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九上科学3.4第一课时简单机械之杠杆
一.知识归纳
（一）杠杆
1. 杠杆：如果一根硬棒在力的作用下能够绕着固定点转动，这一根硬棒就叫做杠杆。
2. 杠杆五要素：支点（O）、动力（F1）、阻力（F2）、动力臂（L1）、阻力臂（L2）
①支点：硬棒绕着转动的固定点。
②力的作用线：力所在的直线。
③力臂：支点到力的作用线的距离。
跷跷板 用硬棒撬动石头
（二）杠杆平衡
杠杆平衡：若杠杆处于静止或匀速转动状态，我们就称杠杆处于平衡状态；即杠杆平衡
杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂 F1L1=F2L2
（三）杠杆的分类
力臂关系 力的大小关系 杠杆类型 工作特点 实例
省力杠杆 省力费距离 老虎钳、开瓶器、指甲刀
费力杠杆 费力省距离 筷子、镊子、钓鱼竿、划桨
等臂杠杆 不省力也不费距离 托盘天平
（四）最小力
1. 最小力：通过对杠杆施加一个力，让杠杆处于平衡状态，当动力臂最大时力最小。
2. 最小力解题步骤：①正确的寻找支点（O）。
②在杠杆上找到距离支点最远的点，记为A。
③连接OA，过A点作OA的垂线即为力的作用线，A为F１的作用点。
④通过判断其他力使杠杆转动方向来确认F１的方向。（保留作图痕迹）
⑤如题目有要求，需利用杠杆平衡条件进行计算。
二.课堂练习
题型一.杠杆概念及分类
1.如图甲是《天工开物》中的舂米工具图，如图是其结构示意图，请在图乙中画出舂米工具脚踏板上的动力F1的力臂L1及A点所受阻力F2的示意图。
2如图所示轻质杠杆AOBC可绕O点转动，OA之间挂一重物，请作出使杠杆平衡的最小力F1和阻力F2的示意图。
3.在劳动实践活动中，李雷同学用锄头除草，如图甲所示，向上挥动锄头时锄头可简化为图乙所示的模型（O点为支点），请你在图乙中画出F2的力臂l2。
4.如图，请画出提起物体A的最小力F的示意图及其力臂l。
5.如图所示，在杠杆AOB的A端挂一重物G，要使杠杆在如图所示的位置平衡，请画出在杠杆上施加的最小动力F1与力臂L1及阻力F2的示意图。
6.如图所示，OAB为一可绕O点自由转动的轻质杠杆，OA垂直于AB，在OA中点C处挂一质量为1kg的物块，要求在端点B处施加一个最小的力F，使杠杆在图示位置平衡，请画出这个最小的力及它的力臂。
7.如图，O是轻杠杆OA的支点，A为动力作用点。请在图中画出动力的力臂L1及阻力F2的示意图。
8.2023年5月7日上午，临沂市第十三届全民健身运动会开幕式暨第七届万人健步行活动在五洲湖广场正式开启，人们打着旗子、喊着口号在整洁的城市道路上阔步向前，感受临沂的蝶变。”下列生活用具，与旗杆属于同一类杠杆的是（　　）
A．剪子 B．起子
C．钳子 D．镊子
题型二.杠杆计算
例1.如图所示，某同学在做俯卧撑运动，可将他视为一个杠杆。他的中心在A点，重力为500N。
（1）该同学将身体撑起，双手对地面的压力至少为 N；
（2）若每个手掌与地面的接触面积约为2.0×10﹣3m2，则双手对地面的压强为 Pa；
（3）若该同学在1min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4m，则她的功率至少为 W。
例2.杆秤是运用不等臂杠杆的特点制作的，是测量物体质量的工具。如图所示，若秤砣质量为0.75kg，OB是OA的4倍，该秤最多能称量 g的物体（不计秤杆、秤钩的质量），若杆秤的秤砣磨掉一些，则秤得物体的质量比物体真实质量 （选填“偏大”、“偏小”或“不变”）。若提纽向A端移动一小段距离，重新标出刻度，发现杆秤的称量范围 （选填“变大”、“变小”或“不变”）。
例3.如图所示，杠杆AB放在钢制圆柱体的正中央水平凹槽CD中，杠杆AB能以凹槽两端的C点或D点为支点在竖直平面内转动，长度AC＝CD＝DB，左端重物G＝12N。当作用在B点竖直向下的拉力F足够大时，杠杆容易绕 （选填“C”或“D”）点翻转，为使杠杆AB保持水平位置平衡，拉力的最小值F1＝ N，最大值F2＝ N。（杠杆、细绳的质量及摩擦均忽略不计）
例4.如图所示，高0.8m、重1100N的均匀圆柱形木柱M，截面半径为0.3m，将它竖直放在水平地面上时，木柱对地面的压力与地面对它的支持力是一对 力；若要使木柱的a点离开地面，至少需要 N的力。
变式训练1.如图所示，想用最小的力将重为G＝500N，半径为r＝0.5m的轮子滚上高为h＝20cm的台阶。这个最小力F＝ N，并且至少需要做 J的功，才能将轮子滚上台阶。
变式训练2.研学实践活动时，小明在农家乐看到一种农具（如图甲），他查阅资料后知道，这种农具叫“舂”，农民捣谷用的，其工作原理图如图乙，AOB为碓杆，O为支点，A处连接着碓头，脚踏碓杆的B处可使碓头升高，抬起脚，碓头会落下去击打稻谷，若碓头的重力为40N，每踩一次碓头上升的高度为60cm，AO长1.6m，OB长0.4m。
（1）不计碓杆的重力和摩擦，脚至少用多大的力才可以将碓头抬起？
（2）每踩一次对碓头做的功是多少？
（3）若1min将B踩下30次，舂的机械效率为60%，则人做功的功率是多大？
变式训练3.骨路、肌肉和关节构成了人体的运动系统，最基本的运动都是肌肉牵引骨胳绕关节转动产生的，其模型就是杠杆。如图所示是踮脚时的示意图，人体的重力为阻力，小腿肌肉施加的拉力为动力。重600N的小明在1min内完成30个双脚同时踮起动作，每次踮脚过程中脚跟离开地面的高度是8cm。求：
（1）小腿肌肉对每只脚的拉力；
（2）小明踮脚过程中踮脚一次所做的功至少多大，功率为多大。
变式训练4.如图所示是一款轻质悬挂式晾衣杆，OA为晾衣杆，AB为悬线，已知悬线能承受的最大拉力为20N，在悬线拉力F1作用下，晾衣杆保持水平平衡。已知OA＝1m，OC＝0.5m，在C点悬挂衣物的质量为2kg。求：
（1）悬挂衣物的挂钩对杠杆的作用力FC。
（2）悬线拉力F1的大小。
变式训练5.小华利用质量为7.9kg的正方体铁块，自制了如图的健身器材来锻炼身体。小华用细绳系在轻杆（轻杆重力不计）的O点，将轻杆水平悬挂起来。在轻杆A端悬挂铁块，然后在B端施加竖直向下的拉力。已知AO长1.5m，OB长0.5m，铁的密度，g取10N/kg，不计连接处的摩擦。求：
（1）若把铁块从地面提起，小华至少要施加多大的拉力？
（2）若轻杆A端对铁块拉力为零，则此时铁块对地面的压强多大？
变式训练6.如图所示为一拉杆旅行箱的示意图将其视为杠杆，O为支点，B为重心，BC为竖直方向，A为拉杆端点已知箱重为250N，OA为120cm，OC为24cm。
（1）图中在A点沿图示方向施加动力F，箱子静止则动力F的大小为多少N。
（2）使拉杆箱在图示位置静止的最小动力为多少N。
题型三.杠杆的动态分析
例1.如图所示的杠杆，正处于水平平衡，若将杠杆左边的钩码向右移动一段距离L，为使杠杆恢复平衡，应将右边钩码（　　）
A．向右移动L B．向左移动L
C．向右移动大于L的距离 D．向左移动大于L的距离
例2.一均匀木板AB，B端固定在墙壁的转轴上，木板可在竖直面内转动，木板下垫有长方形木块C，恰好使木块水平放置，如图所示。现有水平力F由A向B缓慢匀速推动，在推动过程中，推力F将（　　）
A．大小不变 B．逐渐增大
C．逐渐减小 D．先增加后减小
例3.如图所示是古代护城河上的一座吊桥。设吊桥的重力对转轴O的力臂为L1，绳子拉吊桥的力为F，拉力F对转轴O的力臂为L2。如果绳重、摩擦及风的阻力不计。那么在守桥士兵将吊桥由水平位置缓慢拉至图中虚线竖直位置的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．L1不变，L2增大，F减小
B．L1减小，L2增大，F减小
C．L1减小，L2不变，F不变
D．L1增大、L2减小、F增大
例4.如图所示，O为轻质硬直杠杆OA的支点，在杠杆的A点悬挂着一个重物G，在B点施加一个方向始终与杠杆成a角度的动力F，使杠杆从竖直位置匀速转动到水平位置的过程中，下列表述正确的是（　　）
A．动力F始终在变大 B．动力F先变大再变小
C．杠杆始终为省力杠杆 D．杠杆始终为费力杠杆
例5.等臂杠杆两端各悬挂一质量相等的实心铜球和铁球，杠杆保持平衡，如图所示，若将两球同时浸入水中，杠杆将（　　）
A．铜球上升 B．铁球上升 C．仍平衡 D．无法确定
变式训练1.如图所示，一根质地均匀的木杆可绕O点自由转动，在木杆的右端施加一个始终垂直于杆的作用力F，使杆从OA位置匀速转到OB位置的过程中，力F的大小将（　　）
A．一直是变大的 B．一直是变小的
C．先变大，后变小 D．先变小，后变大
变式训练2.为解决停车难的问题，设计了图甲所示的“路边空中绿化存车亭”，其工作原理如图乙，电动机通过钢丝绳FG牵引OF杆绕O点转动，F端悬挂存车架E。E从水平地面缓慢上升到乙图所示位置（此时FG⊥OF）的过程中，钢丝绳对F点的拉力（　　）
A．逐渐变小 B．逐渐变大
C．保持不变 D．先变大后变小
变式训练3.如图所示，轻质杠杆一端固定在墙上O点，另一端悬挂重为80N的物体，在水平拉力F1的作用下，杠杆在a位置保持静止状态，F1的力臂为L1；保持拉力风向不变，杠杆从a位置旋转到b位置再次静止，水平拉力为F2，F2的力臂为L2。下列分析正确的是（　　）
A．L1＜L2
B．F1＜F2
C．当θ＝45°时，拉力F大小为40N
D．在b位置静止，将物体向左移，拉力F不变
变式训练4.如图轻杆（不计杠杆重力），O为支点，物重为30N，OA：AB＝1：2，在竖直向上的拉力作用下始终保持平衡状态。下列说法，正确的是（　　）
A．图甲位置，仅增加物重，则拉力变化量与物重变化量之比为3：1
B．图甲位置时，拉力大小为15N
C．该杠杆与镊子类型相同
D．如图乙保持拉力方向不变，将轻杆匀速提到虚线位置，拉力不变
变式训练5.如图所示，甲、乙两个物体的体积相等，甲的质量是乙质量的2倍，现杠杆处于水平平衡状态。若将甲、乙二物体同时浸没在水中，则杠杆将（　　）
A．左端下沉 B．右端下沉
C．仍然保持水平状态 D．无法确定
变式训练5.如图，轻质杠杆两端分别悬挂着同种材料制成的大小不同的两个实心金属球a、b，此时杠杆处于平衡状态；为继续保持杠杆平衡，下列措施中可行的是（　　）
A．同时将两个金属球浸没在水中
B．左边浸没在水中，右边浸没在酒精中
C．左边浸没在酒精中，右边浸没在水中
D．将支点适当向右移动后，都浸没在水中
题型四.杠杆综合计算（难）
例1.如图所示，一根轻质杠杆可以绕O点转动，AO：BO＝3：2。A点处用细线挂着一个重50N的圆柱体甲，细线在B点悬挂一个重9N，边长为10cm的正方体乙，此时杠杆在水平位置平衡。乙下方放置一个底面积为200cm2的圆柱形容器（足够高），容器内装有足够多的水，乙的下表面刚好和水面接触，下列说法正确的是（　　）
A．此时甲对地面的压力为40N
B．若将乙的悬挂点右移，则甲对地面的压强变大
C．若剪断细线，乙物体静止时水对容器底部的压强增加500Pa
D．若剪断细线，乙物体静止时其下表面到容器底的距离减小4.5cm
例2.如图所示，容器足够高，轻质杠杆在水平位置平衡，杠杆的C点悬挂有重为20N、边长为10cm正方体A，物体A刚好有露出水面，D点悬挂物体B，杠杆支点为O，OC：OD＝1：2下列说法正确的是（　　）
