资源简介

(共21张PPT)
勾股定理的逆定理
R·八年级数学下册
据说，古埃及人用右图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
活动一：引用故事，导入新课
【故事导入】
你知道为什么吗？今天我们就来学习其中的原因.
活动二：问题引入，自主探究
探究点 1 勾股定理的逆定理
类似古埃及人画直角的故事，我们准备三根绳子来模仿操作，看看能否得到和古埃及人相同的结果.
（1）让一根绳子的一端与 0 刻度线重合，分别在 3 cm，7 cm，12 cm 处做标记，得到长度分别为 3 cm，4 cm，5 cm 的三段，然后以这三段为边围成一个三角形，量量看是不是直角三角形.
是直角三角形
（2）类似（1）的操作，以 2.5 cm，6 cm，6.5 cm 和 4 cm，7.5 cm，8.5 cm 的三段为边分别围成一个三角形，量量看是不是直角三角形.
是直角三角形
（3）结合上面的操作，想想学过的勾股定理，猜想一个三角形的三边满足什么关系时，这个三角形就是直角三角形，用命题形式表述.
如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 +b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
3 cm，4 cm，5 cm
2.5 cm，6 cm，6.5 cm
4 cm，7.5 cm，8.5 cm
这两个命题的题设、结论分别是什么？
命题2 如果三角形 ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形．
探究点 2 互逆命题和互逆定理
命题1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2 = c2．
题设
结论
题设
结论
我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
题设A
结论B
①
题设B
结论A
②
原命题
逆命题
互逆命题
互逆命题
A
B
C
a
b
c
A′
B′
C′
a
b
c
①
如图①，已知：在△ABC 中，AB = c，BC = a，CA = b，并且 a2 + b2 = c2，怎么证明△ABC 是直角三角形呢？
如图②，画一个 Rt△A′B′C′ 中，使B′C′ = a，A′C′ = b，∠C′ = 90°. △ABC 与△ A′B′C′ 全等吗？可以说明△ABC是直角三角形吗？
②
互逆定理
根据勾股定理，A′B′2 = B′C′2 + A′C′2 = a2 + b2 = c2.
∴ A′B′ = c .在△ABC 和△A′B′C′ 中，BC = a = B′C′，AC = b = A′C′，
AB = c = A′B′，
∴△ABC ≌△ A′B′C′（SSS）.
∴∠C=∠C′=90°，
即△ABC 是直角三角形.
A
B
C
a
b
c
A′
B′
C′
a
b
c
①
②
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
定理：内错角相等，两直线平行；
逆定理：两直线平行，内错角相等；
互为逆命题
归纳总结
勾股定理是正确的，其逆命题也是正确的，是不是说明原命题成立，其逆命题一定成立呢？有没有反例说明？
不一定.比如命题“对顶角相等”成立，而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.
例 1　判断由线段 a，b，c 组成的三角形
是不是直角三角形：
（1）a = 15，b = 8，c = 17；
（2）a = 13，b = 14，c = 15.
解：（1）因为 152 + 82 = 225 + 64 = 289，
172 = 289，
所以 152 + 82 = 172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
（2）因为 132 + 142 = 169 + 196 = 365，
152 = 225，
所以 132 + 142 ≠ 152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
【对应训练】
1. 以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形
的有（ ）
① 5，12，13； ② 1，2，4；
③ 32，42，52； ④ 0.3，0.4，0.5.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
B
2. 有下列 4 组数：① 7，24，25；② 8，15，19；③ 0.6，
0.8，1.0；④ 30，40，50. 其中，勾股数有（ ）
A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组
B
3. 如果三条线段长 a，b，c 满足 a2 = c2-b2，这三条线段
组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
解: 这三条线段组成的三角形是直角三角形.
∵ a2 = c2-b2，∴ a2 + b2 = c2，
由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.
4. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
其逆命题为“内错角相等，两直线平行”；这个命题成立.
其逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”；这个命题不成立.
如 |-3| = |3|，但 -3 ≠ 3.
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
其逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”；这个命题不成立.
