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(共32张PPT)
人教版八年级下册
课前调查单
求作：
∠A1B1C1 ，使∠A1B1C1
＝ ∠ABC.
1.已知：∠ABC，
A
B
C
3.作线段MN的垂直
平分线.
2.过点E作直线 l 的平行线.
l
E
M
N
提示：点击视频全屏播放
一、动手操作，运用旧知
根据条件画一个平行四边形:一组邻边分别为a和b，且邻边夹角为∠1. 有哪些画法，依据分别是什么？
1
a
b
画法1
画法2
画法3
提示：点击画法跳转到对应页面
拿出【学习单】
按要求作图，步骤如下：
1. 作∠ABC＝∠1;
2. 在∠ABC的两边分别截取线段
AB＝b，BC＝a;
3. 过点A作BC的平行线，并在平
行线上截取点D，使得AD＝a;
4. 连接CD.
1
a
b
拿出【学习单】
二、探究新知，证明猜想
提示：点击画面播放视频
作图中，四边形ABCD构造了哪些条件？
活动二中的四边形是平行四边形吗？
剪下活动二的四边形和活动一的平行四边形，把他们进行比较，你有什么发现？
关于平行四边形的判定，你又可以提出什么猜想？
请试着证明一下你的猜想。
A
B
C
D
AD∥BC，AD＝BC
如图，在四边形ABCD中，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
AD∥BC，AD＝BC.
A
B
C
D
证明：连接AC.
∴△ACB≌△CAD.
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB.
∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
AD＝BC，
∠DAC＝∠ACB，
AC=CA，
在△ACB和△DAC中,
∴AB＝CD.
又∵AD＝BC.
还有其他证明方法吗？
一组对边平行且相等的
四边形是平行四边形；
于是，我们又得到平行四边形的一个判定定理：
∵AB=CD，AB∥CD
符号语言
文字语言
∴四边形ABCD是平行四边形
三、归纳提炼，方法小结
为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了.你能说出其中的道理吗？
【教材P47练习 第3题】
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形.
如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，
求证：四边形EBFD是平行四边形.
A
B
D
C
E
F
例
∴ AB＝CD， EB∥FD.
∴EB＝FD.
∴四边形EBFD是平行四边形.
又EB＝ AB，FD＝ CD，
现在你有多少种判定一个四边形是平行四边形的方法？
四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件:
①AD∥BC；②AD＝BC；
③OA＝OC；④OB＝OD.
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
D
C
A
B
O
①+②，
①+③
①+④，
③+④
B
图示 元素 文字语言 符号语言（书写格式）
边
角
对角线
平行四边形的判定方法
已知四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O.
D
C
A
B
O
∵OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
1.如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，
① AB∥CD ；②AB＝CD；③AD＝BC；
④∠ADB＝∠CDB ；⑤∠BAC＝∠DCA ；⑥∠DAB＝∠DCB ；
要判定四边形ABCD是平行四边形，
则添加的条件可以是（ ）
A. ① ② ③ ⑤ B. ① ③ ⑤ ⑥
C. ① ② ⑤ ⑥ D. ① ② ④ ⑥
A
D
B
C
O
B
【考点】平行四边形的判定方法. 难度系数：☆☆☆
四、巩固新知，灵活运用
2.如图，E是□ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F，添加以下条件，不能判定四边形 BCED为平行四边形的是（ ）.
A.∠ABD＝∠DCE
C.∠AEB＝∠BCD
D.∠AEC＝∠CBD
B. DF＝CF
【考点】平行四边形的判定方法. 难度系数：☆☆☆
A
B
D
C
E
F
C
3.如图，在□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点
分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足.求证：四边形AFCE
是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
【教材P47 练习 第4题】
A
B
D
C
E
F
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°.
∴△AED≌△CFB，
∴AE＝CF.
又∵ ∠AEF＝∠CFE＝90°，
∴ AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
【考点】平行四边形的性质和判定的综合应用.