A．物体A所受浮力为6N
B．物体B所受的重力为10N
C．若切掉物体A浸入水中部分，向左移动D点，杠杆能保持平衡
D．若剪断物体A上方的细线，待A静止时，水对容器底的压力将变大4N
变式训练1.如图所示，AOB为轻质杠杆，O为支点。正方体C的边长为20cm，密度，正方体D的边长为10cm，A、B两点与正方体C、D均用轻质细杆连接。初始时刻杠杆在水平位置平衡，D静止于水面上方某点，此时C对水平地面的压强为p＝1×103Pa，若将正方体D浸没在水中（未接触到容器底），杠杆仍在水平位置平衡时，C对水平地面的压强增大了1000Pa，则下列说法正确的是（　　）
A．AO：OB＝1：5
B．物体C的质量为200kg
C．物体D的重力为50N
D．D浸入水中前，要使C对地面的压强为零，应对物体D施加一个10N竖直向下的力
变式训练2.现有一根形变不计、长为L的铁条AB和两根横截面积相同、长度分别为La、Lb的铝条a、b，将铝条a叠在铁条AB上，并使它们的右端对齐，然后把它们放置在三角形支架O上，AB水平平衡，此时OB的距离恰好为La，如图所示。取下铝条a后，将铝条b按上述操作方法使铁条AB再次水平平衡，此时OB的距离为Lx．下列判断正确的是（　　）
A．若La＜Lb＜L，则La＜Lx＜成立
B．若La＜Lb＜L，则Lx＞成立
C．若Lb＜La，＜Lx＜La成立
D．若Lb＜La，则Lx＜成立
变式训练3.如图所示是物理科技小组设计的锻炼力量的简易健身器材，重力不计的轻质杠杆AB可绕固定点O无摩擦转动，OA长0.6m。现用不可伸长的轻绳将底面积为100cm2的长方体M挂在杠杆的B端，当在A点施加竖直向下的拉力F为360N时，杠杆B端所受绳子的拉力为180N，此时杠杆处于水平平衡状态，且M对地面的压强为7000Pa。求：
（1）OB长为多少m；
（2）物体M的质量为多少kg；
（3）物理科技小组的同学保持F的大小不变，将F的作用点从A点向O点移动30cm，同时将M沿竖直方向切去，则切之后M稳定时对地面的压强为多少Pa？
变式训练4.如图所示，轻质杠杆AB可绕O点转动，OA与OB的长度之比为OA：OB＝4：3，在A、B两端分别挂有边长为10cm，质量为2.5kg的完全相同的两个不吸水正方体C、D，当物体C浸入水中且露出水面的高度为2cm时，杠杆恰好水平静止，A、B两端的绳子均不可伸长且均处于张紧状态。（水的密度为1.0×103kg/m3，g取10N/kg）。求：
（1）物体C密度；
（2）杠杆A端受到绳子的拉力；
（3）如果加水使物体C浸没后物体D对地面的压强。
变式训练5.如图所示，将质量为50kg底面积为100cm2的匀质圆柱体甲放在水平地面上，轻绳的一端系于圆柱体甲上表面的中央，另一端拉着杠杆的A点。当把质量为27kg、底面积为100cm2的实心圆柱体乙悬挂在杠杆的B端并浸没在盛水的圆柱形容器M中，杠杆恰好在水平位置平衡，甲物体对地面的压力为0。已知圆柱形容器M的底面积为200cm2，容器中的水深h＝30cm，物体乙的上表面与水面相平，AO＝15cm，OB＝30cm，AC＝5cm；不计杠杆的质量，求：
（1）水对容器底部的压强；
（2）物体乙受到的浮力；
（3）物体乙的高度；
（4）保持杠杆右边细线的悬挂点B不动，将杠杆左边细线悬挂点从A移动到C后，打开出水口的阀门，容器M中的水以100cm3/s 的速度匀速流出，则10s后甲对地面的压强是多少？
变式训练6.巴蜀中学初2020届同学设计了一款如图甲所示的力学装置，杠杆OAB始终在水平位置保持平衡，O为杠杆的支点，OB＝3OA，竖直细杆a的上端通过力传感器连在天花板上，下端连在杠杆的A点，竖直细杆b的两端分别与杠杆和物体M固定，水箱的质量为0.8kg，不计杠杆、细杆及连接处的重力。当图甲所示的水箱中装满水时，水的质量为3kg。力传感器可以显示出细杆a的上端受到作用力的大小，图乙是力传感器的示数大小随水箱中水的质量变化的图象：
（1）图甲所示的水箱装满水时，水受到的重力为多少N；
（2）物体M的密度为kg/m3；
（3）当向水箱中加入质量为1kg的水时，力传感器的示数大小为F；继续向水箱中加水，则当力传感器的示数大小变为4F时，水箱对桌面的压力为多少N？
三.课后作业
1.有一质量分布不均匀的木条，质量为2.4kg，长度为AB，C为木条上的点，AC＝AB．现将两台完全相同的托盘天平甲、乙放在水平地面上，再将此木条支放在两秤上，B端支放在乙秤上，C点支放在甲秤上，此时甲秤的示数是0.8kg，如图所示。则欲使乙秤的示数变为0，应将甲秤向右移动的距离是（支放木条的支架重不计）（　　）
A．AB B．AB C．AB D．AB
2.如图所示，轻质杠杆两端悬挂同种材料制成的大小不同的金属球时，杠杆平衡。若把它们同时浸入水中杠杆仍然平衡，则（　　）
A．两球都是实心的
B．大球实心，小球空心
C．大球空心，小球实心
D．两球都空心，且空心部分体积相同
3.如图所示，小王站在水平地面上，将长为0.6米，质量可忽略不计的木棒搁在肩上，支点O距离后端A处为0.2米，A处挂一个重40N的物体，他用手竖直压住前端B处使木棒保持水平平衡。若小王的质量为50kg，双脚与地面的总接触面积约为400cm2，下列说法正确的是（　　）
A．手对木棒的压力大小为40N
B．肩对木棒的支持力大小为80N
C．地面对人的支持力大小为560N
D．人对地面的压强大小约为1.35×104Pa
4.俯卧撑是一项常见的健身项目，如图是运动员在水平地面上做俯卧撑保持静止时的情景，她的身体与地面平行，地面对脚的力作用在O点，对手的力作用在B点，身体的重心在A点。已知运动员的体重为600N，地面对手的力F1与身体垂直，则F1的大小为（　　）
A．200N B．450N C．600N D．1800N
5.如图，在学校科技节活动中，质量为M的小华骑着一辆质量为m的独轮车，以速度v从A点匀速通过一重为G的水平独木桥，独木桥的两端由两根竖直支柱支撑着。图中能表示B端支柱所受压力F与时间t的关系是（　　）
A． B． C． D．
6.小红和小华用一只弹簧测力计，一根长度为1m、质量为2kg，粗细均匀、质量均匀分布的圆柱形螺纹钢AB，一只金属筐，制成了如图所示的机械装置，制作时，她将金属框系于螺纹钢的B端，当悬挂螺纹钢的钢索在螺纹钢上的悬吊点移到O点时，螺纹钢在水平位置平衡，测得OB＝4cm，则金属筐的质量为 kg，称重时将重物放入金属框，用测力计竖直向下拉住螺纹钢的A端，使之再次在水平位置平衡。此时弹簧测力计示数为20N，则重物的质量是 kg。（g取10N/kg）
7.建设中的常泰大桥为斜拉索公路、铁路两用大桥，如图为小华制作的斜拉索大桥模型，她用长30cm，重5N的质地均匀分布的木条OA做桥面，立柱GH做桥塔，OA可绕O点转动，A端用细线与GH上的B点相连，桥面OA实质是一种 （填简单机械名称），保持桥面水平，细线对OA的拉力F＝ N；将细线一端的固定点由B点改至C点，拉力F将 ，（选填“变大、变小或不变”）由此小华初步了解到大桥建造很高桥塔的好处。
8.杆秤是我国古老且至今仍在使用的一种衡量工具，如图的杆秤可视为杠杆，提纽处为支点O，若不计杆和秤盘自重，当在秤盘处放置被称物体后处于平衡状态，已知AO＝2cm，OB＝20cm，秤砣的重力为10N。求：
（1）秤砣的质量；
（2）被称物体的重力；
（3）若这杆秤所称量物体的最大重力为200N，求这杆秤OC至少多长。
9.停车场入口处常用横杆来控制车辆的进出，如图甲所示。我们可以把该装置简化成如图乙所示的杠杆，若横杆AB粗细相同，质量分布均匀，重60N，AB＝3.0m，A0＝0.3m。
（1）要使横杆AB保持水平平衡，则在A端施加最小动力大小是多少？
（2）在实际使用时横杆靠电机带动，车辆出入时，可以在6秒内将横杆竖起，若设备的效率为80%，则电机对横杆做功的功率为多少？
10.如图甲是《天工开物》里记载的一种捣谷的舂（读作chōng），可将舂看作是一杠杆。若碓（读作duì）头质量为20kg，不计横木的重力和转动摩擦，捣谷人双手与扶手之间的作用力为零（g取10N/kg）。求：
（1）碓头的重力；
（2）碓头竖直下落0.5m，重力对它做的功；
（3）质量为72kg的捣谷人，左脚与地面的接触面积为200cm2，当他用右脚在B点用力F踩横木使其刚好转动，如图乙所示，已知OA：OB＝3：2，求捣谷人左脚对地面的压强。
11.如图所示，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，且物体A悬挂在C端，静止在水平地面上的正方体B悬挂在D端，此时杠杆在水平位置平衡。已知：GA＝35N，GB＝100N，OC＝2OD，正方体B的边长为0.1m。杠杆、悬线的质量不计。
求：（1）杠杆D端受到悬线的拉力。
（2）正方体B对地面的压强。
12.汽车起重机在吊起重物时，必须要综合考虑重物所受的重力、吊臂的长度及仰角等因素，以确定起吊设备和起吊方式，避免发生地面塌陷或吊臂断裂等生产事故，确保吊重作业的安全和高效运行。如图所示的起重机自重为3×105N，吊臂的长度可以在10m﹣30m之间变化，动力系统A允许提供的动力与动力臂的乘积（称为起重机的力矩）最大值为1.2×106N m，可以吊起距吊臂支点O水平距离3m﹣20m范围内的重物，其工作时与水平地面的总接触面积为2m2。（不计吊臂重、滑轮重和绳重）
（1）汽车起重机将重达25t的货物竖直提升10m，这个过程中起重机对货物做功是多少。
（2）该起重机在最大力矩工作时，允许吊起重物所受重力的范围。
（3）该起重机在最大力矩工作时，水平地面受到的最大压强。
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九上科学3.4第一课时简单机械之杠杆
一.知识归纳
（一）杠杆
1. 杠杆：如果一根硬棒在力的作用下能够绕着固定点转动，这一根硬棒就叫做杠杆。
2. 杠杆五要素：支点（O）、动力（F1）、阻力（F2）、动力臂（L1）、阻力臂（L2）
①支点：硬棒绕着转动的固定点。
②力的作用线：力所在的直线。
③力臂：支点到力的作用线的距离。
跷跷板 用硬棒撬动石头
（二）杠杆平衡
杠杆平衡：若杠杆处于静止或匀速转动状态，我们就称杠杆处于平衡状态；即杠杆平衡
杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂 F1L1=F2L2
（三）杠杆的分类
力臂关系 力的大小关系 杠杆类型 工作特点 实例
省力杠杆 省力费距离 老虎钳、开瓶器、指甲刀
费力杠杆 费力省距离 筷子、镊子、钓鱼竿、划桨
等臂杠杆 不省力也不费距离 托盘天平
（四）最小力
1. 最小力：通过对杠杆施加一个力，让杠杆处于平衡状态，当动力臂最大时力最小。
2. 最小力解题步骤：①正确的寻找支点（O）。
②在杠杆上找到距离支点最远的点，记为A。
③连接OA，过A点作OA的垂线即为力的作用线，A为F１的作用点。
④通过判断其他力使杠杆转动方向来确认F１的方向。（保留作图痕迹）
⑤如题目有要求，需利用杠杆平衡条件进行计算。
二.课堂练习
题型一.杠杆概念及分类
1.如图甲是《天工开物》中的舂米工具图，如图是其结构示意图，请在图乙中画出舂米工具脚踏板上的动力F1的力臂L1及A点所受阻力F2的示意图。
