资源简介

(共12张PPT)
人教版八年级下册
一次函数的应用
知识点 一次函数的应用
一次函数的应用的两种类型：
（1）给出一次函数解析式，直接应用其性质解决问题；
（2）只用语言叙述或用表格、图象提供一次函数的信息时，应先求出函数解析式，进而利用函数的性质解决问题.
题型一 利用表格构造单一的一次函数解决问题
某帮扶工作队将帮扶村生产的优质香菇和大米销往全国.相关信息如下表：
已知销售香菇和大米共 1000 袋，其中香菇不少于 300 袋，大米不少于 400 袋.设销售香菇 x 袋，销售完这批香菇和大米获得的利润为 y 元.
（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；
解：由题意得 y = (60-40)x + (53-38)·(1000-x)，
所以 y = 5x + 15000.
由题意得 x≥300，1000-x≥400，
所以 300≤x≤600，且 x 为整数.
（2）销售完这批香菇和大米，至少可获得多少元的利润？
在 y = 5x + 15000 中，因为 5 > 0，所以 y 随 x 的增大而增大，
所以当 x = 300 时，y 有最小值为 5×300+15000 = 16500.
所以销售完这批香菇和大米，至少可获得16500元的利润.
题型二 简单的分段函数问题
某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费.如图是某户居民每月的水费 y（单位：元）与用水量 x（单位：t）之间的函数图象.
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
（2）若这户居民某月的用水量为 15 t，求这个月的水费；
（3）若这户居民上月的水费为 91 元，则上月用水量为多少吨？
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
当 x≥17 时，设 y 关于 x 的函数解析式为 y = k1x + b（k1 ≠ 0）.
由题意得
20k1 + b = 66，
30k1 + b = 116.
解方程组得
k1 = 5，
b = -34.
所以 y = 5x - 34. 当 x = 17 时，y = 5×17-34 = 51.
当 0 ≤ x < 17 时，设 y 关于 x 的函数
解析式 y = k2（k2 ≠ 0）.
由题意得 17k2 = 51，解得k2 = 3，所以 y = 3x.
综上所述，y 关于 x 的函数解析式为
y =
3x（0 ≤ x < 17），
5x-34（x ≥ 17）.
（2）若这户居民某月的用水量为 15 t，求这个月的水费；
当 x = 15 时，y = 3×15 = 45，
则这个月的水费为 45 元.
当 y = 91 > 51 时，
由题意得 5x - 34 = 91，
解得 x = 25，
则上月用水量为 25 t.
（3）若这户居民上月的水费为 91 元，则上月用水量为多少吨？
题型三 复杂的分段函数问题（行程问题）
甲、乙两人在某大街上同起点、同终点、同方向匀速步行 2400 m，先到终点的人原地休息. 已知甲先出发 4 min，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离 y（单位：m）与甲出发的时间 x（单位：min）之间的关系如图中折线 OABCD 所示.
（1）甲的速度为______m/min，
乙的速度为______m/min；
60
80
（2）求线段 AB 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；
设线段 AB 的函数解析式为 y = kx + b（4 ≤ x ≤ 16），
把（4，240），（16，0）代入，
得
4k + b = 240，
16k + b = 0.
则线段 AB 的函数解析式为
y = -20x + 320（4 ≤ x ≤ 16）.
k = -20，
b = 320.
解方程组得
（3）乙比甲早几分钟到达终点？
甲步行完全程所用时间为 2400÷60 = 40（min），
乙步行完全程所用时间为
2400÷80 = 30（min），
乙比甲早到终点的时间为
40-30-4 = 6（min）.
所以乙比甲早 6 min 到达终点.(共18张PPT)
人教版八年级下册
一次函数的概念
正比例函数 解析式
图象的位置
性质
一次函数 ？ ？
y = kx（k 是常数，k ≠ 0）
当 k > 0 时，直线 y = kx 经过第一、第三象限
当 k < 0 时，直线 y = kx 经过第二、第四象限
当 k > 0 时，y 随着 x 的增大而增大
当 k < 0 时，y 随着 x 的增大而减小
旧知巩固
问题 2 某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃.
试用函数解析式表示 y 与 x 的关系.
