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(共21张PPT)
正比例函数的图象与性质
人教版八年级下册
例 1 画出下列正比例函数的图象：
知识点一
正比例函数的图象
（1）y = 2x，y = x；
解：函数 y = 2x 中自变量 x 可为任意实数. 列表如下：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -6 -4 -2 0 2 4 6 …
探索新知
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -6 -4 -2 0 2 4 6 …
描点（在直角坐标系中描出表格中数对对应的点）；
连线（连接直角坐标系中的点），如图.
y = 2x
用同样的方法，可以得到函数 y = x 的图象.
x … -6 -3 0 3 6 …
y … -2 -1 0 1 2 …
y = 2x
y = x
（2）y = -1.5x，y = -4x；
① 列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 4.5 3 1.5 0 -1.5 -3 -4.5 …
② 描点
③ 画线
y = -1.5x
（2）y = -1.5x，y = -4x；
y = -1.5x
① 列表
② 描点
③ 画线
x … -1 0 1 …
y … 4 0 -4 …
y = -4x
图 1
图 2
【观察发现】
4 个函数图象都是经过原点的直线.
图1 中的函数图象经过第三、第一象限.
图2 中的函数图象经过第二、第四象限.
一般地，正比例函数 y = kx（k 是常数，k ≠ 0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y = kx.
小 结
知识点二
正比例函数的性质
当 k > 0 时，直线 y = kx 从左向右上升，即随着 x 的增大 y 也增大；
当 k < 0 时，直线 y = kx 从左向右下降，即随着 x 的增大 y 反而减小；
经过原点与点（1，k）（k 是常数，k ≠ 0）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数 y = kx (k ≠ 0) 的图象.一般地，过原点和点(1，k)(k 是常数，k ≠ 0) 的直线，即正比例函数 y = kx (k ≠ 0) 的图象.
思 考
[选自教材P89]
练习
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1）y = x；
（2）y = -3x.
y = x
y = -3x
知识点三
求正比例函数的解析式
已知 y 是 x 的正比例函数，且函数图象经过点 A(-3，6).
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
（2）当 x = -6 时，求对应的函数值 y；
（3）当 y = 2 时，求 x 的值.
解：（1）设正比例函数的解析式为 y = kx（k ≠ 0）.因为图象经过点 A(-3，6)，所以 -3k = 6，解得 k = -2. 所以 y 关于 x 的函数解析式是 y = -2x.
（2）把 x = -6 代入 y = -2x，可得 y = 12.
（3）把 y = 2 代入 y = -2x，可得 x = -1.
求正比例函数解析式的步骤：
（1）设：设出正比例函数解析式 y = kx（k 是常数，k ≠ 0）；
（2）代：将一组 x，y 的值代入函数解析式，得到关于 k 的方程；
（3）求：解方程求出 k 的值；
（4）写：写出正比例函数解析式.
题型一
正比例函数的图象和性质的运用
1.已知关于 x 的正比例函数 y = (m+1) ，若 y 随 x 的增大而减小，则 m 的值为______.
-2
巩固练习
2.如图，三个正比例函数的图象分别对应解析式：① y = ax；
② y = bx；③ y = cx. 将 a，b，c 从小到大排列为（ ）
A. a < b < c B. a < c < b C. b < a < c D. c < b < a
B
3.已知 y = y1+y2，y1与 x 成正比例，y2 与 x-1 成正比例，且当 x = 3 时，y = 4；当 x = 1是，y = 2. 求 y 关于 x 的函数解析式.
解：设 y1 = mx (m ≠ 0)，y2 = n(x-1) (n ≠ 0)，则 y = y1 + y2 = (m+n)x-n.
根据题意，
3(m+n)-n = 4，
m+n-n = 2，
m = 2，
n = -1.
得 解得
因此，y 关于 x 的函数解析式是 y = x + 1.
题型二
正比例函数的实际应用
某商品的售价 y（单位：元）与质量 x（单位：kg）之间的关系如下表：
（1）由上表写出售价 y 随质量 x 变化的函数解析式，并画出函数的图象；
（2）购买 5.5 kg 这种商品应付多少元？
解：（1）由表中数据观察到质量 x 每增加 1 kg，售价就增加 2.4 元，这样的变化规律可以表示为 y = 2.4x（x ≥ 0）. 这个函数的图象如图所示.
（2）当 x = 5.5 时，y = 2.4×5.5 = 13.2，
所以购买 5.5 kg 这种商品应付 13.2 元.
