当底面半径为 2.4 cm时，易拉罐需要的用铝量是
5.6 cm3.
（3）易拉罐的底面半径为 2.8 cm时比较适宜，理由如下：
当易拉罐的底面半径为 2.8 cm 时，用铝量最少，
成本最低.
在一个变化过程中
数值始终不变的量为常量
数值发生变化的量为变量
单值对应关系：当一个变量取定一个值时，另一变量有且只有一个对应值.
课堂总结
课后作业
完成练习册对应内容的习题.

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