这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有什么不同？
自主探究
原大本营所在地气温为_____，
因为当海拔增加 1 km 时，气温减少______.
所以当海拔增加 x km 时，气温减少______.
因此 y 与 x 的函数解析式为____________.
5 ℃
6 ℃
6x ℃
y = 5-6x
问题 2 某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃.
试用函数解析式表示 y 与 x 的关系.
自主探究
y = 5 - 6x
当登山队员由大本营向上登高 0.5 km 时，他们所在位置的气温是_____℃.
y = 5 - 6×0.5 = 2
2
[选自教材P90]
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
（1）有人发现，在 20℃~25 ℃ 时蟋蟀每分鸣叫次数 c 与温度 t (单位：℃) 有关，即 c 的值约是 t 的 7 倍与 35 的差.
是函数关系，函数解析式为 c = 7t - 35 (20 ≤ t ≤ 25)
思 考
（2）一种计算成年人标准体重 m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高值 h，再减常数 105，所得差是 m 的值.
是函数关系，函数解析式为 m = h-105
（3）某城市的市内电话的月收费额 y（单位：元）包括月租费 22 元和拨打电话 x min的计时费（按 0.1 元/min收取）.
是函数关系，函数解析式为 y = 0.1x + 22
（4）把一个长 10 cm、宽 5 cm 的长方形的长减少 x cm，宽不变，长方形的面积 y（单位：cm2）随 x 的变化而变化.
是函数关系，函数解析式为 y = -5x + 50 (0≤ x ＜10)
（1）c = 7t - 35 (20 ≤ t ≤ 25)
（2）m = h-105
（3）y = 0.1x + 22
（4）y = -5x + 50 (0≤ x ＜10)
这些函数解析式有哪些共同特征？
发现：它们都是常数 k 与自变量的_____与常数 b 的 的形式.
积
和
（1）c = 7t - 35 (20 ≤ t ≤ 25)
（2）m = h-105
（3）y = 0.1x + 22
（4）y = -5x + 50 (0≤ x ＜10)
一次函数的概念：
一般地，形如 y = kx+b ( k，b 是常数，k≠0 )的函数，叫做一次函数.
[选自教材P90 练习 第1题]
练 习
1. 下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1）y = -8x； （2）y = ；
（3）y = 5x2 + 6； （4）y = -0.5x -1
（1）（4）是一次函数，其中（1）也是正比例函数.
一次函数： y = kx+b（k，b 是常数，k ≠ 0）
正比例函数：y = kx（k 是常数，k ≠ 0）
正比例函数是一种特殊的一次函数.
2. 一次函数 y = kx + b，当 x = 1 时，y = 5；当 x = -1 时，y = 1. 求 k 和 b 的值.
解：因为当 x = 1 时，y = 5，
所以 k + b = 5. ①
因为当 x = -1 时，y = 1，
所以 -k + b = 1. ②
①+② 得 2b = 6，即 b = 3，带入①，得 k = 2.
[选自教材P90 练习 第2题]
3. 一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加 2 m/s.
（1）求小球速度 v (单位：m/s)关于时间 t (单位：s) 的函数解析式. 它是一次函数吗？
v = 2t（t ≥ 0），它是一次函数.
[选自教材P91 练习 第3题]
（2）求第 2.5 s 时小球的速度.
当 t = 2.5 s 时，v = 2×2.5 = 5（m/s）.
若 y = （m-1）x2-|m| + 3 是关于 x 的一次函数，则 m 的值为______.
-1
题型一 利用一次函数的定义求字母的值
跟踪训练
题型二 根据两组对应值确定一次函数解析式
一次函数 y = kx + b，当 x = 1 时，y = 2；当 x = 2 时，y = 1. 当 x = 3 时，求 y 的值.
分析：先由两组对应值求出函数解析式，再代入 x 的值即可求出相应的 y 值.
解：将 x = 1，y = 2 和 x = 2，y = 1 分别代入 y = kx + b，得 解得
所以这个一次函数解析式为 y = -x + 3.
当 x = 3，y = -3 + 3 = 0，即所求 y 的值为 0.
k + b = 2，
2k + b = 1，
k = -1，
b = 3.
题型二 根据两组对应值确定一次函数解析式
一次函数 y = kx + b，当 x = 1 时，y = 2；当 x = 2 时，y = 1. 当 x = 3 时，求 y 的值.
