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【高中数学】
专题：数形结合
（数形结合思想在高中数学中的应用）
一、什么是“数形结合思想”？
数形结合是一种数学思考方法；是数学研究和学习中的重要思想；也是解决数学问题的有效方法。“以形助数”可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够把抽象的数学语言变为直观的图形语言、把抽象的数学思维变为直观的形象思维；“以数助形”有助于把握数学问题的本质。
二、什么类型的题可以用“数形结合思想”解决？
“数”和“形”是数学研究的两个基本对象。
数，通俗地说一般是指文字语言、数学符号语言、代数式等；
形，通俗地说一般指图形语言、函数图象、代数式的几何意义等。
既能用“数”表示，又能用“形”表示的知识就可以用数形结合思想解决。
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合思想，可以解决以下问题：
①集合问题②函数问题③方程与不等式问题④三角函数问题⑤向量问题
⑥数列问题⑦线性规划问题⑧解析几何问题⑨立体几何问题⑩绝对值问题
三、数形结合思想应用举例
（一）在集合中的应用
【知识点】集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
文字表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 UA
符号语言 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x A}
图形语言
在这个知识点中集合的三种运算除了抽象的符号语言描述之外，还有直观的图形语言。所以在解决某些集合的运算问题时，我们可以用数形结合思想。
【例1】
(1)已知
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1【小结】
数形结合在集合中的应用，主要体现在集合的基本运算中：
（1）离散的集合用Venn图表示
（2）连续的数集用数轴表示，注意端点
（二）在函数中的应用
1.二次函数区间求值问题
二次函数的图象我们都很熟悉，所以在解决二次函数的相关问题时，我们就可以借助图象来进行。
【例2】已知，求f(x)在[1,2]上的最小值
【跟踪训练】已知，求f(x)在[t,t+2]上的最小值
2.函数性质综合应用
函数的性质在图象上都有直观的反应，所以在利用函数性质解决某些问题时，我们就可以借助图象来进行。
【例3】设函数，若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.
【例4】已知函数，则满足不等式的x的取值范围为
3.函数零点个数问题
函数零点、方程的根与函数图象的交点密切相关，所以在解决函数零点个数问题，方程根的个数问题时，常使用数形结合思想。
【例5】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，如果函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，则m的取值范围是________.
【例6】已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0，2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围.
【小结】
数形结合在函数中的应用，主要体现在函数图象的应用中
（1）二次函数求给定区间上的最值问题
①轴动区间定 ②轴定区间动
（2）函数性质（奇偶性、单调性、周期性）的综合应用
①求范围 ②解不等式
（3）函数零点个数、方程根的个数
转化为图象交点个数问题
【跟踪训练1】 函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞).在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x＞0)，y2＝ln x(x＞0)的图象，如图所示：
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
答案　C
【跟踪训练2】若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________.
解析　在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示.由图象知当a>0时，方程|x|＝a－x只有一个解.
答案　(0，＋∞)
【跟踪训练3】已知函数(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1) B.(－∞，0) C.(－1，0) D.[－1，0)
解析　当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.
因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，
∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.
答案 D
【跟踪训练4】(2016·山东卷)已知函数，其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
解析　在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象.
当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.
答案　(3，＋∞)
四、作函数图象的常用方法
数形结合的关键在于准确作出函数的图象，那么如何作函数图象就是最关键的步骤，同学们一定要掌握。下面介绍两种高中数学中最常用的方法。
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
①y＝f(x+a)（a>0）的图象把y＝f(x)的图象向左平移a个单位即可 ；
②y＝f(x -a)（a>0）的图象把y＝f(x)的图象向右平移a个单位即可 ；
③y＝f(x)+b（b>0）的图象把y＝f(x)的图象向上平移b个单位即可；
④y＝f(x) -b（b>0）的图象把y＝f(x)的图象向下平移b个单位即可；
即我们通常所说的左加右减，上加下减。
【练习1】作出下列函数的图象
（1） （2） （3）
(2)对称变换
①y＝－f(x) 的图象把y＝f(x)的图象关于 x轴对称即可 ；
②y＝f(－x) 的图象把y＝f(x)的图象关于 y轴对称即可 ；
③y＝－f(－x) 的图象把y＝f(x)的图象关于原点对称即可 ；
【练习2】作出下列函数的图象
（1） （2） （3）
(3)伸缩变换
①y＝f(ax)（a>0）的图象
把y＝f(x)的图象纵坐标不变，各点的横坐标变为原来的倍即可 ；
相当于以y轴为中心，把图象往左右伸长或压缩；a<1时伸长，a>1时压缩.
②y＝Af(x)（A>0）的图象
把y＝f(x)的图象横坐标不变，各点的纵坐标变为原来的 A 倍即可 ；
相当于以x轴为中心，把图象上下伸长或压缩；A>1时伸长，A<1时压缩.
(4)翻转变换
①y＝|f(x)|的图象，把y＝f(x)的图象位于x轴下方的部分翻到x轴上方即可；
函数值为负数的变为其相反数，函数值为正数的不变，图象全部在x轴上方。
②y＝f(|x|)的图象，把y＝f(x)的图象位于y轴左边的部分去掉，然后把右边的对称到左边即可.
自变量为负数时，与其相反数对应的函数值一样，所以是偶函数。
【练习3】作出下列函数的图象
（1） （2）
【练习4】作出下列函数的图象
（1） （2）

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