4.如图，在□ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，且AF＝CE.
求证：四边形AECF是平行四边形.
【教材P50 习题18.1 第4题】
A
D
B
C
F
E
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，即AF∥CE.
又∵AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形.
【考点】平行四边形的性质和判定综合应用. 难度系数：☆
5.如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形.
【教材P50 习题18.1 第6题】
A
D
B
C
E
F
证明：∵四边形AEFD和EBFC都是平行四边形，
∴EF∥AD，EF＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴EF∥BC，EF＝BC，
【考点】平行四边形的判定方法. 难度系数：☆☆☆
3.如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．
A
D
B
E
C
F
由平行易知：∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB
【思路】
易得：BC＝EF，可证△ABC≌△DEF
得AB＝DE，又AB∥DE，得证ABED是□
显示规范解答
【题型】平行四边形的判定方法的运用. 难度：☆☆
4.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F是对角线BD上两点，且BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E，F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AC与BD交于点O，求证：OA＝OC.
A
D
B
C
O
E
F
【思路】
由△ABE≌△CDF，可知∠ABD＝∠BDC
易得：AB∥CD，四边形ABCD是□
直角三角形全等判定定理（HL）
得证：OA＝OC
显示规范解答
【题型】平行四边形的判定方法的运用. 难度：☆☆☆
5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且BO＝DO，AD∥BC. (1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
D
C
A
B
O
【思路】
易得：∠ADB＝∠DBC，
∠AOD＝∠COB
可证：△AOD≌△COB(ASA)
得AD＝CB，得证ABCD是□
显示规范解答
【题型】平行四边形的判定方法的运用. 难度：☆☆☆
(2)若AD＝12，OD＝5，AC＝26.
①求∠ADB的度数； ②S四边形ABCD＝_______.
D
C
A
B
O
13
12
5
【思路】
① 由勾股定理得，∠ADB＝90°
② BD⊥AD，BD＝10，S□＝底×高
显示规范解答
判定方法的选择
元素 已知条件 证明思路 本质
边 一组对边相等
一组对边平行
角 角
对角线 对角线相交
另一组对边相等
两组对边分别相等
另一组对边平行
对角线相互平分
两组对角分别相等
两组对边分别平行
对角线相互平分
两组对角分别相等
该组对边平行
一组对边平行且相等
该组对边相等
一组对边平行且相等
五、归纳提炼，反思总结
通过本节的学习，我们一共有几种判定平行四边形的方法？
在具体证明中，这些方法如何选取？
六、梳理脉络，课堂小结
依据：_________________的四边形是平行四边形.
两组对边分别平行
提示：点击画面播放视频
依据：_________________的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等
提示：点击画面播放视频
依据：_________________的四边形是平行四边形.
对角线互相平分
提示：点击画面播放视频
如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平
行四边形．
1.
证明：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F．
∵BE＝CF，
∴BE＋CE＝CF＋CE，
∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
∠B＝∠DEF
BC＝EF
∠ACB＝∠F
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE．
又∵AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
退出规范解答
A
D
B
E
C
F
如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F是对角线BD上两点，且BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E，F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AC与BD交于点O，求证：OA＝OC.
2.
（1）∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)；
A
D
B
C
O
E
F
(2)∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO.
退出规范解答
如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且BO＝DO，AD∥BC.
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
3.
D
C
A
B
O
解：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△AOD和△COB中，
∠ADO＝∠CBO
OD＝OB
∠AOD＝∠COB
∴△AOD≌△COB(ASA)，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
退出规范解答
如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且BO＝DO，AD∥BC.
(2)若AD＝12，OD＝5，AC＝26.
①求∠ADB的度数；
②S四边形ABCD＝_______.
3.