【分析】（1）力臂的画法：①首先根据杠杆的示意图，确定杠杆的支点；②确定力的作用点和力的方向，画出力的作用线；③从支点向力的作用线作垂线，支点到垂足的距离就是力臂；
（2）先确定阻力作用点（即A点），然后过阻力作用点表示阻力的方向（即竖直向下）。
【解答】解：从支点O向动力F1的作用线作垂线段，垂线段的长即为其力臂L1；
动力F的作用是使杠杆沿逆时针方向转动，而阻力F2的作用是阻碍其转动，所以F2的方向与F1相反，即竖直向下，作用点在A点，如图所示：
2如图所示轻质杠杆AOBC可绕O点转动，OA之间挂一重物，请作出使杠杆平衡的最小力F1和阻力F2的示意图。
【分析】（1）根据杠杆平衡条件，在阻力和阻力臂一定时，动力臂越长越省力，当动力臂最长时动力最小。
（2）阻力F2是重物对杠杆的拉力，作用点在杠杆上，方向竖直向下。
【解答】解：根据杠杆平衡的条件可知，力臂越长越省力，由图知OA作为动力臂最长，所以过A点作OA的垂线，方向垂直OA向上；
阻力F2是重物对杠杆的拉力，作用点在杠杆上，过阻力的作用点沿竖直向下的方向画出阻力F2的示意图。如图所示：
3.在劳动实践活动中，李雷同学用锄头除草，如图甲所示，向上挥动锄头时锄头可简化为图乙所示的模型（O点为支点），请你在图乙中画出F2的力臂l2。
【分析】画杠杆的力臂：①找支点O、力作用线；②从支点作到力作用线的垂线，画上直角符号且用虚线表示垂线；③用大括号括住垂线段，标上力臂符号。
【解答】画F2的力臂l2步骤：①支点O，用虚线反向延长力F2的作用线；②用虚线从支点O作到力F2作用线的垂线，画上直角符号；③用大括号括住垂线段，标上力臂l2的符号；
画出F2的力臂l2，如图所示：
4.如图，请画出提起物体A的最小力F的示意图及其力臂l。
【分析】根据杠杆平衡的条件，在杠杆中的阻力、阻力臂一定的情况下，要使所用的动力最小，必须使动力臂最长。
【解答】解：连接OA就是最长的动力臂，根据杠杆平衡的条件，要使杠杆平衡动力方向向上，据此可画出最小的动力；如图所示：
5.如图所示，在杠杆AOB的A端挂一重物G，要使杠杆在如图所示的位置平衡，请画出在杠杆上施加的最小动力F1与力臂L1及阻力F2的示意图。
【分析】（1）根据杠杆平衡的条件可知，在杠杆中的阻力、阻力臂一定的情况下，要使所用的动力最小，必须使动力臂最长。而在通常情况下，连接杠杆中支点和动力作用点这两点所得到的线段最长；
（2）重物对杠杆的拉力即为阻力，方向竖直向下。
【解答】解：杠杆在图示位置平衡，阻力G与阻力臂OA一定，由杠杆平衡条件可知，在阻力与阻力臂一定时，动力臂越大，动力越小，由图示可知，OB为最大动力臂，此时动力最小，过B点作垂直于OB向下的动力F1即可；
重物对杠杆的拉力即为阻力，过A点作竖直向下的力即为阻力F2，如图所示：
。
6.如图所示，OAB为一可绕O点自由转动的轻质杠杆，OA垂直于AB，在OA中点C处挂一质量为1kg的物块，要求在端点B处施加一个最小的力F，使杠杆在图示位置平衡，请画出这个最小的力及它的力臂。
【分析】根据杠杆的平衡条件可知，在阻力、阻力臂一定时，动力臂越大，动力越小，根据杠杆的平衡条件求出最小的动力的大小。
【解答】解：在B点施加一个力最小的力，则力臂应最大，阻力和阻力臂大小不变，当OB作为力臂时，动力臂是最大的，动力最小，过B点作OB斜向上的最小动力，如下所示：
。
7.如图，O是轻杠杆OA的支点，A为动力作用点。请在图中画出动力的力臂L1及阻力F2的示意图。
【分析】过阻力作用点表示阻力的方向（即竖直向下），得出阻力示意图；由支点向动力作用线作垂线，标出L1。
【解答】解：阻力F2作用点在点B，方向竖直向下；定滑轮改变力的方向，所以动力作用点为A点，动力臂为支点O到动力F作用线的距离，标出L1，如图所示：
8.2023年5月7日上午，临沂市第十三届全民健身运动会开幕式暨第七届万人健步行活动在五洲湖广场正式开启，人们打着旗子、喊着口号在整洁的城市道路上阔步向前，感受临沂的蝶变。”下列生活用具，与旗杆属于同一类杠杆的是（　　）
A．剪子 B．起子
C．钳子 D．镊子
【分析】结合图片和生活经验，判断各个工具在使用过程中，动力臂和阻力臂的大小关系，再判断它是属于哪种类型的杠杆
【解答】解：活动现场打的旗子是费力但是省距离的费力杠杆，剪子，起子，钳子都是省力杠杆，镊子是费力杠杆。故ABC不符合题意，D符合题意。
故选：D。
题型二.杠杆计算
例1.如图所示，某同学在做俯卧撑运动，可将他视为一个杠杆。他的中心在A点，重力为500N。
（1）该同学将身体撑起，双手对地面的压力至少为 　300　N；
（2）若每个手掌与地面的接触面积约为2.0×10﹣3m2，则双手对地面的压强为 　7.5×104　Pa；
（3）若该同学在1min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4m，则她的功率至少为 　60　W。
【分析】（1）根据杠杆的平衡条件F1l1＝F2l2代入题目中的力和力臂可得Gl1＝F支l2；然后可求支持力，再根据相互作用力的知识可求压力；
（2）根据压强公式计算双手对地面的压强；
（3）根据W＝Fs计算支持力做功，再根据功率的公式可求功率。
【解答】解：（1）由杠杆的平衡条件F1l1＝F2l2得Gl1＝F支l2，代入数据可得500N×0.9m＝F支×（0.9m+0.6m），解方程可得F支＝300N；
由于力的作用是相互的，故双手对地面的压力等于支持力，即F压＝F支＝300N；
（2）每个手掌与地面的接触面积约为2.0×10﹣3m2，则双手对地面的压强为p＝＝＝7.5×104Pa；
（3）每次肩部上升的距离为0.4m，支持力做功为：W＝F支s＝300N×0.4m＝120J，
在1min内做的功为：W总＝30W＝30×120J＝3600J，
功率为：P＝＝＝60W；
故答案为：（1）300；（2）7.5×104；（3）60。
例2.杆秤是运用不等臂杠杆的特点制作的，是测量物体质量的工具。如图所示，若秤砣质量为0.75kg，OB是OA的4倍，该秤最多能称量 　3000　g的物体（不计秤杆、秤钩的质量），若杆秤的秤砣磨掉一些，则秤得物体的质量比物体真实质量 　偏大　（选填“偏大”、“偏小”或“不变”）。若提纽向A端移动一小段距离，重新标出刻度，发现杆秤的称量范围 　变大　（选填“变大”、“变小”或“不变”）。
【分析】（1）杆秤利用的是杠杆的平衡条件，通过力臂的大小关系得出物体重和秤砣重之间的关系，进而得出物体的质量与秤砣的质量之间的关系，测量的是物体的质量；
（2）若秤砣有缺损时，左边的力和力臂不变，右边的力减小，根据杠杆的平衡条件知道右边的力臂增大，即：杆秤所示的质量值要大于被测物的真实质量值。
（3）根据杠杆平衡条件结合力臂变化分析。
【解答】解：如图，杆秤是杠杆，平衡时，G1LOA＝G2LOB，
即：m1gLOA＝m2gLOB，因为OB是OA的4倍，则m1＝4m2＝4×0.75kg＝3kg＝3000g；
若杆秤的秤砣磨掉一些，m2减小，而G1LOA不变，所以LOB要变大，
杆秤所示的质量值要偏大。左侧力臂减小，右侧力臂变大，秤砣重力不变时，物体的重力变大，则杆秤的称量范围变大。
故答案为：3000；偏大；变大。
例3.如图所示，杠杆AB放在钢制圆柱体的正中央水平凹槽CD中，杠杆AB能以凹槽两端的C点或D点为支点在竖直平面内转动，长度AC＝CD＝DB，左端重物G＝12N。当作用在B点竖直向下的拉力F足够大时，杠杆容易绕 　D　（选填“C”或“D”）点翻转，为使杠杆AB保持水平位置平衡，拉力的最小值F1＝　6　N，最大值F2＝　24　N。（杠杆、细绳的质量及摩擦均忽略不计）
【分析】（1）当作用在B点竖直向下的拉力F足够大时，杠杆将以点D为支点转动；
（2）当以C点为支点时拉力最小，以D点为支点时拉力最大，根据AC＝CD＝DB分别求出动力臂与阻力臂的比值，然后利用杠杆平衡条件计算拉力的最小值和最大值。
【解答】解：（1）由图可知，D点更加靠近拉力一端，故当作用在B点竖直向下的拉力F足够大时，杠杆容易绕D点翻转；
（2）当以C点为支点时拉力最小，以D点为支点时拉力最大，
则根据杠杆平衡条件可得：
F1×BC＝G×AC，F2×BD＝G×AD，
因为AC＝CD＝DB，
所以BC：AC＝2：1，BD：AD＝1：2，
可得：F1×2＝12N×1，F2×1＝12N×2，
解得，F1＝6N，F2＝24N。
故答案为：D；6；24。
例4.如图所示，高0.8m、重1100N的均匀圆柱形木柱M，截面半径为0.3m，将它竖直放在水平地面上时，木柱对地面的压力与地面对它的支持力是一对 　相互作用　力；若要使木柱的a点离开地面，至少需要 　330　N的力。
【分析】（1）一对相互作用力的条件是：大小相等、方向相反、作用在同一直线上、作用在两个物体上；
（2）要做出杠杆中的最小动力，可以按照以下几个步骤进行：
①确定杠杆中的支点和动力作用点的位置；
②连接支点与动力作用点，得到最长的线段；
③经过动力作用点做出与该线段垂直的直线；
④根据杠杆平衡原理，确定出使杠杆平衡的动力方向。
【解答】解：（1）竖直放在水平地面上的木柱，对地面的压力与地面对它的支持力大小相等、方向相反、作用在同一直线上、作用在两个物体上，是一对相互作用力；
（2）木柱a点离开地面，要使施加的力最小，应让所施加力的力臂最大，如下图所示：
此时动力为F，阻力为G＝1100N，
动力臂L1＝＝＝＝1m，
阻力臂L2＝r＝0.3m，
由杠杆的平衡条件可得：FL1＝GL2，
则最小力F＝＝＝330N。
故答案为：相互作用；330。
变式训练1.如图所示，想用最小的力将重为G＝500N，半径为r＝0.5m的轮子滚上高为h＝20cm的台阶。这个最小力F＝　200　N，并且至少需要做 　100　J的功，才能将轮子滚上台阶。
【分析】（1）做出最长动力臂、最小力的示意图、并做出阻力臂，然后利用杠杆的平衡条件：动力×动力臂＝阻力×阻力臂计算最小动力；
（2）功等于力和距离的乘积，使用机械做的功等于直接对物体做的功，本题中是克服轮子的重力做的功。
【解答】解：（1）如图所示，做出最长动力臂、最小力的示意图、并做出阻力臂，
动力臂用L′表示，其长度等于直径，即L′＝0.5m×2＝1m；
阻力臂用L表示，即为OB长度，A为圆环圆心，线段AB长度等于圆半径和台阶高度之差，
即AB＝0.5m﹣0.2m＝0.3m，
ΔOAB为直角三角形，根据勾股定理得：
L＝OB＝＝＝0.4m，
由杠杆平衡条件可得：FL′＝GL，
则最小力F＝＝＝200N。
（2）根据功的原理，将这个轮子滚上台阶做的功，等于克服轮子重力做的功，即W＝Gh＝500N×0.2m＝100J。
故答案为：200；100。
变式训练2.研学实践活动时，小明在农家乐看到一种农具（如图甲），他查阅资料后知道，这种农具叫“舂”，农民捣谷用的，其工作原理图如图乙，AOB为碓杆，O为支点，A处连接着碓头，脚踏碓杆的B处可使碓头升高，抬起脚，碓头会落下去击打稻谷，若碓头的重力为40N，每踩一次碓头上升的高度为60cm，AO长1.6m，OB长0.4m。
（1）不计碓杆的重力和摩擦，脚至少用多大的力才可以将碓头抬起？
（2）每踩一次对碓头做的功是多少？
（3）若1min将B踩下30次，舂的机械效率为60%，则人做功的功率是多大？