正比例函数 解析式
图象的位置
性质
一次函数 解析式
y = kx（k 是常数，k ≠ 0）
当 k > 0 时，直线 y = kx 经过第一、第三象限
当 k < 0 时，直线 y = kx 经过第二、第四象限
当 k > 0 时，y 随着 x 的增大而增大
当 k < 0 时，y 随着 x 的增大而减小
y = kx + b（k，b 是常数，k ≠ 0）
课后小结(共22张PPT)
人教版八年级下册
一次函数的图象与性质
正比例函数图象
旧知巩固
例 2 画出函数 y = -6x 与 y = -6x + 5 的图象.
列表
x -2 -1 0 1 2
y = -6x
y = -6x + 5
描点
画线
12
6
0
-6
-12
17
11
5
-1
-7
y = -6x
y = -6x + 5
自主探究
比较这两个函数图象的相同点与不同点，填出你的观察结果：
这两个函数的图象形状都是________，并且倾斜程度______.
函数 y = -6x 的图象经过原点，函数
y = -6x + 5 的图象与 y 轴交于点______，
即它可以看作由直线y = -6x 向____平移
_____个单位长度得到.
一条直线
相同
(0，5)
上
5
思 考
y = -6x
y = -6x + 5
联系上面的结果，你能归纳出一次函数 y = kx + b(k ≠ 0) 与正比例函数y = kx (k≠0) 之间的关系吗？
y = -6x
y = -6x + 5
直线 y = kx + b (k≠0) 可以看作由直线 y = kx (k≠0) 平移 | b | 个单位长度得到.
当 b > 0 时，向上平移；
当 b < 0 时，向下平移 .
小 结
一次函数图象的画法：
根据两点确定一条直线，为计算简单，一般选择点（0，b）和点（1，k+b）.
例 3 画出函数 y = 2x -1 与 y = -0.5x + 1 的图象.
x 0 1
y = 2x-1
y = -0.5x + 1
列表
描点
画线
-1
1
y = 2x - 1
1
0.5
y = -0.5x + 1
例 3 画出函数 y = 2x -1 与 y = -0.5x + 1 的图象.
你还有其他画法吗？
先画直线 y = 2x 与 y = -0.5x，再分别平移它们，也能得到直线 y = 2x-1 与 y = -0.5x + 1.
- 1
y = 2x
y = -0.5x
+ 1
探 究
画出函数 y = x + 1，y = -x + 1，
y = 2x + 1，y = -2x + 1 的图象. 由它
们联想：一次函数解析式 y = kx + b
（k，b 是常数，k ≠ 0）中，k 的正
负对函数图象有什么影响？
1
2
1
0
1
3
1
-1
x 0 1
y = x + 1
y = -x + 1
y = 2x + 1
y = -2x + 1
y = x + 1
y = -x + 1
y = 2x + 1
y = -2x + 1
y = x + 1
y = -x + 1
y = 2x + 1
y = -2x + 1
观察一次函数图象，你能发现什么规律？
当 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大；
当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小.
[选自教材P93]
练习
1. 直线 y = 2x - 3 与 x 轴交点坐标为______，与 y 轴
交点坐标为_______，图象经过____________象限，
y 随 x 的增大而______.
(0，-3)
一、三、四
增大
2. 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出
每小题中三个函数的图象有什么关系.
（1）y = x -1，
y = x，
y = x + 1；
y = x -1
y = x
y = x + 1
2. 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出
每小题中三个函数的图象有什么关系.
（2）y = -2x -1，
y = -2x，
y = -2x+1.
y = -2x -1
y = -2x
y = -2x+1
每小题中三个函数的图象都互相平行.
3. 分别在同一直角坐标系中画出下列（1）（2）中各函数
的图象，并指出每组函数图象的共同之处.
（1）y = x + 1，
y = x + 1，
y = 2x + 1；
y = x + 1
y = x + 1
y = 2x + 1
3. 分别在同一直角坐标系中画出下列（1）（2）中各函数
的图象，并指出每组函数图象的共同之处.
（2）y = - x - 1，
y = -x - 1，
y = -2x - 1.
y = - x - 1
y = -x - 1
y = -2x - 1
每小题中三个函数的图象与 y 轴交点为同一点，只是倾斜程度不同.