解：
①∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝26，
∴OA＝OC＝13，
∵AD＝12，OD＝5，
∴AD2＋OD2＝OA2，
∴△AOD是直角三角形，
∴∠ADO＝90°，即∠ADB＝90°；
②由①可知，∠ADB＝90°，∴BD⊥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2OD＝10，
∴S四边形ABCD＝AD·BD＝12×10＝120.
D
C
A
B
O
13
12
5
退出规范解答(共39张PPT)
人教版八年级下册
教师提问，引出课题
平行四边形的定义。
2
3
4
（提示：点击传送门分别打开平行四边形的创造方法）
你还记得等腰三角形的性质定理与判定定理吗？它们的条件与
结论有什么关系？
性质定理
互逆命题
等腰三角形两底角相等；
判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形；
直角三角形的两直角边长度的平方之和等于斜边长的平方;
若三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形。
具有这种结构特点的性质与判定还有吗？
经验类比，形成思路
问题
由平行四边形，我们能否也可以通过研究性质的逆命题，猜想
一下判定平行四边形的方法呢？
平行四边形的性质 平行四边形的判定
平行四边形的对边相等 猜想1：
平行四边形的对角相等 猜想2：
平行四边形的对角线互相平分 猜想3：
你能证明这些猜想吗？
逆向思考，提出猜想
问题
D
C
A
B
已知：四边形ABCD中, AB=CD，AD=BC，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=CD，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
符号语言（书写格式）
猜想1：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
文字语言
平行四边形的判定
显示规范解答
【提示】依据定义。
演绎推理，形成定理
1. 如图，在下列各题中，再添上一个条件使结论成立，并说明理由：
（1）∵AB∥CD，__________，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵AB=CD ，__________，
∴四边形ABCD是平行四边形．
D
C
A
B
AD∥BC
AD＝BC
【考点】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义).
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
跟踪训练
D
C
A
B
已知：四边形ABCD中, ∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形
符号语言（书写格式）
猜想2：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
文字语言
平行四边形的判定
显示规范解答
【提示】依据定义。
2. 在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的比如下，其中能判断四边形是平
行四边形的是（ ）.
A.1∶2∶3∶4 B.2∶3∶4∶5 C.3∶2∶3∶2 D.3∶3∶5∶4
C
【考点】两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
跟踪训练
D
C
A
B
已知：四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，
且OA=OC，OB=OD，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
∵OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
符号语言（书写格式）
猜想3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
文字语言
平行四边形的判定
O
显示规范解答
【提示】依据定义。
3.如图所示，AO＝OC，BD＝16 cm，则当OB＝______ cm 时，四边形ABCD是
平行四边形.
A
D
B
C
O
8
【考点】对角线互相平分的四边形是平行四边形.
跟踪训练
方法归纳，阶段小结
图示 元素 文字语言 符号语言（书写格式）
边
角
对角线
平行四边形的判定方法
已知四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O.
D
C
A
B
O
∵OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
回总结页
4. 下列命题中，正确的是（ ）．
A.两组角相等的四边形是平行四边形
B.一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D
反例：
A
B
C
D
【注意】一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定
是平行四边形.
跟踪训练
又BO＝DO，得证
例1 如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F是AC上的两点，并且
AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。
A
D
B
C
E
F
O
【教材P46 例3】
易得EO＝FO
已知AE＝CF
思路：
显示规范解答
小试牛刀，例题演练
1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝110°，BE平分∠ABC交AD于
点E，F是边BC上一点，∠FDC＝35°.
求证：四边形BEDF是平行四边形．
A
D
B
C
E
F
追问 你还有其他证明方法吗？
110°
35°
35°
35°
证明另一组对边平行：BE∥FD
由其他已知条件可推出：∠EBC＝∠DFC＝35°
已知ED∥BF
思路1：
显示规范解答
A
D
B
C
E
F
110°
35°
35°
A
D
B
C
E
F
110°
35°
由已知条件可推出：∠EBC＝∠EDF
证明另一组对角相等：∠BED ＝∠BFD
已知∠A＝110°，∠FDC＝35°
思路2：
35°
35°
由ASA可证 △EAB ≌△FCD
得证两组对边相等：BE＝FD,ED＝BF
由已知条件可推出：∠ABE＝35°
思路3：
110°
110°
解：因为AB＝CD，AD＝BC，
所以四边形ABCD为平行四边形.