【分析】（1）已知碓头的重力和OA和OB的长度，根据杠杆平衡条件F1L1＝F2L2可求得脚上的压力；
（2）根据公式W＝Fs求解做功；
（3）先求出30次对碓头做的功，根据舂的机械效率，可以求出人做的功，再根据公式P＝求人做功的功率。
【解答】解：（1）不计碓杆的重力和摩擦，当脚用力方向垂直于OB向下时，动力臂最长，根据杠杆的平衡条件知，动力最小；由杠杆平衡条件可得：F1×OB＝G×LG；
；
（2）每踩一次对碓头做的功W＝Gh＝40N×0.6m＝24J；
（3）每踩一次人做的总功
；
人做功的功率
。
答：（1）脚至少用160N的力才可以将碓头抬起；
（2）每踩一次对碓头做的功是24J；
（3）人做功的功率是20W。
变式训练3.骨路、肌肉和关节构成了人体的运动系统，最基本的运动都是肌肉牵引骨胳绕关节转动产生的，其模型就是杠杆。如图所示是踮脚时的示意图，人体的重力为阻力，小腿肌肉施加的拉力为动力。重600N的小明在1min内完成30个双脚同时踮起动作，每次踮脚过程中脚跟离开地面的高度是8cm。求：
（1）小腿肌肉对每只脚的拉力；
（2）小明踮脚过程中踮脚一次所做的功至少多大，功率为多大。
【分析】（1）由杠杆的平衡条件动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂，求出小腿对脚的拉力；
（2）踮脚一次所做的功等于小腿肌肉对脚的拉力成乙脚离开地面的高度，功率等于功除以做一次功所用的时间。
【解答】解：（1）每只脚受到的阻力为
由图知，阻力臂为l2＝8cm＝0.08m
动臂为l1＝8cm+4cm＝12cm＝0.12m
根据杠杆的平衡条件可得
F1×l1＝F2×l2
小腿肌肉对每只脚的拉力为
（2）因每次都是双脚同时踮起，则小明踮脚过程中踮脚一次所做的功为
W＝2F1h＝400N×0.08m＝32J
小明在1min内完成30个双脚同时踮起动作，则完成一个双脚同时踮起动作所用的时间为
踮脚做功的功率为
答：（1）小腿肌肉对脚的拉力为200N；
（2）小明踮脚过程中踮脚一次所做的功为32J，做功功率为16W。
变式训练4.如图所示是一款轻质悬挂式晾衣杆，OA为晾衣杆，AB为悬线，已知悬线能承受的最大拉力为20N，在悬线拉力F1作用下，晾衣杆保持水平平衡。已知OA＝1m，OC＝0.5m，在C点悬挂衣物的质量为2kg。求：
（1）悬挂衣物的挂钩对杠杆的作用力FC。
（2）悬线拉力F1的大小。
【分析】（1）根据G＝mg求出衣物的重力；悬挂衣物的挂钩对杠杆的作用力等于衣物重力的大小；
（2）力臂是指从支点到力的作用线的垂直距离。画出F1的力臂，根据直角三角形的知识得出F1力臂的大小，根据杠杆的平衡条件求出悬线拉力F1的大小。
【解答】解：（1）衣物的重力：G＝mg＝2kg×10N/kg＝20N，
悬挂衣物的挂钩对杠杆的作用力：FC＝G＝20N；
（2）力臂是指从支点到力的作用线的垂直距离。画出F1的力臂，如下图所示：
，
由直角三角形的知识可知，拉力F1的力臂：L1＝OA＝×1m＝0.5m，
杠杆水平平衡，则FC的方向与杠杆的垂直，其力臂等于OC的长（如上图所示），
即LC＝OC＝0.5m，
根据杠杆的平衡条件可得：F1×L1＝FC×LC，即：F1×0.5m＝20N×0.5m，
则：F1＝20N。
答：（1）悬挂衣物的挂钩对杠杆的作用力FC为20N；
（2）悬线拉力F1的大小为20N。
变式训练5.小华利用质量为7.9kg的正方体铁块，自制了如图的健身器材来锻炼身体。小华用细绳系在轻杆（轻杆重力不计）的O点，将轻杆水平悬挂起来。在轻杆A端悬挂铁块，然后在B端施加竖直向下的拉力。已知AO长1.5m，OB长0.5m，铁的密度，g取10N/kg，不计连接处的摩擦。求：
（1）若把铁块从地面提起，小华至少要施加多大的拉力？
（2）若轻杆A端对铁块拉力为零，则此时铁块对地面的压强多大？
【分析】（1）根据G铁＝mg求重力；根据杠杆处于平衡状态，得G铁×OA＝FB×OB，据此分析；
（2）根据物体对地面的压强p＝求结果。
【解答】解：（1）铁块的重力
G＝mg＝7.9kg×10N/kg＝79N
已知AO长1.5m，OB长0.5m，根据杠杆平衡条件可得
G×OA＝F×OB
即
79N×1.5m＝F×0.5m
解得
F＝237N
（2）铁块的体积
则正方体铁块的边长为：0.1m，底面积为S＝0.01m2，此时铁块对地面的压强
答：（1）若把铁块从地面提起，小华至少要施加237N的拉力；
（2）若轻杆A端对铁块拉力为零，则此时铁块对地面的压强为7900Pa。
变式训练6.如图所示为一拉杆旅行箱的示意图将其视为杠杆，O为支点，B为重心，BC为竖直方向，A为拉杆端点已知箱重为250N，OA为120cm，OC为24cm。
（1）图中在A点沿图示方向施加动力F，箱子静止则动力F的大小为多少N。
（2）使拉杆箱在图示位置静止的最小动力为多少N。
【分析】（1）画出F 的力臂，在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半求出力臂。然后根据杠杆平衡条件求出F大小；
（2）要求最小的力一定找到最大的力臂，最大的力臂是连接支点和作用点做力臂。根据杠杆平衡条件求出最小力。
【解答】解：（1）如图，延长F画出力的作用线AM，然后过支点作力的作用线的垂线段ON，则F的力臂就是ON，
在Rt△ANO中，∠NAO＝30°，
所以ON＝AO＝×120cm＝60cm；
B为重心，BC为竖直方向，则图中OC为阻力臂，
由杠杆平衡条件可得：F×ON＝G×OC，
即F×60cm＝250N×24cm，
解得F＝100N；
（2）F如红色方向时，动力臂最长为OA，动力最小，
。
由杠杆平衡条件可得：F'×OA＝G×OC，
即F'×120cm＝250N×24cm，
解得F'＝50N。
故答案为：（1）图中在A点沿图示方向施加动力F，箱子静止则动力F的大小为100N；
（2）使拉杆箱在图示位置静止的最小动力为50N。
题型三.杠杆的动态分析
例1.如图所示的杠杆，正处于水平平衡，若将杠杆左边的钩码向右移动一段距离L，为使杠杆恢复平衡，应将右边钩码（　　）
A．向右移动L
B．向左移动L
C．向右移动大于L的距离
D．向左移动大于L的距离
【分析】根据杠杆平衡条件，使杠杆两边的力和力臂的乘积相等，比较出移动距离的大小。
【解答】解：设一个钩码的重为G，左边钩码到支点的距离为2l，
因为杠杆正处于水平平衡，
所以由杠杆平衡条件可得3G×2l＝2G×l右，
解得l右＝3l，即右边钩码到支点的距离为3l；
若将杠杆左边的钩码向右移动一段距离L，则杠杆的左边＝3G×（2l﹣L）；
因为左边钩码向右移动，所以右边的钩码应该向左移动才能平衡，
设右边移动的距离为L′，则杠杆的右边＝2G×（3l﹣L′）；
为使杠杆恢复平衡，即3G×（2l﹣L）＝2G×（3l﹣L′），
解得L′＝L，即向左移动大于L的距离，故D正确。
故选：D。
例2.一均匀木板AB，B端固定在墙壁的转轴上，木板可在竖直面内转动，木板下垫有长方形木块C，恰好使木块水平放置，如图所示。现有水平力F由A向B缓慢匀速推动，在推动过程中，推力F将（　　）
A．大小不变 B．逐渐增大
C．逐渐减小 D．先增加后减小
【分析】以杆为研究对象，杆受重力G和C对它的支持力F支，由杠杆平衡条件知F支 L支＝G LG．在C逐渐向右推移的过程中，根据支持力对轴B的力臂l逐渐减小，可知F支的变化。由此可知，C和木板间、C和地面间的摩擦力逐渐增大，然后再由平衡条件知，水平推力F的变化。
【解答】解：
以杆为研究对象，杆受重力G和C对它的支持力F支，两力臂如图所示：
根据杠杆平衡条件可得：F支 L支＝G LG，
水平力F由A向B缓慢匀速推动木块，F支的力臂在减小，重力G及其力臂LG均不变，
所以根据杠杆平衡条件可知，在整个过程中支持力在逐渐增大；
由于支持力逐渐变大，且力的作用是相互的，所以可知杆对物体C的压力也逐渐变大，
根据影响摩擦力大小的因素可知，C和木板间、C和地面间的摩擦力逐渐增大，由力的平衡条件知，水平推力F也逐渐增大，故B正确。
故选：B。
例3.如图所示是古代护城河上的一座吊桥。设吊桥的重力对转轴O的力臂为L1，绳子拉吊桥的力为F，拉力F对转轴O的力臂为L2。如果绳重、摩擦及风的阻力不计。那么在守桥士兵将吊桥由水平位置缓慢拉至图中虚线竖直位置的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．L1不变，L2增大，F减小
B．L1减小，L2增大，F减小
C．L1减小，L2不变，F不变
D．L1增大、L2减小、F增大
【分析】解答本题需根据杠杆平衡条件，重点是要分析吊桥在被缓慢拉起的过程中，动力臂和阻力臂的变化情况，根据动力臂和阻力臂变化情况就可以判断出拉力的变化情况了。
【解答】解：如图所示：绳子对吊桥的拉力F是杠杆的动力，吊桥的重力G是杠杆的阻力；
支点到拉力作用线的距离（垂直线段）是动力臂L2，支点到重力作用线的距离是阻力臂L1。
吊桥在缓慢拉起的过程中，动力臂L2是在逐渐增大（在拉到绳子与吊桥垂直之前），阻力臂L1是在逐渐减小。
根据杠杆平衡条件得FL2＝GL1，因为重力G不变，L2增大，L1减小，所以F减小。
故选：B。
例4.如图所示，O为轻质硬直杠杆OA的支点，在杠杆的A点悬挂着一个重物G，在B点施加一个方向始终与杠杆成a角度的动力F，使杠杆从竖直位置匀速转动到水平位置的过程中，下列表述正确的是（　　）
A．动力F始终在变大 B．动力F先变大再变小
C．杠杆始终为省力杠杆 D．杠杆始终为费力杠杆
【分析】作出动力的力臂OC，根据杠杆的平衡条件分析。
【解答】解：杠杆的支点为O，作出动力的力臂OC，如下图1所示：轻质硬直杠杆不计其重力，故阻力为G；在B点施加一个方向始终与杠杆成a角度的动力F，故动力臂OC＝cosα×OB，保持不变，在杆从竖直位置匀速转动到水平位置的过程中，阻力臂l2变化为范围为0﹣OA，如图2、3所示：
根据杠杆的平衡条件Fl1＝Gl2，即F×OC＝Gl2，
动力F＝，
因动力臂OC不变，阻力臂在逐渐变大，动力F始终在变大，A正确，B错误；
因阻力臂l2变化为范围为0﹣OA，当动力臂OC大于阻力臂时，为省力杠杆；
当动力臂OC小于阻力臂时，为费力杠杆；故CD错误。
故选：A。
例5.等臂杠杆两端各悬挂一质量相等的实心铜球和铁球，杠杆保持平衡，如图所示，若将两球同时浸入水中，杠杆将（　　）
A．铜球上升 B．铁球上升 C．仍平衡 D．无法确定
【分析】原来杠杆处于平衡状态，两端的力相等、力臂相等，两边的力和力臂的乘积相等；
把两端的铜球和铁球同时浸没水中，先由密度公式比较二者的体积大小，得出二者受到水的浮力关系，进而得出杠杆两端受到拉力的大小关系，判断杠杆的变化。
【解答】解：原来质量相等的实心铜球和铁球分别挂在等臂杠杆的两端，杠杆平衡；
因为铜的密度大于铁的密度，所以铜球的体积小于铁球的体积，根据阿基米德原理可知在水中铜球受浮力小于铁球受浮力，则铜球端对杠杆的拉力要大于铁球的拉力，又因为是等臂杠杆，所以杠杆铁球那端上升。
故选：B。
变式训练1.如图所示，一根质地均匀的木杆可绕O点自由转动，在木杆的右端施加一个始终垂直于杆的作用力F，使杆从OA位置匀速转到OB位置的过程中，力F的大小将（　　）
A．一直是变大的 B．一直是变小的
C．先变大，后变小 D．先变小，后变大