其逆命题为“角平分线上的点到角两边的距离相等”；这个命题成立.
活动三：重点突破，提升探究
例 2 四边形 ABCD 的各边长如图所示，对角线 BD = 10，
求四边形 ABCD 的面积.
解：∵AD = 8，AB = 6，BD = 10，CD = 26，BC = 24，
∴ AB2 +AD2 = BD2， BD2 +BC2 = CD2 .
∴△ABD 和△BDC 都是直角三角形，
且∠A = 90°，∠DBC = 90°.
∴ S四边形ABCD = S△ABD + S△BDC = ×6×8 + ×10×24 = 144.
答：四边形 ABCD 的面积是 144.
课堂总结
勾股定理的逆定理是什么？什么是逆命题？什么样的数叫做勾股数？
勾股定理
互逆命题、
互逆定理
勾股定理的逆定理
直角三角形的判定
证明
内容(共23张PPT)
勾股定理的逆定理的应用
R·八年级数学下册
命题1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2 = c2．
命题2 如果三角形 ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形．
复习回顾
利用勾股定理的逆定理解决实际问题
知识点
例 2　如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q、R 处，且相距 30 n mile. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
1
2
N
E
P
Q
R
【思考】1.已知哪些条件？
2.需要解决的问题是什么？
速度已知
时间已知
距离已知
其中一艘船的航向已知
求另一艘船的航向
1
2
N
E
P
Q
R
【分析】
通过已知条件可以求出：
PQ
PR
QR
∠1
利用勾股定理的逆定理判断∠RPQ是否为直角
从而确定∠2的度数
1
2
N
E
P
Q
R
解：根据题意，
PQ = 16×1.5 = 24，
PR = 12×1.5 = 18，QR = 30.
因为 242 + 182 = 302，
即PQ2 + PR2 = QR2，所以∠QPR = 90°.
∠1 = 45°.因此∠2 = 45°，
即“海天”号沿西北方向航行.
如图，在四边形 ABCD 中，AB = 20，BC = 15，CD = 7，AD = 24，∠B = 90°. 求四边形 ABCD 的面积.
解：如图，连接 AC.
∵∠B = 90°，AB = 20，BC = 15，
∴AC2 = AB2 + BC2 = 202 + 152 =625.
∵AD2 + CD2 = 242 + 72 =625，
∴AC2 = AD2 + CD2，
∴△ADC 是直角三角形，且∠D 是直角.
∴S四边形ABCD = S△ABC + S△ADC = AB·BC + AD·CD
= ×20×15 + ×24×7 = 234.
A
B
C
D
转化思想
练习
1. 如果三条线段长 a，b，c 满足 a2 = c2-b2，这三条线段
组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
解: 这三条线段组成的三角形是直角三角形.
∵ a2 = c2-b2，∴ a2 + b2 = c2，
由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.
【选自教材 P33】
2. 说出下列命题的逆命题. 这些逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
其逆命题为“内错角相等，两直线平行”；这个命题成立.
其逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”；这个命题不成立.
如 |-3| = |3|，但 -3 ≠ 3.
【选自教材 P33】
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平 分线上.
其逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”；这个命题不成立.
其逆命题为“角平分线上的点到角两边的距离相等”；这个命题成立.
3. A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地
的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？
解：由图知：△ABC 中，AB = 12，BC = 5，AC = 13.
∵ AB2 + BC2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169，∴AB2 + BC2 = AC2，
由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形，且∠B = 90°.
∵A 地在 B 地的正东方向，
∴C 地在 B 地的正北方向.
【选自教材 P33】
复习巩固
1. 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a = 7，b = 24，c = 25；
∵ a2 + b2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625，c2 = 252 = 625，
∴ a2 + b2 = c2.
由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.
【选自教材 P34】
习题17.2
（2）a = ，b = 4，c = 5；
∵b2 + c2 = 42 + 52 = 16 + 24 = 41，a2 = ( )2 = 41，
∴b2 + c2 = a2.
由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.