因为DC＝EF，DE＝CF，
所以四边形DCFE为平行四边形.
如图，AB＝DC＝EF，AD＝BC，DE＝CF．图中有哪些互相平行 的线段
A
D
E
B
C
F
【教材P47 练习 第1题】
所以AB ∥ DC ∥ EF，AD ∥ BC，DE∥ CF.
【考点】两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
直接运用，巩固练习
2.如图， □ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，
OC的中点．求证 BE＝DF.
【教材P47 练习 第2题】
A
B
D
C
O
E
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE＝OF，
又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF，
∴BE＝DF.
【考点】平行四边形性质和判定的综合应用.
3.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形.
【教材P50 习题18.1 第5题】
A
D
B
C
F
E
G
H
O
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
又∵E，F ，G ，H分别是AO， BO， CO， DO的中点，
∴四边形EFGH是平行四边形.
∴EO＝ AO ，FO ＝ BO ，
GO ＝ CO ，HO ＝ DO.
∴EO＝GO，FO＝HO，
【考点】平行四边形性质和
判定的综合应用.
2. 如图1，在□ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且
AO＝CO．
（1）求证：△AOF≌△COE；
（2）连接AE、CF，则四边形AECF ____（填“是”或“不是”）平行四边形．
A
D
B
C
E
F
O
A
D
B
C
E
F
O
（图1）
（图2）
（分析：由ASA可证 △AOF≌△COE ）
显示（1）规范解答
显示（2）规范解答
3. 如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，
∠1=∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
A
B
C
N
M
D
E
F
2
1
（1）思路1：由已知条件角相等，证明两组对角分别相等；
思路2：由已知条件角相等推出一组对边平行，证明另外一组对边平行。
3
2
显示规范解答
判定方法的选择
元素 已知条件 证明思路 本质
边 一组对边相等
一组对边平行
角 角
对角线 对角线相交
另一组对边相等
两组对边分别相等
另一组对边平行
对角线相互平分
两组对角分别相等
两组对边分别平行
对角线相互平分
两组对角分别相等
回总结页
归纳
如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），若找一点D，
使得O、A、B、D四点构成平行四边形，则点D的坐标可以是___________．
（写出两个即可）
O
A
B
x
y
D1
D2
D3
（1,1），（3,1）
坐标系中的平行四边行问题
平行四边形的判定与性质的综合
已知：如图，在□ ABCD 中，点E，F在AC上，且AF＝CE，点G，H分别在
AB，CD上，且AG＝CH， AC与GH相交于点O.
求证：EG∥ FH.
A
D
B
C
E
F
O
G
H
得GO＝HO, EO＝FO
易证△AOG≌△COH（AAS）
依据□ ABCD边的性质，易得∠BAC＝∠ACD
思路：
对角线相互平分得证ABCD是□，得证EG∥ FH
证明：如图，连接GF，EH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
在△AOG和△COH中，
∠AOG＝∠COH,
∠BAC＝∠ACD
AG＝CH,
∴△ AOG ≌△COH（AAS）
∴OG＝OH，OA＝OC,
又∵ AF＝CE，AF－OA＝CE－OC， ∴ OF＝OE
∴四边形EGFH为平行四边形. ∴ EG// FH.