【分析】从支点向力的作用线作垂线，垂线段的长度即力臂。根据杠杆平衡条件F1L1＝F2L2分析，力F作用在杠杆一端且始终与杠杆垂直，即动力臂不变，然后分析阻力与阻力臂的关系，并得出正确结果。
【解答】解：根据杠杆平衡条件F1L1＝F2L2分析，将杠杆缓慢地由最初位置拉到水平位置时，动力臂不变，阻力为杠杆的重力，也不变，阻力力臂变大，所以动力变大。
当杠杆从水平位置拉到最终位置时，动力臂不变，阻力不变，阻力臂变小，所以动力变小。
故F先变大，后变小。
故选：C。
变式训练2.为解决停车难的问题，设计了图甲所示的“路边空中绿化存车亭”，其工作原理如图乙，电动机通过钢丝绳FG牵引OF杆绕O点转动，F端悬挂存车架E。E从水平地面缓慢上升到乙图所示位置（此时FG⊥OF）的过程中，钢丝绳对F点的拉力（　　）
A．逐渐变小 B．逐渐变大
C．保持不变 D．先变大后变小
【分析】OF杆在提升过程，车对杆子的拉力力臂越来越小，而GF拉力的力臂逐渐增大，当拉力垂直于杆子时，拉力的力臂最大，据此分析。
【解答】解：E从水平地面缓慢上升到乙图所示位置，箱子向下的拉力大小不变，但支点到阻力的作用线的距离，即阻力臂减小，通时GF越来越靠近垂直的位置，而拉力垂直于杆子时，拉力的力臂最大，说明动力臂变大，根据杠杆平衡条件F1L1＝F2L2 知，动力逐渐减小。
故选：A。
变式训练3.如图所示，轻质杠杆一端固定在墙上O点，另一端悬挂重为80N的物体，在水平拉力F1的作用下，杠杆在a位置保持静止状态，F1的力臂为L1；保持拉力风向不变，杠杆从a位置旋转到b位置再次静止，水平拉力为F2，F2的力臂为L2。下列分析正确的是（　　）
A．L1＜L2
B．F1＜F2
C．当θ＝45°时，拉力F大小为40N
D．在b位置静止，将物体向左移，拉力F不变
【分析】（1）根据图中比较两次动力臂的大小；
（2）根据杠杆平衡条件分析；
（3）当θ＝45°时，动力臂等于阻力臂，据此解答；
（4）在b位置静止，将物体向左移，分析阻力臂变化，得出动力的变化。
【解答】解：A、根据力臂是从支点到动力作用线的距离知，动力臂是从O竖直向上的线段，故第一次动力臂大，L1＞L2，故A错误；
B、下移过程中，动力臂减小，阻力保持不变，而阻力臂变大，故动力变大，则第二次的动力大，故B正确；
C、当θ＝45°时，动力臂等于阻力臂，根据杠杆平衡条件知，动力等于阻力为80N，故C错误；
D、在b位置静止，将物体向左移，动力臂不变，阻力臂变小，阻力不变，故动力减小，拉力F减小，故D错误。
故选：B。
变式训练4.如图轻杆（不计杠杆重力），O为支点，物重为30N，OA：AB＝1：2，在竖直向上的拉力作用下始终保持平衡状态。下列说法，正确的是（　　）
A．图甲位置，仅增加物重，则拉力变化量与物重变化量之比为3：1
B．图甲位置时，拉力大小为15N
C．该杠杆与镊子类型相同
D．如图乙保持拉力方向不变，将轻杆匀速提到虚线位置，拉力不变
【分析】（1）利用杠杆平衡的条件表示出拉力变化量与物重变化量的关系，从而进行判断；
（2）根据杠杆平衡条件可求出拉力的大小；
（3）先判断图中杠杆在使用过程中，动力臂和阻力臂的大小关系，再判断它是属于哪种类型的杠杆；而镊子使用时，动力臂小于阻力臂，是费力杠杆；
（4）如图乙保持拉力方向不变，将轻杆匀速提到虚线位置，画出动力和阻力的作用线，找出动力臂的阻力臂，利用三角形的相似关系，确定动力臂和阻力臂的关系，再利用杠杆平衡条件分析拉力F的大小变化情况。
【解答】解：
A、图甲位置时，原来杠杆平衡，则有F×OB＝G×OA﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①，
若仅增加物重，杠杆再次平衡时，有（F+ΔF）×OB＝（G+ΔG）×OA﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②，
②﹣①可得：ΔF×OB＝ΔG×OA，
所以，＝＝，即拉力的变化量与物重的变化量之比为1：3，故A错误；
B、已知物重为30N，图甲位置时，OA：AB＝1：2，且动力臂为OB，阻力臂为OA；
由杠杆平衡条件可得：F×OB＝G×OA，
则拉力：F＝＝＝10N，故B错误；
C、根据图甲可知，动力臂大于阻力臂，因此该杠杆为省力杠杆；而镊子使用时，动力臂小于阻力臂，是费力杠杆，因此它们的类型不同，故C错误；
D、如图乙，保持拉力方向不变，将轻杆匀速提到虚线位置，其力臂如图所示：
OB′为动力臂，OA′为阻力臂，阻力不变为G，
因为ΔOA′A∽ΔOB′B，所以OA′：OB′＝OA：OB＝1：3，
由杠杆平衡条件可得F′×OB′＝G×OA′，
则F′＝＝＝10N；
由此可知保持拉力方向不变，将轻杆匀速提到虚线位置，拉力大小不变，故D正确。
故选：D。
变式训练5.如图所示，甲、乙两个物体的体积相等，甲的质量是乙质量的2倍，现杠杆处于水平平衡状态。若将甲、乙二物体同时浸没在水中，则杠杆将（　　）
A．左端下沉 B．右端下沉
C．仍然保持水平状态 D．无法确定
【分析】（1）知道甲、乙两物体质量关系可得重力关系，根据杠杆的平衡条件，可得两边力臂大小关系；
（2）甲、乙两个物体体积相同，都浸没水中后，受到的浮力相同，力与力臂的乘积都减小，减小值小的那端杠杆将下降。
【解答】解：
（1）∵G＝mg，m甲＝2m乙，
∴G甲＝2G乙，
由杠杆平衡条件可知，G甲L甲＝G乙L乙，
∴L甲＝L乙，
（2）∵甲、乙两个物体体积相同，
∴排开水的体积相同，
∴两物体受到水的浮力相同，
可知甲减小的浮力与力臂的乘积小，所以杠杆不再平衡，甲所在一侧将下降，即左端下降。
故选：A。
变式训练5.如图，轻质杠杆两端分别悬挂着同种材料制成的大小不同的两个实心金属球a、b，此时杠杆处于平衡状态；为继续保持杠杆平衡，下列措施中可行的是（　　）
A．同时将两个金属球浸没在水中
B．左边浸没在水中，右边浸没在酒精中
C．左边浸没在酒精中，右边浸没在水中
D．将支点适当向右移动后，都浸没在水中
【分析】关键是根据杠杆的平衡条件F1L1＝F2L2，以及浮力公式F浮＝ρ液gV排，分别计算出两金属球没在液体中后杠杆两端力和力臂的乘积。
【解答】解：如图所示：
杠杆两端分别挂上体积不同的两个球时，杠杆在水平位置平衡。
因为杠杆的平衡，所以ρV左g×OA＝ρV右g×OB，
化简后可得：V左×OA＝V右×OB，
若将两球同时浸没在酒精或水中，则：
左端＝（ρV左g﹣ρ液V左g）×OA＝ρV左g×OA﹣ρ液V左g×OA
右端＝（ρV右g﹣ρ液V右g）×OB＝ρV右g×OB﹣ρ液V右g×OB
又因为V左×OA＝V右×OB，所以ρ液V左g×OA＝ρ液V右g×OB，
则ρV左g×OA﹣ρ液V左g×OA＝ρV右g×OB﹣ρ液V右g×OB，
因此杠杆仍然平衡，故A正确，D错误；
若将两球同时浸没在不同液体中，则：
左端＝（ρV左g﹣ρ液V左g）×OA＝ρV左g×OA﹣ρ液1V左g×OA
右端＝（ρV右g﹣ρ液V右g）×OB＝ρV右g×OB﹣ρ液2V右g×OB
又因为V左×OA＝V右×OB，所以ρ液1V左g×OA≠ρ液2V右g×OB，
则ρV左g×OA﹣ρ液1V左g×OA≠ρV右g×OB﹣ρ液2V右g×OB，
因此杠杆不能平衡，故BC错误。
故选：A。
题型四.杠杆综合计算（难）
例1.如图所示，一根轻质杠杆可以绕O点转动，AO：BO＝3：2。A点处用细线挂着一个重50N的圆柱体甲，细线在B点悬挂一个重9N，边长为10cm的正方体乙，此时杠杆在水平位置平衡。乙下方放置一个底面积为200cm2的圆柱形容器（足够高），容器内装有足够多的水，乙的下表面刚好和水面接触，下列说法正确的是（　　）
A．此时甲对地面的压力为40N
B．若将乙的悬挂点右移，则甲对地面的压强变大
C．若剪断细线，乙物体静止时水对容器底部的压强增加500Pa
D．若剪断细线，乙物体静止时其下表面到容器底的距离减小4.5cm
【分析】（1）对甲、乙两物体进行受力分析。
（2）结合杠杆平衡条件，判断甲、乙两物体所受各个力的大小。
（3）根据阿基米德原来判剪断细线后，乙物体静止时在容器中的浮沉情况，并由此判断此时水对容器底的压强等相关物理量的变化。
【解答】解：
A、对杠杆在水平位置平衡时甲、乙两物体受力分析，受力示意图如下图所示：
根据二力平衡条件知：F2＝G乙＝9N；
根据杠杆平衡条件知：3F1＝2F2，所以
根据平衡条件知：G甲＝F1+F支，所以F支＝G甲﹣F1＝50N﹣6N＝44N
甲对地面的压力与F支是一对相互作用力，大小相等，所以甲对地面的压力为44N，故A错误；
B、若将乙的悬挂点右移，则BO增大，又因：F1×AO＝F2×BO；F2、AO不变；所以F1增大；
又因：F支＝G甲﹣F1，所以F支减小，即甲对地面的压力减小；
另甲对地面的受力面积不变，根据压强公式知：甲对地面的压强变小，故B错误；
C、剪短细线后，乙物体会落入圆柱形容器中，假设静止后乙物体浸没，则此时它所受的浮力为：
F浮＝ρ液gV排＝1.0×103kg/m3×10N/kg×（0.1m）3＝10N，
F浮＞G物，所以假设不成立，即剪断细线后，乙物体静止时应漂浮在水面上，此时它所受到的浮力等于它的重力9N。
根据阿基米德原理知：此时
容器中水面升高的深度为：
则乙物体静止时水对容器底部的增加压强为：
p＝ρ液gh＝1×103kg/m3×10N/kg×4.5×10 2m＝450Pa，故C错误；
D、乙物体漂浮在容器中时，浸没深度为：，
又知：剪断前，乙的下表面刚好和水面接触；剪断后，水面升高深度为4.5cm。
所以剪断细线后，乙物体静止时其下表面到容器底的距离减小为：9cm﹣4.5cm＝4.5cm，故D正确。
故选：D。
例2.如图所示，容器足够高，轻质杠杆在水平位置平衡，杠杆的C点悬挂有重为20N、边长为10cm正方体A，物体A刚好有露出水面，D点悬挂物体B，杠杆支点为O，OC：OD＝1：2下列说法正确的是（　　）
A．物体A所受浮力为6N
B．物体B所受的重力为10N
C．若切掉物体A浸入水中部分，向左移动D点，杠杆能保持平衡
D．若剪断物体A上方的细线，待A静止时，水对容器底的压力将变大4N
【分析】（1）利用阿基米德原理求得物体A所受浮力；
（2）结合受力情况求得杠杆的C点受到的拉力，根据杠杆平衡条件求得B的重力；
（3）拉力变小，力臂OC不变，根据杠杆平衡条件分析；
（4）若剪断物体A上方的细线，待A静止时，利用阿基米德原理求得A浸没在水中受到的浮力，水对容器底的压力变化量等于浮力的变化量。
【解答】解：A．物体A的体积
物体A刚好有露出水面，则物体A排开水的体积
利用阿基米德原理可知物体A所受浮力
故A错误；
B．杠杆的C点受到的拉力
FC＝GA﹣F浮＝20N﹣4N＝16N
根据杠杆平衡条件有
FC×OC＝GB×OD
B的重力
故B错误；
C．若切掉物体A浸入水中部分，杠杆的C点受到的拉力为
拉力变小，力臂OC不变，根据杠杆平衡条件，向左移动D点，使右侧力臂减小，杠杆能保持平衡，故C正确；
D．若剪断物体A上方的细线，待A静止时，利用阿基米德原理可知A浸没在水中受到的浮力
水对容器底的压力变化量等于浮力的变化量
ΔF压＝F浮'﹣F浮＝10N﹣4N＝6N
水对容器底的压力将变大6N，故D错误。
故选：C。