题型一 一次函数的图象与性质
已知关于 x 的一次函数 y = （2m+4）x+（3-n）.
（1）当 m，n 取何值时，y 随 x 的增大而减小？
（2）当 m，n 取何值时，图象经过第一、二、三象限？
题型一 一次函数的图象与性质
已知关于 x 的一次函数 y = （2m+4）x+（3-n）.
（1）当 m，n 取何值时，y 随 x 的增大而减小？
（2）当 m，n 取何值时，图象经过第一、二、三象限？
解：（1）由题意，得 2m + 4 < 0，3-n 是任意实数，
所以 m < -2，n 是任意实数.
（2）由题意，得 2m + 4 > 0，3-n > 0，
所以 m > -2，n < 3.
题型二 平面直角坐标系中的双图象共存问题
关于 x 的一次函数 y = mx + n 与 y = mnx（mn ≠ 0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
C
题型三 一次函数的图象和性质与几何的综合
如图，函数 y = kx + 1 的图象经过点 A（3，-3），且与 x 轴相交于点 B，O 为坐标原点，连接 OA.
（1）求点 B 的坐标；（2）求△OAB 的面积.
解：（1）因为函数 y = kx + 1 的图象
经过点 A（3，-3），所以 3k + 1 = -3，
解得 k = . 所以 y = x + 1. 令 y = 0，
则 x + 1 = 0，解得 x = ，
因此点 B 的坐标为（ ，0）
题型三 一次函数的图象和性质与几何的综合
如图，函数 y = kx + 1 的图象经过点 A（3，-3），且与 x 轴相交于点 B，O 为坐标原点，连接 OA.
（1）求点 B 的坐标；（2）求△OAB 的面积.
（2）△OAB 的面积
= .
一次函数
解析式
y = kx + b（k，b是常数，k ≠ 0）
图象的位置
当 k > 0，b > 0 时，图象经过一、二、三象限
当 k > 0，b < 0 时，图象经过一、三、四象限
当 k < 0，b > 0 时，图象经过一、二、四象限
当 k < 0，b < 0 时，图象经过二、三、四象限
性质
当 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小.
课后小结(共21张PPT)
人教版八年级下册
用待定系数法求
一次函数的解析式
你会画出函数 y = 2x + 1 的图象吗？
x 0 1
y 1 3
y = 2x + 1
知道两点坐标你会求函数解析式吗？
旧知巩固
　　例 4 已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．
[选自教材P93]
一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），因此这两点的坐标适合一次函数 y = kx + b.
自主探究
　　例 4 已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．
[选自教材P93]
解：设这个一次函数的解析式为 y = kx + b(k≠0).
把点 (3，5)与 (-4，-9) 分别代入，得：
解方程组得
∴这个一次函数的解析式为 y = 2x-1.
k=2
b=-1
3k + b = 5
-4k + b = -9
自主探究
知识点 用待定系数法确定一次函数的解析式
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出这个式子的方法，叫做待定系数法.
解：设这个一次函数的解析式为 y = kx + b(k≠0).
把点 (3，5)与 (-4，-9) 分别代入，得：
解方程组得
∴这个一次函数的解析式为 y = 2x-1.
k = 2
b = -1
3k + b = 5
-4k + b = -9
设
代
解
写
用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤：
用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤：
（1）设：设一次函数的解析式为 y = kx + b（k ≠ 0）；
（2）代：将两组 x，y 的值分别代入解析式，得到关于 k，b 的二元一次方程组；
（3）解：解方程组，求出 k，b 的值；
（4）写：将求出的 k，b 的值回代到所设的函数解析式，得出所求函数的解析式.
函数解析式
y = kx+b
满足条件的两定点
(x1，y1)与(x2，y2)
一次函数的图象直线 l
选取
解出
画出
选取
从数到形
从形到数
整理归纳
例 5 “黄金 1 号”玉米种子的价格为 5 元/kg. 如果一次购买 2 kg 以上的种子，超过 2 kg 部分的种子价格打 8 折.
（1）填写下表.
购买量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ...
付款金额/元 ...
2.5
5
7.5
10
12
14
16
18
分段函数
（2）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象.