A
D
B
C
E
F
O
G
H
结合本节课的学习，谈谈对研究几何图形判定方法的思考．
定义
判定定理
性质定理
逆向猜想
1
通过本节的学习，我们一共有几种判定平行四边形的方法？
2
在具体证明中，这些方法如何选取？
3
显示总结
显示总结
梳理脉络，课堂小结
两根长度相等的长吸管和两根长度相等的短吸管可以得到平行四边形。
2
（点击视频开始播放）
将一个圆平分成两对相等的角，可以拼成一个平行四边形。
3
（点击视频开始播放）
将两根吸管的中点重叠，用皮筋连接吸管的顶点，可以得到一个平行四边形。
4
（点击视频开始播放）
D
C
A
B
已知：四边形ABCD中, AB=CD，AD=BC，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
退出规范解答
证明：连接BD.
在△ABD和△CDB中，
AB＝CD，
AD＝CB，
BD＝DB,
∴△ABD≌△CDB.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∴AB∥CD，AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
猜想1：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
定义
D
C
A
B
已知：四边形ABCD中, ∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°，
又∵ ∠A=∠C，∠B=∠D ，
∴ 2∠A＋2∠B＝360°，
即∠A＋∠B＝180°，
∴AD∥BC.
同理 AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
退出规范解答
猜想2：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
定义
证明：∵OA＝OC，OD＝OB，
∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB.
∵∠OAD＝∠OCB，
∴AD∥BC.
同理 AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
C
A
B
已知：四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，
且OA=OC，OB=OD，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
O
退出规范解答
猜想3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
定义
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO.
又BO＝DO,
∴四边形BFDE是平行四边形.
例1 如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F是AC上的两点，并且
AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。
【教材P46 例3】
A
D
B
C
E
F
O
退出规范解答
A
D
B
C
E
F
110°
35°
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠C＝∠BAD＝110°，
∴∠ABC＋∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝180°－110°＝70°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝35°.
∵∠CFD＝180°－∠C－∠FDC＝180°－110°－35°＝35°，
∴∠CBE＝∠CFD，
∴BE∥FD.
又∵BF∥DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
退出规范解答
1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝110°，BE平分∠ABC交AD于
点E，F是边BC上一点，∠FDC＝35°.
求证：四边形BEDF是平行四边形．
A
D
B
C
E
F
O
（图1）
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
∠OAF＝∠OCE,
AO＝CO,
∠AOF＝∠COE.
∴△AOF≌△COE（ASA）
退出规范解答
2. 如图1，在□ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且
AO＝CO．
（1）求证：△AOF≌△COE；
（2）连接AE、CF，则四边形AECF ____（填“是”或“不是”）平行四边形．
A
D
B
C
E
F
O
（图2）
（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：
如图2，由（1）得：△AOF≌△COE，
∴FO＝EO，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形；
故答案为：是．
退出规范解答
2. 如图1，在□ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且
AO＝CO．
（1）求证：△AOF≌△COE；
（2）连接AE、CF，则四边形AECF ____（填“是”或“不是”）平行四边形．
A
B
C
N
M
D
E
F
2
1
3
2
（1）证明：∵∠A＝∠F，
∴DE∥BC，
∵∠1＝ ∠2，且∠1＝ ∠DMF，
∴∠DMF ＝ ∠2，
∴DB∥EC，
则四边形BCED为平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠CBN，
∵EC∥DB，
∴∠CNB＝∠DBN，
∴∠CNB＝∠CBN，
∴CN ＝ BC ＝ DE ＝ 2．
退出规范解答
3. 如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，
∠1=∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．(共27张PPT)
第十八章 平行四边形
三角形的中位线
如图,将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友,要求每人分得的形状和大小必须完全相同,该如何切割 这个问题与三角形的中位线有关,学完本节课就可以解决这个问题.
情境导入
思考：
1. 一个三角形有几条中位线？自己试着画一画．
探究点1 三角形的中位线的概念
概念：像DE这样，连接三角形两边中点的线段 叫做三角形中位线
探索新知
如图,在△ABC中,D ,E分别是AB,AC的中点,连接DE.
