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题型五　圆的综合题
类型一　折叠问题
　　圆的折叠的实质是轴对称,具有轴对称的一切性质:①折叠前后的两个图形全等;②对应点的连线被折痕垂直平分;③对应点的连线互相平行,在圆中的折叠问题中要结合圆的性质和定理来进行分析.
(2024·石家庄模拟)已知扇形OAB的半径为4,∠AOB=90°,点P是OA的中点,点Q是上的一个动点,如图1,将扇形沿PQ折叠,点A的对应点为A',连接AA'.
(1)如图2,当点O与点A'重合时,求的长.
(2)在点Q的运动过程中,求点A'与点B之间的最小距离.
(3)如图3,当Q是上的中点时,求tan∠APQ的值.
图1　 图2　 图3
(2024·河北模拟)如图1,扇形AOB纸片,∠AOB=90°,OA=10,P是半径OB上的一动点,连接AP,把△AOP沿AP翻折,点O的对称点为Q,
(1)当AQ⊥AO时,求折痕AP的长.
(2)如图2,当点Q恰好落在上.
①求线段AP和 的长,并比较大小;(比较大小时可参考数据:π≈3.1,≈1.7)
②求阴影部分的面积(结果保留根号).
图1　 图2
类型二　旋转问题
　　解决圆的旋转问题的关键是充分利用“图形绕点旋转只改变图形的位置而不改变图形的形状和大小、各对应点到旋转中心的距离相等”等性质,并结合圆的相关定理、三角函数等知识进行解答.
(2024·迁安二模)如图,在正方形ABCD中,AB=3,以点C为圆心,1为半径作圆,交CD于点E,P是☉C上的任意一点,将点P绕点D顺时针方向旋转90°,得到点Q,连接DP,DQ,AQ,QP.
(1)连接CP,求证:AQ=CP.
(2)当DP与☉C相切于正方形外部时,求线段PQ被☉C所截弦的长.
(3)当DP=时,求劣弧的长度.
　　
备用图
(2024·沧州一模)如图1,已知AB是半圆O的直径,AB=4,点D是线段AB延长线上的一个动点,直线DF垂直于射线AB于点D,在直线DF上选取一点C(点C在点D的上方),使CD=OA,将射线CD绕点D逆时针旋转,旋转角为α(0°<α≤90°).
(1)若OD=5,求点C与点O之间距离的最小值.
(2)当射线DC与半圆O相切于点C时,求劣弧的长度.
(3)如图2,当射线CD与半圆O相交于点C,另一交点为E时,连接AE,OC,若AE∥OC,
①猜想AE与OD的数量关系,并说明理由;
②求此时旋转角的度数.
图1　　 图2
类型三　动点问题
　　所谓“动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目,解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用圆的知识解决问题,在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路.
(2024·廊坊广阳区一模)在古代,智慧的劳动人民已经会使用“石磨”,其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”,推动“连杆”带动磨盘转动,将粮食磨碎,物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”,设计图如图1,两个固定长度的“连杆”AP,BP的连接点P在☉O上,当点P在☉O上转动时,带动点A,B分别在射线OM,ON上滑动,OM⊥ON.当AP与☉O相切时,点B恰好落在☉O上,如图2.请仅就图2的情形解答下列问题.
(1)求证:∠PAO=2∠PBO.
(2)若☉O的半径为3,AP=4,求BP的长.
　　　
图1
　　　
图2
(2024·邯郸峰峰矿区三模)如图,以点O为圆心,OA为半径作优弧AB,使点B在点O右下方,且OA=20,∠AOB=30°,在优弧AB上任取一点P,过点P作直线OB的垂线,交直线OA于点Q,连接OP.
(1)若优弧AB上一段的长为10π,求∠AOP的度数及OQ的值.
(2)①点Q有可能落在圆O上吗 请判断并说明理由.
②当点P在OA上方时,求OQ的最大值,并指出此时直线PQ与AB所在圆的位置关系.
　
备用图
类型四　动圆问题
　　这类问题通常以圆或扇形的平移、旋转为背景,考查圆的综合知识,涉及求特殊位置时角的度数、线段的长度、弧长或扇形面积,一般作为压轴题出现,近几年考查的频率较高,难度较大.解决这类问题时,首先要掌握圆的基本知识和图形的变化规律,另外,要注意圆的特殊位置可能存在不止一种情况.
(2024·廊坊香河四中三模)在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm,点P从点A出发沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动(点P可以与点B重合),同时,点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动(点Q可以与点C重合),其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t s.
(1)如图1,几秒后,PQ的长度等于3 cm(t>0)
(2)如图1,几秒后,△BPQ的面积等于四边形ABCD面积的
(3)若以Q为圆心,PQ为半径作☉Q.如图2,若☉Q与四边形CDPQ的边有三个公共点,则t的取值范围为　　　　.(直接写出结果,不需说明理由)
图1　 　图2
(2024·定州三模)在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,半圆O的直径EF开始在边BC上,且点E与点C重合,EF=4.将半圆O绕点C顺时针旋转α(0°<α≤90°),当α=60°时,半圆O与AD相切于点P,如图1所示.