变式训练1.如图所示，AOB为轻质杠杆，O为支点。正方体C的边长为20cm，密度，正方体D的边长为10cm，A、B两点与正方体C、D均用轻质细杆连接。初始时刻杠杆在水平位置平衡，D静止于水面上方某点，此时C对水平地面的压强为p＝1×103Pa，若将正方体D浸没在水中（未接触到容器底），杠杆仍在水平位置平衡时，C对水平地面的压强增大了1000Pa，则下列说法正确的是（　　）
A．AO：OB＝1：5
B．物体C的质量为200kg
C．物体D的重力为50N
D．D浸入水中前，要使C对地面的压强为零，应对物体D施加一个10N竖直向下的力
【分析】利用题中正方体C的条件得到正方体C的重力，进而由杠杆平衡条件列出式子，再利用正方体D的体积得到排开水的重力，进而由杠杆平衡条件列出式子，联立可得正方体D的重力。若物体D不浸入液体，要使物体C对地面的压强为零，由杠杆平衡的条件可得相应式子。
【解答】解：B、正方体C的质量为mc＝ρ1Vc＝2.5kg/dm3×2×2×2dm3＝20kg，故B错误；
AC、正方体C的重力Gc＝mcg＝20kg×10N/kg＝200N，
C对地面的压力FC＝p1Sc＝1000Pa×2×2×10﹣2m2＝40N，
由杠杆平衡条件可得（GC﹣FC）×AO＝GD×OB，①
由题知，物体C对地面的压强增加值Δp＝1000Pa，
则地面增加的压力：ΔFC＝ΔpSc＝1000Pa×2×2×10﹣2m2＝40N，
杠杆A端减小的拉力：ΔFA＝ΔFC＝40N，
物体D浸没在该液体中时A点所受竖直向下的拉力为FA＝GC﹣FC﹣ΔFA＝200N﹣40N﹣40N＝120N；
正方体D的边长为10cm，体积为V＝1dm3，故排开水的重力为F水＝ρ水gV＝10N，
则FA×AO＝（GD﹣F水）×OB②
联立①②，可得G＝40N，AO：OB＝1：4，故A，C错误；
D、若物体D不浸入液体，要使物体C对地面的压强为零，由杠杆平衡的条件可得：GC×AO＝（GD+F）×OB，
代入数据可得200N×AO＝（40N+F）×OB，
解方程可得F＝10N，故D正确。
故选：D。
变式训练2.现有一根形变不计、长为L的铁条AB和两根横截面积相同、长度分别为La、Lb的铝条a、b，将铝条a叠在铁条AB上，并使它们的右端对齐，然后把它们放置在三角形支架O上，AB水平平衡，此时OB的距离恰好为La，如图所示。取下铝条a后，将铝条b按上述操作方法使铁条AB再次水平平衡，此时OB的距离为Lx．下列判断正确的是（　　）
A．若La＜Lb＜L，则La＜Lx＜成立
B．若La＜Lb＜L，则Lx＞成立
C．若Lb＜La，＜Lx＜La成立
D．若Lb＜La，则Lx＜成立
【分析】首先把原铁条和铝条a看做整体，原来水平平衡时整体的重心位于原支点处。
（1）当铝块变长时，将变长部分看成一个增加的物体，然后确定新支点，根据杠杆的平衡条件得出支点移动的方向，从而得出答案；
（2）当铝块变短时，将变短部分看做一个减少的物体，然后确定新支点，根据杠杆的平衡条件得出支点移动的方向，从而得出答案。
【解答】解：由题意可知，将铝条a叠在铁条AB上，并使它们的右端对齐，然后把它们放置在三角形支架O上，AB水平平衡，此时OB的距离恰好为La，
（1）如下图所示，若La＜Lb＜L，用铝条b替换铝条a就相当于在铝条a左侧放了一段长为Lb﹣La、重为Gb﹣Ga的铝条，
这一段铝条的重心距B端的长度为La+＝，
而铁条AB和铝条a组成的整体的重心在支架原来的位置，距B端的长度为La，
要使铁条AB水平平衡，由杠杆的平衡条件F1L1＝F2L2可知，支架O应移到上述两个重心之间，
即La＜Lx＜，故A正确、B错误；
（2）如下图所示，若Lb＜La，用铝条b替换铝条a就相当于从铝条a左侧截掉一段长为La﹣Lb、重为Ga﹣Gb的铝条，
也相当于距B端Lb+＝处施加一个竖直向上的力，其大小等于Ga﹣Gb，
由杠杆的平衡条件F1L1＝F2L2可知，要使铁条AB水平平衡，支架O应向A端移动，则Lx＞La，故C错误；
由Lb＜La可知，Lx＞La＝＞，故D错误。
故选：A。
变式训练3.如图所示是物理科技小组设计的锻炼力量的简易健身器材，重力不计的轻质杠杆AB可绕固定点O无摩擦转动，OA长0.6m。现用不可伸长的轻绳将底面积为100cm2的长方体M挂在杠杆的B端，当在A点施加竖直向下的拉力F为360N时，杠杆B端所受绳子的拉力为180N，此时杠杆处于水平平衡状态，且M对地面的压强为7000Pa。求：
（1）OB长为多少m；
（2）物体M的质量为多少kg；
（3）物理科技小组的同学保持F的大小不变，将F的作用点从A点向O点移动30cm，同时将M沿竖直方向切去，则切之后M稳定时对地面的压强为多少Pa？
【分析】（1）杠杆水平平衡时，由杠杆平衡条件动力×动力臂＝阻力×阻力臂可得：FA×0A＝FB×OB，由此可得OB的长度；（2）M静止时的受力关系为：G＝F支+F，由力的相互作用可知，M受到的支持力大小等于M对地面的压力大小，由公式p＝求得压力的大小，最终求得M的重力；
（3）将F的作用点从A点向O点移动30cm，根据杠杆的平衡条件求出此时B端的拉力的大小，对M受力分析，得出地面受到的压力，根据由公式p＝求得压强的大小。
【解答】解：（1）由杠杆平衡条件得，F×OA＝FB×OB，则OB＝；
（2）M对地面的压力F′＝pS＝7000Pa×100×10﹣4m2＝70N，地面对M的支持力为F支＝F′＝70N，杠杆对M的拉力F拉＝FB＝180N，M的重力G＝F拉+F支＝180N+70N＝250N，物体M的质量m＝；
（3）由杠杆平衡条件得，F×（OA﹣0.3m）＝F′B×OB，M对B端的拉力F′B＝，M对B端的拉力FM＝F′B＝90N，将M沿竖直方向切去，其重力G′＝，切之后M稳定时对地面的压力F压＝G′﹣FM＝200N﹣90N＝110N，M稳定时对地面的压强p′＝
答：（1）OB长为1.2m；
（2）物体M的质量为25kg；
（3）物理科技小组的同学保持F的大小不变，将F的作用点从A点向O点移动30cm，同时将M沿竖直方向切去，则切之后M稳定时对地面的压强为1.375×104Pa。
变式训练4.如图所示，轻质杠杆AB可绕O点转动，OA与OB的长度之比为OA：OB＝4：3，在A、B两端分别挂有边长为10cm，质量为2.5kg的完全相同的两个不吸水正方体C、D，当物体C浸入水中且露出水面的高度为2cm时，杠杆恰好水平静止，A、B两端的绳子均不可伸长且均处于张紧状态。（水的密度为1.0×103kg/m3，g取10N/kg）。求：
（1）物体C密度；
（2）杠杆A端受到绳子的拉力；
（3）如果加水使物体C浸没后物体D对地面的压强。
【分析】（1）知道物体的质量，求出正方体的体积，利用密度公式求物体密度；
（2）求出C物体排开水的体积，利用阿基米德原理求受到的浮力，杠杆A端受到绳子的拉力等于重力减去浮力；
（3）根据阿基米德原理计算物体C浸没后受到的浮力，利用杠杆平衡条件求拉力FB，D物体对地面的压力等于D的重力减去拉力，再利用压强公式求出物体D对地面的压强。
【解答】解：（1）物体C的密度：ρ＝＝＝2.5×103kg/m3；
（2）物体C排开水的体积：V排＝（0.1 m）2×（0.1m﹣0.02m）＝8×10﹣4m3，
其受到的浮力：F浮＝ρ水gV排＝1.0×103kg/m3×10N/kg×8×10﹣4m3＝8N；
杠杆A端受到的拉力：FA＝G﹣F浮＝mg﹣F浮＝2.5kg×10N/kg﹣8N＝17N；
（3）物体C浸没后受到的浮力：F浮1＝ρ水gV排1＝1.0×103kg/m3×10N/kg×（0.1m）3＝10N，
根据杠杆平衡条件可得FB＝×FA1＝×（G﹣F浮1）＝×（2.5kg×10N/kg﹣10N）＝20N，
物体D对地面的压力：F压＝G﹣FB＝2.5kg×10N/kg﹣20N＝5N；
物体D对地面的压强：p＝＝＝500Pa。
答：（1）物体C密度为2.5×103kg/m3；
（2）杠杆A端受到绳子的拉力为17N；
（3）如果加水使物体C浸没后物体D对地面的压强为500Pa。
变式训练5.如图所示，将质量为50kg底面积为100cm2的匀质圆柱体甲放在水平地面上，轻绳的一端系于圆柱体甲上表面的中央，另一端拉着杠杆的A点。当把质量为27kg、底面积为100cm2的实心圆柱体乙悬挂在杠杆的B端并浸没在盛水的圆柱形容器M中，杠杆恰好在水平位置平衡，甲物体对地面的压力为0。已知圆柱形容器M的底面积为200cm2，容器中的水深h＝30cm，物体乙的上表面与水面相平，AO＝15cm，OB＝30cm，AC＝5cm；不计杠杆的质量，求：
（1）水对容器底部的压强；
（2）物体乙受到的浮力；
（3）物体乙的高度；
（4）保持杠杆右边细线的悬挂点B不动，将杠杆左边细线悬挂点从A移动到C后，打开出水口的阀门，容器M中的水以100cm3/s 的速度匀速流出，则10s后甲对地面的压强是多少？
【分析】（1）根据液体压强公式求出水对容器底部的压强；
（2）根据G＝mg求出甲的重力，根据力的作用是相互的和力的平衡条件求出甲物体对地面的压力为0时，杠杆A端受到的拉力，根据杠杆平衡条件求出杠杆B端受到的拉力，再根据G＝mg求出乙的重力，对物体乙进行受力分析，根据力的作用是相互的和力的平衡条件可知，物体乙受到的浮力；
（3）根据阿基米德原理求出乙浸没时排开水的体积，根据体积公式求出乙的高度；
（4）根据题意求出10s内流出的水的体积，根据体积公式求出液面下降的高度，进而求出乙浸在水中的深度，根据体积公式求出此时乙排开水的体积，根据阿基米德原理求出乙受到的浮力，根据力的作用是相互的和力的平衡条件求出杠杆B端受到的拉力，根据杠杆平衡条件求出此时杠杆C端受到的拉力，进而求出甲对地面的压力，根据压强定义式求出10s后甲对地面的压强。
【解答】解：（1）由题意可知水的深度为：h＝30cm＝0.3m，
则由液体压强公式可得，水对容器底部的压强为：
p水＝ρ水gh＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.3m＝3×103Pa；
（2）杠杆恰好在水平位置平衡，甲物体对地面的压力为0，由力的作用是相互的和力的平衡条件可知，此时杠杆A端受到的拉力为：
FA＝G甲＝m甲g＝50kg×10N/kg＝500N，
由题意可知，杠杆恰好在水平位置平衡，设B点处的拉力是FB，由杠杆平衡条件可知：FA OA＝FB OB，则可得：
FB＝＝＝250N，
由重力公式可得，物体乙的重力为：
G乙＝m乙g＝27kg×10N/kg＝270N，
由图及题意可知，物体乙受到向上的拉力和浮力与竖直向下的重力，根据力的平衡条件可知，物体乙受到的浮力为：
F浮＝G乙﹣FB＝270N﹣250N＝20N；
（3）因为物体乙浸没在水中，所以，乙物体的体积等于乙排开水的体积，由F浮＝ρ液V排g可知，乙物体的体积为：
V乙＝V排＝＝＝2×10﹣3m3＝2×103cm3，
由V＝Sh可知，物体乙的高度为：
h乙＝＝＝20cm；
（4）由于物体乙的高度是20cm，实心圆柱体乙悬挂在杠杆的B端并浸没在盛水的圆柱形容器M中，则杠杆恰好在水平位置平衡时，乙的下底面距离容器底的高度是：
h3＝h﹣h乙＝30cm﹣20cm＝10cm，
10s内流出水的体积为：
V流出＝v流t＝100cm3/s×10s＝1×103cm3，
由于圆柱形容器M的底面积为200cm2，所以，流出的水，使容器内水下降的高度为：
Δh＝＝＝10cm＜h乙，
即此时乙浸在容器中的深度是：