设购买量为 x kg，付款金额为 y 元.
当 0 ≤ x ≤ 2时，y = 5x；
当 x > 2 时，
y = 4(x -2) + 10 = 4x + 2.
y = 5x
y = 4x+2
例 5 “黄金 1 号”玉米种子的价格为 5 元/kg. 如果一次购买 2 kg 以上的种子，超过 2 kg 部分的种子价格打 8 折.
分段函数
你能由上面的函数解析式解决以下问题吗？
（1）一次购买 1.5 kg 种子，需付款多少元？
（2）一次购买 3 kg 种子，需付款多少元？
y =
5x，
4x + 2，
0 ≤ x ≤ 2，
x > 2.
y = 5×1.5 = 7.5（元）
y = 4×3 + 2 = 14（元）
在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数.
分段函数的概念
[选自教材P95]
练习
1. 已知一次函数的图象经过点（9，0）和点（24，20），写出函数解析式.
解：因为直线 y = kx + b 经过（9，0）和点（24，20）.
所以 解得
0 = 9k + b，
20 = 24k + b，
k = ，
b = -12.
所以函数解析式为 y = x -12.
2. 一个试验室在 0:00—2:00 保持 20℃ 的恒温，在 2:00—4:00 匀速升温，每小时升高 5 ℃. 写出试验室温度
T（单位：℃）关于时间 t（单位：h）的函数解析式，
并画出函数图象.
解：当 0≤t≤2 时，T = 20；
当 2＜t≤4 时，
T = 20 + 5×(t-2) = 5t +10.
函数图象如图：
t/h
T/℃
题型一 利用函数的增减性确定一次函数的解析式
已知一次函数 y = kx + b 中自变量 x 的取值范围是 -3≤x≤-1，相应的函数值 y 的取值范围是 4≤y≤6，求这个一次函数的
解析式.
解：分两种情况：
①当 k > 0 时，把 x = -3，y = 4 和 x = -1，y = 6
分别代入 y = kx + b，得
-3k + b = 4，
-k + b = 6.
解方程组得 所以 y = x + 7.
k = 1，
b = 7.
题型一 利用函数的增减性确定一次函数的解析式
已知一次函数 y = kx + b 中自变量 x 的取值范围是 -3≤x≤-1，相应的函数值 y 的取值范围是 4≤y≤6，求这个一次函数的
解析式.
②当 k < 0 时，把 x = -3，y = 6 和 x = -1，y = 4
分别代入 y = kx + b，得
-3k + b = 6，
-k + b = 4.
解方程组得 所以 y = -x + 3.
k = -1，
b = 3.
综上所述，这个一次函数的解析式为 y = x + 7或 y = -x + 3.
题型二 利用几何变换求一次函数的解析式
将函数 y = -2x 的图象向下平移后得到直线 AB，若直线 AB 经过点（m，n），且 2m + n + 6 = 0，求直线 AB 的解析式.
题型二 利用几何变换求一次函数的解析式
将函数 y = -2x 的图象向下平移后得到直线 AB，若直线 AB 经过点（m，n），且 2m + n + 6 = 0，求直线 AB 的解析式.
解：由题意，将函数 y = -2x 的图象向下平移后得到直线 AB，
可设直线 AB 的解析式为 y = -2x + b.
因为直线 AB 经过点（m，n），
所以 -2m + b = n，即 2m + n-b = 0.
又 2m + n + 6 = 0，所以 b = -6.
因此，直线 AB 的解析式为 y = -2x-6.
题型三 利用三角形的面积求一次函数的解析式
已知一次函数 y = kx + b 的图象与 x 轴交于点 A（-6,0），与 y 轴交于点 B. 若△AOB 的面积为 12，求这个一次函数的解析式.
解：因为图象经过点 A（-6,0），所以 -6k+b=0，即 b = 6k.易得图象与 y 轴的交点是 B（0，b）所以 S△AOB = OA·OB = ×6×|b| = 12.
所以 b = 4或 -4.
当 b = 4 时，k = ；当 b = -4 时，k = .
则这个一次函数的解析式为 y = x + 4 或 y = x - 4.
1.用待定系数法求一次函数解析式
2.分段函数
课后小结

展开更多......

收起↑