正比例函数的图象和性质
图象：
性质：
经过原点的直线
当 k > 0 时，经过第一、第三象限
当 k < 0 时，经过第二、第四象限
当 k > 0 时，直线 y = kx 从左向右上升，即随着 x 的增大 y 也增大；
当 k < 0 时，直线 y = kx 从左向右下降，即随着 x 的增大 y 反而减小；
课堂小结
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业(共18张PPT)
正比例函数的概念
人教版 八年级下册
新课导入
已知苹果的单价是 5 元/千克，完成下表：
重量(kg) 1 2 3 4 5 ... n
总价(元) ...
5
10
15
20
25
5n
你有什么发现？
问题 1 2011 年开始运营的京沪高速铁路全长 1318 km. 设列车的平均速度为 300 km/h. 考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
探索新知
解：乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，需要的时间大约为：
1318 ÷ 300 ≈ 4.4（h）
（2）京沪高铁列车的行程 y（单位：km）与运行时间 t（单位：h ）之间有何数量关系？
y = 300 t（ 0≤ t ≤ 4.4）
问题 1 2011 年开始运营的京沪高速铁路全长 1318 km. 设列车的平均速度为 300 km/h. 考虑以下问题：
探索新知
问题 1 2011 年开始运营的京沪高速铁路全长 1318 km. 设列车的平均速度为 300 km/h. 考虑以下问题：
（3）京沪高铁列车从北京南站出发 2.5 h 后，是否已经过了距始发站 1100 km 的南京南站？
300×2.5 = 750（km）
所以京沪高铁列车从北京南站出发 2.5 h 后，
还没经过南京南站.
因为 750 < 1100，
探索新知
思考
[选自教材P86]
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗 如果是，请写出函数解析式．
（1）圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化.
是函数关系
是函数关系
（2）铁的密度为 7.9g/cm3，铁块的质量 m （单位：g）随它的体积 V （单位：cm3）的变化而变化.
l = 2πr
m = 7.9V
（3）每个练习本的厚度为 0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h （单位：cm）随练习本的本数 n 的变化而变化.
是函数关系
是函数关系
（4）冷冻一个 0℃ 的物体，使它每分下降 2℃，物体的温度 T （单位：℃）随冷冻时间 t （单位：min）的变化而变化.
h = 0.5n
T = -2t
分别说出这些函数的常数、自变量，这些函数解析式有哪些共同特征？
（1）l = 2πr
（2）m = 7.9V
（3）h = 0.5n
（4）T = -2t
发现：它们都是_____________________的形式.
常数与自变量的积
一般地，形如 y = kx（k 是常数，k ≠ 0）的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.
1. 下列式子中，哪些表示 y 是 x 的正比例函数？
（1）（2）为正比例函数
练习
[选自教材P87 练习 第1题]
（1）y = -0.1x （2）y =
（3）y = 2x2 （4）y2 = 4x
2. 列式表示下列问题中的 y 与 x 的函数关系，并指出哪些是正比例函数.
（1）正方形的边长为 x cm，周长为 y cm；
y = 4x 正比例函数
（2） 某人一年内的月平均收入为 x 元，他这年（12个月）的总收入为 y 元；
y = 12x 正比例函数
[选自教材P87 练习 第2题]
（3）一个长方体的长为 2 cm，宽为 1.5 cm，高为 x cm，体积为 y cm3.
y = 3x 正比例函数
特别提醒
y = kx（k 是常数，k ≠ 0）
正比例函数满足的条件：
（1）函数解析式是整式；
（2）两个变量的次数都是1；
（3）比例系数 k ≠ 0.
题型一
识别实际问题中的正比例函数
写出下列问题中的 y 与 x 之间关系式，并指出哪些是正比例函数.
（1）一辆汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程为 y km，行驶时间为 x h；
y = 60x，是正比例函数
（2）水箱里有水 10 L， 以 0.5 L/min 的速度往外放水，x min 后水箱中的剩余水量为 y L；
（3）一棵树现在高 50 cm，平均每个月长高 2 cm，x 个月后这棵树的高度为 y cm.
y = -0.5x + 10，不是正比例函数
y = 2x + 50，不是正比例函数
题型二
利用正比例函数的定义求字母的值
若函数 y = (m-1) x | m | 是关于 x 的正比例，则 m = ______.
y = (m-1) x | m |
y = k x
m-1≠0
|m|=1
m = -1
思路分析
-1
课堂小结
一般地，形如 y = kx（k 是常数，k ≠ 0）的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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