（3）a = ，b = 1，c = ；
∵b2 + c2 = 12 + ( )2 = 1 + = ，a2 = ( )2 = ，
∴ b2 + c2 = a2.
由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.
（4）a = 40，b = 50，c = 60；
∵ a2 + b2 = 402 + 502 = 1600 + 2500 = 4100，c2 = 602 = 3600，
∴ a2 + b2 ≠ c2.
∴这个三角形不是直角三角形.
2.下列各命题都成立，写出它们的逆命题. 这些逆命题成立吗？
（1）同旁内角互补，两直线平行；
其逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”；这个命题成立.
（2）如果两个角是直角，那么它们相等；
其逆命题为“如果两个角相等，那么它们都是直角”；
这个命题不成立.
【选自教材 P34】
（3）全等三角形的对应边相等；
其逆命题为“如果两个三角形的三组边对应相等，
那么这两个三角形全等”；这个命题成立.
（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等.
其逆命题为“如果两个实数的平方相等，
那么这两个实数相等”；这个命题不成立.
3. 小明向东走 80 m 后， 沿另一方向又走了 60 m，再沿第三个方向走 100 m 回到原地. 小明向东走 80 m 后是向哪个方向走的？
解：小明的行走路线恰好构成三角形.
∵ 602 + 802 = 3600 + 6400 = 10000 = 1002，
∴ 这个三角形是直角三角形.
∵小明向东走 80 m，
∴小明又向北或南走 60 m.
【选自教材 P34】
综合运用
4. 在△ABC 中，AB =13，BC = 10，BC 边上的中线
AD =12. 求 AC.
解：在△ABD中，BD = BC = 5. AD = 12，AB = 13.
∵BD2 + AD2 = 52 + 122 = 25 + 144 =169，
AB2 = 132 = 169，∴BD2 + AD2 = AB2，
∴△ABD 是直角三角形且∠ADB = 90°.
在△ADC 中，∠ADC = 90°，
由勾股定理得 AC2 = AD2 + CD2 = 122 + 52 = 132，
∴AC = 13.
【选自教材 P34】
5. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，
AD = 13，∠B = 90°. 求四边形 ABCD 的面积.
解：AB = 3，BC = 4，∠B = 90°，
∴ 由勾股定理得 AC2 = AB2 + BC2，
得 AC = = 5. 又 CD =12，AD = 13，
∴ AC2 + CD2 = AD2，∴△ACD为直角三角形，
∴ S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD = AB·BC + AC·CD
= ×3×4 + ×5×12 = 36.
【选自教材 P34】
6. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 CF = CD. 求证∠AEF = 90°.
证明：设 CF = x，则 EC = BE = 2x，DF = 3x，
AD = AB = 4x.
由勾股定理得：EF2 = EC2 + FC2 = 5x2，
AE2 = AB2 + BE2 = 20x2，AF2 = AD2 + DF2 = 25x2 = 25x2，
∴EF2 + AE2 = 25x2 = AF2.
由勾股定理的逆定理知，∠AEF = 90°.
【选自教材 P34】
拓广探索
7. 我们知道 3，4，5 是一组勾股数，那么 3k，4k，5k（k 是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果 a，b，
c 是一组勾股数，那么 ak，bk，ck（k 是正整数）也是
一组勾股数吗？
【选自教材 P34】
解：3k，4k，5k 也是一组勾股数.
∵ (3k)2 + (4k)2 = 9k2 + 16k2 = 25k2，(5k)2 = 25k2，
∴(3k)2 + (4k)2 = (5k)2.
如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck也是一组勾股数.
∵a，b，c 是勾股数，则 a2 + b2 = c2，
(ak)2 + (bk)2 = a2k2 + b2k2 = (a2 + b2)k2 = c2k2，
(ck)2 = c2k2，故(ak)2 + (bk)2 = (ck)2，
∴ak，bk，ck 也是一组勾股数.
勾股定理的逆定理
判断一个三角形是不是直角三角形
判断航行方向
计算不规则四边形面积
课堂小结

展开更多......

收起↑