(1)求AC的长度.
(2)如图2,当AC,BC分别与半圆O交于点M,N时,连接MN,OM,ON.
①求∠MON的度数;
②求MN的长度.
(3)当α=90°时,将半圆O沿边BC向左平移,设平移距离为x,当与△ABC的边一共有两个交点时,直接写出x的取值范围.
图1　 图2 备用图
【详解答案】
1.解:(1)如图1,连接OQ,
∵当点O与点A重合,∴PQ⊥AO,∴∠APQ=∠OPQ=90°.
∴sin∠PQO=.
∴∠PQO=30°.
∵∠AOB=∠APQ=90°,∴PQ∥OB,
∴∠QOB=30°.
∴的长为π.
图1 　图2
(2)如图2,连接BA',PB,PA',
设AA'交PQ于H.
∵将扇形沿PQ折叠,点A的对应点为A',
∴PQ⊥AA',AH=HA'.
∵AP=OP,∴PH∥OA'.
∴OA'⊥AA'.∴∠AA'O=90°.
在Rt△POB中,PB==2.
∵PA'=OA=2,BA'≥PB-PA',
∴BA'的最小值为2-2.
(3)如图3,作QH⊥OA于H,连接OQ.
∵Q是的中点,∴,
∵∠AOB=90°,∴∠QOH=45°,
∴OH=HQ=2.
∴PH=OH-OP=2-2.
∴tan∠APQ==2+.
图3
2.解:(1)如图1,当AQ⊥AO时,AP平分∠OAQ,此时点P与点B重合,
图1
∴∠OAP=45°,
∴AP=AB.
∵OA=OB=10,∠AOB=90°,
∴AP=AB==10.
(2)①当点Q恰好落在上时,连接OQ,如图2,
图2
∵把△AOP沿AP翻折,点O的对称点为Q,
∴OQ=OA=AQ,
∴△AOQ 为等边三角形,
∴∠OAQ=∠AOQ=60°,
∴.
∵AP平分∠OAQ,
∴∠OAP=30°,
∴AP=×2=.
∵<,
∴AP>.
②∵∠OAP=30°,∠AOP=90°,
∴OP=,
∴S阴影=S扇形AOB-2S△AOP=
×10××2=25π-.
3.解:(1)证明:由题意,得DP=DQ,∠PDQ=90°.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=DC,∠ADC=90°,
∴∠ADC=∠PDQ=90°,
∴∠ADQ=∠PDC.
在△ADQ和△CDP中,
∴△ADQ≌△CDP(SAS),
∴AQ=CP.
(2)连接CP,过点C作CH⊥PQ于点H,设PQ与☉C交于点F,如图1,
图1
∵DP与☉C相切于点P,
∴CP⊥PD.
∵DQ=DP,∠PDQ=90°,
∴△PDQ为等腰直角三角形,
∴∠DPQ=45°,
∴∠FPC=45°.
∵CH⊥PQ,
∴△PCH为等腰直角三角形,
∴PH=CH=CP.
∵CP=1,
∴PH=.
∵CH⊥PQ,
∴PH=FH=FP,∴FP=,
∴线段PQ被☉C所截弦的长为.
(3)连接CP,过点P作PM⊥DC,交DC的延长线于点M,如图2,
图2
设CM=x,
∵CD=AB=3,
∴DM=3+x.
∵MP2=CP2-MC2,
MP2=DP2-DM2,
∴12-x2=()2-(x+3)2,
∴x=.
∴cos∠MCP=,
∴∠MCP=60°,
∴∠ECP=120°,
∴劣弧的长度=.
4.解:(1)如图1,当点C在线段OD上时,点C与点O之间的距离最小,
∵CD=OA=2,OD=5,
∴OC=3.
即点C与点O之间距离的最小值为3.
图1
(2)如图2,连接OC.
∵OC=OA,CD=OA,
∴OC=CD.
∴∠ODC=∠COD.
∵CD是半圆O的切线,
∴∠OCD=90°.
∴∠DOC=45°.
∴劣弧的长度为.
图2
(3)①AE=OD.理由如下:
如图3,连接OE.
∵CD=OA,
∴CD=OC=OE=OA.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵AE∥OC,∴∠2=∠3.
设∠1=y,则∠2=∠3=∠4=y.
∴∠AOE=∠OCD=180°-2y.
在△AOE和△OCD中,
∴△AOE≌△OCD(SAS).
∴AE=OD.
②∵∠6=∠1+∠2=2y,OE=OC,
∴∠5=∠6=2y.
∵AE∥OC,
∴∠AEC+∠OCE=180°,
即∠4+∠5+∠6=180°.
∴y+2y+2y=180°,
解得y=36°.
∴∠ODC=36°.
∴旋转角α=90°-36°=54°.