h浸＝h乙﹣Δh＝20cm﹣10cm＝10cm，
乙排开水的体积为：
V排'＝S乙h浸＝100cm2×10cm＝1000cm3，
此时乙受到的浮力为：
F浮'＝ρ水gV排'＝1.0×103kg/m3×10N/kg×1000×10﹣6m3＝10N，
由力的作用是相互的和力的平衡条件可知，此时杠杆B端受到的拉力为：
FB'＝G乙﹣F浮'＝270N﹣10N＝260N，
由杠杆的平衡条件可知：FC OC＝FB' OB，
解得：FC＝＝＝390N，
对甲进行受力分析，甲受到向上的拉力及向下的重力，甲静止时，甲对地面的压力与地面对它的支持力是相互作用力，所以甲对地面的压力为：
F压＝F支＝G甲﹣FC＝500N﹣390N＝110N，
则甲对地面的压强是：
p′＝＝＝1.1×104Pa。
答：（1）水对容器底部的压强为3000Pa；
（2）物体乙受到的浮力为20N；
（3）物体乙的高度为20cm；
（4）10s后甲对地面的压强是1.1×104Pa。
变式训练6.巴蜀中学初2020届同学设计了一款如图甲所示的力学装置，杠杆OAB始终在水平位置保持平衡，O为杠杆的支点，OB＝3OA，竖直细杆a的上端通过力传感器连在天花板上，下端连在杠杆的A点，竖直细杆b的两端分别与杠杆和物体M固定，水箱的质量为0.8kg，不计杠杆、细杆及连接处的重力。当图甲所示的水箱中装满水时，水的质量为3kg。力传感器可以显示出细杆a的上端受到作用力的大小，图乙是力传感器的示数大小随水箱中水的质量变化的图象：
（1）图甲所示的水箱装满水时，水受到的重力为多少N；
（2）物体M的密度为kg/m3；
（3）当向水箱中加入质量为1kg的水时，力传感器的示数大小为F；继续向水箱中加水，则当力传感器的示数大小变为4F时，水箱对桌面的压力为多少N？
【分析】（1）当图甲所示的水箱中装满水时，水的质量为3kg，根据G＝mg求出水受到的重力；
（2）由图乙可知，水箱中没有水时，压力传感器受到的拉力，根据杠杆的平衡条件F1L1＝F2L2求出物体M的重力，根据G＝mg求出其质量；水箱中水质量为0～1kg时，压力传感器受到的拉力为6N不变，此时M没有受到浮力作用，即水箱中水质量为1kg时，液面恰在M下表面处；水箱中水质量为1～2kg时，压力传感器受到的拉力先变小后变大，变小时，M受到向上浮力作用逐渐变大，M对杠杆OAB的B端有向下的拉力逐渐变小；压力传感器受到的拉力为零时，M受到向上浮力等于M重力作用，M对杠杆OAB的作用力为零；继续加水时，M受到向上浮力逐渐变大，M重力不变，M对杠杆OAB的B端向上的支持力逐渐大，水箱中水质量为2～3kg时，压力传感器受到的拉力为24N不变，即B端受到M对杠杆OAB力不再变化，则此时M完全浸入，根据杠杆的平衡条件求出B端的拉力，对M受力分析可知，受到竖直向上的浮力、竖直向下的重力和杆的作用力，据此求出此时M受到的浮力，根据F浮＝ρ液gV排求出M的体积，利用ρ＝求出物体M的密度；
（3）由图乙可知，加入质量为1kg的水时，力传感器的示数大小为6N，当加入质量为2kg的水时，力传感器的示数大小为24N，即为加入质量为1kg的水时力传感器的示数的4倍；由第二问可知，此时B端受到M对杠杆OAB向上的8N的力，将水箱、加入水箱的水、浮块整体作为研究对象，杠杆OAB对整体由向下的8N的压力，据此求出水箱此时对桌面的压力。
【解答】解：（1）由题意可知，当图甲所示的水箱中装满水时，水的质量为3kg，
则水受到的重力：
G水＝m水g＝3kg×10N/kg＝30N；
（2）由图乙可知，水箱中没有水时（m＝0），压力传感器受到的拉力F0＝6N，
由杠杆的平衡条件F1L1＝F2L2可得，F0 OA＝GM OB，
则GM＝F0＝×6N＝2N，
物体M的质量：
mM＝＝＝0.2kg，
水箱中水质量为0～1kg时，压力传感器受到的拉力为6N不变，此时M没有受到浮力作用，即水箱中水质量为1kg时，液面恰在M下表面处；
水箱中水质量为1～2kg时，压力传感器受到的拉力先变小后变大，变小时，M受到向上浮力作用逐渐变大，M对杠杆OAB的B端有向下的拉力逐渐变小；
压力传感器受到的拉力为零时，M受到向上浮力等于M重力作用，M对杠杆OAB的作用力为零；
继续加水时，M受到向上浮力逐渐变大，M重力不变，M对杠杆OAB的B端向上的支持力逐渐大，
水箱中水质量为2～3kg时，压力传感器受到的拉力为24N不变，即B端受到M对杠杆OAB力不再变化，则此时M完全浸入，
由杠杆的平衡条件可得，FA OA＝FB OB，
则FB＝FA＝×24N＝8N，
对M受力分析可知，受到竖直向上的浮力、竖直向下的重力和杆的作用力，
则此时M受到的浮力F浮＝GM+FB＝2N+8N＝10N，
由F浮＝ρ液gV排可得，所以M的体积：
VM＝V排＝＝＝1×10﹣3m3，
物体M的密度：
ρM＝＝＝0.2×103kg/m3；
（3）由图乙可知，加入质量为1kg的水时，力传感器的示数大小为6N，
当加入质量为2kg的水时，力传感器的示数大小为24N，即为加入质量为1kg的水时力传感器的示数的4倍；
由第二问可知，此时B端受到M对杠杆OAB向上的8N的力，
将水箱、加入水箱的水、浮块整体作为研究对象，杠杆OAB对整体由向下的8N的压力，
则水箱此时对桌面的压力：
F压＝（m水箱+m水+mM）g+FB″＝（0.8kg+2kg+0.2kg）×10N/kg+8N＝38N。
答：（1）水箱装满水时，水受到的重力为30N；
（2）物体M的密度为0.2×103kg/m3；
（3）当向水箱中加入质量为1kg的水时，力传感器的示数大小为F；则当力传感器的示数大小变为4F时，水箱对桌面的压力为38N。
三.课后作业
1.有一质量分布不均匀的木条，质量为2.4kg，长度为AB，C为木条上的点，AC＝AB．现将两台完全相同的托盘天平甲、乙放在水平地面上，再将此木条支放在两秤上，B端支放在乙秤上，C点支放在甲秤上，此时甲秤的示数是0.8kg，如图所示。则欲使乙秤的示数变为0，应将甲秤向右移动的距离是（支放木条的支架重不计）（　　）
A．AB B．AB C．AB D．AB
【分析】先根据G＝mg求出木条的重力和甲托盘受到的压力，根据相互作用力可知木条C点受到的支持力；以B点为支点，D为重心，画出动力和阻力；根据杠杆平衡条件表示出BC和BD的关系，进一步求出重心距离C点的距离。
【解答】解：木条的重力：G＝mg＝2.4kg×10N/kg＝24N；
设木条重心在D点，当C点放在托盘秤甲上，B端放在托盘秤乙上时，以B端为支点，
托盘秤甲的示数是0.8kg，则托盘受到的压力：F压＝mCg＝0.8kg×10N/kg＝8N，
根据力的作用是相互的，所以托盘秤对木条C点的支持力为8N，如图所示：
由杠杆平衡条件有：FC×CB＝G×BD，即：8N×CB＝24N×BD，
所以：CB＝3BD，
因AC＝AB，所以CB＝AB
则BD＝×AB＝AB，
CD＝AB﹣AC﹣BD＝AB﹣AB﹣AB＝AB，
欲使乙秤的示数变为0，需将甲秤移到D点，故向右移动的距离为AB。
故选：B。
2.如图所示，轻质杠杆两端悬挂同种材料制成的大小不同的金属球时，杠杆平衡。若把它们同时浸入水中杠杆仍然平衡，则（　　）
A．两球都是实心的
B．大球实心，小球空心
C．大球空心，小球实心
D．两球都空心，且空心部分体积相同
【分析】判断两球是空心还是实心，其实就是判断两球的密度关系。那么要判断两球密度关系，我们需要根据题中条件，利用杠杆平衡条件和阿基米德原理列出两个等量关系式，然后再结合密度计算公式、重力计算公式进行推导。
【解答】解：设大球的力臂为L大，小球的力臂为L小，大球的密度为ρ大，小球的密度为ρ小。
则两球在放入水中之前，根据杠杆的平衡条件可知：G大L大＝G小L小，
所以ρ大gV大L大＝ρ小gV小L小，则＝；
当两球都浸没在水中时，根据杠杆的平衡条件可知：
（G大﹣F浮大）L大＝（G小﹣F浮小）L小，
由阿基米德原理原理可得：
（ρ大gV大﹣ρ水gV大）L大＝（ρ小gV小﹣ρ水gV小）L小，
则：＝；
综合前面两式得出：＝；
由此可得：＝，
所以（ρ大﹣ρ水）ρ小＝（ρ小﹣ρ水）ρ大，
则ρ大ρ小﹣ρ水ρ小＝ρ小ρ大﹣ρ水ρ大，那么ρ水ρ小＝ρ水ρ大，所以ρ小＝ρ大；
A、当两球都是实心时，两球的密度才是相等的，故A正确。
B、若大球实心，小球空心，则ρ大＞ρ小，故B错误。
C、若大球空心，小球实心，则ρ大＜ρ小，故C错误。
D、两球是实心时，ρ大＝ρ小，即＝；
若两球都是空心，且空心部分体积相同，则两球减小的质量都相同，设减小的质量都是m0，而体积还是和原来相同，
所以现在两个球的密度分别是ρ大′＝＝﹣，ρ小′＝＝﹣，
由于＝，所以＝﹣＞﹣，即ρ大′＞ρ小′，故D错误。
故选：A。
3.如图所示，小王站在水平地面上，将长为0.6米，质量可忽略不计的木棒搁在肩上，支点O距离后端A处为0.2米，A处挂一个重40N的物体，他用手竖直压住前端B处使木棒保持水平平衡。若小王的质量为50kg，双脚与地面的总接触面积约为400cm2，下列说法正确的是（　　）
A．手对木棒的压力大小为40N
B．肩对木棒的支持力大小为80N
C．地面对人的支持力大小为560N
D．人对地面的压强大小约为1.35×104Pa
【分析】（1）利用杠杆平衡条件求手压木棒的压力；
（2）木棒对肩膀的压力等于木棒B端受到的拉力与物体重力之和，由于力的作用是相互的，肩对木棒的支持力大小等于木棒对肩膀的压力；
（3）把人和物体看做一个整体，人对地面的压力大小等于人的重力加上物体重力；
（4）根据压强公式得出人对地面的压强。
【解答】解：A、由杠杆平衡条件可得：F×OB＝G×OA，即：F×0.4m＝40N×0.2m，解得手压木棒的压力：F＝20N，故A错误；
B、木棒对肩膀的压力：F压＝F+G＝20N+40N＝60N，由于力的作用是相互的，所以肩对木棒的支持力大小等于木棒对肩膀的压力，大小为60N，故B错误；
C、人的重力G＝mg＝50kg×10N/kg＝500N，人对地面的压力大小等于人的重力加上物体的重力，大小为：500N+40N＝540N，故C错误；
D、人对地面的压力大小F＝540N，由公式，故D正确。故选：D
4.俯卧撑是一项常见的健身项目，如图是运动员在水平地面上做俯卧撑保持静止时的情景，她的身体与地面平行，地面对脚的力作用在O点，对手的力作用在B点，身体的重心在A点。已知运动员的体重为600N，地面对手的力F1与身体垂直，则F1的大小为（　　）
A．200N B．450N C．600N D．1800N
【分析】根据杠杆平衡可得：F1×OB＝G×OA，据此得出答案。
【解答】解：根据杠杆平衡可得：F1×OB＝G×OA，即＝＝450N，故B正确。
故选B。
5.如图，在学校科技节活动中，质量为M的小华骑着一辆质量为m的独轮车，以速度v从A点匀速通过一重为G的水平独木桥，独木桥的两端由两根竖直支柱支撑着。图中能表示B端支柱所受压力F与时间t的关系是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】对独木桥进行受力分析：支柱对水平独木桥的支持力为FA、FB，水平独木桥受到重力为G，独轮车对独木桥的压力（大小等于独轮车重加上人重），若以A为支点，FB的力臂为L、G的力臂为L、压力的力臂为vt，根据杠杆平衡条件可得FB与t的关系式，而压力与支持力是一对相互作用力，大小相等，也就得出B端支柱所受压力F与时间t的关系式，由此判断选择。