A
C
D
E
B
一个三角形有三条中位线
思考：
2. 三角形的中位线和中线一样吗 有什么区别
探究点1 三角形的中位线的概念
概念：像DE这样，连接三角形两边中点的线段 叫做三角形中位线
探索新知
如图,在△ABC中,D ,E分别是AB,AC的中点,连接DE.
A
C
D
E
B
不一样.三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段,而中线是连接三角形的顶点与其对边中点的线段.
在纸上画一个三角形,记作△ABC,分别取AB, AC边的中点D, E,连接DE.
1. 借助量角器测量∠ADE 与∠B 的大小,并猜想DE与BC之间的位置关系．
探究点2 三角形的中位线定理
探索新知
A
C
D
E
B
∠ADE=∠B,由同位角相等,两直线平行,猜想DE∥BC.
在纸上画一个三角形,记作△ABC,分别取AB, AC边的中点D, E,连接DE.
2. 用直尺分别测量DE与BC的长,它们之间存在怎样的数量关系
探究点2 三角形的中位线定理
探索新知
A
C
D
E
B
DE= BC.
下面我们一起来验证DE与BC之间存在的位置关系和数量关系.
A
B
C
D
E
中位线
倍长
构造全等三角形
平行四边形
作等长延长线
得线段相等、角相等
得线段相等、平行
F
点击查看证明过程
探索新知
如图, D, E分别是△ABC的边AB, AC的中点.
求证：DE∥BC,且DE= BC.
证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE=CE，∠1=∠2，DE=FE,
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A=∠ECF,AD=CF.
∴CF∥AB.
∵BD=AD, ∴CF=BD.
∴四边形DBCF是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DF∥BC（平行四边形的定义），
DF=BC（平行四边形的对边相等）.
∴ DE∥BC，DE= BC.
A
B
C
D
E
F
探索新知
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
三角形中位线定理
A
B
C
D
E
归纳总结
几何语言： 在△ABC中
∵点D,E分别为AB，AC的中点，
∴DE BC
12.5
对应训练
5.5
4
3
E
F
A
C
D
B
1. 如图, D, E, F分别是△ABC各边的中点, 且AB=11cm, BC=8cm, AC=6cm, 则DE= cm, DF= 　cm,
EF= cm, △DEF的周长是 cm．
25
对应训练
2. 如图, 有一块等边三角形空地ABC, E, F分别是边AB, AC的中点, 量得EF=5m. 若用篱笆围成四边形BCFE, 则所需篱笆的长度是 m.
证明：∵D,E分别是AC,AB的中点,
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥BC,BC=2DE.
∵CF=3BF, ∴BC=2BF. ∴DE＝BF.
又DE∥BF, ∴四边形DEFB是平行四边形.
例题精析
例： 如图, 在△ABC中, D, E分别是AC, AB 的中点,点F是CB延长线上的一点,且CF=3BF, 连接DB, EF, CE.求证：四边形DEFB是平行四边形．
B
E
A
C
F
D
解：能在图中画出3个平行四边形.
如图，连接DE,EF,FD,
则 BEFD, DECF, DEFA即为所画的3个平行四边形.
对应训练
1. 如图, 在△ABC中, D, E, F分别是, AB, BC, CA 的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？
B
E
A
C
F
D
【选自教材P49，练习第1题】
A
B
C
D
E
方法1：分别取AC, BC的中点D, E, 连接DE, 并量出DE的长，则AB=2DE（依据：三角形中位线定理）.
2.如图，A, B两点被池塘隔开，在 A, B外选一点C，连接 AC和 BC, 怎样测出 A, B两点间的距离？根据是什么？
对应训练
【选自教材P49，练习第3题】
A
B
C
D
E
方法2：可分别延长AC和BC到D, E, 使 DC=BC ，EC=AC, 连接DE, 量出DE的距离，即得AB的距离，AB=DE（依据：三角形全等）.