图3
5.解:(1)证明:如图1,连接OP,直线ON与☉O交于另一点C,
图1
∵AP与☉O相切,
∴OP⊥AP.∴∠APO=90°.
∴∠PAO+∠POA=90°.
∵OM⊥ON,
∴∠POC+∠POA=90°,
∴∠POC=∠PAO.
∵B恰好落在☉O上,
∴∠POC=2∠PBO,
∴∠PAO=2∠PBO.
(2)如图2,过P作PD⊥BC于点D,
图2
由(1)可知∠POC=∠PAO,
∠APO=90°,
∵PD⊥BC,∴∠ODP=90°,
∴∠APO=∠ODP,
∴△PDO∽△OPA,
∴.
∵AO2=AP2+OP2,☉O的半径为3,AP=4,
∴AO==5,
∴.
∴PD=,OD=.
∴BD=OB+OD=3+.
∵在Rt△PBD中,PB2=PD2+BD2,
∴PB==
.
6.解:(1)设∠AOP的度数为n°,直线OB与PQ交于点E,如图1,
图1
∵的长为10π,
∴=10π,
∴n=90,
∴∠AOP=90°,
∴∠QOP=90°.
∵∠QOE=∠AOB=30°,∠QEO=90°,
∴∠EQO=60°,
∴OQ=.
(2)①点Q有可能落在圆O上,理由:
当直线OB垂直平分线段PQ时,如图2,
图2
∵直线OB垂直平分线段PQ,
∴OP=OQ.
∵点P为圆O上的一点,
∴OP为圆的半径,
∴点Q在圆O上.
②当点P为OB与圆O的交点时,OQ取得最大值,如图3,
图3
∵OP⊥QP,OP为圆的半径,
∴QP与圆O相切.
∵∠QOP=∠AOB=30°,
∴OQ=.
∴OQ的最大值为,此时直线PQ与AB所在圆的位置关系是相切.
7.解:(1)根据题意可得AP=t cm,BQ=2t cm,∠B=90°,
∵AB=3 cm,∴BP=(3-t)cm.
∴PQ==
=3,
解得t=或t=0(舍去).
∴ s后PQ的长度等于3 cm.
(2)根据题意可得AP=t cm,BQ=2t cm,∠B=90°,
∵AB=3 cm,BC=4 cm,∴BP=(3-t)cm,S四边形ABCD=3×4=12(cm2).
∴S△BPQ=BP·BQ=×(3-t)·2t=-t2+3t.
∵△BPQ的面积等于四边形ABCD面积的,∴-t2+3t=×12,
解得t=1或t=2.
∴1 s或2 s后,△BPQ的面积等于四边形ABCD面积的.
(3)0解析:当t=0时,如图1,☉Q与四边形CDPQ有两个公共点.
图1
如图2,当☉Q经过点D时,☉Q与四边形CDPQ有两个公共点,则QD=PQ,
图2
根据题意可得AP=t cm,BQ=2t cm,∠B=90°,
∵AB=3 cm,BC=4 cm,
∴BP=(3-t)cm,CQ=BC-BQ=(4-2t)cm.
∵DQ==
cm,
PQ==
cm,
∴,
解得t=-5-(舍)或t=-5+.
∴当08.解:(1)如图1,连接OP,
图1
等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,
∴∠CAD=30°.
∵半圆O与AD相切于点P,
∴∠APO=90°,OP=OC=EF=2,
∴AO=2OP=4,
∴AC=AO+OC=6.
(2)①如图2,由题意可知,
点M,N在半圆O上,
∴∠MON=2∠MCN=2×60°=120°.
图2
②如图3,过点O作OP⊥MN于点P,
∵∠MON=120°,OM=ON=FE=2,
∴∠ONM=30°,MN=2PN,
∴OP=ON=1,
∴PN=,
∴MN=2.
图3
(3)0≤x≤或x=6-2或6-≤x<6.
解析:由题意可知,始终与△ABC的边BC交于一点;
如图4,当点F在AC上时,
在Rt△FEC中,∵∠FEC=90°,∠FCE=60°,EF=4,
∴∠EFC=30°,
∴CF=2CE.
∵CF2=CE2+EF2,
即(2CE)2=CE2+EF2,
解得CE=,∴x=.
图4
如图5,当半圆O与AB相切于点P时,连接OP,OB,
∵OP⊥AB,OE⊥BC,OP=OE=EF=2,
∴∠OBC=30°,
∴BO=2OE=4.
∵OB2=OE2+BE2,
即42=22+BE2,
解得BE=2,
∴x=BC-BE=6-2.
图5
如图6,当点F在AB上时,
在Rt△BEF中,
∵∠FEB=90°,∠FBE=60°,EF=4,
∴∠EFB=30°,∴BF=2BE.
∵BF2=BE2+EF2,解得BE=,
∴x=BC-BE=6-.
图6
综上所述,当与△ABC的边一共有两个交点时,0≤x≤或x=6-2或6-≤x<6.

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