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2024-2025学年江苏省无锡江阴市高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为
A. B. C. D.
2.若，则
A. B. C. D.
3.经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是
A. B.
C. 或 D. 或
4.已知直线与直线平行，则这两条平行直线间的距离为
A. B. C. D.
5.设为空间的一个基底，，，，若共面，则
A. B. C. D.
6.圆与圆的公切线条数是
A. B. C. D.
7.已知直线与圆交于两点，则的最小值为
A. B. C. D.
8.在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是
A. 直线的横截距与纵截距之积为
B. 方程能表示平行 轴的直线
C. 过点引直线，使点，到的距离相等，则的方程为
D. 点关于直线对称的点为
10.对于复数，下列说法正确的是
A. 若，则 B.
C. 一定是纯虚数 D. 若，，则
11.已知曲线：不同时为零，则
A. 上的点的到点的距离的最大值为
B. 上的点的横坐标的取值范围是
C. 围成的图形的面积为
D. 若上有四个点到直线的距离等于，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过圆上的点的的切线方程为____________．
13.已知斜三棱柱的所有棱长均为，，，分别为，的中点，则________．
14.已知两条互相垂直的直线，分别经过点，，公共点为，，则当取最小值时，_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为棱的中点．
求证：平面；
求直线和平面所成的角的正弦值．
16.本小题分
已知复数，为实数．
求；
若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值．
17.本小题分
已知圆，点．
过的直线截所得的弦长为，求的方程；
经过点和的圆与外切，过作的两条切线，切点分别为，，求直线的方程．
18.本小题分
如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上一动点．
试确定的位置，使得平面；
求点到平面距离的最大值；
在的条件下，求平面与平面夹角的大小．
19.本小题分
已知圆，过点的直线与相切，切点在第一象限，在轴上的射影为点．
求的坐标；
过且斜率不为零的另一条直线与交于两点，在线段上
若，求的坐标及线段的长；
设为线段的中点，直线交直线于点，证明：与轴平行．
参考答案
1.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：平面，平面，，
又，，、平面，
平面，
又平面，，
，且为的中点，
，
又，、平面，
平面．
解：由条件平面，，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
所以，．
设平面的法向量为，
则即取，
设直线与平面所成角为，因为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
16.解：由，为实数，则为实数，
所以，，即，，
由在复平面内对应的点在第四象限，
所以，
又为实系数方程的根，则，
所以，，又，所以
17.解：由题意知直线斜率存在，设的方程为：，
因为截圆所得的弦长为，所以到的距离为，
所以，解得或者，
所以的方程为或者．
因为圆经过点和，所以设，
又圆与圆外切于点，
所以，，与点共线，
则，得，，
则圆半径为，圆方程为，
又，与圆相切，所以，，，四点在以为直径的圆上，
圆的方程为，即，
直线为圆与圆的公共点所在的直线，
则由，
两式相减得直线的方程为．
18.解：已知直三棱柱中，，，为棱的中点，
根据直三棱柱的结构特征，，，两两互相垂直，
以为坐标原点，为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，
设平面的一个法向量为，
则，
即，
令，
则，，
即，
设，其中，
则，
令，
则，
即，
即点为棱的中点时，平面；
设，其中，
，
设平面的一个法向量为，
则，
即，
不妨令，
则，，
即，
又因为，
则点到平面的距离为，
即当时，即是的中点时，点到平面的距离最大，且最大值为．
由平面的一个法向量为，
由知为的中点，平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为，
则平面与平面夹角的大小为
19.解：因为直线与圆相切，切点为，
所以，
由，，
所以为以为斜边的等腰直角三角形，
由第一象限的点在轴上的射影为，
所以为的中点，
所以点的坐标为
设，，
则，即，
则，
又，解得，，
所以的坐标为或，
此时，
取为线段的中点，则，
由，且为中点，则，
所以；
证明：因为为线段的中点，
所以，
设直线方程为，，，，
联立方程组，得，
则，且，，，
直线方程为，直线方程为，得，
则
，
所以，
又，
所以与轴平行．
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