【解答】解：重为G、长为L的水平独木桥的两端由两根竖直支柱A、B支撑着，分别对水平独木桥的支持力为FA、FB，水平独木桥受到重力为G，
独轮车对独木桥的压力为F＝（m+m人）g，
以A为支点，独轮车对独木桥的压力的力臂为vt，根据杠杆平衡条件：FBL＝G×L+（m+m人）gvt，
则FB＝G+（m+m人）gvt，
压力与支持力是一对相互作用力，所以B端支柱所受压力F＝FB＝G+（m+m人）gvt，
由此可知B端支柱所受压力F与时间t是一条一次函数的图象（不经过原点）。
故选：C。
6.小红和小华用一只弹簧测力计，一根长度为1m、质量为2kg，粗细均匀、质量均匀分布的圆柱形螺纹钢AB，一只金属筐，制成了如图所示的机械装置，制作时，她将金属框系于螺纹钢的B端，当悬挂螺纹钢的钢索在螺纹钢上的悬吊点移到O点时，螺纹钢在水平位置平衡，测得OB＝4cm，则金属筐的质量为 　23　kg，称重时将重物放入金属框，用测力计竖直向下拉住螺纹钢的A端，使之再次在水平位置平衡。此时弹簧测力计示数为20N，则重物的质量是 　48　kg。（g取10N/kg）
【分析】悬挂螺纹钢的钢索在螺纹钢上的悬吊点移至O点时，螺纹钢在水平位置平衡，根据杠杆的平衡条件求出金属筐的质量；
根据弹簧测力计的示数，利用杠杆的平衡条件求出金属筐和重物的总质量，从而求出重物的质量；
【解答】解：将金属筐系于螺纹钢上的B端，当悬挂螺纹钢的钢索在螺纹钢上的悬吊点移至O点时，螺纹钢在水平位置平衡，测得OB＝4cm；
圆柱形螺纹钢AB质量分布均匀，则其重心的位置到O点的距离为：L＝﹣4cm＝46cm；
则OA＝100cm﹣4cm＝96cm；
根据杠杆的平衡条件可知：m螺gL＝m筐g×OB，2kg×g×46cm＝m筐×g×4cm，解得：m筐＝23kg；
称重时，将重物放入金属筐中，用弹簧测力计竖直向下拉住螺纹钢的A端，使之再次在水平位置平衡，此时弹簧测力计示数为20N；
根据杠杆的平衡条件可知：F×OA＝m重g×OB，20N×（100cm﹣4cm）＝m重×10N/kg×4cm，解得：m重＝48kg。
故答案为：23；48。
7.建设中的常泰大桥为斜拉索公路、铁路两用大桥，如图为小华制作的斜拉索大桥模型，她用长30cm，重5N的质地均匀分布的木条OA做桥面，立柱GH做桥塔，OA可绕O点转动，A端用细线与GH上的B点相连，桥面OA实质是一种 　杠杆　（填简单机械名称），保持桥面水平，细线对OA的拉力F＝　5　N；将细线一端的固定点由B点改至C点，拉力F将 　变小　，（选填“变大、变小或不变”）由此小华初步了解到大桥建造很高桥塔的好处。
【分析】（1）可以绕固定点转动的硬棒是杠杆；
（2）力臂是从支点到力的作用线的距离，过支点向力的作用线作垂线，支点到垂足的距离就是力臂；
根据杠杆平衡条件结合数学知识求解；将细线一端的固定点由B点改至C点，动力臂增大，阻力臂和阻力不变，根据杠杆平衡条件进行判断。
【解答】解：在力的作用下如果能绕着一固定点转动的硬棒就叫杠杆。OA可绕O点转动，所以桥面OA实质是杠杆。
OA保持与桥面水平时，此时拉力F为杠杆OA的动力，由于拉力方向与OA成30度角，所以动力臂为OA长的二分之一，阻力为杠杆OA的重力，阻力臂为OA长的二分之一，为等臂杠杆，根据杠杆平衡原理可知，细线对OA的拉力F为5N。
将细线一端的固定点由B点改至C点，动力臂将变大，阻力和阻力臂不变，根据杠杆平衡条件可知，拉力F的大小将变小。
故答案为：杠杆；5；变小。
8.杆秤是我国古老且至今仍在使用的一种衡量工具，如图的杆秤可视为杠杆，提纽处为支点O，若不计杆和秤盘自重，当在秤盘处放置被称物体后处于平衡状态，已知AO＝2cm，OB＝20cm，秤砣的重力为10N。求：
（1）秤砣的质量；
（2）被称物体的重力；
（3）若这杆秤所称量物体的最大重力为200N，求这杆秤OC至少多长。
【分析】（1）根据G＝mg求秤砣的质量；
（2）不计杆和秤盘自重，F1的大小等于秤砣的重力，根据杠杆的平衡条件求F2的大小，被称物体的重力等于F2的大小；
（3）根据杠杆的平衡条件求物重最大时，F1的最大力臂，即OC的长。
【解答】解：（1）秤砣的质量：m砣＝＝＝1kg；
（2）不计杆和秤盘自重，F1＝G砣＝10N，根据杠杆的平衡条件可得，
F1×OB＝F2×OA，即：10N×20cm＝F2×2cm，
解得，F2＝100N，
即被称物体的重力：G物＝F2＝100N；
（3）根据杠杆的平衡条件可知，物重最大时，F1的力臂最大，此时有：
F1×OC＝F2′×OA，即：10N×OC＝200N×2cm，
解得，杆秤OC的长：OC＝40cm。
答：（1）秤砣的质量为1kg；
（2）被称物体的重力为100N；
（3）若这杆秤所称量物体的最大重力为200N，则杆秤OC的长至少为40cm。
9.停车场入口处常用横杆来控制车辆的进出，如图甲所示。我们可以把该装置简化成如图乙所示的杠杆，若横杆AB粗细相同，质量分布均匀，重60N，AB＝3.0m，A0＝0.3m。
（1）要使横杆AB保持水平平衡，则在A端施加最小动力大小是多少？
（2）在实际使用时横杆靠电机带动，车辆出入时，可以在6秒内将横杆竖起，若设备的效率为80%，则电机对横杆做功的功率为多少？
【分析】（1）横杆AB粗细相同、质量分布均匀，所以其重心C在几何中心上，支点为O，则OA就是动力臂，OC就是阻力臂，再根据杠杆的平衡条件就可以求出动力的大小；
（2）车辆出入时，可以在6秒内将横杆竖起，根据W有用＝G×OC算出做的有用功，若设备的效率为80%，根据W总＝算出总功，由功率公式算出电机对横杆做功的功率。
【解答】解：（1）要使横杆AB保持水平平衡，则在A端施加最小力的方向应该竖直向下的；
横杆AB粗细相同、质量分布均匀，所以其重心C在几何中心上，支点为O，则OA就是动力臂，OC就是阻力臂，如下图所示：
已知AB＝3.0m，AO＝0.3m，则阻力臂OC＝AB﹣OA＝×3.0m﹣0.3m＝1.2m，
由杠杆的平衡条件可得：F×OA＝G×OC，
则F＝＝＝240N；
（2）车辆出入时，可以在6秒内将横杆竖起，做的有用功为：
W有用＝G×OC＝60N×1.2m＝72J，
若设备的效率为80%，则总功为：
W总＝＝＝90J，
电机对横杆做功的功率为：
P＝＝＝15W。
答：（1）要使横杆AB保持水平平衡，则在A端施加最小动力大小是240N；
（2）在实际使用时横杆靠电机带动，车辆出入时，可以在6秒内将横杆竖起，若设备的效率为80%，则电机对横杆做功的功率为15W。
10.如图甲是《天工开物》里记载的一种捣谷的舂（读作chōng），可将舂看作是一杠杆。若碓（读作duì）头质量为20kg，不计横木的重力和转动摩擦，捣谷人双手与扶手之间的作用力为零（g取10N/kg）。求：
（1）碓头的重力；
（2）碓头竖直下落0.5m，重力对它做的功；
（3）质量为72kg的捣谷人，左脚与地面的接触面积为200cm2，当他用右脚在B点用力F踩横木使其刚好转动，如图乙所示，已知OA：OB＝3：2，求捣谷人左脚对地面的压强。
【分析】（1）根据G＝mg计算碓头的重力；
（2）先根据W＝Gh求出重力做的功；
（3）根据杠杆平衡条件计算捣谷人右脚对横木的压力，由力作用的相互性可知右脚受到的支持力；先求出人受到的重力，对人进行受力分析，根据力的平衡条件和力作用的相互性可求出左脚对地面的压力，根据压强公式计算左脚对地面的压强。
【解答】解：（1）碓头的重力为：G＝mg＝20kg×10N/kg＝200N；
（2）碓头竖直下落0.5m，重力做的功为：W＝Gh＝200N×0.5m＝100J；
（3）根据杠杆的平衡条件可得F1×OB＝G×OA，
则捣谷人右脚对横木的压力为：；
因为力的作用是相互的，则横木对右脚的支持力F右支＝F1＝300N，
捣谷人的重力为：G人＝m人g＝72kg×10N/kg＝720N，
以捣谷人为研究对象，根据力的平衡条件可得：G人＝F右支+F左支，
则左脚受到地面的支持力：F左支＝G人﹣F右支＝720N﹣300N＝420N，
左脚对地面的压力和左脚受到地面的支持力是一对相互作用力，大小相等，则：F压＝F左支＝420N，
左脚对地面的压强为：。
答：（1）碓头的重力为200N；
（2）重力对它做的功为100J；
（3）捣谷人左脚对地面的压强为2.1×104Pa。
11.如图所示，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，且物体A悬挂在C端，静止在水平地面上的正方体B悬挂在D端，此时杠杆在水平位置平衡。已知：GA＝35N，GB＝100N，OC＝2OD，正方体B的边长为0.1m。杠杆、悬线的质量不计。
求：（1）杠杆D端受到悬线的拉力。
（2）正方体B对地面的压强。
【分析】（1）杠杆C端所受拉力等于物体A的重力，再利用杠杆平衡条件求出杠杆D端受到的拉力；
（2）正方体B对地面压力等于B的重力减去绳子对B的拉力，利用p＝求出正方体B对地面的压强。
【解答】解：（1）由杠杆的平衡条件可得，
GA×OC＝FD×OD，
则杠杆D端受到的拉力：
FD＝＝×35N＝70N；
（2）正方体B对地面压力：
F＝GB﹣FD＝100N﹣70N＝30N，
受力面积：S＝（0.1m）2＝0.01m2，
正方体B对地面的压强：
p＝＝＝3000Pa。
答：（1）杠杆D端所受的拉力为70N；
（2）正方体B对地面的压强为3000Pa。
12.汽车起重机在吊起重物时，必须要综合考虑重物所受的重力、吊臂的长度及仰角等因素，以确定起吊设备和起吊方式，避免发生地面塌陷或吊臂断裂等生产事故，确保吊重作业的安全和高效运行。如图所示的起重机自重为3×105N，吊臂的长度可以在10m﹣30m之间变化，动力系统A允许提供的动力与动力臂的乘积（称为起重机的力矩）最大值为1.2×106N m，可以吊起距吊臂支点O水平距离3m﹣20m范围内的重物，其工作时与水平地面的总接触面积为2m2。（不计吊臂重、滑轮重和绳重）
（1）汽车起重机将重达25t的货物竖直提升10m，这个过程中起重机对货物做功是多少。
（2）该起重机在最大力矩工作时，允许吊起重物所受重力的范围。
（3）该起重机在最大力矩工作时，水平地面受到的最大压强。
【分析】（1）W＝G货h，据此得出做功大小；
（2）允许吊起重物的最小重力为G小，根据杠杆平衡可得：F1L1＝G小L2；允许吊起重物的最大重力为G大，根据杠杆平衡可得：F1L1＝G大L2；据此得出范围；
（3）根据计算最大压强。
【解答】解：（1）起重机对货物做功是：W＝G货h＝25×103kg×10N/kg×10m＝2.5×106J；
（2）允许吊起重物的最小重力为G小，
F1L1＝G小L2；即1.2×106N m＝G小×20m，解得：G小＝6×104N；
允许吊起重物的最大重力为G大，
F1L1＝G大L2；即1.2×106N m＝G大×3m，解得：G大＝4×105N；
故允许吊起重物所受重力的范围为6×104N～4×105N；
（3）＝＝3.5×105Pa。
答：（1）起重机对货物做功是2.5×106J；
（2）允许吊起重物所受重力的范围为6×104N～4×105N；
（3）水平地面受到的最大压强为3.5×105Pa。
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