2.如图，A, B两点被池塘隔开，在 A, B外选一点C，连接 AC和 BC, 怎样测出 A, B两点间的距离？根据是什么？
对应训练
【选自教材P49，练习第3题】
3. 如图,将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友,要求每人分得的形状和大小必须完全相同,该如何切割
对应训练
解:沿三角形的三条中位线切割即可.如图,点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,根据三角形的中位线定理,易证△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED.
4.如图,在 ABCD中,E是AD的中点,点F在BA的延长线上,且AF= AB. 连接EF,BD.
（1）请用无刻度的直尺作出△ABD中
与AB平行的中位线EG(不写作法,保留
作图痕迹)；
（2）在（1）的基础上,判断四边形
AGEF的形状,并说明理由.
对应训练
A
F
B
C
D
E
解:（1）如图,EG即为所求．
（2）四边形AGEF是平行四边形．
理由如下：
∵EG是△ABD的中位线,
∴EG∥AB,EG= AB．
又AF= AB,∴EG=AF．
又EG∥AF,
∴四边形AGEF是平行四边形．
对应训练
A
F
B
C
D
E
G
知识结构
课堂总结
三角形的中位线定理
平行四边形的性质及判定
三角形全等
内容及图形
数学符号表示
应用：位置、数量
1. 教材P50习题18.1第5, 11题, 教材P62习18.2第16题.
2. 《创优作业》主体本部分相应课时训练.
课后作业
1. 如图， ABCD的对角线AC, BD相交于点O, 且E, F, G, H分别是AO, BO, DO的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.
课后作业
【选自教材P50，习题18.1第5题】
E
F
B
A
C
D
G
H
O
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO, BO=DO.
又E, F, G, H分别是AO, BO,
CO, DO的中点，
∴EO=GO, FO=HO.
∴四边形EFGH是平行四边形.
2. 如图,A'B'∥BA, B'C'∥CB, C'A'∥AC, ∠ABC与∠B'有什么关系？线段AB'与线段AC' 呢？为什么？
课后作业
【选自教材P51，习题18.1第11题】
B
A
C
A'
C'
B'
解：∠ABC=∠B',AB'=AC'.
理由：∵A'B'∥BA, B'C'∥CB, C'A'∥AC,
∴ 四边形ABCB'、四边形ABA'C、四边形C'BCA都是平行四边形，
∴∠ABC=∠B',且AB'=BC, AC'=BC,
∴AB'=AC'.
3. 如图,在△ABC中，BD,CE分别是边AC,AB上的中线，BD与CE相交于点O. BO与OD的长度有什么关系 BC边上的中线是否一定过点O 为什么 （提示：分别作BO,CO的中点M,N,连接ED,EM,MN,ND.)
课后作业
【选自教材P62，习题18.2第16题】
E
O
B
A
C
D
M
N
课后作业
E
O
B
A
C
D
M
N
解：（1）BO=2OD;
（2）BC边上的中线一定过点O.
证明：（1）作BO的中点M,CO的中点N,连接ED，EM,MN,ND.∵ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，且ED= BC.又MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC,且MN= BC.∴ED MN.∴四边形EMND是平行四边形.∴OM=OD.又OM= BO,∴BO=2OD.
（2）三角形三边的中线交于一点.
4. 如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四
边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论.
方法总结：连接两点构造中位线及应用
课后作业
证明：如图，连接AC.
∵在△ABC中，E,F分别为AB,BC中点,
∴ EF AC.
∵在△ADC中，H,G分别为AD,DC中点，
∴HG AC, ∴EF GH,
∴四边形EFGH为平行四边形.
5. 如图，在△ABC中，AB>AC，在AB上取一点D，连接BC、AD的中点 E，F的直线交CA的延长线于点G.若AF=AG，求证:BD=AC.
方法总结：先添加辅助线，再构造中位线
中点
构造中位线
平行线
角相等
点击查看证明过程
拓展提升
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拓展提升
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